las matematicas

2.5: Resolver ecuaciones usando las propiedades de igualdad y resta de la igualdad (Parte 1)

2.5: Resolver ecuaciones usando las propiedades de igualdad y resta de la igualdad (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Determine si un número es una solución de una ecuación
    •      
  • Modele la propiedad de igualdad de la resta
    •      
  • Resolver ecuaciones usando la propiedad de igualdad de resta
    •      
  • Resolver ecuaciones usando la propiedad de adición de la igualdad
    •      
  • Traduce frases de palabras a ecuaciones algebraicas
    •      
  • Traducir a una ecuación y resolver
    •  
 
 
 
 

¡Prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Evalúa (x + 8 ) cuando (x = 11 ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 2..2.1 .
    2.      
  2. Evalúa (5x – 3 ) cuando (x = 9 ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 2.2.2 .
    3.      
  3. Traducir al álgebra: la diferencia de (x ) y (8 ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 2.2.11 .
    4.  
 
 

Cuando algunas personas escuchan la palabra álgebra , piensan en resolver ecuaciones. Las aplicaciones para resolver ecuaciones son ilimitadas y se extienden a todas las carreras y campos. En esta sección, comenzaremos a resolver ecuaciones. Comenzaremos resolviendo ecuaciones básicas, y luego a medida que avancemos en el curso desarrollaremos nuestras habilidades para cubrir muchas formas diferentes de ecuaciones.

 

Determine si un número es una solución de una ecuación

 

Resolver una ecuación es como descubrir la respuesta a un rompecabezas. Una ecuación algebraica establece que dos expresiones algebraicas son iguales. Resolver una ecuación es determinar los valores de la variable que hacen que la ecuación sea una declaración verdadera. Cualquier número que haga que la ecuación sea verdadera se llama solución de la ecuación. ¡Es la respuesta al rompecabezas!

 
 
 

Definición: Solución de una ecuación

 

Una solución a una ecuación es el valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación. El proceso de encontrar la solución a una ecuación se llama resolver la ecuación.

 
 

Encontrar la solución a una ecuación significa encontrar el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera. ¿Puedes reconocer la solución de (x + 2 = 7 )? Si dijiste (5 ), tienes razón! Decimos que (5 ) es una solución a la ecuación (x + 2 = 7 ) porque cuando sustituimos (5 ) por (x ) la afirmación resultante es verdadera.

 

[ begin {split} x + 2 & = 7 \ 5 + 2 & stackrel {?} {=} 7 \ 7 & = 7 ; marca de verificación end {split} nonumber ]

 

Dado que (5 + 2 = 7 ) es una declaración verdadera, sabemos que (5 ) es de hecho una solución a la ecuación. El símbolo ( stackrel {?} {=} ) Pregunta si el lado izquierdo de la ecuación es igual al lado derecho. Una vez que lo sabemos, podemos cambiar a un signo igual ( (= )) o un signo no igual ( (≠ )).

 
 

CÓMO: DETERMINAR SI UN NÚMERO ES UNA SOLUCIÓN A UNA ECUACIÓN

 

Paso 1. Sustituye el número de la variable en la ecuación.

 

Paso 2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.

 

Paso 3. Determine si la ecuación resultante es verdadera.

 
         
  • Si es cierto, el número es una solución.
    •      
  • Si no es cierto, el número no es una solución.
    •  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Determine si (x = 5 ) es una solución de (6x – 17 = 16 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
(6x – 17 = 16 )
Sustituye ( textcolor {red} {5} ) por x. (6 cdot textcolor {rojo} {5} – 17 stackrel {?} {=} 16 )
Multiplica. (30 – 17 stackrel {?} {=} 16 )
Restar (13 neq 16 )
 

Entonces (x = 5 ) no es una solución a la ecuación (6x – 17 = 16 ).

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {1} )

 

¿Es (x = 3 ) una solución de (4x – 7 = 16 )?

 
     
Respuesta
     
     

no

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {2} )

 

¿Es (x = 2 ) una solución de (6x – 2 = 10 )?

 
     
Respuesta
     
     

sí

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Determine si (y = 2 ) es una solución de (6y – 4 = 5y – 2 ).

 

Solución

 

Aquí, la variable aparece en ambos lados de la ecuación. Debemos sustituir (2 ) por cada (y ).

