2.5: Transformaciones verticales

2.5: Transformaciones verticales

En esta sección estudiamos el arte de las transformaciones: scalings, reflexiones y traducciones. Limitaremos nuestra atención a las transformaciones en la dirección vertical o en y. Nuestro objetivo es aplicar ciertas transformaciones a la ecuación de una función, luego preguntar qué efecto tiene en la gráfica de la función.

Comenzamos nuestra tarea con un ejemplo que requiere que leamos el gráfico de una función para capturar varios puntos clave que se encuentran en el gráfico de la función.

 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Considere la gráfica de f presentada en la Figura ( PageIndex {1} ) (a). Use la gráfica de f para completar la tabla en la Figura ( PageIndex {1} ) (b).

 

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Figura ( PageIndex {1} ). Lectura de valores clave de la gráfica de f.

 

Solución

 

Para calcular f (−1), ubicaríamos −1 en el eje x, dibujemos una flecha vertical al gráfico de f, luego una flecha horizontal al eje y, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (a). El valor y de este destino final es el valor de f (−1). Es decir, f (−1) = 2. Esto nos permite completar una entrada en la tabla, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (b). Continúe de esta manera para completar todas las entradas en la tabla. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (c).

 

Escalado vertical

 

En la narración que sigue, tendremos necesidad reiterada de la gráfica en la Figura ( PageIndex {2} ) (a) y la tabla en la Figura ( PageIndex {2} ) (c). Caracterizan la función básica que será el punto de partida para los conceptos de escala, reflexión y traducción que desarrollamos en esta sección. En consecuencia, ubicémoslos uno al lado del otro para enfatizar en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
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Figura ( PageIndex {3} ). La gráfica original de f y una tabla de puntos clave en la gráfica de f.
 

Ahora vamos a escalar la gráfica de f en dirección vertical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Si y = f (x) tiene la gráfica que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a), dibuje la gráfica de y = 2f (x).

 

Solución

 

¿Qué hacemos cuando nos encontramos con un gráfico de cuya forma no estamos seguros? La respuesta a esta pregunta es que trazamos algunos puntos que satisfacen la ecuación para tener una idea de la forma de la gráfica. Con ese pensamiento en mente, vamos a evaluar la función y = 2f (x) en x = −2.

 

La letra f se refiere a la función original que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a) y la tabla en la Figura ( PageIndex {3} ) (b) contiene los valores de esa función en los valores dados de x. Por lo tanto, al calcular y = 2f (−2), el primer paso es buscar el valor de f (−2) en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Allí encontramos que f (−2) = 0. Por lo tanto, podemos escribir [y = 2 f (-2) = 2 (0) = 0 ]

 

De manera similar, evalúemos la función y = 2f (x) en x = −1. Primero, busque el valor de f (−1) en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Allí encontramos que f (−1) = 2. Por lo tanto, podemos escribir [y = 2 f (-1) = 2 (2) = 4 ]

 

Terminamos evaluando la función y = 2f (x) en x = 0, 1 y 2. Cada vez que necesite evaluar la función f en un número, tome el resultado de la tabla o gráfico de la Figura 3. Lo que sigue son las evaluaciones de y = 2f (x) en x = −2, −1, 0, 1 y 2.

 

[ begin {array} {l} {y = 2 f (-2) = 2 (0) = 0} \ {y = 2 f (-1) = 2 (2) = 4} {y = 2 f (0) = 2 (0) = 0} \ {y = 2 f (1) = 2 (-2) = – 4} \ {y = 2 f (2) = 2 ( 0) = 0} end {array} ]

 

Podemos organizar estos resultados en una tabla que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (b), luego trazarlos en la figura que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (a).

 

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Figura ( PageIndex {4} ). Los puntos en la tabla son puntos en la gráfica de y = 2f (x).

 

En este punto, hay varias comparaciones que puede hacer.

