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las matematicas

2.5: Uso de transformaciones para graficar funciones

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Defina las transformaciones rígidas y úselas para dibujar gráficos.
  •      
  • Defina las transformaciones no rígidas y úselas para dibujar gráficos.
  •  
 
 

Traducciones verticales y horizontales

 

Cuando el gráfico de una función cambia en apariencia y / o ubicación, lo llamamos transformación. Hay dos tipos de transformaciones. Una transformación rígida 57 cambia la ubicación de la función en un plano de coordenadas, pero deja el tamaño y la forma del gráfico sin cambios. Una transformación no rígida 58 cambia el tamaño y / o la forma del gráfico.

 

Una vertical traducción 59 es una transformación rígida que desplaza un gráfico hacia arriba o hacia abajo en relación con el gráfico original. Esto ocurre cuando se agrega una constante a cualquier función. Si agregamos una constante positiva a cada coordenada (y ), la gráfica se desplazará hacia arriba. Si agregamos una constante negativa, el gráfico se desplazará hacia abajo. Por ejemplo, considere las funciones (g (x) = x ^ {2} – 3 ) y (h (x) = x ^ {2} + 3 ). Comience evaluando algunos valores de la variable independiente (x ).

 
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Figura 2.5.1
 

Ahora trace los puntos y compare las gráficas de las funciones (g ) y (h ) con la gráfica básica de (f (x) = x ^ {2} ), que se muestra usando un curva gris discontinua debajo.

 
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Figura 2.5.2
 

La función (g ) desplaza el gráfico básico hacia abajo (3 ) unidades y la función (h ) desplaza el gráfico básico hacia arriba (3 ) unidades. En general, esto describe las traducciones verticales; si (k ) es cualquier número real positivo:

                                                                                                              
Desplazamiento vertical hacia arriba (k ) unidades: (F (x) = f (x) + k )
Desplazamiento vertical hacia abajo (k ) unidades: (F (x) = f (x) -k )
 

Tabla 2.5.1

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Dibuje el gráfico de (g (x) = sqrt {x} +4 ).

 

Solución

 

Comience con la función básica definida por (f (x) = sqrt {x} ) y desplace el gráfico hacia arriba (4 ) unidades.

 

Respuesta :

 
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Figura 2.5.3
 
 

Una traslación horizontal 60 es una transformación rígida que desplaza un gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha en relación con el gráfico original. Esto ocurre cuando sumamos o restamos constantes de la coordenada (x ) antes de que se aplique la función. Por ejemplo, considere las funciones definidas por (g (x) = (x + 3) ^ {2} ) y (h (x) = (x − 3) ^ {2} ) y cree las siguientes tablas :

 
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Figura 2.5.4
 

Aquí sumamos y restamos las coordenadas x y luego cuadramos el resultado. Esto produce una traducción horizontal.

 
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Figura 2.5.5
 

Tenga en cuenta que esto es lo contrario de lo que podría esperar. En general, esto describe las traducciones horizontales; si (h ) es cualquier número real positivo:

                                                                                                              
Desplazamiento horizontal hacia la izquierda (h ) unidades: (F (x) = f (x + h) )
Desplazamiento horizontal a la derecha (h ) unidades: (F (x) = f (x-h) )
 

Tabla 2.5.2

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Dibuja la gráfica de (g (x) = (x − 4) ^ {3} ).

 

Solución

 

Comience con una función de cubos básica definida por (f (x) = x ^ {3} ) y desplace las unidades de gráfico (4 ) hacia la derecha.

 

Respuesta :

 
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Figura 2.5.6
 
 

A menudo ocurre que se producen combinaciones de traducciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Dibuja la gráfica de (g (x) = | x + 3 | −5 ).

 

Solución

 

Comience con la función de valor absoluto y aplique las siguientes transformaciones.

