2.4: Resolver ecuaciones y desigualdades graficando

2.4: Resolver ecuaciones y desigualdades graficando

Nuestro énfasis en el capítulo ha estado en las funciones y la interpretación de sus gráficos. En esta sección, continuamos en esa línea y dirigimos nuestra exploración a la solución de ecuaciones y desigualdades mediante gráficos. Las ecuaciones tendrán la forma (f (x) = g (x) ), y las desigualdades tendrán la forma (f (x) g (X)).

Quizás se pregunte por qué no hemos mencionado las desigualdades que tienen la forma (f (x) leq g (x) ) y (f (x) geq g (x) ). La razón de esta omisión es el hecho de que la solución de la desigualdad (f (x) leq g (x) ) es simplemente la unión de las soluciones de (f (x) = g (x) ) y (f (x)

Comenzaremos comparando los valores de función de dos funciones f y g en varios valores de x en sus dominios.

Funciones de comparación

 

Suponga que evaluamos dos funciones fyg en un valor particular de x. Uno de los tres resultados es posible. Cualquiera

 

[f (x) = g (x), quad text {o} quad f (x)> g (x), quad text {o} quad f (x)  

Es bastante sencillo comparar dos valores de función en un valor particular si se dan reglas para cada función.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Dado (f (x) = x ^ {2} ) y (g (x) = 2x + 3 ), compara las funciones en x = −2, 0 y 3.

 

Solución

 

Los cálculos simples revelan las relaciones.

 
         
  • En x = −2, [f (-2) = (- 2) ^ {2} = 4 quad text {y} quad g (-2) = 2 (-2) + 3 = -1 ] tan claramente, (f (−2)> g (−2) ).
  •      
  • En x = 0, [f (0) = (0) ^ {2} = 0 quad text {y} quad g (0) = 2 (0) + 3 = 3 ] tan claramente , (f (0)      
  • Finalmente, en x = 3, [f (3) = (3) ^ {2} = 9 quad text {y} quad g (3) = 2 (3) + 3 = 9 ] tan claramente, (f (3) = g (3) ).
  •  
 
 

También podemos comparar valores de funciones en un valor particular de x examinando los gráficos de las funciones. Por ejemplo, considere las gráficas de dos funciones f y g en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
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Figura ( PageIndex {1} )
 

Luego, supongamos que dibujamos una línea vertical discontinua a través del punto de intersección de los gráficos de fyg, luego seleccionamos un valor de x que se encuentra a la izquierda de la línea vertical discontinua, como se muestra en la Figura ( Índice de página {2} ) (a). Debido a que la gráfica de f se encuentra por encima de la gráfica de g para todos los valores de x que se encuentran a la izquierda de la línea vertical discontinua, será el caso que (f (x)> g (x) ) para todos esos x (vea la Figura ( PageIndex {2} ) (a)).

 

Por otro lado, la gráfica de f se encuentra debajo de la gráfica de g para todos los valores de x que se encuentran a la derecha de la línea vertical discontinua. Por lo tanto, para todos esos x, será el caso que (f (x)  

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Figura ( PageIndex {2} ). Comparando f y g.
 

Finalmente, si seleccionamos el valor x del punto de intersección de las gráficas de f y g, entonces para este valor de x, es el caso de que f (x) y g (x) son iguales; es decir, (f (x) = g (x) ) (consulte la Figura ( PageIndex {3} )).

 
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Figura ( PageIndex {3} ). Los valores de la función f (x) y g (x) son iguales donde las gráficas de f y g se intersecan.
 

Resumamos nuestros hallazgos.

 
 

Resumen

 
         
  1. La solución de la ecuación f (x) = g (x) es el conjunto de todas las x para las cuales se cruzan las gráficas de f y g.
  2.      
  3. La solución de la desigualdad f (x)      
  4. La solución de la desigualdad f (x)> g (x) es el conjunto de todas las x para las cuales la gráfica de f se encuentra por encima de la gráfica de g.
  5.  
 
 

Veamos un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Dadas las gráficas de f y g en la Figura ( PageIndex {4} ) (a), use tanto el generador de conjuntos como la notación de intervalo para describir la solución de la desigualdad f (x) g (x) y la ecuación f (x) = g (x) de manera similar.

 

Solución

 

Para encontrar la solución de f (x)  

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Figura ( PageIndex {4} ). Comparando f y g.
 