 
         
  1. Compare los datos en las tablas de la Figura ( PageIndex {3} ) (b) y la Figura ( PageIndex {4} ) (b). Tenga en cuenta que los valores de x son idénticos. En ambas tablas, x = −2, −1, 0, 1 y 2. Sin embargo, tenga en cuenta que cada valor de y en la tabla de la Figura ( PageIndex {4} ) (b) es precisamente el doble de la correspondiente y -valor en la tabla en la Figura ( PageIndex {3} ) (b).
  2.      
  3. Compare los gráficos en la Figura ( PageIndex {3} ) (a) y la Figura ( PageIndex {4} ) (a). Tenga en cuenta que el valor y de cada punto en el gráfico de y = 2f (x) en la Figura ( PageIndex {4} ) (a) es precisamente el doble del valor y del punto correspondiente en la Figura ( PageIndex {3} ) (a).
  4.  
 

Tenga en cuenta el resultado. La gráfica de y = 2f (x) se ha extendido verticalmente (lejos del eje x), tanto positiva como negativamente, por un factor de 2.

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Si y = f (x) tiene la gráfica que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a), dibuje la gráfica de y = (1/2) f (x).

 

Solución

 

Comencemos evaluando la función y = (1/2) f (x) en x = −2. Primero, busque el valor de f (−2) en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Allí encontramos que f (−2) = 0. Por lo tanto, podemos escribir [y = (1/2) f (-2) = (1/2) (0) = 0 ]

 

De manera similar, evalúemos la función y = (1/2) f (x) en x = −1. Primero, busque el valor de f (−1) en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Allí encontramos que f (−1) = 2. Por lo tanto, podemos escribir [y = (1/2) f (-1) = (1/2) (2) = 1 ]

 

Continuando de esta manera, podemos evaluar la función y = (1/2) f (x) en x = 0, 1 y 2.

 

[ begin {array} {l} {y = (1/2) f (0) = (1/2) (0) = 0} \ {y = (1/2) f (1 ) = (1/2) (- 2) = – 1} \ {y = (1/2) f (2) = (1/2) (0) = 0} end {array} ] [19459001 ]  

Los resultados se registran en la tabla de la Figura ( PageIndex {5} ) (b). En lugar de duplicar cada valor de y como hizo la función y = 2f (x) en el Ejemplo ( PageIndex {2} ), esta función y = (1/2) f (x) reduce a la mitad cada valor de y. El gráfico de y = (1/2) f (x) y una tabla de puntos clave en el gráfico se presentan en las Figuras ( PageIndex {5} ) (a) y (b), respectivamente.

 

Una vez más, hay una serie de comparaciones.

 
         
  1. Compare los datos en las tablas de la Figura ( PageIndex {5} ) (b) y la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Tenga en cuenta que los valores de x son idénticos. En ambas tablas x = −2, −1, 0, 1 y 2. Sin embargo, tenga en cuenta que cada valor de y en la tabla de la Figura ( PageIndex {5} ) (b) es precisamente la mitad del correspondiente y- valor en la tabla en la Figura ( PageIndex {3} ) (b).
  2.      
  3. Cuando compara la gráfica de y = (1/2) f (x) en la Figura ( PageIndex {5} ) (a) con la gráfica original de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {3} ) (a), tenga en cuenta que cada punto en la gráfica de y = (1/2) f (x) tiene un valor de y que es precisamente la mitad del valor de y correspondiente en la gráfica original de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {3} ) (a).
  4.  
 
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Figura ( PageIndex {5} ). Los puntos en la tabla son puntos en la gráfica de y = (1/2) f (x).
 

Tenga en cuenta el resultado. La gráfica de f se ha comprimido verticalmente (hacia el eje x), tanto positiva como negativamente, por un factor de 2.

 
 

Resumamos nuestros hallazgos.

 
 

Un resumen visual: escala vertical.