 

( begin {array} {l} {y = | x |} quad quad quad quad color {Cerulean} {Basic : function} \ {y = | x + 3 |} quad : quad color {Cerulean} {Horizontal : shift : left : 3 : units} \ {y = | x + 3 | – 5} : : : color {Cerulean} {Vertical : shift : down : 5 : units} end {array} )

 

Respuesta :

 
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Figura 2.5.7
 
 

El orden en que aplicamos las traducciones horizontales y verticales no afecta el gráfico final.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Dibuja la gráfica de (g (x) = frac {1} {x – 5} + 3 ).

 

Solución

 

Comience con la función recíproca e identifique las traducciones.

 

( begin {array} {l} {y = frac {1} {x}} quad quad quad quad color {Cerulean} {Basic : function} \ {y = frac {1} {x-5}} quad : quad : : : color {Cerulean} {Horizontal : shift : left : 3 : units} \ {y = frac { 1} {x-5} +3} : : : : : : : color {Cerulean} {Vertical : shift : down : 5 : units} end {array} )

 

Tenga cuidado de cambiar la asíntota vertical desde el eje y 5 unidades hacia la derecha y desplazar la asíntota horizontal desde el eje x hacia arriba 3 unidades.

 

Respuesta :

 
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Figura 2.5.8
 
 

Reflexiones

 

Una reflexión 61 es una transformación en la que se produce una imagen especular del gráfico alrededor de un eje. En esta sección, consideraremos reflexiones sobre el eje (x ) – y (y ) -. El gráfico de una función se refleja sobre el eje (x ) si cada coordenada (y ) se multiplica por (- 1 ). El gráfico de una función se refleja sobre el eje (y ) – si cada coordenada (x ) – se multiplica por (- 1 ) antes de que se aplique la función. Por ejemplo, considere (g (x) = sqrt {−x} ) y (h (x) = – sqrt {x} ).

 
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Figura 2.5.10
 

Compare la gráfica de (g ) y (h ) con la función básica de raíz cuadrada definida por (f (x) = sqrt {x} ), que se muestra discontinua en gris a continuación:

 
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Figura 2.5.11
 

La primera función (g ) tiene un factor negativo que aparece “dentro” de la función; Esto produce una reflexión sobre el eje (y ). La segunda función (h ) tiene un factor negativo que aparece “fuera” de la función; Esto produce una reflexión sobre el eje (x ). En general, es cierto que:

                                                                                                              
Reflexión sobre el eje (y ): (F (x) = f (- x) )
Reflexión sobre el eje (x ): (F (x) = – f (x) )
 

Tabla 2.5.3

 

Al dibujar gráficos que involucren una reflexión, considere primero la reflexión y luego aplique las traducciones verticales y / u horizontales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Dibuja la gráfica de (g (x) = – (x + 5) ^ {2} + 3 ).

 

Solución

 

Comience con la función de cuadratura y luego identifique las transformaciones comenzando con cualquier reflejo.

 

( begin {array} {l} {y = x ^ {2}} quad quad quad quad quad quad color {Cerulean} {Basic : function.} \ {y = – x ^ {2}} quad quad quad quad quad : color {Cerulean} {Relfection : about : the : x-axis.} \ {y = – (x + 5 ) ^ {2}} quad quad : : : color {Cerulean} {Horizontal : shift : left : 5 : units.} \ {y = – (x + 5) ^ { 2} + 3} quad color {Cerulean} {Vertical : shift : up : 3 : units.} End {array} )

 

Usa estas traducciones para dibujar el gráfico.

 

Respuesta :

 
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Figura 2.5.12
 
 

Dilaciones

 

Las traducciones horizontales y verticales, así como las reflexiones, se denominan transformaciones rígidas porque la forma del gráfico básico no se modifica o es rígida. Las funciones que se multiplican por un número real distinto de (1 ), dependiendo del número real, parecen estirarse verticalmente o horizontalmente. Este tipo de transformación no rígida se denomina dilatación 62 . Por ejemplo, podemos multiplicar la función de cuadratura (f (x) = x ^ {2} ) por (4 ) y ( frac {1} {4} ) para ver qué sucede con el gráfico.

