Nuestro énfasis en el capítulo ha estado en las funciones y la interpretación de sus gráficos. En esta sección, continuamos en esa línea y dirigimos nuestra exploración a la solución de ecuaciones y desigualdades mediante gráficos. Las ecuaciones tendrán la forma (f (x) = g (x) ), y las desigualdades tendrán la forma (f (x)
Quizás se pregunte por qué no hemos mencionado las desigualdades que tienen la forma (f (x) leq g (x) ) y (f (x) geq g (x) ). La razón de esta omisión es el hecho de que la solución de la desigualdad (f (x) leq g (x) ) es simplemente la unión de las soluciones de (f (x) = g (x) ) y (f (x) Comenzaremos comparando los valores de función de dos funciones f y g en varios valores de x en sus dominios. Suponga que evaluamos dos funciones fyg en un valor particular de x. Uno de los tres resultados es posible. Cualquiera [f (x) = g (x), quad text {o} quad f (x)> g (x), quad text {o} quad f (x) Es bastante sencillo comparar dos valores de función en un valor particular si se dan reglas para cada función. Ejemplo ( PageIndex {1} ) Dado (f (x) = x ^ {2} ) y (g (x) = 2x + 3 ), compara las funciones en x = −2, 0 y 3. Solución Los cálculos simples revelan las relaciones. También podemos comparar valores de funciones en un valor particular de x examinando los gráficos de las funciones. Por ejemplo, considere las gráficas de dos funciones f y g en la Figura ( PageIndex {1} ). Luego, supongamos que dibujamos una línea vertical discontinua a través del punto de intersección de los gráficos de fyg, luego seleccionamos un valor de x que se encuentra a la izquierda de la línea vertical discontinua, como se muestra en la Figura ( Índice de página {2} ) (a). Debido a que la gráfica de f se encuentra por encima de la gráfica de g para todos los valores de x que se encuentran a la izquierda de la línea vertical discontinua, será el caso que (f (x)> g (x) ) para todos esos x (vea la Figura ( PageIndex {2} ) (a)). Por otro lado, la gráfica de f se encuentra debajo de la gráfica de g para todos los valores de x que se encuentran a la derecha de la línea vertical discontinua. Por lo tanto, para todos esos x, será el caso que (f (x) Finalmente, si seleccionamos el valor x del punto de intersección de las gráficas de f y g, entonces para este valor de x, es el caso de que f (x) y g (x) son iguales; es decir, (f (x) = g (x) ) (consulte la Figura ( PageIndex {3} )). Resumamos nuestros hallazgos. Resumen Veamos un ejemplo. Ejemplo ( PageIndex {2} ) Dadas las gráficas de f y g en la Figura ( PageIndex {4} ) (a), use tanto el generador de conjuntos como la notación de intervalo para describir la solución de la desigualdad f (x) Solución Para encontrar la solución de f (x) Tenga en cuenta que los puntos sombreados en el eje x tienen valores x menores que 2. Por lo tanto, la solución de f (x) De la misma manera, la solución de f (x)> g (x) se encuentra observando dónde se encuentra la gráfica de f sobre la gráfica de g y sombreando los valores de x correspondientes en el eje x (ver Figura ( PageIndex {5} ) (a)). La solución de f (x)> g (x) es ((2, infty) ), o alternativamente, ( {x: x> 2 } ). Para encontrar la solución de f (x) = g (x), observe dónde la gráfica de f se cruza con la gráfica de g, luego sombree el valor x de este punto de intersección en el eje x (vea la Figura ( PageIndex {5} ) (b)). Por lo tanto, la solución de f (x) = g (x) es ( {x: x = 2 } ). Esto no es un intervalo, por lo que no es apropiado describir esta solución con notación de intervalo. Veamos otro ejemplo. Ejemplo ( PageIndex {3} ) Dadas las gráficas de f y g en la Figura ( PageIndex {6} ) (a), use tanto el generador de conjuntos como la notación de intervalo para describir la solución de la desigualdad f (x)> g (x). Luego encuentre las soluciones de la desigualdad f (x) Solución Para determinar la solución de f (x)> g (x), debemos ubicar donde la gráfica de f se encuentra por encima de la gráfica de g. Dibuje líneas verticales discontinuas a través de los puntos de intersección de las gráficas de f y g (vea la Figura ( PageIndex {6} ) (b)), luego observe que la gráfica de f se encuentra sobre la gráfica de g entre la vertical discontinua Líneas recién dibujadas. En consecuencia, la solución de la desigualdad f (x)> g (x) es la colección de todas las x que se