Las fórmulas de la ciencia generalmente contienen letras variables distintas de la variable “Fórmulas” es el plural de “fórmula”. X. De hecho, las fórmulas en ciencia generalmente usan varias letras. Por ejemplo, la Ley Universal de Gravitación de Isaac Newton dice que la magnitud de la fuerza de atracción entre dos cuerpos celestes viene dada por la fórmula:
[F = frac {G M m} {r ^ {2}} nonumber ]
donde (m ) generalmente denota la masa del cuerpo más pequeño, (M ) la masa del cuerpo más grande y (r ) es la distancia entre los dos cuerpos. La letra (G ) representa la constante gravitacional universal, que tiene un valor (6.67428 × 10 ^ {- 11} ) (N (m / kg) ^ 2 ).
Caso variable
Tenga en cuenta el uso de letras mayúsculas y minúsculas M en la Ley de gravitación de Newton. Cuando trabaje con fórmulas científicas, debe mantener el caso de las letras dadas. No está permitido sustituir minúsculas por mayúsculas o mayúsculas por minúsculas en su trabajo.
En Sección 2.2 , describimos el objetivo que debe cumplirse cuando se nos pide “resolver una ecuación para” (x ).
Resolver para (x )
Cuando se le pide que resuelva una ecuación para (x ), el objetivo es manipular la ecuación en la forma final
[x = text {“Stuff”} nonumber ]
donde “Stu ff” es una expresión matemática válida que puede contener otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero no debe contener ninguna aparición de la variable (x ).
Por lo tanto, para resolver una ecuación para (x ), necesitamos aislar los términos que contienen (x ) en un lado de la ecuación, y todos los términos restantes en el otro lado de la ecuación.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resuelve para (x: x + a = b ).
Solución
Para deshacer los efectos de sumar a, reste a de ambos lados de la ecuación.
[ begin {alineado} x + a & = b quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ x + a-a & = b-a quad color {Rojo} text {Restar} a text {de ambos lados. } \ x & = b-a quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve para (x: x-c = d ).
- Respuesta
-
(x = c + d )
En el ejemplo ( PageIndex {1} ), tenga en cuenta que la respuesta (x = b − a ) tiene la forma requerida, (x = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff “Es una expresión matemática válida que contiene otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero no contiene ninguna ocurrencia de la variable (x ). Ahora, ¿qué pasaría si se nos pidiera resolver la misma ecuación para (a ), en lugar de (x )?
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelve para (a: x + a = b ).
Solución
Se nos indica que resuelva la ecuación (x + a = b ) para (a ). Esto significa que nuestra respuesta final debe tener la forma (a = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” es una expresión matemática válida que contiene otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero no contiene ninguna ocurrencia de la variable (a ). Esto significa que debemos aislar todos los términos que contienen la variable (a ) en un lado de la ecuación, y todos los términos restantes en el otro lado de la ecuación. Ahora, para deshacer el efecto de sumar (x ), reste (x ) de ambos lados de la ecuación.
[ begin {alineado} x + a & = b quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ x + a-x & = b-x quad color {Rojo} text {Restar} x text {de ambos lados. } \ a & = b-x quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que tenemos (a = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” no contiene (a ), la variable que estamos resolviendo.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve para (x: x-c = d ).
- Respuesta
-
(c = x-d )
Ejemplo ( PageIndex {3} )
La fórmula (F = kx ), conocida como “Ley de Hooke”, predice la fuerza (F ) requerida para estirar un resorte (x ) unidades. Resuelve la ecuación para (k ).
Solución
Se nos indica que resuelva la ecuación (F = kx ) para (k ). Esto significa que nuestra respuesta final debe tener la forma (k = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” es una expresión matemática válida que puede contener otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero puede no contener cualquier ocurrencia de la variable (k ). Esto significa que debemos aislar todos los términos que contienen la variable (k ) en un lado de la ecuación, y todos los términos restantes en el otro lado de la ecuación. Sin embargo, tenga en cuenta que todos los términos que contienen la variable (k ) ya están aislados en un lado de la ecuación. Los términos que no contienen la variable (k ) están aislados en el otro lado de la ecuación. Ahora, para “deshacer” el efecto de multiplicar por (x ), divida ambos lados de la ecuación por (x ).
[ begin {alineado} F & = kx quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ dfrac {F} {x} & = dfrac {kx} {x} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} x \ dfrac {F} {x} & = k quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Decir que (F / x = k ) es equivalente a decir que (k = F / x ). Podemos dejar nuestra respuesta en la forma que se muestra en el último paso, pero algunos instructores insisten en que escribamos la respuesta de la siguiente manera:
[k = dfrac {F} {x} quad color {Red} dfrac {F} {x} = k text {es equivalente a} k = dfrac {F} {x} no número ]
Tenga en cuenta que tenemos (k = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” no contiene (k ), la variable que estamos resolviendo.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelva para (m: E = m c ^ {2} ).