 
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Figura 2.5.14
 

Compare la gráfica de (g ) y (h ) con la función de cuadratura básica definida por (f (x) = x ^ {2} ), que se muestra discontinua en gris a continuación:

 
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Figura 2.5.15
 

La función (g ) es más pronunciada que la función de cuadratura básica y su gráfico parece haberse extendido verticalmente. La función (h ) no es tan empinada como la función de cuadratura básica y parece que se ha extendido horizontalmente.

 

En general, tenemos:

                                                              
Dilatación: (F (x) = a cdot f (x) )
 

Tabla 2.5.4

 

Si el factor (a ) es una fracción distinta de cero entre (- 1 ) y (1 ), estirará el gráfico horizontalmente. De lo contrario, el gráfico se estirará verticalmente. Si el factor (a ) es negativo, también producirá una reflexión.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Dibuja la gráfica de (g (x) = – 2 | x – 5 | – 3 ).

 

Solución

 

Aquí comenzamos con el producto de (- 2 ) y la función básica de valor absoluto: (y = −2 | x | ). Esto da como resultado una reflexión y una dilatación.

 
Screenshot (134).png
Figura 2.5.16
 

Use los puntos ( {(- 1, −2), (0, 0), (1, −2) } ) para representar gráficamente la función reflejada y dilatada (y = −2 | x | ). Luego traduzca este gráfico (5 ) unidades a la derecha y (3 ) unidades hacia abajo.

 

( begin {array} {l} {y = – 2 | x |} quad quad quad quad : color {Cerulean} {Basic : graph : with : dilation : y : reflexión : acerca de : el eje : x.} \ {y = – 2 | x – 5 |} quad quad : : color {Cerulean} {Shift : right : 5 : unidades.} \ {y = – 2 | x – 5 | – 3} : : : : color {Cerulean} {Shift : abajo : 3 : unidades.} End { matriz} )

 

Respuesta :

 
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Figura 2.5.17
 
 

En resumen, dados los números reales positivos (h ) y (k ):

                                                                                                              
Desplazamiento vertical hacia arriba (k ) unidades: (F (x) = f (x) + k )
Desplazamiento vertical hacia abajo (k ) unidades: (F (x) = f (x) -k )
 

Tabla 2.5.1

                                                                                                              
Desplazamiento horizontal hacia la izquierda (h ) unidades: (F (x) = f (x + h) )
Desplazamiento horizontal a la derecha (h ) unidades: (F (x) = f (x-h) )
 

Tabla 2.5.2

                                                                                                              
Reflexión sobre el eje (y ): (F (x) = f (- x) )
Reflexión sobre el eje (x ): (F (x) = – f (x) )
 

Tabla 2.5.3

                                                              
Dilatación: (F (x) = a cdot f (x) )
 

Tabla 2.5.4

 

Puntos clave

 
         
  • La identificación de transformaciones nos permite esbozar rápidamente el gráfico de funciones. Esta habilidad será útil a medida que avancemos en nuestro estudio de las matemáticas. A menudo, una comprensión geométrica de un problema conducirá a una solución más elegante.
  •      
  • Si se agrega una constante positiva a una función, (f (x) + k ), el gráfico se desplazará hacia arriba. Si una constante positiva se resta de una función, (f (x) – k ), la gráfica se desplazará hacia abajo. La forma básica del gráfico seguirá siendo la misma.
  •      
  • Si se agrega una constante positiva al valor en el dominio antes de que se aplique la función, (f (x + h) ), el gráfico se desplazará a la izquierda. Si se resta una constante positiva del valor en el dominio antes de que se aplique la función, (f (x – h) ), el gráfico se desplazará a la derecha. La forma básica seguirá siendo la misma.
  •      
  • Multiplicar una función por una constante negativa, (- f (x) ), refleja su gráfica en el eje (x ). Multiplicar los valores en el dominio por (- 1 ) antes de aplicar la función, (f (−x) ), refleja la gráfica sobre el eje (y ).
  •      
  • Al aplicar transformaciones múltiples, aplique primero los reflejos.
  •      
  • Multiplicar una función por una constante que no sea (1 ), (a ⋅ f (x) ), produce una dilatación. Si la constante es un número positivo mayor que (1 ), el gráfico parecerá estirarse verticalmente. Si la constante positiva es una fracción menor que (1 ), el gráfico parecerá estirarse horizontalmente.
  •  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Representa gráficamente la función dada. Identifique la función básica y las traducciones utilizadas para dibujar el gráfico. Luego indique el dominio y el rango.

