2.5: Números complejos

2.5: Números complejos

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Sumar y restar números complejos.
  •      
  • Multiplica y divide números complejos.
  •      
  • Resolver ecuaciones cuadráticas con números complejos
  •  
 
 

Descubierto por Benoit Mandelbrot alrededor de 1980, el conjunto de Mandelbrot es una de las imágenes fractales más reconocibles. La imagen se basa en la teoría de la autosimilitud y el funcionamiento de la iteración. Acercarse a una imagen fractal trae muchas sorpresas, particularmente en el alto nivel de repetición de detalles que aparece a medida que aumenta la ampliación. La ecuación que genera esta imagen resulta ser bastante simple.

 
A visual representation of the Mandelbrot set  
Figura ( PageIndex {1} ): El conjunto de Mandelbrot exhibe similitud, que se muestra mejor en una animación .
 
 

Para comprenderlo mejor, debemos familiarizarnos con un nuevo conjunto de números. Tenga en cuenta que el estudio de las matemáticas se basa continuamente en sí mismo. Los enteros negativos, por ejemplo, llenan un vacío dejado por el conjunto de enteros positivos. El conjunto de números racionales, a su vez, llena un vacío dejado por el conjunto de enteros. El conjunto de números reales llena un vacío dejado por el conjunto de números racionales. No es sorprendente que el conjunto de números reales también tenga vacíos. En esta sección, exploraremos un conjunto de números que llena vacíos en el conjunto de números reales y descubriremos cómo trabajar dentro de él.

 

Expresando raíces cuadradas de números negativos como múltiplos de (i )

 

Sabemos cómo encontrar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De manera similar, podemos encontrar la raíz cuadrada de cualquier número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor en el radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario. El número imaginario (i ) se define como la raíz cuadrada de (- 1 ).

 

[ sqrt {-1} = i ]

 

Entonces, usando propiedades de radicales,

 

[i ^ 2 = ( sqrt {-1}) ^ 2 = -1 ]

 

Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como un múltiplo de (i ). Considere la raíz cuadrada de (- 49 ).

 

[ begin {align *} sqrt {-49} & = sqrt {49 times (-1)} \ [4pt] & = sqrt {49} sqrt {-1} \ [4pt] & = 7i end {align *} ]

 

Usamos (7i ) y no (- 7i ) porque la raíz principal de (49 ) es la raíz positiva.

 

Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Un número complejo se expresa en forma estándar cuando se escribe (a + bi ) donde (a ) es la parte real y (b ) es la parte imaginaria. Por ejemplo, (5 + 2i ) es un número complejo. Entonces, también, es (3 + 4i sqrt {3} ).

 

The complex number 5 + 2i is displayed.  The 5 is labeled as: Real part and the 2i is labeled as: Imaginary part

 

Los números imaginarios difieren de los números reales en que un número imaginario cuadrado produce un número real negativo. Recuerde que cuando un número real positivo se eleva al cuadrado, el resultado es un número real positivo y cuando un número real negativo se eleva al cuadrado, el resultado también es un número real positivo. Los números complejos consisten en números reales e imaginarios.

 
 
 

Definición: NÚMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS

 

Un número complejo es un número de la forma (a + bi ) donde

 
         
  1. (a ) es la parte real del número complejo.
  2.      
  3. (b ) es la parte imaginaria del número complejo.
  4.  
 

Si (b = 0 ), entonces (a + bi ) es un número real. Si (a = 0 ) y (b ) no es igual a (0 ), el número complejo se llama un número imaginario puro. Un número imaginario es una raíz par de un número negativo.

 
 
 

Cómo: dado un número imaginario, exprésalo en la forma estándar de un número complejo

 
         
  1. Escriba ( sqrt {-a} ) como ( sqrt {a} sqrt {-1} ).
  2.      
  3. Express ( sqrt {-1} ) como (i ).
  4.      
  5. Escribe ( sqrt {a} times i ) en la forma más simple.
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Expresando un número imaginario en forma estándar

 

Express ( sqrt {-9} ) en forma estándar.

