2.4: Modelos y aplicaciones

2.4: Modelos y aplicaciones

Josh espera obtener un (A ) en su clase de álgebra universitaria. Tiene puntajes de (75 ), (82 ), (95 ), (91 ) y (94 ) en sus primeras cinco pruebas. Solo queda el examen final, y el máximo de puntos que se pueden ganar es (100 ). ¿Es posible que Josh termine el curso con un (A )? Una ecuación lineal simple le dará a Josh su respuesta.

Muchas aplicaciones del mundo real pueden modelarse mediante ecuaciones lineales. Por ejemplo, un paquete de teléfono celular puede incluir una tarifa de servicio mensual más un cargo por minuto de tiempo de conversación; al fabricante de widgets le cuesta una cierta cantidad producir x widgets por mes más cargos operativos mensuales; una empresa de alquiler de automóviles cobra una tarifa diaria más una cantidad por milla recorrida. Estos son ejemplos de aplicaciones que encontramos todos los días que están modeladas por ecuaciones lineales. En esta sección, configuraremos y utilizaremos ecuaciones lineales para resolver tales problemas.

Configuración de una ecuación lineal para resolver una aplicación del mundo real

 

Para configurar o modelar una ecuación lineal para ajustarse a una aplicación del mundo real, primero debemos determinar las cantidades conocidas y definir la cantidad desconocida como una variable. Luego, comenzamos a interpretar las palabras como expresiones matemáticas utilizando símbolos matemáticos. Usemos el ejemplo de alquiler de autos anterior. En este caso, un costo conocido, como ($ 0.10 / mi ), se multiplica por una cantidad desconocida, el número de millas conducidas. Por lo tanto, podemos escribir (0.10x ). Esta expresión representa un costo variable porque cambia de acuerdo con la cantidad de millas recorridas.

 

Si una cantidad es independiente de una variable, generalmente solo la sumamos o restamos, según el problema. Como estos montos no cambian, los llamamos costos fijos. Considere una agencia de alquiler de automóviles que cobra ($ 0.10 / mi ) más una tarifa diaria de ($ 50 ). Podemos usar estas cantidades para modelar una ecuación que se puede usar para encontrar el costo diario de alquiler de automóvil (C ).

 

(C = 0.10x + 50 tag {2.4.1} )

 

Cuando se trata de aplicaciones del mundo real, hay ciertas expresiones que podemos traducir directamente a las matemáticas. La tabla ( PageIndex {1} ) enumera algunas expresiones verbales comunes y sus expresiones matemáticas equivalentes.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} ): Conversión verbal a matemática
Verbal Traducción a operaciones matemáticas
Un número excede a otro por un (x, x + a )
Dos veces un número (2x )
Un número es (a ) más que otro número (x, x + a )
Un número es menos de dos veces otro número (x, 2x − a )
El producto de un número y (a ), disminuyó en (b ) (ax − b )
El cociente de un número y el número más (a ) es tres veces el número ( dfrac {x} {x + a} = 3x )
El producto de tres veces un número y el número disminuido en (b ) es (c ) (3x (x − b) = c )
 
 

Cómo: dado un problema del mundo real, modelar una ecuación lineal para ajustarlo

 
         
  1. Identifica cantidades conocidas.
  2.      
  3. Asigne una variable para representar la cantidad desconocida.
  4.      
  5. Si hay más de una cantidad desconocida, encuentre una manera de escribir la segunda incógnita en términos de la primera.
  6.      
  7. Escribe una ecuación interpretando las palabras como operaciones matemáticas.
  8.      
  9. Resuelve la ecuación. Asegúrese de que la solución se pueda explicar en palabras, incluidas las unidades de medida.
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Encuentre una ecuación lineal para resolver las siguientes cantidades desconocidas: un número excede a otro número en (17 ) y su suma es (31 ). Encuentra los dos números.

 

Solución

 

Sea (x ) igual al primer número. Luego, como el segundo número excede al primero en (17 ), podemos escribir el segundo número como (x +17 ). La suma de los dos números es (31 ). Generalmente interpretamos que la palabra es como un signo igual.

 

[ begin {align *} x + (x + 17) & = 31 \ 2x + 17 & = 31 \ 2x & = 14 \ x & = 7 end {align *} ]

 

[ begin {align *} x + 17 & = 7 + 17 \ & = 24 \ end {align *} ]

 

Los dos números son (7 ) y (24 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentre una ecuación lineal para resolver las siguientes cantidades desconocidas: Un número es tres más que dos veces otro número. Si la suma de los dos números es (36 ), encuentre los números.