- Respuesta
-
(m = dfrac {E} {c ^ {2}} )
Ejemplo ( PageIndex {4} )
La fórmula (V = RI ) se llama “Ley de Ohm”. Ayuda a calcular la caída de voltaje (V ) a través de una resistencia (R ) en un circuito eléctrico con corriente (I ). Resuelve la ecuación para (R ).
Solución
Se nos indica que resuelva la ecuación (V = RI ) para (R ). Esto significa que nuestra respuesta final debe tener la forma (R = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” es una expresión matemática válida que puede contener otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero puede no contener cualquier ocurrencia de la variable (R ). Esto significa que debemos aislar todos los términos que contienen la variable (R ) en un lado de la ecuación, y todos los términos restantes en el otro lado de la ecuación. Sin embargo, tenga en cuenta que todos los términos que contienen la variable (R ) ya están aislados en un lado de la ecuación. Los términos que no contienen la variable R están aislados en el otro lado de la ecuación. Ahora, para “deshacer” el efecto de multiplicar por (I ), divida ambos lados de la ecuación por (I ).
[ begin {alineado} V & = R I quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ dfrac {V} {I} & = dfrac {RI} {I} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} I \ dfrac {V} {I} & = R quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Esto también se puede escribir de la siguiente forma:
[R = dfrac {V} {I} quad color {Rojo} V / I = R text {es equivalente a} R = V / I nonumber ]
Tenga en cuenta que tenemos (R = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” no contiene (R ), la variable que estamos resolviendo.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelve para (t: d = s t ).
- Respuesta
-
(t = dfrac {d} {s} )
Borrar fracciones
Si se producen fracciones en una fórmula, borre las fracciones de la fórmula multiplicando ambos lados de la fórmula por el denominador común.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
La fórmula (K = dfrac {1} {2} mv ^ {2} ) se usa para calcular la energía cinética (K ) de una partícula de masa (m ) que se mueve con velocidad (v ). Resuelve la ecuación para (m ).
Solución
Se nos pide que resolvamos la ecuación (K = (1/2) mv ^ 2 ) para (m ). Primero, borra las fracciones multiplicando ambos lados por el común denominador.
[ begin {alineado} K & = dfrac {1} {2} mv ^ {2} quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 2 (K) & = 2 left ( dfrac {1} {2} mv ^ {2} right) quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 2 \ 2K & = mv ^ {2} quad color {Rojo} text {Simplificar. Cancelar} 2 ^ { prime} text {s. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que todos los términos que contienen (m ), la variable que estamos resolviendo, ya están aislados en un lado de la ecuación. Solo necesitamos dividir ambos lados entre (v ^ 2 ) para completar la solución.
[ begin {alineado} dfrac {2 K} {v ^ 2} & = dfrac {mv ^ {2}} {v ^ {2}} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados por} v ^ {2} \ dfrac {2 K} {v ^ 2} & = m quad color {Rojo} text {Simplificar. Cancelar} v ^ {2} text {para} v ^ {2} end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que la respuesta final tiene la forma (m = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” no contiene la ocurrencia de la variable (m ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelva para (g: s = dfrac {1} {2} g t ^ {2} ).
- Respuesta
-
(g = dfrac {2 s} {t ^ {2}} )
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Como se mencionó anteriormente, la Ley Universal de Gravitación de Newton se describe mediante la fórmula [F = dfrac {G M m} {r ^ {2}} nonumber ] Resuelva esta ecuación para (m ).
Solución
Se nos pide que resolvamos la ecuación (F = GMm / r ^ 2 ) para (m ). Primero, borra las fracciones multiplicando ambos lados por el común denominador.
[ begin {alineado} F & = dfrac {G M m} {r ^ {2}} quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ r ^ {2} (F) & = r ^ {2} left ( dfrac {GM m} {r ^ {2}} right) quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} r ^ {2} \ r ^ {2} F & = GM m quad color {Rojo} text {Simplificar. Cancelar} r ^ {2} text {para} r ^ {2} end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que todos los términos que contienen (m ), la variable que estamos resolviendo, ya están aislados en un lado de la ecuación. Solo necesitamos dividir ambos lados entre (GM ) para completar la solución.
[ begin {alineado} dfrac {r ^ {2} F} {GM} & = dfrac {GM m} {GM} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} GM \ dfrac {r ^ {2} F} {GM} & = m quad color {Rojo} text {Simplificar. Cancelar} G M text {para} G M end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que la respuesta final tiene la forma (m = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” no contiene la ocurrencia de la variable (m ).
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelva para (q_ {2}: F = dfrac {k q_ {1} q_ {2}} {r ^ {2}} ).