 

Solución

 

[ begin {align *} sqrt {-9} & = sqrt {9} sqrt {-1)} \ [4pt] & = 3i \ [4pt] end {align *} ]

 

En forma estándar, esto es (0 + 3i ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Express ( sqrt {-24} ) en forma estándar.

 
     
Respuesta
     
     

( sqrt {-24} = 0 + 2i sqrt {6} )

     
 
 
 

Trazar un número complejo en el plano complejo

 

No podemos trazar números complejos en una recta numérica como podríamos con números reales. Sin embargo, todavía podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo, debemos abordar los dos componentes del número. Utilizamos el plano complejo , que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa el componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos en el plano, expresados ​​como pares ordenados ((a, b) ), donde (a ) representa la coordenada para el eje horizontal y (b ) representa la coordenada para el eje vertical.

 

Consideremos el número (- 2 + 3i ). La parte real del número complejo es (- 2 ) y la parte imaginaria es (3 ). Trazamos el par ordenado ((- 2,3) ) para representar el número complejo (- 2 + 3i ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
Coordinate plane with the x and y axes ranging from negative 5 to 5.  The point negative 2 plus 3i is plotted on the graph.  An arrow extends leftward from the origin two units and then an arrow extends upward three units from the end of the previous arrow.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 
 

PLANO COMPLEJO

 

En el plano complejo, el eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
A blank coordinate plane with the x-axis labeled: real and the y-axis labeled: imaginary.  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 
 

Cómo: dado un número complejo, representa sus componentes en el plano complejo

 
         
  1. Determine la parte real y la parte imaginaria del número complejo.
  2.      
  3. Muévete a lo largo del eje horizontal para mostrar la parte real del número.
  4.      
  5. Muévete paralelo al eje vertical para mostrar la parte imaginaria del número.
  6.      
  7. Trazar el punto.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Trazar un número complejo en el plano complejo

 

Trace el número complejo (3−4i ) en el plano complejo.

 

Solución

 

La parte real del número complejo es (3 ), y la parte imaginaria es (- 4 ). Trazamos el par ordenado ((3, −4) ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
Coordinate plane with the x and y axes ranging from -5 to 5.  The point 3 – 4i is plotted, with an arrow extending rightward from the origin 3 units and an arrow extending downward 4 units from the end of the previous arrow.  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Trace el número complejo (- 4 − i ) en el plano complejo.

 
     
Respuesta
     
     
Coordinate plane with the x and y axes ranging from negative 5 to 5.  The point -4  i is plotted.      
Figura ( PageIndex {5} )
     
     
 
 
 

Sumar y restar números complejos

 

Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas en números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y luego combinamos las partes imaginarias.

 
 
 

NÚMEROS COMPLEJOS: ADICIÓN Y RESTRICCIÓN

 

Agregando números complejos:

 

[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i ]

 

Restando números complejos:

 

[(a + bi) – (c + di) = (a − c) + (b − d) i ]

 
 
 
 

Cómo: dados dos números complejos, encuentra la suma o diferencia

 
         
  1. Identifica las partes reales e imaginarias de cada número.
  2.      
  3. Suma o resta las partes reales.
  4.      
  5. Suma o resta las partes imaginarias.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Sumar y restar números complejos

 

Sumar o restar como se indica.

 
         
  1. ((3−4i) + (2 + 5i) )
  2.      
  3. ((- 5 + 7i) – (- 11 + 2i) )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. [ begin {align *} (3-4i) + (2 + 5i) & = 3-4i + 2 + 5i \ [4pt] & = 3 + 2 + (- 4i) + 5i \ [4pt] & = (3 + 2) + (- 4 + 5) i \ [4pt] & = 5 + i end {align *} ]
  2.      
  3. [ begin {align *} (-5 + 7i) – (- 11 + 2i) & = -5 + 7i + 11-2i \ [4pt] & = -5 + 11 + 7i-2i [4pt] & = (-5 + 11) + (7-2) i \ [4pt] & = 6 + 5i end {align *} ]
  4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Restar (2 + 5i ) de (3–4i ).

 
     
Respuesta
     
     

((3−4i) – (2 + 5i) = 1−9i )

     
 
 
 

Multiplicando números complejos

 

Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La principal diferencia es que trabajamos con las partes real e imaginaria por separado.