 
     
Respuesta
     
     

(11 ) y (25 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Configuración de una ecuación para resolver una aplicación del mundo real

 

Hay dos compañías de teléfonos celulares que ofrecen diferentes paquetes. La empresa A cobra una tarifa de servicio mensual de ($ 34 ) más ($. 05 / min ) tiempo de conversación. La empresa B cobra una tarifa de servicio mensual de ($ 40 ) más ($. 04 / min ) tiempo de conversación.

 
         
  1. Escriba una ecuación lineal que modele los paquetes ofrecidos por ambas compañías.
  2.      
  3. Si el número promedio de minutos utilizados cada mes es (1,160 ), ¿qué compañía ofrece el mejor plan?
  4.      
  5. Si el número promedio de minutos utilizados cada mes es (420 ), ¿qué compañía ofrece el mejor plan?
  6.      
  7. ¿Cuántos minutos de tiempo de conversación generarían extractos mensuales iguales de ambas compañías?
  8.  
 

Solución

 

a.

 

El modelo para la Compañía A se puede escribir como (A = 0.05x + 34 ). Esto incluye el costo variable de (0.05x ) más el cargo mensual por servicio de ($ 34 ). El paquete de la empresa B cobra una tarifa mensual más alta de ($ 40 ), pero un costo variable más bajo de (0.04x ). El modelo de la empresa B se puede escribir como (B = 0.04x + $ 40 ).

 

b.

 

Si el número promedio de minutos utilizados cada mes es (1,160 ), tenemos lo siguiente:

 

[ begin {align *} text {Company A} & = 0.05 (1.160) +34 \ & = 58 + 34 \ & = 92 end {align *} ]

 

[ begin {align *} text {Company B} & = 0.04 (1,1600) +40 \ & = 46.4 + 40 \ & = 86.4 end {align *} ]

 

Entonces, la Compañía B ofrece el costo mensual más bajo de ($ 86.40 ) en comparación con el costo mensual ($ 92 ) ofrecido por la Compañía A cuando el número promedio de minutos usados ​​cada mes es (1,160 ).

 

c.

 

Si el número promedio de minutos utilizados cada mes es (420 ), tenemos lo siguiente:

 

[ begin {align *} text {Company A} & = 0.05 (420) +34 \ & = 21 + 34 \ & = 55 end {align *} ]

 

[ begin {align *} text {Company B} & = 0.04 (420) +40 \ & = 16.8 + 40 \ & = 56.8 end {align *} ]

 

Si el número promedio de minutos usados ​​cada mes es (420 ), entonces la Compañía A ofrece un costo mensual más bajo de ($ 55 ) en comparación con el costo mensual de la Compañía B de ($ 56.80 ).

 

d.

 

Para responder a la pregunta de cuántos minutos de conversación generarían la misma factura de ambas compañías, deberíamos pensar en el problema en términos de coordenadas ((x, y) ): ¿En qué punto están las dos (x ) – valor y (y ) – valor igual? Podemos encontrar este punto estableciendo las ecuaciones iguales entre sí y resolviendo para (x ).

[ begin {align *} 0.05x + 34 & = 0.04x + 40 \ 0.01x & = 6 \ x & = 600 end {align *} ]  

Verifique el valor (x ) en cada ecuación.

 

(0,05 (600) + 34 = 64 )

 

(0,04 (600) + 40 = 64 )

 

Por lo tanto, un promedio mensual de (600 ) minutos de conversación hace que los planes sean iguales. Ver Figura ( PageIndex {2} ).

 
Coordinate plane with the x-axis ranging from 0 to 1200 in intervals of 100 and the y-axis ranging from 0 to 90 in intervals of 10.  The functions A = 0.05x + 34 and B = 0.04x + 40 are graphed on the same plot  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentre una ecuación lineal para modelar esta aplicación del mundo real: le cuesta a la compañía de electrónica ABC ($ 2.50 ) por unidad producir una parte utilizada en una marca popular de computadoras de escritorio. La compañía tiene gastos operativos mensuales de ($ 350 ) para servicios públicos y ($ 3,300 ) para salarios. ¿Cuáles son los gastos mensuales de la empresa?

