2.5: Aplicaciones

2.5: Aplicaciones

                 

La solución de un problema de palabras debe incorporar cada uno de los siguientes pasos.

 
 

Requisitos para soluciones de problemas de Word

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables. Debe informar a sus lectores qué representa cada variable en su problema. Esto se puede lograr de varias maneras:      
               
    • Declaraciones como «Let (P ) representan el perímetro del rectángulo».
    •          
    • Etiquetado de valores desconocidos con variables en una tabla.
    •          
    • Etiquetado de cantidades desconocidas en un boceto o diagrama.
    •      
         
  2.      
  3. Establezca una ecuación. Cada solución a un problema verbal debe incluir una ecuación cuidadosamente elaborada que describa con precisión las restricciones en la declaración del problema.
  4.      
  5. Resuelve la ecuación. Siempre debe resolver la ecuación establecida en el paso anterior.
  6.      
  7. Responde la pregunta. Este paso se pasa por alto fácilmente. Por ejemplo, el problema podría preguntar la edad de Jane, pero la solución de su ecuación da la edad de la hermana de Jane, Liz. Asegúrese de responder la pregunta original que se hizo en el problema. Su solución debe estar escrita en una oración con las unidades apropiadas.
  8.      
  9. Mira hacia atrás. Es importante tener en cuenta que este paso no implica que simplemente deba verificar su solución en su ecuación. Después de todo, es posible que su ecuación modele incorrectamente la situación del problema, por lo que podría tener una solución válida para una ecuación incorrecta. La pregunta importante es: «¿Tiene sentido su respuesta con base en las palabras en la declaración original del problema».
  10.  
 
 

Hagamos una prueba de manejo de estos requisitos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Tres veces más de cinco veces un cierto número es (- 62 ). Encuentra el número.

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Deje que (x ) represente el número desconocido.
  2.      
  3. Establezca una ecuación . “Tres veces más de cinco veces un cierto número es (- 62 )” se convierte en:
  4.  
 

fig 2.5.1a.png

 
         
  1. Resuelve la ecuación . Para resolver (x ), primero reste (3 ) de ambos lados de la ecuación. [ Begin {alineado} 3 + 5 x & = -62 quad color {Rojo} text {Ecuación original . } \ 3 + 5 x-3 & = -62-3 quad color {Rojo} text {Restar} 3 text {de ambos lados. } \ 5x & = -65 quad color {Rojo} text {Simplificar. } \ dfrac {5 x} {5} & = dfrac {-65} {5} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 5 \ x & = -13 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
  2.      
  3. Responda la pregunta . El número desconocido es (- 13 ).
  4.      
  5. Mira hacia atrás . Calcule «tres más de cinco veces (- 13 )». [ begin {alineado} 3 + 5 (-13) & = 3 + (- 65) \ & = – 62 end {alineado} nonumber ] Por lo tanto, tres más de cinco veces (- 13 ) es (- 62 ), según sea necesario. Nuestra solución es la correcta.
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

(27 ) más de (5 ) veces un cierto número es (- 148 ). ¿Cual es el número?

 
     
Respuesta
     
     

(- 35 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

La suma de tres enteros consecutivos es (- 66 ). Encuentra el más pequeño de estos tres enteros.

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Deje que (k ) represente el menor de tres enteros consecutivos.
  2.      
  3. Configurar una ecuación . Un ejemplo de tres enteros consecutivos es (34 ), (35 ) y (36 ). Estos no son los enteros que buscamos, pero sirven para ayudarnos a comprender el problema. Observe cómo cada entero consecutivo es uno más grande que el entero anterior. Si (k ) es el menor de tres enteros consecutivos, entonces los siguientes dos enteros consecutivos son (k +1 ) y (k +2 ). La «suma de tres enteros consecutivos es (- 66 )» se convierte en:
  4.  
 

fig 2.5.1b.png

 
         
