2.4: Resolver una fórmula para una variable específica

2.4: Resolver una fórmula para una variable específica

Resolver una fórmula para una variable específica

 

Probablemente todos hemos trabajado con algunas fórmulas geométricas en nuestro estudio de las matemáticas. Las fórmulas se usan en muchos campos, es importante reconocer las fórmulas y poder manipularlas fácilmente.

 

A menudo es útil resolver una fórmula para una variable específica. Si necesita poner una fórmula en una hoja de cálculo, no es inusual tener que resolverla primero para una variable específica. Aislamos esa variable en un lado del signo igual con un coeficiente de una y todas las demás variables y constantes están en el otro lado del signo igual.

 

Las fórmulas geométricas a menudo también necesitan ser resueltas para otra variable. La fórmula (V = frac {1} {3} πr ^ 2h ) se usa para encontrar el volumen de un cono circular derecho cuando se le da el radio de la base y la altura. En el siguiente ejemplo, resolveremos esta fórmula para la altura.

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {1} )

 

Resuelve la fórmula (V = frac {1} {3} πr ^ 2h ) para h .

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Escribe la fórmula.
Elimina la fracción de la derecha.
Simplificar.
Divide ambos lados entre (πr ^ 2 ).
     

Ahora podríamos usar esta fórmula para encontrar la altura de un cono circular derecho cuando conocemos el volumen y el radio de la base, usando la fórmula (h = frac {3V} {πr ^ 2} ) .

     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {2} ):

 

Usa la fórmula (A = frac {1} {2} bh ) para resolver b .

 
     
Respuesta
     
     

(b = frac {2A} {h} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {3} ):

 

Usa la fórmula (A = frac {1} {2} bh ) para resolver h .

 
     
Respuesta
     
     

(h = frac {2A} {b} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

En las ciencias, a menudo necesitamos cambiar la temperatura de Fahrenheit a Celsius o viceversa. Si viaja a un país extranjero, es posible que desee cambiar la temperatura Celsius a la temperatura más familiar de Fahrenheit.

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {4} )

 

Resuelve la fórmula (C = frac {5} {9} (F − 32) ) para F .

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Escribe la fórmula.
Elimina la fracción de la derecha.
Simplificar.
Agregue 32 a ambos lados.
     

Ahora podemos usar la fórmula (F = frac {9} {5} C + 32 ) para encontrar la temperatura Fahrenheit cuando conocemos la temperatura Celsius.

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {5} ):

 

Resuelve la fórmula (F = frac {9} {5} C + 32 ) para C .

 
     
Respuesta
     
     

(C = frac {5} {9} (F − 32) )

     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {6} ):

 
 
 

Resuelve la fórmula (A = frac {1} {2} h (b + B) ) para b .

 
     
Respuesta
     
     

(b = frac {2A − Bh} {h} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

El siguiente ejemplo usa la fórmula para el área de superficie de un cilindro derecho.

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {7} )

 

Resuelve la fórmula (S = 2πr ^ 2 + 2πrh ) para (h ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {8} ):

 

Resuelve la fórmula (A = P + Prt ) para (t ).

 
     
Respuesta
     
     

(t = frac {A − P} {Pr} )

     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {9} ):

 

Resuelve la fórmula (A = P + Prt ) para (r ).

 
     
Respuesta
     
     

(r = frac {A − P} {Pt} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

A veces se nos puede dar una ecuación que se resuelve para (y ) y necesitamos resolverla para (x ), o viceversa. En el siguiente ejemplo, se nos da una ecuación con (x ) e (y ) en el mismo lado y la resolveremos para (y ).

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {10} )

 

Resuelve la fórmula (8x + 7y = 15 ) para (y ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {11} )

 

Resuelve la fórmula (4x + 7y = 9 ) para (y ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {9−4x} {7} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {12} )

 

Resuelve la fórmula (5x + 8y = 1 ) para (y ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {1−5x} {8} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Usar fórmulas para resolver aplicaciones de geometría

 

En este objetivo usaremos algunas fórmulas de geometría comunes. Adaptaremos nuestra estrategia de resolución de problemas para que podamos resolver aplicaciones de geometría. La fórmula de geometría nombrará las variables y nos dará la ecuación para resolver.

 

Además, dado que todas estas aplicaciones incluirán formas de algún tipo, a la mayoría de las personas les resulta útil dibujar una figura y etiquetarla con la información dada. Incluiremos esto en el primer paso de la estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

 
 

RESOLVER APLICACIONES DE GEOMETRÍA.