Tenga en cuenta que los puntos sombreados en el eje x tienen valores x menores que 2. Por lo tanto, la solución de f (x)  

De la misma manera, la solución de f (x)> g (x) se encuentra observando dónde se encuentra la gráfica de f sobre la gráfica de g y sombreando los valores de x correspondientes en el eje x (ver Figura ( PageIndex {5} ) (a)). La solución de f (x)> g (x) es ((2, infty) ), o alternativamente, ( {x: x> 2 } ).

 

Para encontrar la solución de f (x) = g (x), observe dónde la gráfica de f se cruza con la gráfica de g, luego sombree el valor x de este punto de intersección en el eje x (vea la Figura ( PageIndex {5} ) (b)). Por lo tanto, la solución de f (x) = g (x) es ( {x: x = 2 } ). Esto no es un intervalo, por lo que no es apropiado describir esta solución con notación de intervalo.

 
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Figura ( PageIndex {5} ). Más comparaciones.
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Dadas las gráficas de f y g en la Figura ( PageIndex {6} ) (a), use tanto el generador de conjuntos como la notación de intervalo para describir la solución de la desigualdad f (x)> g (x). Luego encuentre las soluciones de la desigualdad f (x)  

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Figura ( PageIndex {6} ). Comparando f y g.
 

Solución

 

Para determinar la solución de f (x)> g (x), debemos ubicar donde la gráfica de f se encuentra por encima de la gráfica de g. Dibuje líneas verticales discontinuas a través de los puntos de intersección de las gráficas de f y g (vea la Figura ( PageIndex {6} ) (b)), luego observe que la gráfica de f se encuentra sobre la gráfica de g entre la vertical discontinua Líneas recién dibujadas. En consecuencia, la solución de la desigualdad f (x)> g (x) es la colección de todas las x que se encuentran entre las líneas verticales discontinuas. Hemos sombreado esta colección en el eje x en rojo (o con un estilo de línea más grueso para aquellos que ven en blanco y negro) en la Figura ( PageIndex {6} ) (b).

 

Tenga en cuenta que los puntos sombreados en el eje x en la Figura ( PageIndex {6} ) (b) tienen valores x entre −2 y 3. En consecuencia, la solución de f (x)> g (x ) es

 

[(- 2,3) = {x: -2  

De la misma manera, la solución de f (x)  

[(- infty, -2) cup (3, infty) = {x: x <-2 text {or} x> 3 } ]

 

Para encontrar la solución de f (x) = g (x), observe dónde la gráfica de f se cruza con la gráfica de g, y sombree el valor de x de cada punto de intersección en el eje x (vea la Figura ( PageIndex {7} ) (b)). Por lo tanto, la solución de f (x) = g (x) es ( {x: x = -2 ) o (x = 3 } ). Debido a que este conjunto de soluciones no es un intervalo, sería inapropiado describirlo con notación de intervalo.

 
 
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Figura ( PageIndex {7} ). Más comparaciones.
 

Resolver ecuaciones y desigualdades con la calculadora gráfica

 

Ahora sabemos que la solución de f (x) = g (x) es el conjunto de todas las x para las cuales se cruzan las gráficas de f y g. Por lo tanto, la calculadora gráfica se convierte en una herramienta indispensable para resolver ecuaciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Usa una calculadora gráfica para resolver la ecuación

 

[1.23 x-4.56 = 5.28-2.35 x qquad (6) ]

 

Solución

 

Tenga en cuenta que la ecuación (6) tiene la forma f (x) = g (x), donde

 

[f (x) = 1.23 x-4.56 quad text {y} quad g (x) = 5.28-2.35 x ]

 

Por lo tanto, nuestro enfoque será dibujar las gráficas de fyg, luego encontrar el valor de x del punto de intersección.

 

Primero, cargue f (x) = 1.23x – 4.56 en Y1 yg (x) = 5.28 – 2.35x en Y2 en el menú Y = de su calculadora gráfica (vea la Figura ( PageIndex {8} ) (una)). Seleccione 6: ZStandard en el menú ZOOM para producir los gráficos en la Figura ( PageIndex {8} ) (b).

 
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Figura ( PageIndex {8} ). Dibujar las gráficas de f (x) = 1.23x − 4.56 y g (x) = 5.28 – 2.35x.
 

La solución de la ecuación (6) es el valor x del punto de intersección de las gráficas de f y g en la Figura ( PageIndex {8} ) (b). Usaremos la utilidad de intersección en el menú CALC en la calculadora gráfica para determinar las coordenadas del punto de intersección.