 

Multiplicar un número complejo por un número real

 

Comencemos por multiplicar un número complejo por un número real. Distribuimos el número real tal como lo haríamos con un binomio. Considere, por ejemplo, (3 (6 + 2i) ):

 

Multiplication of a real number and a complex number.  The 3 outside of the parentheses has arrows extending from it to both the 6 and the 2i inside of the parentheses.  This expression is set equal to the quantity three times six plus the quantity three times two times i; this is the distributive property.  The next line equals eighteen plus six times i; the simplification.

 
 

Cómo: dado un número complejo y un número real, multiplica para encontrar el producto

 
         
  1. Usa la propiedad distributiva.
  2.      
  3. Simplifica.
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Multiplicar un número complejo por un número real

 

Encuentra el producto (4 (2 + 5i) ).

 

Solución

 

Distribuya el (4 ).

 

[ begin {align *} 4 (2 + 5i) & = (4 cdot 2) + (4 cdot 5i) \ [4pt] & = 8 + 20i end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentre el producto: ( dfrac {1} {2} (5−2i) ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {2} -i )

     
 
 
 

Multiplicar números complejos juntos

 

Ahora, multipliquemos dos números complejos. Podemos utilizar la propiedad distributiva o más específicamente el método FOIL porque estamos tratando con binomios. Recuerde que FOIL es un acrónimo para multiplicar los términos Primero, Interior, Externo y Último juntos. La diferencia con los números complejos es que cuando obtenemos un término al cuadrado, (i ^ 2 ), es igual a (- 1 ).

 

[ begin {align *} (a + bi) (c + di) & = ac + adi + bci + bdi ^ 2 \ [4pt] & = ac + adi + bci-bd (-1) qquad i ^ 2 = -1 \ [4pt] & = ac + adi + bci-bd \ [4pt] & = (ac-bd) + (ad + bc) i end {align *} ] [ 19459003]  

Agrupar términos reales y términos imaginarios.

 
 

Cómo: dados dos números complejos, multiplícalo para encontrar el producto

 
         
  1. Utilice la propiedad distributiva o el método FOIL.
  2.      
  3. Recuerda que (i ^ 2 = -1 ).
  4.      
  5. Agrupe los términos reales y los términos imaginarios
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Multiplicar un número complejo por un número complejo

 

Multiplicar ((4 + 3i) (2−5i) ).

 

Solución

 

[ begin {align *} (4 + 3i) (2-5i) & = 4 (2) -4 (5i) + 3i (2) – (3i) (5i) \ [4pt] & = 8-20i + 6i-15 (i ^ 2) \ [4pt] & = (8 + 15) + (- 20 + 6) i \ [4pt] & = 23-14i end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Multiplicar: ((3−4i) (2 + 3i) ).

 
     
Respuesta
     
     

(18 + i )

     
 
 
 

División de números complejos

 

Dividir dos números complejos es más complicado que sumar, restar o multiplicar porque no podemos dividir por un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción debe tener un denominador de número real para escribir la respuesta en forma estándar (a + bi ) Necesitamos encontrar un término por el cual podamos multiplicar el numerador y el denominador que eliminará la porción imaginaria del denominador para que terminemos con un número real como denominador. Este término se llama el conjugado complejo del denominador, que se encuentra al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el complejo conjugado de (a + bi ) es (a − bi ). Por ejemplo, el producto de (a + bi ) y (a − bi ) es

 

[ begin {align *} (a + bi) (a-bi) & = a ^ 2-abi + abi-b ^ 2i ^ 2 \ [4pt] & = a ^ 2 + b ^ 2 end {align *} ]

 

El resultado es un número real.

 

Tenga en cuenta que los conjugados complejos tienen una relación opuesta: el conjugado complejo de (a + bi ) es (a − bi ) y el conjugado complejo de (a − bi ) es (a + bi ). Además, cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejas, las soluciones son siempre conjugados complejos entre sí.

 

Supongamos que queremos dividir (c + di ) por (a + bi ), donde ni (a ) ni (b ) son iguales a cero. Primero escribimos la división como una fracción, luego encontramos el conjugado complejo del denominador y multiplicamos.