 

Considere las imágenes en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
         
  • En la Figura ( PageIndex {6} ) (a), vemos la gráfica de la función original y = f (x).
  •      
  • En la Figura ( PageIndex {6} ) (b), tenga en cuenta que cada punto clave en la gráfica de y = 2f (x) tiene un valor y que es exactamente el doble del valor y del punto correspondiente en la gráfica de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {6} ) (a).
  •      
  • En la Figura ( PageIndex {6} ) (c), tenga en cuenta que cada punto clave en la gráfica de y = (1/2) f (x) tiene un valor y que es precisamente la mitad del y- valor del punto correspondiente en la gráfica de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {6} ) (a).
  •      
  • Tenga en cuenta que el valor x de cada punto transformado sigue siendo el mismo.
  •  
 
 
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Figura ( PageIndex {6} ). La gráfica de y = 2f (x) se extiende verticalmente (alejándose del eje x) por un factor de 2. La gráfica de y = (1/2) f (x) se comprime verticalmente (hacia el eje x) por un factor de 2.
 

El resumen visual en la Figura ( PageIndex {6} ) hace que dibujar las gráficas de y = 2f (x) e y = (1/2) f (x) sea una tarea fácil.

 
         
  • Dada la gráfica de y = f (x), para dibujar la gráfica de y = 2f (x), simplemente tome cada punto en la gráfica de y = f (x) y duplique su valor de y, manteniendo el mismo valor x
  •      
  • Dada la gráfica de y = f (x), para dibujar la gráfica de y = (1/2) f (x), simplemente tome cada punto en la gráfica de y = f (x) y reduzca a la mitad su y- valor, manteniendo el mismo valor x.
  •  
 

Siga los mismos procedimientos para otros factores de escala. Por ejemplo, en el caso de y = 3f (x), tome cada punto en la gráfica de y = f (x) y multiplique su valor de y por 3, manteniendo el mismo valor de x. Por otro lado, para dibujar la gráfica de y = (1/3) f (x), tome cada punto en la gráfica de f y multiplique su valor de y por 1/3, manteniendo el mismo valor de y.

 

En general, podemos decir lo siguiente.

 
 

resumen

 

Supongamos que se nos da la gráfica de y = f (x).

 
         
  • Si a> 1, entonces la gráfica de y = af (x) se estira verticalmente (lejos del eje x), tanto positiva como negativamente, por un factor de a.
  •      
  • Si 0  
 
 

El segundo elemento en Resumen garantiza una palabra de explicación. Compare la forma general y = af (x) con la función del Ejemplo ( PageIndex {3} ), y = (1/2) f (x). En este caso, a = 1/2, entonces [ frac {1} {a} = frac {1} {1/2} = 1 times 2 = 2 ]

 

El segundo elemento dice que cuando 0  

Reflexiones verticales

 

Para mayor comodidad, comenzamos repitiendo el gráfico original de y = f (x) y los datos que lo acompañan.

 

Ahora vamos a reflejar el gráfico en la dirección vertical (a través del eje x).

 
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Figura ( PageIndex {7} ). La gráfica original de f y una tabla de puntos clave en la gráfica de f.
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Si y = f (x) tiene la gráfica que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ) (a), dibuje la gráfica de y = −f (x).

 

Solución

 

Para configurar una tabla de puntos en preparación para la gráfica de y = −f (x), usaremos exactamente los mismos valores de x que ve en la tabla en la Figura ( PageIndex {7} ) (b), es decir, x = −2, −1, 0, 1 y 2. Para evaluar y = −f (x) en el primer valor de x, es decir, x = −2, hacemos el siguiente cálculo, [ 19459001]  

[y = -f (-2) = – (0) = 0 ]

 

donde hemos utilizado el hecho de que f (−2) = 0 de la tabla en la Figura ( PageIndex {7} ) (b). De manera similar, evaluamos y = −f (x) en cada uno de los valores restantes de x, es decir, x = −1, 0, 1 y 2.