 
     
Respuesta
     
     

(C = 2.5x + 3,650 )

     
 
 
 

Usando una fórmula para resolver una aplicación del mundo real

 

Muchas aplicaciones se resuelven usando fórmulas conocidas. Se plantea el problema, se identifica una fórmula, las cantidades conocidas se sustituyen en la fórmula, la ecuación se resuelve para lo desconocido y se responde la pregunta del problema. Típicamente, estos problemas involucran dos ecuaciones que representan dos viajes, dos inversiones, dos áreas, etc. Los ejemplos de fórmulas incluyen el área de una región rectangular,

 

[A = LW tag {2.4.2} ]

 

el perímetro de un rectángulo,

 

[P = 2L + 2W tag {2.4.3} ]

 

y el volumen de un sólido rectangular,

 

[V = LWH. tag {2.4.4} ]

 

Cuando hay dos incógnitas, encontramos una manera de escribir una en términos de la otra porque podemos resolver solo una variable a la vez.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolviendo una aplicación usando una fórmula

 

Andrew (30 ; min ) tarda en llegar al trabajo por la mañana. Conduce a casa usando la misma ruta, pero tarda (10 ​​; min ) más tiempo, y promedia (10 ​​; mi / h ) menos que en la mañana. ¿Hasta dónde llega Andrew al trabajo?

 

Solución

 

Este es un problema de distancia, por lo que podemos usar la fórmula (d = rt ), donde la distancia es igual a la tasa multiplicada por el tiempo. Tenga en cuenta que cuando la tasa se da en (mi / h ), el tiempo debe expresarse en horas. Las unidades de medida consistentes son clave para obtener una solución correcta.

 

Primero, identificamos las cantidades conocidas y desconocidas. El viaje matutino de Andrew al trabajo toma (30 ; min ) o (12 ; h ) a una velocidad (r ). Su viaje a casa toma (40 ; min ), o (23 ; h ), y su velocidad promedio (10 ​​; mi / h ) es menor que el viaje de la mañana. Ambos viajes cubren la distancia (d ). Una tabla, como Table ( PageIndex {2} ), a menudo es útil para realizar un seguimiento de la información en este tipo de problemas.

                                                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {2} )
(d ) (r ) (t )
Para trabajar (d ) (r ) (12 )
A casa (d ) (r − 10 ) (23 )
 

Escribe dos ecuaciones, una para cada viaje.

 

[d = r left ( dfrac {1} {2} right) qquad text {To work} nonumber ]

 

[d = (r-10) left ( dfrac {2} {3} right) qquad text {To home} nonumber ]

 

Como ambas ecuaciones son iguales a la misma distancia, las establecemos iguales entre sí y resolvemos (r ).

 

[ begin {align *} r left ( dfrac {1} {2} right) & = (r-10) left ( dfrac {2} {3} right) \ dfrac {1} {2r} & = dfrac {2} {3} r- dfrac {20} {3} \ dfrac {1} {2} r- dfrac {2} {3} r & = – dfrac {20} {3} \ – dfrac {1} {6} r & = – dfrac {20} {3} \ r & = – dfrac {20} {3} (- 6) \ r & = 40 end {alinear *} ]

 

Hemos resuelto la velocidad de trabajo, (40 ; mph ). Sustituyendo (40 ) en la tasa en el viaje de regreso produce (30 mi / h ). Ahora podemos responder la pregunta. Sustituya la tasa de nuevo en cualquiera de las ecuaciones y resuelva (d ).

 

[ begin {align *} d & = 40 left ( dfrac {1} {2} right) \ & = 20 end {align *} ]

 

La distancia entre el hogar y el trabajo es (20 ; mi ).

 

Análisis

 

Tenga en cuenta que podríamos haber limpiado las fracciones en la ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD para resolver (r ).

 

[ begin {align *} r left ( dfrac {1} {2} right) & = (r-10) left ( dfrac {2} {3} right) \ 6 times r left ( dfrac {1} {2} right) & = 6 times (r-10) left ( dfrac {2} {3} right) \ 3r & = 4 (r-10 ) \ 3r & = 4r-40 \ r & = 40 end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

El sábado por la mañana, Jennifer (3.6 ; h ) tardó en llegar a la casa de su madre durante el fin de semana. El domingo por la noche, debido al intenso tráfico, Jennifer (4 ; h ) tardó en regresar a casa. Su velocidad era (5 ; mi / h ) más lenta el domingo que el sábado. ¿Cuál fue su velocidad el domingo?

 
     
Respuesta
     
     

(45 ; mi / h )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Solución de un problema de perímetro

 

El perímetro de un patio rectangular al aire libre es (54 ; ft ). La longitud es (3 ; ft ) mayor que el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del patio?

