2.4: Usar una estrategia general para resolver ecuaciones lineales

2.4: Usar una estrategia general para resolver ecuaciones lineales

Resolver ecuaciones usando la estrategia general

 

Hasta ahora hemos tratado de resolver una forma específica de una ecuación lineal. Es hora de establecer una estrategia general que pueda usarse para resolver cualquier ecuación lineal. Algunas ecuaciones que resolvemos no requerirán todos estos pasos para resolver, pero muchas sí.

 

Comenzar simplificando cada lado de la ecuación facilita los pasos restantes.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resolver: (5 (x + 3) = 35 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resolver: (6 (y – 4) = -18 )

 
     
Respuesta
     
     

(y = 1 )

     
 
 
 
 

ESTRATEGIA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES.

 
         
  1. Simplifique cada lado de la ecuación tanto como sea posible.
    Use la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.
    Combina términos similares.
  2.      
  3. Recoge todos los términos variables en un lado de la ecuación.
    Use la propiedad de igualdad de suma o resta.
  4.      
  5. Recoge todos los términos constantes en el otro lado de la ecuación.
    Use la propiedad de igualdad de suma o resta.
  6.      
  7. Haga que el coeficiente del término variable sea igual a 1.
    Use la propiedad de igualdad de multiplicación o división.
    Indique la solución a la ecuación.
  8.      
  9. Verifique la solución. Sustituye la solución en la ecuación original para asegurarte de que el resultado sea una declaración verdadera.
  10.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resolver: (- (y + 9) = 8 )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resolver: (- (y + 8) = -2 )

 
     
Respuesta
     
     

(y = -6 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resolver: (- (z + 4) = -12 )

 
     
Respuesta
     
     

(z = 8 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resolver: (5 (a – 3) + 5 = -10 )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resolver: (2 (m – 4) + 3 = -1 )

 
     
Respuesta
     
     

(m = 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resolver: (7 (n – 3) – 8 = -15 )

 
     
Respuesta
     
     

(n = 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resolver: ( frac {2} {3} (6m – 3) = 8 – m )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resolver: ( frac {1} {3} (6u + 3) = 7 – u )

 
     
Respuesta
     
     

(u = 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resolver: ( frac {2} {3} (9x – 12) = 8 + 2x )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resolver: (8 – 2 (3y + 5) = 0 )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resolver: (12 – 3 (4j + 3) = -17 )

 
     
Respuesta
     
     

(j = frac {5} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Resolver: (- 6 – 8 (k – 2) = -10 )

 
     
Respuesta
     
     

(k = frac {5} {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Resolver: (4 (x – 1) -2 = 5 (2x + 3) +6 )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Resolver: (6 (p-3) -7 = 5 (4p + 3) -12 )

 
     
Respuesta
     
     

(p = -2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Resolver: (8 (q +1) -5 = 3 (2q-4) -1 )

 
     
Respuesta
     
     

(q = -8 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Resolver: (10 ​​[3 – 8 (2s-5)] = 15 (40 – 5s) )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Resuelve: (6 [4−2 (7y − 1)] = 8 (13−8y) ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {17} {5} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Resuelve: (12 [1−5 (4z − 1)] = 3 (24 + 11z) ).

 
     
Respuesta
     
     

(z = 0 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Resuelva: (0.36 (100n + 5) = 0.6 (30n + 15) ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Resuelva: (0.55 (100n + 8) = 0.6 (85n + 14) ).

 
     
Respuesta
     
     

(n = 1 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Resuelva: (0.15 (40m − 120) = 0.5 (60m + 12) ).

 
     
Respuesta
     
     

(m = -1 )

     
 
 
 

Clasificar ecuaciones

 

Considera la ecuación que resolvimos al comienzo de la última sección, 7x + 8 = −13. La solución que encontramos fue x = −3. Esto significa que la ecuación 7x + 8 = −13 es verdadera cuando reemplazamos la variable, x , con el valor −3. Mostramos esto cuando verificamos la solución x = −3 y evaluamos 7x + 8 = −13 para x = −3.

 

This figure shows why we can say the equation 7x plus 8 equals negative 13 is true when the variable x is replaced with the value negative 3. The first line shows the equation with negative 3 substituted in for x: 7 times negative 3 plus 8 might equal negative 13. Below this is the equation negative 21 plus 8 might equal negative 13. Below this is the equation negative 13 equals negative 13, with a check mark next to it.

 

Si evaluamos 7x + 8 para un valor diferente de x , el lado izquierdo no será −13.