 

Procedemos de la siguiente manera:

 
         
  • Seleccione 2nd CALC (presione el segundo botón, seguido del botón TRACE), que abre el menú que se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ) (a).
  •      
  • Seleccione 5: intersección. La calculadora responde colocando el cursor en uno de los gráficos, luego le pregunta si desea usar la curva seleccionada. Responde afirmativamente presionando la tecla ENTER en la calculadora.
  •      
  • La calculadora responde colocando el cursor en el segundo gráfico, luego le pregunta si desea usar la curva seleccionada. Responda afirmativamente presionando la tecla ENTER.
  •      
  • La calculadora responde pidiéndole que adivine. En este caso, solo hay dos gráficos en la calculadora, por lo que cualquier suposición es apropiada. 4 Simplemente presione la tecla ENTER para usar la posición actual del cursor como su suposición.
  •  
 
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Figura ( PageIndex {9} ). Usando la utilidad de intersección.
 

El resultado de esta secuencia de pasos se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ). Las coordenadas del punto de intersección son aproximadamente (2.7486034, −1.179218). El valor x de este punto de intersección es la solución de la ecuación (6). Es decir, la solución de (1.23x – 4.56 = 5.28 – 2.35x ) es aproximadamente (x aprox 2.7486034 ).

 
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Figura ( PageIndex {10} ). Las coordenadas del punto de intersección.
 
 
 

Resumen

 

Directrices.

 

Deberá analizar las expectativas con su maestro, pero esperamos que nuestros alumnos resuman sus resultados de la siguiente manera.

 

1. Configure un sistema de coordenadas.6 Etiquete y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax.

 

2. Copie la imagen en su ventana de visualización en su sistema de coordenadas. Rotula cada gráfica con su ecuación.

 

3. Dibuje una línea vertical discontinua a través del punto de intersección.

 

4. Sombrea y rotula la solución de la ecuación en el eje x.

 
 

El resultado de seguir este estándar se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ).

 
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Figura ( PageIndex {11} ). Resumiendo la solución de la ecuación (6).
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Utilice el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir la solución de la desigualdad

 

[0.85 x ^ {2} -3 geq 1.23 x + 1.25 qquad (9) ]

 

Solución

 

Tenga en cuenta que la desigualdad (9) tiene la forma (f (x) geq g (x) ), donde

 

[f (x) = 0.85 x ^ {2} -3 quad text {y} quad g (x) = 1.23 x + 1.25 ]

 

Cargue (f (x) = 0.85 x ^ {2} -3 ) y (g (x) = 1.23 x + 1.25 ) en Y1 e Y2 en el menú Y =, respectivamente, como se muestra en Figura ( PageIndex {12} ) (a). Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir los gráficos que se muestran en la Figura ( PageIndex {12} ) (b).

 

Para encontrar los puntos de intersección de las gráficas de fyg, seguimos la misma secuencia de pasos que hicimos en el Ejemplo ( PageIndex {4} ) hasta el punto donde la calculadora le pide que haga un adivinar (es decir, 2º CALC, 5: intersección, primera curva ENTRAR, segunda curva ENTRAR). Debido a que hay dos puntos de intersección, cuando la calculadora le pide que lo haga

 
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Figura ( PageIndex {12} ). Las gráficas de (f (x) = 0.85 x ^ {2} -3 ) y (g (x) = 1.23x + 1.25 ).
 

adivine, debe mover el cursor (con las teclas de flecha) para que esté más cerca del punto de intersección que desea encontrar que del otro punto de intersección. El uso de esta técnica produce los dos puntos de intersección encontrados en las Figuras ( PageIndex {13} ) (a) y (b).

 
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Figura ( PageIndex {13} ). Los puntos de intersección de las gráficas de f y g.
 

Las coordenadas aproximadas del primer punto de intersección son (−1.626682, −0.7508192). El segundo punto de intersección tiene coordenadas aproximadas (3.0737411, 5.0307015).

 

Es importante recordar que cada vez que recoge su calculadora, solo obtiene una aproximación. Es posible que obtenga un resultado ligeramente diferente para los puntos de intersección. Por ejemplo, puede obtener (−1.626685, −0.7508187) para su punto de intersección. Según la posición del cursor cuando marcó las curvas e hizo su suposición, puede obtener aproximaciones ligeramente diferentes. Tenga en cuenta que esta segunda solución es muy similar a la que encontramos, que difiere solo en los últimos decimales, y es perfectamente aceptable como respuesta.

 

Ahora resumimos nuestros resultados creando un sistema de coordenadas, etiquetando los ejes y escalando los ejes con los valores de los parámetros de ventana xmin, xmax, ymin e ymax. Copiamos la imagen en nuestra ventana de visualización en este sistema de coordenadas, etiquetando cada gráfico con su ecuación. Luego dibujamos líneas verticales discontinuas a través de cada punto de intersección, como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ).