                                                                                                                                                                                                              
(6y – 4 = 5y – 2 )
Sustituye ( textcolor {red} {2} ) por y. (6 ( textcolor {red} {2}) – 4 stackrel {?} {=} 5 ( textcolor {red} {2}) – 2 )
Multiplica. (12 – 4 stackrel {?} {=} 10 – 2 )
Restar (8 = 8 ; marca de verificación )
 

Dado que (y = 2 ) da como resultado una ecuación verdadera, sabemos que (2 ) es una solución a la ecuación (6y – 4 = 5y – 2 ).

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {3} )

 

¿Es (y = 3 ) una solución de (9y – 2 = 8y + 1 )?

 
     
Respuesta
     
     

sí

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {4} )

 

¿Es (y = 4 ) una solución de (5y – 3 = 3y + 5 )?

 
     
Respuesta
     
     

sí

     
 
 
 

Modele la propiedad de igualdad de la resta

 

Usaremos un modelo para ayudarlo a comprender cómo el proceso de resolver una ecuación es como resolver un rompecabezas. Un sobre representa la variable, ya que su contenido es desconocido, y cada contador representa uno.

 

Supongamos que un escritorio tiene una línea imaginaria que lo divide por la mitad. Colocamos tres contadores y un sobre en el lado izquierdo del escritorio, y ocho contadores en el lado derecho del escritorio como en la Figura ( PageIndex {1} ). Ambos lados del escritorio tienen el mismo número de contadores, pero algunos contadores están ocultos en el sobre. ¿Puedes decir cuántos contadores hay en el sobre?

 

The image is divided in half vertically. On the left side is an envelope with three counters below it. On the right side is 8 counters.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

¿Qué pasos estás tomando en tu mente para calcular cuántos contadores hay en el sobre? Quizás esté pensando “Necesito eliminar los contadores (3 ) del lado izquierdo para obtener el sobre por sí mismo. Esos contadores (3 ) de la izquierda coinciden con (3 ) de la derecha, por lo que puedo quitarlos de ambos lados. Eso deja cinco contadores a la derecha, por lo que debe haber (5 ) contadores en el sobre “. La figura ( PageIndex {2} ) muestra este proceso.

 

The image is in two parts. On the left is a rectangle divided in half vertically. On the left side of the rectangle is an envelope with three counters below it. The 3 counters are circled in red with an arrow pointing out of the rectangle. On the right side is 8 counters. The bottom 3 counters are circled in red with an arrow pointing out of the rectangle. The 3 circled counters are removed from both sides of the rectangle, creating the new rectangle on the right of the image which is also divided in half vertically. On the left side of the rectangle is just an envelope. On the right side is 5 counters.

 

Figura ( PageIndex {2} )

 

¿Qué ecuación algebraica es modelada por esta situación? Cada lado del escritorio representa una expresión y la línea central toma el lugar del signo igual. Llamaremos al contenido del sobre (x ), por lo que el número de contadores en el lado izquierdo del escritorio es (x + 3 ). En el lado derecho del escritorio hay mostradores (8 ). Se nos dice que (x + 3 ) es igual a (8 ), por lo que nuestra ecuación es (x + 3 = 8 ).

 

The image is divided in half vertically. On the left side is an envelope with three counters below it. On the right side is 8 counters.

 

Figura ( PageIndex {3} )

 

(x + 3 = 8 )

 

Vamos a escribir algebraicamente los pasos que tomamos para descubrir cuántos contadores había en el sobre.

                                                                                                                                                              
(x + 3 = 8 )
Primero, quitamos tres de cada lado. (x + 3 textcolor {red} {- 3} = 8 textcolor {red} {- 3} )
Luego nos quedamos con cinco. (x = 5 )
 

Ahora veamos nuestra solución. Sustituimos (5 ) por (x ) en la ecuación original y vemos si obtenemos una declaración verdadera.

 

[ begin {split} x + 3 & = 8 \ textcolor {red} {5} + 3 & stackrel {?} {=} 8 \ 8 & = 8 ; marca de verificación end {split} nonumber ]

 

Nuestra solución es correcta. Cinco fichas en el sobre más tres más equivalen a ocho

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Escribe una ecuación modelada por los sobres y contadores, y luego resuelve la ecuación:

 

The image is divided in half vertically. On the left side is an envelope with 4 counters below it. On the right side is 5 counters.