 

[ begin {alineado} y & = – f (-1) = – (2) = – 2 \ y & = – f (0) = – (0) = 0 \ y & = – f (1) = – (- 2) = 2 \ y & = – f (2) = – (0) = 0 end {alineado} ]

 

Reunimos estos puntos en la tabla de la Figura ( PageIndex {8} ) (b) y los trazamos en la Figura ( PageIndex {8} ) (a).

 

Tenga en cuenta que la gráfica de y = −f (x) en la Figura ( PageIndex {8} ) (a) es un reflejo de la gráfica de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {7 } ) (a) a través del eje x.

 
 
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Figura ( PageIndex {8} ). La gráfica de y = −f (x) y una tabla de puntos clave en la gráfica.
 

Resumamos lo que hemos aprendido sobre los reflejos verticales.

 
 

Un resumen visual – Reflexiones verticales

 

Considere las imágenes en la Figura ( PageIndex {9} ).

 
         
  • En la Figura ( PageIndex {9} ) (a), vemos la gráfica original de y = f (x).
  •      
  • En la Figura ( PageIndex {9} ) (b), la gráfica de y = −f (x) es un reflejo de la gráfica de y = f (x) a través del eje x.
  •  
 
 
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Figura ( PageIndex {9} ). La gráfica de y = −f (x) es un reflejo de la gráfica de y = f (x) a través del eje x.
 

Por lo tanto, dada la gráfica de y = f (x), es una tarea simple dibujar la gráfica de y = −f (x).

 
         
  • Para dibujar la gráfica de y = −f (x), toma cada punto en la gráfica de y = f (x) y reflexiona sobre el eje x, manteniendo el valor de x igual, pero negando la y -valor.
  •  
 

Traducciones verticales

 

Las traducciones son quizás la transformación más fácil de todas. Una traducción es un “turno” o una “diapositiva”. Imagine, por un momento, que ha colocado una hoja transparente de plástico delgado sobre una hoja de papel cuadriculado. Dibujó un sistema de coordenadas cartesianas en su papel cuadriculado, pero trazó su gráfico en la lámina de plástico transparente. Ahora, “cambie” o “deslice” la transparencia sobre el papel cuadriculado en una dirección constante sin girar la transparencia. Esto es lo que queremos decir con una “traducción”. En esta sección, nos centraremos estrictamente en las traducciones verticales.

 

Por conveniencia, comenzamos repitiendo el gráfico original de y = f (x) y los datos que lo acompañan en la Figura ( PageIndex {10} ) (a) y (b), respectivamente. Ahora traduciremos este gráfico en dirección vertical.

 
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Figura ( PageIndex {10} ). La gráfica original de f y una tabla de puntos clave en la gráfica de f.
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Si y = f (x) tiene el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a), dibuje el gráfico de y = f (x) + 1.

 

Solución

 

Evaluaremos y = f (x) +1 en los mismos valores que se muestran en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b), es decir, x = −2, −1, 0, 1, y 2. Para evaluar y = f (x) +1 en el primer valor de x, es decir, x = −2, hacemos el siguiente cálculo [y = f (-2) + 1 = 0 + 1 = 1 ]

 

donde hemos utilizado el hecho de que f (−2) = 0 de la tabla en la Figura ( PageIndex {10} ) (b). De manera similar, podemos evaluar y = f (x) + 1 en cada uno de los valores restantes de x, es decir, x = −1, 0, 1 y 2.

 

[ begin {array} {l} {y = f (-1) + 1 = 2 + 1 = 3} \ {y = f (0) + 1 = 0 + 1 = 1} \ {y = f (1) + 1 = -2 + 1 = -1} \ {y = f (2) + 1 = 0 + 1 = 1} end {array} ]

 

Reunimos estos puntos en la tabla de la Figura ( PageIndex {11} ) (b) y los trazamos en la Figura ( PageIndex {11} ) (a).

 
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Figura ( PageIndex {11} ). La gráfica de y = f (x) + 1 y una tabla de puntos clave en la gráfica.
 