 

Estamos resolviendo la desigualdad (0.85 x ^ {2} -3 geq 1.23 x + 1.25 ). La solución será la unión de las soluciones de (0.85 x ^ {2} -3> 1.23 x + 1.25 ) y (0.85 x ^ {2} -3 = 1.23 x + 1.25 ).

 
         
  • Para resolver (0.85 x ^ {2} -3> 1.23 x + 1.25 ), observamos dónde está la gráfica de (y = 0.85 x ^ {2} -3 ) sobre la gráfica de ( y = 1.23 x + 1.25 ) y sombrea los valores de x correspondientes
  •  
 
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Figura ( PageIndex {14} ). Resumiendo la solución de (0.85 x ^ {2} -3 geq 1.23 x + 1.25 ).
 

en el eje x. En este caso, la gráfica de (y = 0.85 x ^ {2} -3 ) se encuentra sobre la gráfica de (y = 1.23 x + 1.25 ) para los valores de x que se encuentran fuera de nuestras líneas verticales discontinuas.

 
         
  • Para resolver (0.85 x ^ {2} -3 = 1.23 x + 1.25 ), observamos dónde la gráfica de (y = 0.85 x ^ {2} -3 ) intersecta la gráfica de (y = 1.23x + 1.25 ) y sombree los valores de x correspondientes en el eje x. Es por eso que los puntos en (x approx-1.626682 ) y (x approx 3.0737411 ) están «rellenados».
  •  
 

Por lo tanto, todos los valores de x que son menores o iguales a -1.626682 o mayores o iguales a 3.0737411 son soluciones. Es decir, la solución de la desigualdad (0.85x ^ {2} – 3> 1.23x + 1.25 ) es aproximadamente

 

[(- infty, -1.626682] cup [3.0737411, infty) = {x: x leq-1.626682 text {or} x geq 3.0737411 } ]

 
 

Comparación de funciones con cero

 

Cuando evaluamos una función f en un valor particular de x, solo uno de los tres resultados es posible. Cualquiera

 

[f (x) = 0, quad text {o} quad f (x)> 0, quad text {o} quad f (x) <0 ]

 

Es decir, o f (x) es igual a cero, o f (x) es positivo, o f (x) es negativo. No hay otras posibilidades.

 

Podríamos comenzar de nuevo, adoptando un enfoque completamente nuevo, o podemos construir sobre lo que ya sabemos. Elegimos el último enfoque. Supongamos que se nos pide comparar f (x) con cero? ¿Es igual a cero, es mayor que cero o es menor que cero?

 

Establecemos g (x) = 0. Ahora, si queremos comparar la función f con cero, solo necesitamos comparar f con g, que ya sabemos cómo hacerlo. Para encontrar dónde f (x) = g (x), observamos dónde se intersecan las gráficas de f y g, para encontrar dónde f (x)> g (x), observamos dónde se encuentra la gráfica de f sobre la gráfica de g y, finalmente, para encontrar dónde f (x)  

Sin embargo, la gráfica de g (x) = 0 es una línea horizontal que coincide con el eje x. De hecho, g (x) = 0 es la ecuación del eje x. Este argumento lleva a los siguientes resultados clave.

 
 

resumen

 
         
  • La solución de f (x) = 0 es el conjunto de todas las x para las cuales la gráfica de f se cruza con el eje x.
  •      
  • La solución de f (x)> 0 es el conjunto de todas las x para las cuales la gráfica de f se encuentra estrictamente por encima del eje x.
  •      
  • La solución de f (x) <0 es el conjunto de todas las x para las cuales la gráfica de f se encuentra estrictamente debajo del eje x.
  •  
 
 

Por ejemplo:

 
         
  • Para encontrar la solución de f (x) = 0 en la Figura ( PageIndex {15} ) (a), simplemente observamos dónde la gráfica de f cruza el eje x en la Figura ( PageIndex {15 })(una). Por lo tanto, la solución de f (x) = 0 es x = 1.
  •      
  • Para encontrar la solución de f (x)> 0 en la Figura ( PageIndex {15} ) (b), simplemente observamos dónde se encuentra la gráfica de f sobre el eje x en la Figura ( PageIndex { 15} ) (b), que está a la derecha de la línea discontinua vertical a través de x = 1. Por lo tanto, la solución de f (x)> 0 es ((1, infty) = {x: x> 1 } ).
  •      
  • Para encontrar la solución de f (x) <0 en la Figura ( PageIndex {15} ) (c), simplemente observamos dónde está la gráfica de f debajo del eje x en la Figura ( PageIndex { 15} ) (c), que está a la izquierda de la línea discontinua vertical en x = 1. Por lo tanto, la solución de f (x) <0 es ((- infty, 1) = {x: x <1 } ).
  •  
 
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Figura ( PageIndex {15} ). Comparando la función f con cero.
 