  1. Resuelve la ecuación . Para resolver (k ), primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. [ begin {alineado} k + (k + 1) + (k + 2) & = – 66 quad color {Red} text {Ecuación original. } \ 3k + 3 & = – 66 quad color {Rojo} text {Combinar términos similares. } \ 3k + 3-3 & = – 66-3 quad color {Rojo} text {Restar} 3 text {de ambos lados.} \ 3k & = – 69 quad color {Rojo} texto {Simplificar. } \ dfrac {3k} {3} & = dfrac {-69} {3} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 3. \ k & = – 23 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
  2.      
  3. Responda la pregunta . El menor de tres enteros consecutivos es (- 23 ).
  4.      
  5. Mira hacia atrás. Si (k = -23 ) es el menor de tres enteros consecutivos, entonces los siguientes dos enteros consecutivos son (- 22 ) y (- 21 ). Verifiquemos la suma de estos tres enteros consecutivos. [- 23 + (- 22) + (- 21) = – 66 nonumber ] Por lo tanto, la suma de los tres enteros consecutivos es (- 66 ), según sea necesario. Nuestra solución es correcta
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

La suma de tres enteros impares consecutivos es (- 225 ). ¿Qué son los enteros?

 
     
Respuesta
     
     

(- 77, -75, -73 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Un carpintero corta una tabla que mide (60 ) pulgadas en tres piezas. La segunda pieza es dos veces más larga que la primera, y la tercera pieza es tres veces más larga que la primera pieza. Encuentra la longitud de cada pieza cortada por el carpintero.

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Deje que (L ) represente la longitud de la primera pieza. Entonces la segunda pieza, que es dos veces más larga que la primera, tiene una longitud (2L ). La tercera pieza, que es tres veces más larga que la primera, tiene una longitud (3L ). Construyamos una pequeña tabla para ayudar a resumir la información proporcionada en este problema.
  2.  
                                                                                                                                                                                                                                                                           
Pieza Longitud (pulgadas)
Primera pieza L
Segunda pieza 2L
Tercera pieza 3L
Longitud total 60
 
         
  1. Configurar una ecuación . Como puede ver en la tabla anterior, la segunda columna muestra que la suma de las tres piezas es (60 ) pulgadas. En símbolos: [L + 2 L + 3 L = 60 nonumber ]
  2.      
  3. Resuelve la ecuación . Para resolver (L ), primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. [ begin {alineado} L + 2 L + 3 L & = 60 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 6L & = 60 quad color {Rojo} text {Combinar términos similares. } \ dfrac {6L} {6} & = dfrac {60} {6} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 6 \ L & = 10 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
  4.      
  5. Responda la pregunta . La primera pieza tiene una longitud L = 10 pulgadas. La segunda pieza tiene una longitud de 2L = 20 pulgadas. La tercera pieza tiene una longitud de 3L = 30 pulgadas. En forma tabular, esto es aún más evidente.
  6.  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Pieza Longitud (pulgadas) Longitud (pulgadas)
Primera pieza L 10
Segunda pieza 2L 20
Tercera pieza 3L 30
Longitud total 60 60
 
         
  1. Mira hacia atrás . No solo es la segunda longitud dos veces la primera y la tercera longitud tres veces la primera, verifique la suma de sus longitudes: [10 + 20 + 30 = 60 nonumber ] Eso es un total de (60 ) pulgadas. Tenemos la solución correcta
  2.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Han corta un tablero que mide (230 ) pulgadas en tres piezas. La segunda pieza es dos veces más larga que la primera , y la tercera pieza es (30 ) pulgadas más larga que la segunda pieza. Encuentra la longitud de cada pieza cortada por Han.

 
     
Respuesta
     
     

(40,80,110 ) en

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Los tres lados de un triángulo son enteros pares consecutivos. Si el perímetro (suma de los tres lados) del triángulo es (156 ) centímetros, encuentre la longitud de cada lado del triángulo.

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Un ejemplo de tres enteros pares consecutivos es (18 ), (20 ) y (22 ). Estos no son los enteros que buscamos, pero sí nos dan una idea del significado de tres enteros pares consecutivos. Tenga en cuenta que cada entero par consecutivo es dos veces más grande que el entero anterior. Por lo tanto, si (k ) es la longitud del primer lado del triángulo, entonces los siguientes dos lados son (k + 2 ) y (k + 4 ). En este ejemplo, nuestro diccionario variable tomará la forma de una figura bien etiquetada.
  2.  
 

fig 2.5.1c.png

 
         