Cuando compara las entradas en la tabla en la Figura ( PageIndex {11} ). (B) con los valores originales en la tabla en la Figura ( PageIndex {10} ). (B), Notaremos que los valores de x en cada tabla son idénticos, pero los valores de y en la tabla de la Figura ( PageIndex {11} ). (b) se incrementan en 1. Esto tiene sentido, porque estos son los valores y de los puntos asociados con la función y = f (x) + 1. Por supuesto, todos los valores y deben ser 1 mayores que los valores y asociados con la ecuación original y = f (x).

 

Tenga en cuenta el resultado. La gráfica de y = f (x) + 1 en la Figura ( PageIndex {11} ) (a), cuando se compara con la gráfica de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {10} ) ( a), se desplaza 1 unidad hacia arriba.

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Si y = f (x) tiene la gráfica que se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a), dibuje la gráfica de y = f (x) – 2.

 

Solución

 

Evalúe la función y = f (x) – 2 en cada valor de x en la tabla en la Figura ( PageIndex {10} ) (b). En x = −2, [y = f (-2) -2 = 0-2 = -2 ]

 

De manera similar, evalúe y = f (x) – 2 en cada valor x restante en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b).

 

[ begin {alineado} y & = f (-1) -2 = 2-2 = 0 \ y & = f (0) -2 = 0-2 = -2 \ y & = f (1) -2 = -2-2 = -4 \ y & = f (2) -2 = 0-2 = -2 end {alineado} ]

 

Reunimos estos puntos en la tabla de la Figura ( PageIndex {12} ) (b) y los trazamos en la Figura ( PageIndex {12} ) (a).

 

Cuando compara las entradas en la tabla en la Figura ( PageIndex {12} ) (b) con los valores originales en la tabla en la Figura ( PageIndex {10} ) (b), usted tenga en cuenta que los valores de x en cada tabla son idénticos, pero los valores de y en la tabla de la Figura ( PageIndex {12} ) (b) se reducen en 2. Esto hace que

 
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Figura ( PageIndex {12} ). La gráfica de y = f (x) – 2 y una tabla de puntos clave en la gráfica.
 

sentido, porque estos son los valores y de los puntos asociados con la función y = f (x) – 2. Por supuesto, todos los valores y deberían ser 2 menos que los valores y asociados con la ecuación original y = f (x).

 

Tenga en cuenta el resultado. La gráfica de y = f (x) – 2 en la Figura ( PageIndex {12} ) (a), cuando se compara con la gráfica de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {10} ) ( a), se desplaza hacia abajo 2 unidades.

 
 

Resumamos lo que hemos aprendido sobre las traducciones verticales.

 
 

Un resumen visual – Traducciones verticales (turnos)

 

Considere las imágenes en la Figura ( PageIndex {13} ).

 
         
  • En la Figura ( PageIndex {13} ) (a), vemos en la imagen la gráfica de la función original y = f (x).
  •      
  • En la Figura ( PageIndex {13} ) (b), tenga en cuenta que cada punto clave en la gráfica de y = f (x) + 1 tiene un valor y que es precisamente 1 unidad más grande que el y- valor del punto correspondiente en la gráfica de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {13} ) (a).
  •      
  • En la Figura ( PageIndex {13} ) (c), tenga en cuenta que cada punto clave en la gráfica de y = f (x) – 2 tiene un valor y que es precisamente 2 unidades más pequeño que el y- valor del punto correspondiente en la gráfica de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {13} ) (a).
  •      
  • Tenga en cuenta que el valor x de cada punto transformado sigue siendo el mismo.
  •  
 
 

El resumen visual en la Figura ( PageIndex {13} ) hace que dibujar las gráficas de y = f (x) + 1 e y = f (x) – 2 sea una tarea fácil.