- Respuesta
-
(q_ {2} = dfrac {F r ^ {2}} {k q_ {1}} )
Fórmulas geométricas
Veamos algunas fórmulas de geometría comúnmente utilizadas.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Let (W ) y (L ) representan el ancho y la longitud de un rectángulo, respectivamente, y let (P ) representa su perímetro.
El perímetro (distancia alrededor) del rectángulo se encuentra sumando sus cuatro lados y luego combinando términos similares.
[ begin {alineado} P & = L + W + L + W quad color {Red} text {Sumando los cuatro lados. } \ P & = 2 W + 2L quad color {Red} text {Combinar términos similares. } end {alineado} nonumber ]
Resuelve (P = 2W + 2L ) para (L ). Luego, dado que el perímetro es (300 ) pies y el ancho es (50 ) pies, use su resultado para calcular la longitud.
Solución
Primero se nos pide que resolvamos (P = 2W + 2L ) para (L ). Primero, aísle todos los términos que contengan la variable (L ) en un lado de la ecuación.
[ begin {alineado} P & = 2W + 2L quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ P-2W & = 2W + 2L-2W quad color {Rojo} text {Restar} 2W text {de ambos lados. } \ P-2W & = 2L quad color {Rojo} text {Simplificar. } \ dfrac {P-2W} {2} & = dfrac {2L} {2} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 2 \ dfrac {P-2W} {2 } & = L quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que el resultado final tiene (L = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” no contiene la variable (L ).
La segunda parte de este ejemplo solicita que encontremos la longitud del rectángulo, dado que el perímetro es (P = 300 ) pies y el ancho es (W = 50 ) pies. Para calcular la longitud, sustituya (P = 300 ) y (W = 50 ) en (L = (P – 2W) / 2 ).
[ begin {alineado} & L = dfrac {P-2 W} {2} quad color {Rojo} text {Fórmula del perímetro resuelta para} L \ L & = dfrac {300-2 ( 50)} {2} quad color {Rojo} 300 text {para} P, 50 text {para} W \ L & = dfrac {300-100} {2} quad color {Rojo} text {Multiplicar:} 2 (50) = 100 \ L & = dfrac {200} {2} quad color {Rojo} text {Restar:} 300-100 = 200 \ L & = 100 quad color {Red} text {Divide:} 200/2 = 100 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la longitud del rectángulo es (100 ) pies.
Ejercicio ( PageIndex {7} )
El perímetro de un rectángulo es (160 ) metros y su ancho es (30 ) metros. Encuentra su longitud.
- Respuesta
-
(L = 50 ) metros
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Sea (b ) y (h ) la longitud de la base y la altura de un triángulo, respectivamente, y sea (A ) el área del triángulo.
El área del triángulo se calcula usando la fórmula: (A = dfrac {1} {2} bh ) Es decir, el área de un triángulo es “la mitad de la base por la altura”.
Resuelve la fórmula (A = dfrac {1} {2} bh ) para (h ). En segundo lugar, dado que el área es (A = 90 ) en 2 ( (90 ) pulgadas cuadradas) y la longitud de la base es (15 ) en ( (15 ) pulgadas), encuentre la altura del triángulo.
Solución
Primero se nos pide que resolvamos (A = (1/2) bh ) para (h ). Debido a que la ecuación tiene fracciones, el primer paso es eliminar las fracciones multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador.
[ begin {alineado} A & = dfrac {1} {2} bh quad color {Rojo} text {Área de una fórmula triangular. } \ 2 (A) & = 2 left ( dfrac {1} {2} bh right) quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 2 \ 2A & = bh quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Ahora, ya tenemos todos los términos que contienen la variable (h ) en un lado de la ecuación, por lo que podemos resolver (h ) dividiendo ambos lados de la ecuación entre (b ).
[ begin {alineado} dfrac {2 A} {b} & = dfrac {bh} {b} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} b \ dfrac { 2 A} {b} & = h quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que el resultado final tiene (h = text {“Stuff”} ), donde “Stu ff” no contiene la variable (h ).
La segunda parte de este ejemplo solicita que encontremos la altura del triángulo, dado que el área es (A = 90 ) en (2 ) y la longitud de la base es (b = 15 ) in. Para calcular la altura del triángulo, sustituya (A = 90 ) y (b = 15 ) en (h = 2A / b ).
[ begin {alineado} h & = dfrac {2 A} {b} quad color {Rojo} text {Fórmula de área resuelta para} h \ h & = dfrac {2 (90) } {15} quad color {Rojo} text {Sustituir} 90 text {para} A, 15 text {para} b \ h & = dfrac {180} {15} quad color {Rojo } text {Multiplicar:} 2 (90) = 180 \ h & = 12 quad color {Rojo} text {Divide:} 180/15 = 12 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la altura del triángulo es (12 ) pulgadas.
Ejercicio ( PageIndex {8} )
El área de un triángulo es (140 ) cm 2 y la longitud de su base es (70 ) cm. Encuentra la altura del triángulo. .
- Respuesta
-
(4 ) cm