 
         
  1. Lea el problema y asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.
  2.      
  3. Identifica lo que estás buscando.
  4.      
  5. Nombre lo que estamos buscando al elegir una variable para representarlo. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
  6.      
  7. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
  8.      
  9. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
  10.      
  11. Verifique la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  12.      
  13. Responda la pregunta con una oración completa.
  14.  
 
 
 
 

Cuando resolvemos aplicaciones de geometría, a menudo tenemos que usar algunas de las propiedades de las figuras. Revisaremos esas propiedades según sea necesario.

 

El siguiente ejemplo involucra el área de un triángulo. El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Podemos escribir esto como (A = frac {1} {2} bh ), donde (b ) = longitud de la base y (h ) = altura.

 
 
 

The figure is a triangle with its height shown. Its base is b and its height is h. The formula for the area of the triangle is A is equal to one-half times b times h.

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {13} )

 

El área de una pintura triangular es (126 ) pulgadas cuadradas. La base es (18 ) pulgadas. ¿Cuál es la altura?

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. altura de un triángulo
Paso 3. Nombre.
Elija una variable para representarla. Sea (h = ) la altura.
Dibuje la figura y etiquétela con la información dada. Área = 126 pulgadas cuadradas
Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula apropiada. (A = frac {1} {2} bh )
Sustituir en la información dada. (126 = frac {1} {2} · 18 · h )
Paso 5. Resuelve la ecuación. (126 = 9h )
Divide ambos lados entre 9. (14 = h )
Paso 6. Verifique .                  

( begin {align *} A & = frac {1} {2} bh \ 126 & stackrel {?} {=} 12 · 18 · 14 \ 126 & = 126 ✓ end { alinear *} )

                 
Paso 7. Responda la pregunta. La altura del triángulo es (14 ) pulgadas.
     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {14} ):

 

El área de una ventana triangular de la iglesia es (90 ) metros cuadrados. La base de la ventana es (15 ) metros. ¿Cuál es la altura de la ventana?

 
     
Respuesta
     
     

La altura de la ventana es (12 ) metros.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {15} ):

 

Una puerta de tienda triangular tiene un área (15 ) pies cuadrados. La altura es de cinco pies. ¿Cuál es la longitud de la base?

 
     
Respuesta
     
     

La longitud de la base es (6 ) pies.

     
 
 
 
 
 

En el siguiente ejemplo, trabajaremos con un triángulo rectángulo . Para resolver la medida de cada ángulo, necesitamos usar dos propiedades triangulares. En cualquier triángulo, la suma de las medidas de los ángulos es (180 ° ). Podemos escribir esto como una fórmula: (m∠A + m∠B + m∠C = 180 ). Además, dado que el triángulo es un triángulo rectángulo, recordamos que un triángulo rectángulo tiene un ángulo (90 ° ).

 

Aquí, tendremos que definir un ángulo en términos de otro. Esperaremos a dibujar la figura hasta que escribamos expresiones para todos los ángulos que estamos buscando.

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {16} ):

 

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 40 grados más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. las medidas de los tres ángulos
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. ( begin {align *} text {Let} a ; & = ; mathrm {1 ^ {st} ; angle.} \ a + 40 & = mathrm {2 ^ {nd } ; angle} \ 90 & = mathrm {3 ^ {rd} ; angle ; (the ; right ; angle)} end {align *} )
Dibuje la figura y etiquétela con la información dada.
Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula apropiada.
Sustituir en la fórmula.
Paso 5. Resuelve la ecuación.
Paso 6. Verifique . ( begin {align *} 25 + 65 + 90 & stackrel {?} {=} 180 \ 180 & = 180 ✓ end {align *} )
Paso 7. Responda la pregunta. Los tres ángulos miden (25 °, ; 65 ° ) y (90 ° ).
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {17} ):

 

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 50 más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

 
     
Respuesta
     
     

Las medidas de los ángulos son (20 °, ; 70 ° ) y (90 ° ).

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {18} ):

 

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es (30 ) más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

 
     
Respuesta
     
     

Las medidas de los ángulos son (30 °, ; 60 ° ) y (90 ° ).

     
 
 
 
 
 

El siguiente ejemplo usa otra fórmula de geometría importante. El Teorema de Pitágoras dice cómo las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo se relacionan entre sí. Escribir la fórmula en cada ejercicio y decirlo en voz alta mientras lo escribe puede ayudarlo a memorizar el Teorema de Pitágoras.