 
         
  • Dada la gráfica de y = f (x), para dibujar la gráfica de y = f (x) + 1, simplemente tome cada punto en la gráfica de y = f (x) y muévalo hacia arriba 1 unidad, manteniendo el mismo valor x
  •      
  • Dada la gráfica de y = f (x), para dibujar la gráfica de y = f (x) – 2, simplemente tome cada punto en la gráfica de y = f (x) y muévalo hacia abajo 2 unidades, manteniendo el mismo valor x
  •  
 

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Figura ( PageIndex {13} ). La gráfica de y = f (x) + 1 se forma desplazando (verticalmente) la gráfica de y = f (x) hacia arriba 1 unidad. La gráfica de y = f (x) – 2 se forma desplazando (verticalmente) la gráfica de y = f (x) hacia abajo 2 unidades.

 

En general, podemos decir lo siguiente.

 
 

resumen

 

Supongamos que se nos da la gráfica de y = f (x) y supongamos que c es cualquier número real positivo.

 
         
  • La gráfica de y = f (x) + c se desplaza c unidades hacia arriba desde la gráfica de y = f (x).
  •      
  • La gráfica de y = f (x) – c se desplaza c unidades hacia abajo desde la gráfica de y = f (x).
  •  
 
 

Componiendo transformaciones

 

A veces queremos realizar una transformación, luego tomar el resultado de la primera transformación y aplicar una segunda transformación. Veamos un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Considere la gráfica de y = f (x) presentada en la Figura ( PageIndex {14} ).

 
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Figura ( PageIndex {14} ) La gráfica de y = f (x) que se transformará en el Ejemplo ( PageIndex {7} ).
 

Use los conceptos discutidos en los Resúmenes visuales para dibujar la gráfica de y = −2f (x) sin crear y referirse a una tabla de puntos.

 

Solución

 

Tenga en cuenta que la ecuación y = −2f (x) puede formarse mediante una secuencia de dos transformaciones.

 
         
  1. Primero, escale la función original y = f (x) para obtener la ecuación y = 2f (x).
  2.      
  3. Segundo, niega la función resultante y = 2f (x) para obtener la ecuación y = −2f (x).
  4.  
 

Por lo tanto, la gráfica de y = −2f (x) se puede formar de la siguiente manera:

 
         
  1. Comience con la gráfica de y = f (x) y duplique el valor de y de cada punto en la gráfica de y = f (x), manteniendo el mismo valor de x. El resultado es el gráfico de y = 2f (x) que se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ) (b).
  2.      
  3. Luego, niega el valor de y de cada punto en la gráfica de y = 2f (x), manteniendo el mismo valor de x. El resultado es el gráfico de y = −2f (x) en la Figura ( PageIndex {15} ) (c).
  4.  
 
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Figura ( PageIndex {15} ). Transformando la gráfica de y = f (x) con una secuencia de dos transformaciones.
 

Es interesante observar que obtendrá el mismo resultado si niega primero y luego escala el resultado. Dejaremos que nuestros lectores verifiquen que esto sea cierto.

 
 

Veamos un último ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Considere la gráfica de y = f (x) presentada en la Figura ( PageIndex {16} ).

 

Use los conceptos discutidos en los resúmenes visuales para dibujar la gráfica de y = −f (x) +2 sin crear y hacer referencia a una tabla de puntos.

 

Solución

 

Tenga en cuenta que la ecuación y = −f (x) + 2 puede formarse mediante una secuencia de dos transformaciones.

 
         
  1. Primero, niega la función original y = f (x) para obtener la ecuación y = −f (x).
  2.      
  3. Segundo, suma 2 a la función resultante y = −f (x) para obtener la ecuación y = −f (x) + 2.
  4.  
 

Por lo tanto, la gráfica de y = −f (x) + 2 se puede formar de la siguiente manera.

 
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Figura ( PageIndex {16} ). La gráfica de y = f (x) que se transformará en el Ejemplo ( PageIndex {8} ).
 