 

( dfrac {c + di} {a + bi} ) donde (a ≠ 0 ) y (b ≠ 0 )

 

Multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.

 

[ begin {align *} dfrac {(c + di)} {(a + bi)} cdot dfrac {(a-bi)} {(a-bi)} & = dfrac { (c + di) (a-bi)} {(a + bi) (a-bi)} \ [4pt] & = dfrac {ca-cbi + adi-bdi ^ 2} {a ^ 2-abi + abi-b ^ 2i ^ 2} qquad text {Aplicar la propiedad distributiva} \ [4pt] & = dfrac {ca-cbi + adi-bd (-1)} {a ^ 2-abi + abi-b ^ 2 (-1)} qquad text {Simplifique, recordando que} i ^ 2 = -1 \ [4pt] & = dfrac {(ca + bd) + (ad-cb) i} {a ^ 2 + b ^ 2} end {align *} ]

 
 
 

Definición: EL CONJUGADO COMPLEJO

 

El conjugado complejo de un número complejo (a + bi ) es (a − bi ). Se encuentra cambiando el signo de la parte imaginaria del número complejo. La parte real del número no se modifica.

 
         
  1. Cuando un número complejo se multiplica por su conjugado complejo, el resultado es un número real.
  2.      
  3. Cuando se agrega un número complejo a su conjugado complejo, el resultado es un número real.
  4.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar conjugados complejos

 

Encuentra el conjugado complejo de cada número.

 
         
  1. (2 + i sqrt {5} )
  2.      
  3. (- dfrac {1} {2} i )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. El número ya está en la forma (a + bi ). El conjugado complejo es (a − bi ) o (2 − i sqrt {5} ).
  2.      
  3. Podemos reescribir este número en la forma (a + bi ) como (0− dfrac {1} {2} i ). El conjugado complejo es (a − bi ) o (0+ dfrac {1} {2} i ). Esto se puede escribir simplemente como ( dfrac {1} {2} i ).
  4.  
 

Análisis

 

Aunque hemos visto que podemos encontrar el conjugado complejo de un número imaginario, en la práctica generalmente encontramos los conjugados complejos de solo números complejos con un componente real y otro imaginario. Para obtener un número real de un número imaginario, simplemente podemos multiplicar por (i ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra el conjugado complejo de (- 3 + 4i ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 3−4i )

     
 
 
 
 

Cómo: Dados dos números complejos, divida uno por el otro

 
         
  1. Escribe el problema de división como una fracción.
  2.      
  3. Determine el conjugado complejo del denominador.
  4.      
  5. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el complejo conjugado del denominador.
  6.      
  7. Simplifica.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): División de números complejos

 

Divide ((2 + 5i) ) por ((4 − i) ).

 

Solución

 

Comenzamos escribiendo el problema como una fracción.

 

[ dfrac {(2 + 5i)} {(4 − i)} nonumber ]

 

Luego multiplicamos el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador.

 

[ dfrac {(2 + 5i)} {(4 − i)} ⋅ dfrac {(4 + i)} {(4 + i)} nonumber ]

 

Para multiplicar dos números complejos, expandimos el producto como lo haríamos con polinomios (usando FOIL).

 

[ begin {align *} dfrac {(2 + 5i)} {(4-i)} cdot dfrac {(4 + i)} {(4 + i)} & = dfrac { 8 + 2i + 20i + 5i ^ 2} {16 + 4i-4i-i ^ 2} \ [4pt] & = dfrac {8 + 2i + 20i + 5 (-1)} {16 + 4i-4i- (-1)} ; i ^ 2 = -1 \ [4pt] & = dfrac {3 + 22i} {17} \ [4pt] & = dfrac {3} {17} + dfrac {22} {17i} end { alinear *} ]

 

Separar partes reales e imaginarias.

 

Tenga en cuenta que esto expresa el cociente en forma estándar.

 
 

Simplificación de poderes de (i )

 

Los poderes de (i ) son cíclicos. Veamos qué sucede cuando elevamos (i ) a poderes crecientes.