encuentran entre las líneas verticales discontinuas. Hemos sombreado esta colección en el eje x en rojo (o con un estilo de línea más grueso para aquellos que ven en blanco y negro) en la Figura ( PageIndex {6} ) (b). Tenga en cuenta que los puntos sombreados en el eje x en la Figura ( PageIndex {6} ) (b) tienen valores x entre −2 y 3. En consecuencia, la solución de f (x)> g (x ) es [(- 2,3) = {x: -2 De la misma manera, la solución de f (x) [(- infty, -2) cup (3, infty) = {x: x <-2 text {or} x> 3 } ] Para encontrar la solución de f (x) = g (x), observe dónde la gráfica de f se cruza con la gráfica de g, y sombree el valor de x de cada punto de intersección en el eje x (vea la Figura ( PageIndex {7} ) (b)). Por lo tanto, la solución de f (x) = g (x) es ( {x: x = -2 ) o (x = 3 } ). Debido a que este conjunto de soluciones no es un intervalo, sería inapropiado describirlo con notación de intervalo. Ahora sabemos que la solución de f (x) = g (x) es el conjunto de todas las x para las cuales se cruzan las gráficas de f y g. Por lo tanto, la calculadora gráfica se convierte en una herramienta indispensable para resolver ecuaciones. Ejemplo ( PageIndex {4} ) Usa una calculadora gráfica para resolver la ecuación [1.23 x-4.56 = 5.28-2.35 x qquad (6) ] Solución Tenga en cuenta que la ecuación (6) tiene la forma f (x) = g (x), donde [f (x) = 1.23 x-4.56 quad text {y} quad g (x) = 5.28-2.35 x ] Por lo tanto, nuestro enfoque será dibujar las gráficas de fyg, luego encontrar el valor de x del punto de intersección. Primero, cargue f (x) = 1.23x – 4.56 en Y1 yg (x) = 5.28 – 2.35x en Y2 en el menú Y = de su calculadora gráfica (vea la Figura ( PageIndex {8} ) (una)). Seleccione 6: ZStandard en el menú ZOOM para producir los gráficos en la Figura ( PageIndex {8} ) (b). La solución de la ecuación (6) es el valor x del punto de intersección de las gráficas de f y g en la Figura ( PageIndex {8} ) (b). Usaremos la utilidad de intersección en el menú CALC en la calculadora gráfica para determinar las coordenadas del punto de intersección. Procedemos de la siguiente manera: El resultado de esta secuencia de pasos se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ). Las coordenadas del punto de intersección son aproximadamente (2.7486034, −1.179218). El valor x de este punto de intersección es la solución de la ecuación (6). Es decir, la solución de (1.23x – 4.56 = 5.28 – 2.35x ) es aproximadamente (x aprox 2.7486034 ). Resumen Directrices. Deberá analizar las expectativas con su maestro, pero esperamos que nuestros alumnos resuman sus resultados de la siguiente manera. 1. Configure un sistema de coordenadas.6 Etiquete y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax. 2. Copie la imagen en su ventana de visualización en su sistema de coordenadas. Rotula cada gráfica con su ecuación. 3. Dibuje una línea vertical discontinua a través del punto de intersección. 4. Sombrea y rotula la solución de la ecuación en el eje x. El resultado de seguir este estándar se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ). Veamos otro ejemplo. Ejemplo ( PageIndex {5} ) Utilice el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir la solución de la desigualdad [0.85 x ^ {2} -3 geq 1.23 x + 1.25 qquad (9) ] Solución Tenga en cuenta que la desigualdad (9) tiene la forma (f (x) geq g (x) ), donde [f (x) = 0.85 x ^ {2} -3 quad text {y} quad g (x) = 1.23 x + 1.25 ] Cargue (f (x) = 0.85 x ^ {2} -3 ) y (g (x) = 1.23 x + 1.25 ) en Y1 e Y2 en el menú Y =, respectivamente, como se muestra en Figura ( PageIndex {12} ) (a). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir los gráficos que se muestran en la Figura ( PageIndex {12} ) (b). Para encontrar los puntos de intersección de las gráficas de fyg, seguimos la misma secuencia de pasos que hicimos en el Ejemplo ( PageIndex {4} ) hasta el punto donde la calculadora le pide que haga un adivinar (es decir, 2º CALC, 5: intersección, primera curva ENTRAR, segunda curva ENTRAR). Debido a que hay dos puntos de intersección, cuando la calculadora le pide que lo haga adivine, debe mover el cursor (con las teclas de flecha) para que esté más cerca del punto de intersección que desea encontrar que del otro punto de intersección. El uso de esta técnica produce los dos puntos de intersección encontrados en las