 

La ecuación 7x + 8 = −13 es verdadera cuando reemplazamos la variable, x , con el valor −3, pero no es verdadera cuando reemplazamos x con cualquier otro valor . Si la ecuación 7x + 8 = −13 es verdadera o no depende del valor de la variable. Las ecuaciones como esta se llaman ecuaciones condicionales.

 

Todas las ecuaciones que hemos resuelto hasta ahora son ecuaciones condicionales.

 
 

ECUACIÓN CONDICIONAL

 

Una ecuación que es verdadera para uno o más valores de la variable y falsa para todos los demás valores de la variable es una ecuación condicional .

 
 

Ahora consideremos la ecuación 2y + 6 = 2 (y + 3). ¿Reconoce que el lado izquierdo y el lado derecho son equivalentes? Veamos qué sucede cuando resolvemos para y .

                                                                                                                                                                                                              
.
Distribuir. .
Resta 2y para llevar las y a un lado. .
Simplifica: ¡ya no están! .
 

Pero 6 = 6 es cierto.

 

Esto significa que la ecuación 2y + 6 = 2 (y + 3) es verdadera para cualquier valor de y . Decimos que la solución a la ecuación son todos los números reales. Una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable como esta se llama identidad .

 
 
 

IDENTIDAD

 
 

Una ecuación que es verdadera para cualquier valor de la variable se llama identidad ]

 

La solución de una identidad son todos los números reales.

 
 
 

¿Qué sucede cuando resolvemos la ecuación 5z = 5z − 1?

 
                                                                                                                                                              
.
Resta 5z para obtener la constante sola a la derecha. .
Simplifica: ¡las z se han ido! .
 

Pero (0 neq −1 ).

 

Resolver la ecuación 5z = 5z − 1 condujo a la afirmación falsa 0 = −1. La ecuación 5z = 5z − 1 no será verdadera para ningún valor de z. No tiene solucion. Una ecuación que no tiene solución, o que es falsa para todos los valores de la variable, se llama contradicción .

 
 
 

CONTRADICCIÓN

 

Una ecuación que es falsa para todos los valores de la variable se llama contradicción .

 

Una contradicción no tiene solución.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción. Luego indique la solución.

 

(6 (2n − 1) + 3 = 2n − 8 + 5 (2n + 1) )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego establezca la solución:

 

(4 + 9 (3x − 7) = – 42x − 13 + 23 (3x − 2) )

 
     
Respuesta
     
     

identidad; todos los números reales

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego establezca la solución:

 

(8 (1−3x) +15 (2x + 7) = 2 (x + 50) +4 (x + 3) +1 )

 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

identidad; todos los números reales

     
     
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Clasifíquelo como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción. Luego indique la solución.

 

(10 ​​+ 4 (p − 5) = 0 )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego establezca la solución: (11 (q + 3) −5 = 19 )

 
     
Respuesta
     
     

ecuación condicional; (q = frac {9} {11}

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego establezca la solución: (6 + 14 (k − 8) = 95 )

 
     
Respuesta
     
     

ecuación condicional; (k = frac {193} {14} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción. Luego indique la solución.

 

(5m + 3 (9 + 3m) = 2 (7m − 11) )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego establezca la solución:

 

(12c + 5 (5 + 3c) = 3 (9c − 4) )

 
     
Respuesta
     
     

contradicción; sin solución

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Clasifique la ecuación como una ecuación condicional, una identidad o una contradicción y luego establezca la solución:

 

(4 (7d + 18) = 13 (3d − 2) −11d )

 
     
Respuesta
     
     

contradicción; sin solución

     
 
 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tipo de ecuación ¿Qué sucede cuando lo resuelves? Solución
Ecuación condicional Verdadero para uno o más valores de las variables y falso para todos los demás valores Uno o más valores
Identidad Verdadero para cualquier valor de la variable Todos los números reales
Contradicción Falso para todos los valores de la variable Sin solución
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Estrategia general para resolver ecuaciones lineales      
               
    1. Simplifica cada lado de la ecuación tanto como sea posible.
      Use la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.
      Combina términos similares.
    2.          
    3. Recoge todos los términos variables en un lado de la ecuación.
      Utilice la propiedad de igualdad de suma o resta.
    4.          
    5. Recoge todos los términos constantes del otro lado de la ecuación.
      Utilice la propiedad de igualdad de suma o resta.
    6.          
    7. Haga que el coeficiente del término variable sea igual a 1.
      Use la propiedad de igualdad de multiplicación o división.
      Indique la solución a la ecuación.
    8.          
    9. Verifique la solución.
      Sustituye la solución en la ecuación original.
    10.      
         
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