 
 

EL TEOREMA PYTHAGOREAN

 

En cualquier triángulo rectángulo, donde a y b son ​​las longitudes de las patas, y c es la longitud de la hipotenusa, la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas son iguales al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

 

The figure is a right triangle with sides a and b, and a hypotenuse c. a squared plus b squared is equal to c squared. In a right triangle, the sum of the squares of the lengths of the two legs equals the square of the length of the hypotenuse.

 
 
 

Usaremos el teorema de Pitágoras en el siguiente ejemplo.

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {19} ):

 
 
 
 

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la otra pierna en

 
 
 
 
 

This figure is a right triangle with one leg that is 12 units and a hypotenuse that is 13 units.

 
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifica lo que estás buscando. la longitud de la pata del triángulo
Paso 3. Nombre.
Elija una variable para representarla. Sea (a ) = la pata del triángulo.
Lado de la etiqueta a .
Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula apropiada. Sustituir. ( begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 \ a ^ 2 + 12 ^ 2 & = 13 ^ 2 end {align *} )
Paso 5. Resuelve la ecuación. Aislar el término variable. Usa la definición de raíz cuadrada. Simplificar. ( begin {align *} a ^ 2 + 144 & = 169 \ a ^ 2 & = 25 \ a & = sqrt {25} \ a & = 5 end {align *} )
Paso 6. Verificar.                  

                 
Paso 7. Responda la pregunta. La longitud de la pierna es (5 ).
     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {20} ):

 

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna en la figura.

 

The figure is a right triangle with legs that are b units and 15 units, and a hypotenuse that is 17 units.

 
     
Respuesta
     
     

La longitud de la pierna es (8 ).

     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {21} ):

 

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna en la figura.

 

The figure is a right triangle with legs that are b units and 9 units, and a hypotenuse that is 15 units.

 
     
Respuesta
     
     

La longitud de la pierna es (12 ).

     
 
 
 
 
 

El siguiente ejemplo es sobre el perímetro de un rectángulo. Como el perímetro es solo la distancia alrededor del rectángulo, encontramos la suma de las longitudes de sus cuatro lados, la suma de dos longitudes y dos anchuras. Podemos escribir es como (P = 2L + 2W ) donde (L ) es la longitud y (W ) es el ancho. Para resolver el ejemplo, necesitaremos definir la longitud en términos del ancho.

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {22} ):

 

La longitud de un rectángulo es seis centímetros más que el doble del ancho. El perímetro es (96 ) centímetros. Encuentra el largo y el ancho.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {23} ):

 

La longitud de un rectángulo es siete más del doble del ancho. El perímetro es (110 ) pulgadas. Encuentra el largo y el ancho.

 
     
Respuesta
     
     

La longitud es (16 ) pulgadas y el ancho es (39 ) pulgadas.

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {24} ):

 

El ancho de un rectángulo es ocho yardas menos que el doble de su longitud. El perímetro es (86 ) yardas. Encuentra el largo y el ancho.

 
     
Respuesta
     
     

La longitud es (17 ) yardas y el ancho es (26 ) yardas.

     
 
 
 
 
 

El siguiente ejemplo es sobre el perímetro de un triángulo. Dado que el perímetro es solo la distancia alrededor del triángulo, encontramos la suma de las longitudes de sus tres lados. Podemos escribir esto como (P = a + b + c ), donde (a ), (b ) y (c ) son las longitudes de los lados.

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {25} ):

 

Un lado de un triángulo es tres pulgadas más que el primer lado. El tercer lado es dos pulgadas más que el doble del primero. El perímetro es (29 ) pulgadas. Encuentra la longitud de los tres lados del triángulo.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {26} ):

 

Un lado de un triángulo es siete pulgadas más que el primer lado. El tercer lado es cuatro pulgadas menos de tres veces el primero. El perímetro es (28 ) pulgadas. Encuentra la longitud de los tres lados del triángulo.

 
     
Respuesta
     
     

Las longitudes de los lados del triángulo son (5 ), (11 ) y (12 ) pulgadas.

     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {27} ):

 

Un lado de un triángulo es tres pies menos que el primer lado. El tercer lado mide cinco pies menos del doble que el primero. El perímetro es (20 ) pies. Encuentra la longitud de los tres lados del triángulo.

 
     
Respuesta
     
     

Las longitudes de los lados del triángulo son (4 ), (7 ) y (9 ) pies.

     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {28} ):

 

El perímetro de un campo de fútbol rectangular es (360 ) pies. El largo es (40 ) pies más que el ancho. Encuentra el largo y el ancho.

 

The figure is an illustration of rectangular soccer field.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifique lo que estamos buscando. la longitud y el ancho del campo de fútbol
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. El largo es 40 pies más que el ancho. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. Sea w = ancho. (w + 40 = ) longitud                  

                 
Paso 4. Traducir . Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala.                  