 

[i ^ 1 = i nonumber ] [i ^ 2 = -1 nonumber ] [i ^ 3 = i ^ 2⋅i = -1⋅i = -i nonumber ] [i ^ 4 = i ^ 3⋅i = -i⋅i = -i ^ 2 = – (- 1) = 1 nonumber ] [i ^ 5 = i ^ 4⋅i = 1⋅i = i no número ]

 

Podemos ver que cuando llegamos a la quinta potencia de i, es igual a la primera potencia. A medida que continuamos multiplicando (i ) aumentando las potencias, veremos un ciclo de cuatro. Examinemos los siguientes cuatro poderes de (i ).

 

[i ^ 6 = i ^ 5⋅i = i⋅i = i ^ 2 = -1 nonumber ] [i ^ 7 = i ^ 6⋅i = i ^ 2⋅i = i ^ 3 = -i nonumber ] [i ^ 8 = i ^ 7⋅i = i ^ 3⋅i = i ^ 4 = 1 nonumber ] [i ^ 9 = i ^ 8⋅i = i ^ 4⋅ i = i ^ 5 = i nonumber ]

 

El ciclo se repite continuamente: (i, −1, −i, 1, ) cada cuatro potencias.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Simplificación de poderes de (i )

 

Evalúe: (i ^ {35} ).

 

Solución

 

Dado que (i ^ 4 = 1 ), podemos simplificar el problema factorizando tantos factores de (i ^ 4 ) como sea posible. Para hacerlo, primero determine cuántas veces (4 ) entra en (35: 35 = 4⋅8 + 3 ).

 

[i ^ {35} = i ^ {4⋅8 + 3} = i ^ {4⋅8} ⋅i ^ 3 = {(i ^ 4)} ^ 8⋅i ^ 3 = i ^ 8 ^i ^ 3 = i ^ 3 = −i nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Evaluar: (i ^ {18} )

 
     
Respuesta
     
     

(- 1 )

     
 
 
 
 

Preguntas y respuestas

 

¿Podemos escribir (i ^ {35} ) de otras formas útiles?

 

Como vimos en el ejemplo ( PageIndex {8} ), redujimos (i ^ {35} ) a (i ^ 3 ) dividiendo el exponente entre (4 ) y usando el resto para encontrar la forma simplificada. Pero quizás otra factorización de (i ^ {35} ) pueda ser más útil. La tabla ( PageIndex {1} ) muestra algunas otras posibles factorizaciones.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {1} )
Factorización de (i ^ {35} ) (i ^ {34} ⋅i ) (i ^ {33} ⋅i ^ 2 ) (i ^ {31} ⋅i ^ 4 ) (i ^ {19} ⋅i ^ {16} )
Forma reducida ({(i ^ 2)} ^ {17} ⋅i ) (i ^ {33} ⋅ (−1) ) (i ^ {31} ⋅1 ) (i ^ {19} ⋅ {(i ^ 4)} ^ 4 )
Forma simplificada ({(- 1)} ^ {17} ⋅i ) (- i ^ {33} ) (i ^ {31} ) (i ^ {19} )
 

Cada uno de estos eventualmente dará como resultado la respuesta que obtuvimos anteriormente, pero puede requerir varios pasos más que nuestro método anterior.

 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir como un múltiplo de (i ). Ver Ejemplo .
  •      
  • Para trazar un número complejo, utilizamos dos líneas numéricas, cruzadas para formar el plano complejo. El eje horizontal es el eje real, y el eje vertical es el eje imaginario. Ver Ejemplo .
  •      
  • Se pueden sumar y restar números complejos combinando las partes reales y combinando las partes imaginarias. Ver Ejemplo .
  •      
  • Los números complejos se pueden multiplicar y dividir.      
               
    • Para multiplicar números complejos, distribuya igual que con los polinomios. Ver Ejemplo y Ejemplo .
    •          
    • Para dividir números complejos, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador para eliminar el número complejo del denominador. Ver Ejemplo y Ejemplo .
    •      
         
  •      
  • Los poderes de i 19459103] son ​​cíclicos, repitiendo cada cuarto. Ver Ejemplo .
  •  
 
 
                                  
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