  1. Configurar una ecuación . El perímetro del triángulo es la suma de los tres lados. Si el perímetro es (156 ) centímetros, entonces: [k + (k + 2) + (k + 4) = 156 nonumber ]
  2.      
  3. Resuelve la ecuación . Para resolver k, primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. [ begin {alineado} k + (k + 2) + (k + 4) & = 156 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 3k + 6 & = 156 quad color {Rojo} text {Combinar términos similares. } \ 3k + 6-6 & = 156-6 quad color {Rojo} text {Restar} 6 text {de ambos lados.} \ 3k & = 150 quad color {Rojo} text { Simplificar. } \ dfrac {3k} {3} & = dfrac {150} {3} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 3. \ k & = 50 quad color {Rojo } text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
  4.      
  5. Responda la pregunta . Por lo tanto, el primer lado tiene una longitud (50 ) centímetros. Debido a que los siguientes dos enteros pares consecutivos son (k + 2 = 52 ) y (k + 4 = 54 ), los tres lados del triángulo miden (50 ), (52 ) y ( 54 ) centímetros, respectivamente.
  6.      
  7. Mira hacia atrás . Una imagen ayuda a nuestra comprensión. Los tres lados son enteros pares consecutivos.
  8.  
 

fig 2.5.1d.png

 

Tenga en cuenta que el perímetro (suma de los tres lados) es: [50 mathrm {cm} +52 mathrm {cm} +54 mathrm {cm} = 156 mathrm {cm} nonumber ] Así , el perímetro es (156 ) centímetros, como debería ser. Nuestra solución es la correcta.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Los tres lados de un triángulo son enteros consecutivos. Si el perímetro (suma de los tres lados) del triángulo es (453 ) centímetros, encuentre la longitud de cada lado del triángulo.

 
     
Respuesta
     
     

(150,151,152 ) cm

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Un hecho bien conocido de la geometría es el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es (180 ^ { circ} ) . Supongamos que tenemos un triángulo cuyo segundo ángulo es (10 ​​) grados mayor que el doble de su primer ángulo y cuyo tercer ángulo es (50 ) grados mayor que su primer ángulo. Encuentra la medida de cada ángulo del triángulo.

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . El alfabeto griego comienza con las letras ( alpha, beta, gamma, delta, epsilon, ldots, ) de la misma manera que el alfabeto inglés comienza con las letras (a, b, c, d, e, ldots ) ​​A los matemáticos les encanta usar letras griegas, especialmente en el estudio de la trigonometría. La letra griega ( theta ) (pronunciada «theta») es particularmente favorecida en la representación de un ángulo de un triángulo. Entonces, dejaremos que ( theta ) represente la medida en grados del primer ángulo del triángulo. El segundo ángulo es (10 ​​) grados mayor que el doble del primer ángulo, por lo que el segundo ángulo es (2 theta + 10 ). El tercer ángulo es (50 ) grados más grande que el primer ángulo, por lo que el tercer ángulo es ( theta + 50 ). Nuevamente, configuraremos una figura bien etiquetada para nuestro diccionario variable.
  2.  
 

fig 2.5.1e.png

 
         
  1. Configurar una ecuación . La suma de los ángulos es (180 ^ { circ} ), entonces: [ theta + (2 theta + 10) + ( theta + 50) = 180 nonumber ]
  2.      
  3. Resuelve la ecuación . Para resolver ( theta ), primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. [ Begin {alineado} theta + (2 theta + 10) + ( theta + 50) & = 180 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 4 theta + 60 & = 180 quad color {Rojo} text {Combinar términos similares. } \ 4 theta + 60-60 & = 180-60 quad color {Rojo} text {Restar} 60 text {de ambos lados.} \ 4 theta & = 120 quad color {Rojo } text {Simplificar. } \ dfrac {4 theta} {4} & = dfrac {120} {4} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 4. \ theta & = 30 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
  4.      
  5. Responda la pregunta . Por lo tanto, el primer ángulo es ( theta = 30 ) grados, el segundo ángulo es (2 theta + 10 = 70 ) grados, y el tercer ángulo es ( theta + 50 = 80 ) grados.
  6.      
  7. Mira hacia atrás . Una imagen ayuda a nuestra comprensión. Tenga en cuenta que el segundo ángulo es 10 grados mayor que el doble del primer ángulo. Tenga en cuenta que el tercer ángulo es (50 ) grados mayor que el primer ángulo.
  8.  
 

fig 2.5.1f.png

 

Tenga en cuenta que la suma de los ángulos es: [30 ^ { circ} +70 ^ { circ} +80 ^ { circ} = 180 ^ { circ} nonumber ] Por lo tanto, la suma de los tres ángulos son 180 grados, como debería ser. Tenemos la solución correcta

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

El segundo ángulo de un triángulo es tres veces más grande que el primer ángulo . El tercer ángulo del triángulo es (40 ) grados mayor que el segundo ángulo. ¿Cuántos grados hay en cada ángulo?