 
         
  1. (f (x) = x + 3 )
  2.      
  3. (f (x) = x – 2 )
  4.      
  5. (g (x) = x ^ {2} + 1 )
  6.      
  7. (g (x) = x ^ {2} – 4 )
  8.      
  9. (g (x) = (x – 5) ^ {2} )
  10.      
  11. (g (x) = (x + 1) ^ {2} )
  12.      
  13. (g (x) = (x – 5) ^ {2} + 2 )
  14.      
  15. (g (x) = (x + 2) ^ {2} – 5 )
  16.      
  17. (h (x) = | x + 4 | )
  18.      
  19. (h (x) = | x – 4 | )
  20.      
  21. (h (x) = | x – 1 | – 3 )
  22.      
  23. (h (x) = | x + 2 | – 5 )
  24.      
  25. (g (x) = sqrt {x} – 5 )
  26.      
  27. (g (x) = sqrt {x – 5} )
  28.      
  29. (g (x) = sqrt {x – 2} + 1 )
  30.      
  31. (g (x) = sqrt {x + 2} + 3 )
  32.      
  33. (h (x) = (x – 2) ^ {3} )
  34.      
  35. (h (x) = x ^ {3} + 4 )
  36.      
  37. (h (x) = (x – 1) ^ {3} – 4 )
  38.      
  39. (h (x) = (x + 1) ^ {3} + 3 )
  40.      
  41. (f (x) = frac {1} {x − 2} )
  42.      
  43. (f (x) = frac {1} {x + 3} )
  44.      
  45. (f (x) = frac {1} {x} + 5 )
  46.      
  47. (f (x) = frac {1} {x} – 3 )
  48.      
  49. (f (x) = frac {1} {x + 1} – 2 )
  50.      
  51. (f (x) = frac {1} {x − 3} + 3 )
  52.      
  53. (g (x) = −4 )
  54.      
  55. (g (x) = 2 )
  56.      
  57. (f (x) = sqrt [3] {x – 2} + 6 )
  58.      
  59. (f (x) = sqrt [3] {x + 8} – 4 )
  60.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (y = x ); Desplazar hacia arriba (3 ) unidades; dominio: ( mathbb {R} ); rango: ( mathbb {R} )

     
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Figura 2.5.24
     

3. (y = x ^ {2} ); Subir unidad (1 ); dominio: (ℝ ); rango: ([1, ∞) )

     
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Figura 2.5.25
     

5. (y = x ^ {2} ); Desplazar a la derecha (5 ) unidades; dominio: (ℝ ); rango: ([0, ∞) )

     
8fc7f879a8ba5f12d0b98f348e5adadb.png
Figura 2.5.26
     

7. (y = x ^ {2} ); Desplazar hacia la derecha (5 ) unidades y hacia arriba (2 ) unidades; dominio: (ℝ ); rango: ([2, ∞) )

     
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Figura 2.5.27
     

9. (y = | x | ); Desplazar a la izquierda (4 ) unidades; dominio: (ℝ ); rango: ([0, ∞) )