 

Solución

 

La fórmula del perímetro es estándar: (P = 2L + 2W ). Tenemos dos cantidades desconocidas, largo y ancho. Sin embargo, podemos escribir la longitud en términos de ancho como (L = W + 3 ). Sustituya el valor del perímetro y la expresión para la longitud en la fórmula. A menudo es útil hacer un boceto y etiquetar los lados como en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
A rectangle with the length labeled as: L = W + 3 and the width labeled as: W.  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 

Ahora podemos resolver el ancho y luego calcular la longitud.

 

[ begin {align *} P & = 2L + 2W \ 54 & = 2 (W + 3) + 2W \ 54 & = 2W + 6 + 2W \ 54 & = 4W + 6 \ 48 & = 4W W & = 12 end {align *} ]

 

[ begin {align *} L & = 12 + 3 \ L & = 15 end {align *} ]

 

Las dimensiones son (L = 15 ; ft ) y (W = 12 ; ft ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentra las dimensiones de un rectángulo dado que el perímetro es (110 ; cm ) y la longitud es (1 ; cm ) más del doble del ancho.

 
     
Respuesta
     
     

(L = 37 ; cm ), (W = 18 ; cm )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Solución de un problema de área

 

El perímetro de una tableta de papel cuadriculado es (48 space {in.} ^ 2 ). La longitud es (6 ; en ). Más que el ancho. Encuentra el área del papel cuadriculado.

 

Solución

 

La fórmula estándar para el área es (A = LW ); sin embargo, resolveremos el problema usando la fórmula del perímetro. La razón por la que usamos la fórmula del perímetro es porque sabemos suficiente información sobre el perímetro que la fórmula nos permitirá resolver una de las incógnitas. Como tanto el perímetro como el área usan el largo y el ancho como dimensiones, a menudo se usan juntos para resolver un problema como este.

 

Sabemos que la longitud es (6 ; in ). más que el ancho, por lo que podemos escribir la longitud como (L = W + 6 ). Sustituya el valor del perímetro y la expresión para la longitud en la fórmula del perímetro y encuentre la longitud.

 

[ begin {align *} P & = 2L + 2W \ 48 & = 2 (W + 6) + 2W \ 48 & = 2W + 12 + 2W \ 48 & = 4W + 12 \ 36 & = 4W W & = 9 end {align *} ]

 

[ begin {align *} L & = 9 + 6 \ L & = 15 end {align *} ]

 

Ahora, encontramos el área dadas las dimensiones de (L = 15 ; en ). y (W = 9 ; en ).

 

[ begin {align *} A & = LW \ A & = 15 (9) \ A & = 135 space {in.} ^ 2 end {align *} ]

 

El área es (135 space {in.} ^ 2 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Una sala de juegos tiene un perímetro de (70 ; ft ). La longitud es cinco más que el doble del ancho. ¿Cuántas (ft ^ 2 ) de alfombras nuevas se deben pedir?

 
     
Respuesta
     
     

(250 espacio {ft} ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Solución de un problema de volumen

 

Encuentre las dimensiones de una caja de envío dado que la longitud es dos veces el ancho, la altura es (8 ; ) adentro, y el volumen es (1,600 space {in.} ^ 3 ).

 

Solución

 

La fórmula para el volumen de una caja se da como (V = LWH ), el producto de longitud, anchura y altura. Se nos da que (L = 2W ) y (H = 8 ). El volumen es (1,600 ; text {pulgadas cúbicas} ).

[ begin {align *} V & = LWH \ 1600 & = (2W) W (8) \ 1600 & = 16W ^ 2 \ 100 & = W ^ 2 \ 10 & = W end {align *} ]  

Las dimensiones son (L = 20 ; in ), (W = 10 ; in ) y (H = 8 ; in ).

 

Análisis

 

Tenga en cuenta que la raíz cuadrada de (W ^ 2 ) daría lugar a un valor positivo y negativo. Sin embargo, debido a que estamos describiendo el ancho, solo podemos usar el resultado positivo.

 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Se puede usar una ecuación lineal para resolver un problema desconocido en un número. Ver Ejemplo .
  •      
  • Las aplicaciones pueden escribirse como problemas matemáticos identificando cantidades conocidas y asignando una variable a cantidades desconocidas. Ver Ejemplo .
  •      
  • Hay muchas fórmulas conocidas que se pueden usar para resolver aplicaciones. Los problemas de distancia, por ejemplo, se resuelven usando la fórmula (d = rt ). Ver Ejemplo .
  •      
  • Muchos problemas de geometría se resuelven usando la fórmula del perímetro (P = 2L + 2W ), la fórmula del área (A = LW ), o la fórmula del volumen (V = LWH ) . Ver Ejemplo , Ejemplo y Ejemplo .
  •  
 
 
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