A continuación definimos alguna terminología importante.

 
 

Definición

 

Si f (a) = 0, entonces a se llama cero de la función f. La gráfica de f interceptará el eje x en ((a, 0) ), un punto llamado intersección x de la gráfica de f.

 
 

Su calculadora tiene una utilidad que lo ayudará a encontrar los ceros de una función.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Usa una calculadora gráfica para resolver la desigualdad

 

[0.25 x ^ {2} -1.24 x-3.84 leq 0 ]

 

Solución

 

Tenga en cuenta que esta desigualdad tiene la forma (f (x) leq 0 ), donde (f (x) = 0.25 x ^ {2} -1.24 x-3.84 ). Nuestra estrategia será dibujar la gráfica de f, luego determinar dónde se encuentra la gráfica de f debajo o en el eje x.

 

Procedemos de la siguiente manera:

 
         
  • Primero, cargue la función f (x) = 0.25x 2 – 1.24x – 3.84 en el Y1 en el menú Y = de su calculadora. Seleccione 6: ZStandard en el menú ZOOM para producir la imagen en la Figura ( PageIndex {16} ) (a).
  •      
  • Presione 2nd CALC para abrir el menú que se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ) (b), luego seleccione 2: cero para iniciar la utilidad que encontrará un cero de la función (una intersección x del grafico).
  •      
  • La calculadora solicita un «Límite izquierdo», así que use las teclas de flecha para mover el cursor ligeramente a la izquierda de la intersección x más a la izquierda del gráfico, como se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ) ( C). Presione ENTER para grabar este «Límite izquierdo».
  •      
  • La calculadora luego pide un «Límite derecho», así que use las teclas de flecha para mover el cursor ligeramente a la derecha de la intersección con el eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ) (d). Presione ENTRAR para grabar este «Límite derecho».
  •  
 
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Figura ( PageIndex {16} ). Encontrar un cero o una intersección con la calculadora.
 
         
  • La calculadora responde marcando los límites izquierdo y derecho en la pantalla, como se muestra en la Figura ( PageIndex {17} ) (a), luego le pide que haga una suposición inicial razonable para la intersección cero o x. Puede usar las teclas de flecha para mover el cursor a cualquier punto, siempre y cuando el cursor permanezca entre las marcas izquierda y derecha en la ventana de visualización. Por lo general, simplemente dejamos el cursor donde está y presionamos ENTER para registrar esta suposición. Le sugerimos que haga eso también.
  •      
  • La calculadora responde encontrando las coordenadas de la intersección con el eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {17} ) (b). Tenga en cuenta que la coordenada x de la intersección x es aproximadamente −2.157931.
  •      
  • Repita el procedimiento para encontrar las coordenadas de la intersección x más a la derecha. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {17} ) (c). Tenga en cuenta que la coordenada x de la intersección es aproximadamente 7.1179306.
  •  
 

El paso final es la interpretación de los resultados y el registro de nuestra solución en nuestro trabajo de tarea. En referencia a las Pautas del Resumen 7, se nos ocurre el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {18} ).

 
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Figura ( PageIndex {17} ). Encontrar un cero o una intersección con la calculadora.
 
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Figura ( PageIndex {18} ). La solución de (0.25 x ^ {2} – 1.24 x-3,84 leq 0. ).
 

Varios comentarios están en orden. Observando que (f (x) = 0.25 x ^ {2} -1.24 x-3.84 ), notamos:

 
         
  1. Las soluciones de f (x) = 0 son los puntos donde la gráfica cruza el eje x. Es por eso que los puntos (−2.157931, 0) y (7.1179306, 0) están sombreados y rellenados en la Figura ( PageIndex {18} ).
  2.      
  3. Las soluciones de f (x) <0 son aquellos valores de x para los cuales la gráfica de f cae estrictamente por debajo del eje x. Esto ocurre para todos los valores de x entre −2.157931 y 7.1179306. Estos puntos también están sombreados en el eje x en la Figura ( PageIndex {18} ).
  4.      
  5. Finalmente, la solución de (f (x) leq 0 ) es la unión de estos dos sombreados, que describimos en notación de intervalo y generador de conjuntos de la siguiente manera:
  6.  
 

[[- 2.157931,7.1179306] = {x: -2.157931 leq x leq 7.1179306 } ]

 
 
]]>


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