 

Figura ( PageIndex {4} )

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
A la izquierda, escribe x para el contenido del sobre, agrega los 4 contadores, para que tengamos x + 4. x + 4
A la derecha, hay 5 contadores. 5
Los dos lados son iguales. x + 4 = 5
Resuelve la ecuación restando 4 contadores de cada lado.
 

The image is in two parts. On the left is a rectangle divided in half vertically. On the left side of the rectangle is an envelope with 4 counters below it. The 4 counters are circled in red with an arrow pointing out of the rectangle. On the right side is 5 counters. The bottom 4 counters are circled in red with an arrow pointing out of the rectangle. The 4 circled counters are removed from both sides of the rectangle, creating the new rectangle on the right of the image which is also divided in half vertically. On the left side of the rectangle is just an envelope. On the right side is 1 counter.

 

Figura ( PageIndex {5} )

 

Podemos ver que hay un contador en el sobre. Esto se puede mostrar algebraicamente como:

 

[ begin {split} x + 4 & = 5 \ x + 4 textcolor {red} {- 4} & = 5 textcolor {red} {- 4} \ x & = 1 end {split} nonumber ]

 

Sustituye (1 ) por (x ) en la ecuación para verificar.

 

[ begin {split} x + 4 & = 5 \ textcolor {red} {1} + 4 & stackrel {?} {=} 5 \ 5 & = 5 ; marca de verificación end {split} nonumber ]

 

Dado que (x = 1 ) hace que la afirmación sea verdadera, sabemos que (1 ) es de hecho una solución.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Escribe la ecuación modelada por los sobres y contadores, y luego resuelve la ecuación:

 

The image is divided in half vertically. On the left side is an envelope with one counter below it. On the right side is 7 counters.

 

Figura ( PageIndex {6} )

 
     
Respuesta
     
     

(x + 1 = 7; x = 6 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Escribe la ecuación modelada por los sobres y contadores, y luego resuelve la ecuación:

 

The image is divided in half vertically. On the left side is an envelope with three counters below it. On the right side is 4 counters.

 

Figura ( PageIndex {7} )

 
     
Respuesta
     
     

(x + 3 = 4; x = 1 )

     
 
 
 
 

Resolver ecuaciones usando la propiedad de igualdad de resta

 

Nuestro rompecabezas nos ha dado una idea de lo que debemos hacer para resolver una ecuación. El objetivo es aislar la variable por sí misma en un lado de las ecuaciones. En los ejemplos anteriores, utilizamos la Propiedad de igualdad de la resta, que establece que cuando restamos la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, todavía tenemos igualdad.

 
 

Definición: Propiedad de igualdad de la resta

 

Para cualquier número (a ), (b ) y (c ), si (a = b ) entonces (a – c = b – c )

 
 

Piensa en los hermanos gemelos Andy y Bobby. Tienen (17 ) años de edad. ¿Cuántos años tenía Andy (3 ) años? Tenía (3 ) años menos que (17 ), por lo que su edad era (17 – 3 ), o (14 ). ¿Qué pasa con la edad de Bobby (3 ) años atrás? Por supuesto, él era (14 ) también. Sus edades son iguales ahora, y restando la misma cantidad de ambos resultó en edades iguales (3 ) años atrás.

 

[ begin {split} a & = b \ a – 3 & = b – 3 end {split} nonumber ]

 
 

CÓMO: RESOLVER UNA ECUACIÓN UTILIZANDO LA PROPIEDAD DE SUBTRACCIÓN DE IGUALDAD

 

Paso 1. Use la propiedad de igualdad de resta para aislar la variable.

 

Paso 2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.

 

Paso 3. Verifique la solución.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): resolver

 

Resuelve: (x + 8 = 17 ).

 

Solución

 

Usaremos la propiedad de igualdad de resta para aislar (x ).

                                                                                                                                                                                                                                                              
(x + 8 = 17 )
Resta 8 de ambos lados. (x + 8 textcolor {red} {- 8} = 17 textcolor {red} {- 8} )
Simplifica. (x = 9 )
Verifique la solución. ( textcolor {rojo} {9} + 8 = 17 )
(17 = 17 ; marca de verificación )
 

Dado que (x = 9 ) hace que (x + 8 = 17 ) sea una declaración verdadera, sabemos que (9 ) es la solución a la ecuación.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resolver: (x + 6 = 19 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 13 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resolver: (x + 9 = 14 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 5 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): resolver

 

Resuelve: (100 = y + 74 ).

