2.3: Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados

2.3: Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Resuelve una ecuación con constantes en ambos lados
  •      
  • Resolver una ecuación con variables en ambos lados
  •      
  • Resolver una ecuación con variables y constantes en ambos lados
  •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifica: 4y − 9 + 9.
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.10.20 .
  2.  
 
 

Resolver ecuaciones con constantes en ambos lados

 

En todas las ecuaciones que hemos resuelto hasta ahora, todos los términos variables estaban en un solo lado de la ecuación con las constantes en el otro lado. Esto no sucede todo el tiempo, por lo que ahora aprenderemos a resolver ecuaciones en las que los términos variables, o términos constantes, o ambos están a ambos lados de la ecuación.

 

Nuestra estrategia consistirá en elegir un lado de la ecuación como el «lado variable», y el otro lado de la ecuación como el «lado constante». Luego, utilizaremos las propiedades de igualdad de resta y suma para obtener todos los términos variables juntos en un lado de la ecuación y los términos constantes juntos en el otro lado.

 

Al hacer esto, transformaremos la ecuación que comenzó con variables y constantes en ambos lados en la forma (ax = b ). Ya sabemos cómo resolver ecuaciones de esta forma usando las propiedades de igualdad de división o multiplicación.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelve: (7x + 8 = −13 ).

 
     
Respuesta
     
     

En esta ecuación, la variable se encuentra solo en el lado izquierdo. Tiene sentido llamar al lado izquierdo el lado «variable». Por lo tanto, el lado derecho será el lado «constante». Escribiremos las etiquetas sobre la ecuación para ayudarnos a recordar qué va a dónde.

     

This figure shows the equation 7x plus 8 equals negative 13, with the left side of the equation labeled “variable”, written in red, and the right side of the equation labeled “constant”, written in red.

     

Dado que el lado izquierdo es el «xx», o lado variable, el 8 está fuera de lugar. Debemos «deshacer» sumando 8 restando 8, y para mantener la igualdad debemos restar 8 de ambos lados.

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve: (3x + 4 = −8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = −4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: (5a + 3 = −37 ).

 
     
Respuesta
     
     

(a = −8 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve: (8y − 9 = 31 ).

 
     
Respuesta
     
     

Observe que la variable está solo en el lado izquierdo de la ecuación, por lo que llamaremos a este lado el lado «variable», y el lado derecho será el lado «constante». Como el lado izquierdo es el lado «variable», el 9 está fuera de lugar. Se resta de 8y, por lo tanto, para «deshacer» la resta, agregue 9 a ambos lados. Recuerde, haga lo que haga a la izquierda, debe hacerlo a la derecha.

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: (5y − 9 = 16 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve: (3m − 8 = 19 ).

 
     
Respuesta
     
     

(m = 9 )

     
 
 
 

Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados

 

El siguiente ejemplo será el primero en tener variables y constantes en ambos lados de la ecuación. Puede tomar varios pasos para resolver esta ecuación, por lo que necesitamos una estrategia clara y organizada.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve: (9x = 8x − 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

Aquí la variable está en ambos lados, pero las constantes solo aparecen en el lado derecho, así que hagamos del lado derecho el lado «constante». Entonces el lado izquierdo será el lado «variable».

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelve: (6n = 5n − 10 ).

 
     
Respuesta
     
     

(n = -10 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resolver: (- 6c = -7c – 1 )

 
     
Respuesta
     
     

(c = -1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resolver: (5y – 9 = 8y )

 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

La única constante está a la izquierda y las y están en ambos lados. Dejemos la constante a la izquierda y obtengamos las variables a la derecha.

          
     
     
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resuelve: (3p − 14 = 5p ).

 
     
Respuesta
     
     

(p = -7 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resolver: (8m + 9 = 5m )

 
     
Respuesta
     
     

(m = -3 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resolver: (12x = -x + 26 )

 
     
Respuesta
     
     

La única constante está a la derecha, así que deja que el lado izquierdo sea el lado «variable».

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resolver: (12j = -4j + 32 )

 
     
Respuesta
     
     

(j = 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Resolver: (8h = -4h + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

(h = 1 )

     
 
 
 

Resolver ecuaciones con variables y constantes en ambos lados

 

El siguiente ejemplo será el primero en tener variables y constantes en ambos lados de la ecuación. Puede tomar varios pasos para resolver esta ecuación, por lo que necesitamos una estrategia clara y organizada.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Resuelve: (12x + 8 = 6x + 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = −1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Resuelve: (9y + 4 = 7y + 12 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 4 )

     
 
 
 

Enumeraremos los pasos a continuación para que pueda consultarlos fácilmente. Pero llamaremos a esto la «Estrategia de inicio» porque agregaremos algunos pasos más adelante en este capítulo.