 
     
Respuesta
     
     

(20 ^ { circ}, 60 ^ { circ}, 100 ^ { circ} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Martha hereda ( $ 21,000 ) y decide invertir el dinero en tres cuentas separadas. La cantidad que invierte en la segunda cuenta es el doble de la cantidad que invierte en la primera cuenta. La cantidad que invierte en la tercera cuenta es ( $ 1,000 ) más que la cantidad que invierte en la segunda cuenta. ¿Cuánto invirtió en cada cuenta?

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Utilizaremos una tabla en este ejemplo para ayudar a configurar nuestro diccionario variable. Sea (x ) la cantidad invertida en la primera cuenta. El monto invertido en la segunda cuenta es el doble del invertido en la primera cuenta, entonces (2x ) es el monto invertido en la segunda cuenta. La inversión de la tercera cuenta es ( $ 1,000 ) más que la cantidad invertida en la segunda cuenta, por lo que es (2x + 1000 ).
  2.  
                                                                                                                                                                                                                                                                           
Cuenta # Cantidad invertida
Cuenta # 1 x
Cuenta # 2 2x
Cuenta # 3 2x + 1000
Total invertido 21000
 
         
  1. Configurar una ecuación . La segunda columna de la tabla revela la ecuación requerida. Las tres inversiones deben sumar ( $ 21,000 ). [X + 2 x + (2 x + 1000) = 21000 nonumber ]
  2.      
  3. Resuelve la ecuación . Para resolver (x ), primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. [ Begin {alineado} x + 2 x + (2 x + 1000) & = 21000 quad color {Rojo { } text {Ecuación original. } \ 5 x + 1000 & = 21000 quad color {Rojo} text {Combinar términos similares. } \ 5 x + 1000-1000 & = 21000-1000 quad color {Red} text {Restar} 1000 text {de ambos lados.} \ 5 x & = 20000 quad color {Red} texto {Simplificar. } \ dfrac {5 x} {5} & = dfrac {20000} {5} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 5. \ x & = 4000 quad color { Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
  4.      
  5. Responda la pregunta . Sustituya (x = 4000 ) en cada entrada de la segunda columna de la tabla de arriba para producir los resultados en la tabla de abajo.
  6.  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Cuenta # Cantidad invertida Cantidad invertida
Cuenta # 1 x $ 4,000
Cuenta # 2 2x $ 8,000
Cuenta # 3 2x + 1000 $ 9,000
Total invertido 21000 $ 21,000
 
         
  1. Mira hacia atrás. Como podemos ver en nuestra tabla de respuestas, el monto invertido ( $ 8,000 ) en la segunda cuenta es el doble del monto invertido en la primera cuenta. La cantidad ( $ 9,000 ) invertida en la tercera cuenta es ( $ 1,000 ) más que la cantidad invertida en la segunda cuenta. Además, la inversión total es: [ $ 4,000 + $ 8,000 + $ 9,000 = $ 21,000 nonumber ] Por lo tanto, la inversión total es ( $ 21,000 ), como debería ser. Tenemos la solución correcta
  2.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Jim hereda ( $ 15,000 ). Invierte parte en un fondo que paga (5 % ) por año y el resto en un fondo que paga (4 % ) por año. Al final de un año, el interés combinado de ambas inversiones fue de ( $ 4,250 ). ¿Cuánto invirtió en cada fondo?

 
     
Respuesta
     
     

( $ 5,000 ) en (5 % ) y ( $ 10,000 ) en (4 % ).

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Je ff está caminando por el sendero de la cresta del Pacífico (2,650 ) millas desde México a Canadá. Poco antes de cruzar de Oregon a Washington, está cuatro veces más lejos del comienzo del sendero que del final. ¿Cuánto más tiene que caminar?

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word.