 

Solución

 

Para resolver una ecuación, siempre debemos aislar la variable; no importa de qué lado esté. Para aislar y, restaremos (74 ) de ambos lados.

                                                                                                                                                                                                                                                              
(100 = y + 74 )
Resta 74 de ambos lados. (100 textcolor {red} {- 74} = y + 74 textcolor {red} {- 74} )
Simplifica. (26 = y )
Sustituye 26 por y para verificar (100 stackrel {?} {=} Textcolor {red} {26} + 74 )
(100 = 100 ; marca de verificación )
 

Dado que (y = 26 ) hace que (100 = y + 74 ) sea una declaración verdadera, hemos encontrado la solución a esta ecuación.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resolver: (95 = y + 67 )

 
     
Respuesta
     
     

(y = 28 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resolver: (91 = y + 45 )

 
     
Respuesta
     
     

(y = 46 )

     
 
 
 
 

Resolver ecuaciones usando la propiedad de igualdad de la suma

 

En todas las ecuaciones que hemos resuelto hasta ahora, se agregó un número a la variable en un lado de la ecuación. Usamos la resta para “deshacer” la suma para aislar la variable.

 

Pero supongamos que tenemos una ecuación con un número restado de la variable, como (x – 5 = 8 ). Queremos aislar la variable, así que para “deshacer” la resta, agregaremos el número a ambos lados.

 

Utilizamos la propiedad de igualdad de la suma, que dice que podemos agregar el mismo número a ambos lados de la ecuación sin cambiar la igualdad. Observe cómo refleja la propiedad de igualdad de resta.

 
 

Definición: Propiedad de igualdad de la igualdad

 

Para cualquier número (a ), (b ) y (c ), si (a = b ) entonces (a + c = b + c )

 
 

¿Recuerdas a los gemelos de (17 ) años, Andy y Bobby? En diez años, la edad de Andy seguirá igual a la de Bobby. Ambos serán (27 ).

 

[ begin {split} a & = b \ a + 10 & = b + 10 end {split} nonumber ]

 

Podemos agregar el mismo número a ambos lados y aún así mantener la igualdad.

 
 

CÓMO: RESOLVER UNA ECUACIÓN UTILIZANDO LA PROPIEDAD ADICIONAL DE IGUALDAD

 

Paso 1. Use la propiedad de adición de igualdad para aislar la variable.

 

Paso 2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.

 

Paso 3. Verifique la solución.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): resolver

 

Resuelve: (x – 5 = 8 ).

 

Solución

 

Usaremos la propiedad de adición de igualdad para aislar la variable.

                                                                                                                                                                                                                                                              
(x – 5 = 8 )
Agrega 5 a ambos lados. (x – 5 textcolor {red} {+ 5} = 8 textcolor {red} {+ 5} )
Simplificar (x = 13 )
Ahora podemos comprobarlo. Deje x = ( textcolor {red} {13} ). ( textcolor {rojo} {13} – 5 stackrel {?} {=} 8 )
(8 = 8 ; marca de verificación )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resolver: (x – 9 = 13 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 22 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resolver: (y – 1 = 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(y = 4 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): resolver

 

Resuelve: (27 = a – 16 ).

 

Solución

 

Agregaremos (16 ) a cada lado para aislar la variable.

                                                                                                                                                                                                                                                              
(27 = a – 16 )
Agrega 16 a cada lado. (27 textcolor {red} {+ 16} = a – 16 textcolor {red} {+ 16} )
Simplifica. (43 = a )
Ahora podemos comprobarlo. Deje a = ( textcolor {red} {43} ). (27 stackrel {?} {=} Textcolor {red} {43} – 16 )
(27 = 27 ; marca de verificación )
 

La solución a (27 = a – 16 ) es (a = 43 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resolver: (19 = a – 18 )

 
     
Respuesta
     
     

(a = 37 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resolver: (27 = n – 14 )

 
     
Respuesta
     
     

(n = 41 )

     
 
 
 
 

Colaboradores

 
         
  • Lynn Marecek (Santa Ana College) y MaryAnne Anthony-Smith (antes de Santa Ana College). Este contenido producido por OpenStax y está licenciado bajo una licencia Creative Commons Attribution License 4.0 .  
    •  
 
                                  
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antonio1095

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