 
 
 

COMIENZA LA ESTRATEGIA PARA RESOLVER ECUACIONES CON VARIABLES Y CONSTANTES EN AMBOS LADOS DE LA ECUACIÓN.

 
 
         
  1. Elija qué lado será el lado «variable»; el otro lado será el lado «constante».
  2.      
  3. Recolecta los términos variables al lado «variable» de la ecuación, usando la propiedad de igualdad de suma o resta.
  4.      
  5. Recoge todas las constantes al otro lado de la ecuación, usando la propiedad de igualdad de suma o resta.
  6.      
  7. Haga que el coeficiente de la variable sea igual a 1, usando la propiedad de igualdad de multiplicación o división.
  8.      
  9. Verifique la solución sustituyéndola en la ecuación original.
  10.  
 
 
 

En el Paso 1, un enfoque útil es hacer que el lado «variable» sea el lado que tiene la variable con el coeficiente más grande. Esto generalmente hace que la aritmética sea más fácil.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Resuelve: (8n − 4 = −2n + 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

En el primer paso, elija el lado variable comparando los coeficientes de las variables en cada lado.

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Resolver: (8q – 5 = -4q + 7 )

 
     
Respuesta
     
     

(q = 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Resolver: (7n – 3 = n + 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(n = 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Resolver: (7a -3 = 13a + 7 )

 
     
Respuesta
     
     

En el primer paso, elija el lado variable comparando los coeficientes de las variables en cada lado.

     

Dado que 13> 7, haga que el lado derecho sea el lado «variable» y el lado izquierdo el lado «constante».

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Resolver: (2a – 2 = 6a + 18 )

 
     
Respuesta
     
     

(a = -5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Resolver: (4k -1 = 7k + 17 )

 
     
Respuesta
     
     

(k = -6 )

     
 
 
 

En el último ejemplo, podríamos haber hecho del lado izquierdo el lado «variable», pero habría dado lugar a un coeficiente negativo en el término variable. (¡Pruébelo!) Si bien podríamos trabajar con lo negativo, hay menos posibilidades de errores al trabajar con aspectos positivos. ¡La estrategia descrita anteriormente ayuda a evitar los aspectos negativos!

 

Para resolver una ecuación con fracciones, ¡solo seguimos los pasos de nuestra estrategia para obtener la solución!

 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Resolver: ( frac {4} {5} x + 6 = frac {1} {4} x – 2 )

 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

Dado que ( frac {5} {4}> frac {1} {4} ), haga que el lado izquierdo sea el lado «variable» y el lado derecho el lado «constante».

          
     
     
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Resolver: ( frac {7} {8} x – 12 = – frac {1} {8} x – 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 10 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Resolver: ( frac {7} {6} x + 11 = frac {1} {6} y + 8 )

 
     
Respuesta
     
     

(y = -3 )

     
 
 
 

Usaremos la misma estrategia para encontrar la solución para una ecuación con decimales.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Resuelve: (7.8x + 4 = 5.4x − 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

Desde (7.8> 5.4 ), haga que el lado izquierdo sea el lado «variable» y el lado derecho el lado «constante».

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Resolver: (2.8x + 12 = -1.4x – 9 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = -5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Resolver: (3.6y + 8 = 1.2y – 4 )

 
     
Respuesta
     
     

(y = -5 )

     
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Estrategia inicial para resolver una ecuación con variables y constantes en ambos lados de la ecuación      
               
    1. Elija qué lado será el lado «variable»; el otro lado será el lado «constante».
    2.          
    3. Recolecta los términos variables al lado «variable» de la ecuación, usando la propiedad de igualdad de suma o resta.
    4.          
    5. Recoge todas las constantes al otro lado de la ecuación, usando la propiedad de igualdad de suma o resta.
    6.          
    7. Haga que el coeficiente de la variable sea igual a 1, usando la propiedad de igualdad de multiplicación o división.
    8.          
    9. Verifique la solución sustituyéndola en la ecuación original.
    10.      
         
  •  
 
 
 

 
                                  
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