1. Primero, comience con la gráfica de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {17} ) (a) y niegue el valor de y de cada punto para producir la gráfica de y = −f (x) Figura ( PageIndex {17} ) (b).

 

2. Luego, agregue 2 al valor y de cada punto en la gráfica de y = −f (x) en la Figura ( PageIndex {17} ) (b) para producir la gráfica de y = – f (x) + 2 en la Figura ( PageIndex {17} ) (c).

 
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Figura ( PageIndex {17} ). Transformando la gráfica de y = f (x), primero reflejando a través del eje x, luego desplazando 2 unidades hacia arriba para obtener la gráfica de y = −f (x) + 2.
 

En el ejemplo ( PageIndex {7} ), donde comenzamos con la gráfica de y = f (x) y luego graficamos y = 2f (x), el orden de las transformaciones no importó. Escale en 2, luego niegue, o niegue y escale en 2, obtendrá el mismo resultado (los lectores deben verificar esta afirmación). Sin embargo, en este ejemplo, el orden en que se aplican las transformaciones es importante. Para ver esto, hagamos lo siguiente:

 
         
  1. Agregue 2 para desplazar la gráfica de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {18} ) (a) dos unidades hacia arriba para obtener la gráfica de y = f (x) + 2 en la Figura ( PageIndex {18} ) (b).
  2.      
  3. Niegue el valor y de cada punto en la gráfica de y = f (x) + 2 en la Figura ( PageIndex {18} ) (b) para obtener la gráfica de y = – (f (x) + 2) en la Figura ( PageIndex {18} ) (c). Tenga en cuenta que debemos negar todo el valor de y. De ahí los paréntesis.
  4.  
 

Desafortunadamente, la gráfica de y = – (f (x) + 2) en la Figura ( PageIndex {18} ) (c) no es la misma que la gráfica de y = −f (x) + 2 en la Figura ( PageIndex {17} ) (c). Pero, por supuesto, esto tiene mucho sentido, ya que las ecuaciones (en el caso de la Figura ( PageIndex {18} ) (c))

 

[y = – (f (x) +2) = – f (x) -2 ]

 

y (en el caso de la Figura ( PageIndex {17} ) (c))

 

[y = -f (x) +2 ]

 

tampoco son lo mismo.

 
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Figura ( PageIndex {18} ). Transformando la gráfica de y = f (x), desplazando 2 unidades hacia arriba para obtener la gráfica de y = f (x) + 2, luego reflexionando a través del eje x para obtener la gráfica de y = – (f (x) + 2)
 

Por lo tanto, se debe tener cuidado al aplicar más de una transformación. Aquí hay una buena regla general para vivir.

 

Haga primero escalas verticales y reflexiones, luego traducciones verticales. Al realizar una secuencia de transformaciones verticales, generalmente es más fácil (menos confuso) aplicar escalas verticales y reflexiones antes de las traducciones verticales.

 

Sin embargo, siempre que realice las transformaciones correctamente, debe obtener el resultado correcto. En el Ejemplo ( PageIndex {8} ), si desea dibujar la gráfica de y = −f (x) +2 haciendo primero la traducción, la forma correcta de proceder es la siguiente (aunque algo contradictorio): [ 19459001]  

         
  1. Primero, desplaza la gráfica de y = f (x) hacia abajo 2 unidades para obtener la gráfica de y = f (x) – 2.
  2.      
  3. Segundo, refleje la gráfica de y = f (x) – 2 a través del eje x para obtener la gráfica de y = – (f (x) – 2). Una vez más, tenga en cuenta el uso de paréntesis mientras negamos todo el valor de y.
  4.  
 

Finalmente, tenga en cuenta que [y = – (f (x) -2) = – f (x) +2 ]

 

Dejaremos que nuestros lectores muestren que esta secuencia produce el resultado correcto, un gráfico idéntico a la respuesta correcta que se muestra en la Figura ( PageIndex {17} ) (c).

 
 
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