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Deje que (d ) represente la distancia que le queda a Je ff para caminar. Debido a que Je ff está cuatro veces más alejado del comienzo del recorrido que del final, la distancia que Je ff ya completó es (4d ). Construyamos una pequeña tabla para ayudar a resumir la información proporcionada en este problema.
  2.  
                                                                                                                                                                                                                           
Sección del sendero Distancia (mi)
Distancia a terminar d
Distancia desde el inicio 4d
Distancia total 2650
 
         
  1. Configurar una ecuación . Como puede ver en la tabla anterior, la segunda columna muestra que la suma de las dos distancias es (2650 ) millas. En símbolos: [d + 4 d = 2650 nonumber
  2.      
  3. Resuelve la ecuación . Para resolver (d ), primero simplifique el lado izquierdo de la ecuación combinando términos similares. [ begin {alineado} d + 4d & = 2650 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 5d & = 2650 quad color {Red} text {Combinar términos similares. } \ dfrac {5d} {5} & = dfrac {2650} {5} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 5 \ d & = 530 quad color {Red} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
  4.      
  5. Responda la pregunta . Je ff todavía tiene (530 ) millas para caminar.
  6.      
  7. Mira hacia atrás . Debido a que la cantidad que queda por caminar es (d = 530 ) millas, la distancia de Je ‘desde el comienzo del sendero es (4d = 4 (530) ), o (2,120 ) millas. Si organizamos estos resultados en forma de tabla, es evidente que no solo la distancia desde el inicio del recorrido es cuatro veces mayor que la distancia que queda hasta el final, sino que también la suma de sus longitudes es igual a la longitud total de la ruta. sendero.
  8.  
                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Sección del sendero Distancia (mi) Distancia (mi)
Distancia a terminar d 530
Distancia desde el inicio 4d 2120
Distancia total 2650 2650
 

Por lo tanto, tenemos la solución correcta.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Margaret está pedaleando por un carril que mide (100 ) millas. Si Magaret está cuatro veces más lejos del comienzo del viaje que del final de , ¿cuántas millas más tiene que recorrer antes de que termine su paseo?

 
     
Respuesta
     
     

(20 ) millas

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Hoy (15 % ) de la clase de séptimo grado de la hermana Damaris estaban enfermos y se quedaron en casa de la escuela. Si solo (34 ) estudiantes están presentes, ¿cuál es el tamaño real de la clase de la hermana Damaris?

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word.

 
         
  1. Configurar un diccionario de variables . Deje que (S ) represente el tamaño real de la clase de la hermana Damaris.
  2.      
  3. Configura una ecuación. Si (15 % ) de la clase de la hermana Damaris estaba ausente, entonces (85 % ) de su clase estaba presente. Hay (34 ) estudiantes presentes, así que la frase » (85 % ) de la clase de la hermana Damaris es (34 )» se traduce en la ecuación, [0.85 S = 34 nonumber ] donde He cambiado (85 % ) a un decimal moviendo el punto decimal dos lugares a la izquierda.
  4.      
  5. Resuelve la ecuación. Para resolver (S ), primero borre los decimales multiplicando ambos lados de la ecuación por (100 ). [ begin {alineado} 0.85S & = 34 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 85S & = 3400 quad color {Rojo} text {Multiplica ambos lados por} 100. \ dfrac {85S} {85} & = dfrac {3400} {85} quad color {Rojo } text {Divide ambos lados entre} 85 \ S & = 40 quad color {Red} text {Simplify. } end {alineado} nonumber ]
  6.      
  7. Responda la pregunta . El tamaño de la clase de la hermana Damaris es (40 ).
  8.      
  9. Mira hacia atrás . Se nos dice que (15 % ) de la clase de la hermana Damaris está ausente. Si calculamos (15 % ) de (40 ), obtenemos: [0.15 (40) = 6 nonumber ] Por lo tanto, había 6 estudiantes ausentes, entonces (40-6 ), o (34 ) estudiantes estuvieron presentes. Por lo tanto, tenemos la solución correcta.
  10.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

(20 % ) de La clase de Mary estaba enferma y se quedó en casa de la escuela. Si solo (36 ) estudiantes están presentes, ¿cuál es el tamaño real de la clase de Mary?

 
     
Respuesta
     
     

(45 )

     
 
 
                                  
]]>

,

Deja una respuesta