Figuras ( PageIndex {13} ) (a) y (b). Las coordenadas aproximadas del primer punto de intersección son (−1.626682, −0.7508192). El segundo punto de intersección tiene coordenadas aproximadas (3.0737411, 5.0307015). Es importante recordar que cada vez que recoge su calculadora, solo obtiene una aproximación. Es posible que obtenga un resultado ligeramente diferente para los puntos de intersección. Por ejemplo, puede obtener (−1.626685, −0.7508187) para su punto de intersección. Según la posición del cursor cuando marcó las curvas e hizo su suposición, puede obtener aproximaciones ligeramente diferentes. Tenga en cuenta que esta segunda solución es muy similar a la que encontramos, que difiere solo en los últimos decimales, y es perfectamente aceptable como respuesta. Ahora resumimos nuestros resultados creando un sistema de coordenadas, etiquetando los ejes y escalando los ejes con los valores de los parámetros de ventana xmin, xmax, ymin e ymax. Copiamos la imagen en nuestra ventana de visualización en este sistema de coordenadas, etiquetando cada gráfico con su ecuación. Luego dibujamos líneas verticales discontinuas a través de cada punto de intersección, como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ). Estamos resolviendo la desigualdad (0.85 x ^ {2} -3 geq 1.23 x + 1.25 ). La solución será la unión de las soluciones de (0.85 x ^ {2} -3> 1.23 x + 1.25 ) y (0.85 x ^ {2} -3 = 1.23 x + 1.25 ). en el eje x. En este caso, la gráfica de (y = 0.85 x ^ {2} -3 ) se encuentra sobre la gráfica de (y = 1.23 x + 1.25 ) para los valores de x que se encuentran fuera de nuestras líneas verticales discontinuas. Por lo tanto, todos los valores de x que son menores o iguales a -1.626682 o mayores o iguales a 3.0737411 son soluciones. Es decir, la solución de la desigualdad (0.85x ^ {2} – 3> 1.23x + 1.25 ) es aproximadamente [(- infty, -1.626682] cup [3.0737411, infty) = {x: x leq-1.626682 text {or} x geq 3.0737411 } ] Cuando evaluamos una función f en un valor particular de x, solo uno de los tres resultados es posible. Cualquiera [f (x) = 0, quad text {o} quad f (x)> 0, quad text {o} quad f (x) <0 ] Es decir, o f (x) es igual a cero, o f (x) es positivo, o f (x) es negativo. No hay otras posibilidades. Podríamos comenzar de nuevo, adoptando un enfoque completamente nuevo, o podemos construir sobre lo que ya sabemos. Elegimos el último enfoque. Supongamos que se nos pide comparar f (x) con cero? ¿Es igual a cero, es mayor que cero o es menor que cero? Establecemos g (x) = 0. Ahora, si queremos comparar la función f con cero, solo necesitamos comparar f con g, que ya sabemos cómo hacerlo. Para encontrar dónde f (x) = g (x), observamos dónde se intersecan las gráficas de f y g, para encontrar dónde f (x)> g (x), observamos dónde se encuentra la gráfica de f sobre la gráfica de g y, finalmente, para encontrar dónde f (x) Sin embargo, la gráfica de g (x) = 0 es una línea horizontal que coincide con el eje x. De hecho, g (x) = 0 es la ecuación del eje x. Este argumento lleva a los siguientes resultados clave. resumen Por ejemplo: A continuación definimos alguna terminología importante. Definición Si f (a) = 0, entonces a se llama cero de la función f. La gráfica de f interceptará el eje x en ((a, 0) ), un punto llamado intersección x de la gráfica de f. Su calculadora tiene una utilidad que lo ayudará a encontrar los ceros de una función. Ejemplo ( PageIndex {6} ) Usa una calculadora gráfica para resolver la desigualdad [0.25 x ^ {2} -1.24 x-3.84 leq 0 ] Solución Tenga en cuenta que esta desigualdad tiene la forma (f (x) leq 0 ), donde (f (x) = 0.25 x ^ {2} -1.24 x-3.84 ). Nuestra estrategia será dibujar la gráfica de f, luego determinar dónde se encuentra la gráfica de f debajo o en el eje x. Procedemos de la siguiente manera: El paso final es la interpretación de los resultados y el registro de nuestra solución en nuestro trabajo de tarea. En referencia a las Pautas del Resumen 7, se nos ocurre el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {18} ). Varios comentarios están en orden. Observando que (f (x) = 0.25 x ^ {2} -1.24 x-3.84 ), notamos: [[- 2.157931,7.1179306] = {x: -2.157931 leq x leq 7.1179306 } ] Funciones de comparación
Resolver ecuaciones y desigualdades con la calculadora gráfica
Comparación de funciones con cero