                 
Paso 5. Resuelve la ecuación.
Paso 6. Verificar. ( begin {align *} P & = 2L + 2W \ 360 & stackrel {?} {=} 2 (110) +2 (70) \ 360 & = 360 ✓ end {align * } )
Paso 7. Responda la pregunta. La longitud del campo de fútbol es (110 ) pies y el ancho es (70 ) pies.
     
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {29} ):

 

El perímetro de una piscina rectangular es de (200 ) pies. El largo es (40 ) pies más que el ancho. Encuentra el largo y el ancho.

 
     
Respuesta
     
     

La longitud de la piscina es de (70 ) pies y el ancho es de (30 ) pies.

     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {30} ):

 

La longitud de un jardín rectangular es (30 ) yardas más que el ancho. El perímetro es (300 ) yardas. Encuentra el largo y el ancho.

 
     
Respuesta
     
     

La longitud del jardín es (90 ) yardas y el ancho es (60 ) yardas.

     
 
 
 
 
 
 

Las aplicaciones de estas propiedades geométricas se pueden encontrar en muchas situaciones cotidianas como se muestra en el siguiente ejemplo.

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {31} ):

 
 
 
 
 
 
 
 

Kelvin está construyendo una glorieta y quiere apuntalar cada esquina colocando una pieza de madera de 10 ”en diagonal como se muestra.

 The figure is an illustration of a gazebo whose corner forms a right triangle with a 10 inch piece of wood that is placed diagonally to brace it.  

¿A qué distancia de la esquina debe sujetar la madera si quiere que las distancias desde la esquina sean iguales? Aproximadamente a la décima de pulgada más cercana.

 
 
 
 
 
 
 
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifique lo que estamos buscando. la distancia desde la esquina a la que se debe fijar el soporte
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. Sea (x = ) la distancia desde la esquina.                  

                 
Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula adecuada y sustitúyala. (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ) (x ^ 2 + x ^ 2 = 10 ^ 2 )
Paso 5. Resuelve la ecuación.                  

Aislar la variable.

                Usa la definición de raíz cuadrada.                  

Simplificar. Aproximada a la décima más cercana.

                 
                 

( begin {align *} 2x ^ 2 & = 100 \ \ x ^ 2 & = 50 \ \ x & = sqrt {50} \ \ x & ≈7.1 end { alinear *} )

                 
Paso 6. Verificar.                  

( begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 \ (7.1) ^ 2 + (7.1) ^ 2 & ≈10 ^ 2 ; ; ; ; ; text {Sí.} end {align *} )

                 
Paso 7. Responda la pregunta. Kelvin debe sujetar cada pieza de madera aproximadamente 7.1 «desde la esquina.
     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {32} ):

 

John coloca la base de una escalera de (13 ) pies a cinco pies de la pared de su casa como se muestra en la figura. ¿Qué tan lejos alcanza la escalera la pared?

 

The figure is an illustration that shows a ladder placed against the wall of a house. The ladder forms a right triangle with the side of the house. The ladder is 13 feet long and the base of the ladder is 5 feet from the wall of the house.

 
     
Respuesta
     
     

La escalera alcanza (12 ) pies.

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {33} ):

 

Randy quiere colocar una cadena de luces de (17 ) pies en la parte superior del mástil de (15 ) pies de su velero, como se muestra en la figura. ¿A qué distancia de la base del mástil debe unir el extremo de la cuerda ligera?

 

The figure is an illustration of a sailboat that has a 15 foot mast. A string of lights that are 17 feet long are placed diagonally from the top of the mast.

 
     
Respuesta
     
     

Debe colocar las luces (8 ) pies desde la base del mástil.

     
 
 
 
 
 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica para resolver una variable en ecuaciones literales.

 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Cómo resolver aplicaciones de geometría      
               
    1. Lea el problema y asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.
    2.          
    3. Identifica lo que estás buscando.
    4.          
    5. Nombre lo que está buscando al elegir una variable para representarlo. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
    6.          
    7. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
    8.          
    9. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    10.          
    11. Verifique la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    12.          
    13. Responda la pregunta con una oración completa.
    14.      
         
  •      
  • El teorema de Pitágoras      
               
    • En cualquier triángulo rectángulo, donde a y b son ​​las longitudes de las patas, y c es la longitud de la hipotenusa, la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas son iguales al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
    •      
         
  •  
 

The figure is a right triangle with sides a and b, and a hypotenuse c with the formula, a squared plus b squared is equal to c squared.

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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