     
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Figura 2.5.28
     

11. (y = | x | ); Desplazar hacia la derecha (1 ) unidad y hacia abajo (3 ) unidades; dominio: (ℝ ); rango: ([- 3, ∞) )

     
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Figura 2.5.29
     

13. (y = sqrt {x} ); Desplazar hacia abajo (5 ) unidades; dominio: ([0, ∞) ); rango: ([- 5, ∞) )

     
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Figura 2.5.30
     

15. (y = sqrt {x} ); Desplazar hacia la derecha (2 ) unidades y hacia arriba (1 ) unidad; dominio: ([2, ∞) ); rango: ([1, ∞) )

     
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Figura 2.5.31
     

17. (y = x ^ {3} ); Desplazar unidades a la derecha (2 ); dominio: (ℝ ); rango: (ℝ )

     
01b74b05906d95ff14c5aa6de0ae7b4f.png
Figura 2.5.32
     

19. (y = x ^ {3} ); Desplazar hacia la derecha (1 ) unidad y hacia abajo (4 ) unidades; dominio: (ℝ ); rango: (ℝ )

     
a4f584febcd95dc5ef92bbe2ef80df7c.png
Figura 2.5.33
     

21. (y = frac {1} {x} ); Desplazar unidades a la derecha (2 ); dominio: ((- ∞, 2) ∪ (2, ∞) ); rango: ((- ∞, 0) ∪ (0, ∞) )

     
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Figura 2.5.34
     

23. (y = frac {1} {x} ); Desplazar hacia arriba (5 ) unidades; dominio: ((- ∞, 0) ∪ (0, ∞) ); rango: ((- ∞, 1) ∪ (1, ∞) )

     
53d3a12d61be06d8913ae13668760ebb.png
Figura 2.5.35
     

25. (y = frac {1} {x} ); Desplazar hacia la izquierda (1 ) unidad y hacia abajo (2 ) unidades; dominio: ((- ∞, −1) ∪ (−1, ∞) ); rango: ((- ∞, −2) ∪ (−2, ∞) )

     
0eac4ad67881e57bfa8e7dc46c933e8e.png
Figura 2.5.36
     

27. Gráfico básico (y = −4 ); dominio: (ℝ ); rango: ( {- 4 } )

     
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Figura 2.5.37
     

29. (y = sqrt [3] {x} ); Desplaza hacia arriba (6 ) unidades y hacia la derecha (2 ) unidades; dominio: (ℝ ); rango: (ℝ )

     
43dafc2ae310a7b8dbba8ee467325ad8.png
Figura 2.5.38
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Representa gráficamente las funciones por partes.

 
         
  1. (h (x) = left { begin {array} {ll} {x ^ {2} + 2} & { text {if} x <0} \ {x + 2} & { text {if} x geq 0} end {array} right. )
  2.      
  3. (h (x) = left { begin {array} {ll} {x ^ {2} – 3 text {if} x <0} \ { sqrt {x} - 3 texto {if} x geq 0} end {array} right. )
  4.      
  5. (h (x) = left { begin {array} {ll} {x ^ {3} – 1} & { text {if} x <0} \ {| x - 3 | - 4} & { text {if} x geq 0} end {array} right. )
  6.      
  7. (h (x) = left { begin {array} {cc} {x ^ {3}} & { text {if} x <0} \ {(x - 1) ^ { 2} - 1} & { text {if} x geq 0} end {array} right. )
  8.      
  9. (h (x) = left { begin {array} {ll} {x ^ {2} – 1} & { text {if} x <0} \ {2} & { texto {if} x geq 0} end {array} right. )
  10.      
  11. (h (x) = left { begin {array} {ll} {x + 2} & { text {if} x <0} \ {(x - 2) ^ {2} } & { text {if} x geq 0} end {array} right. )
  12.      
  13. (h (x) = left { begin {array} {ll} {(x + 10) ^ {2} – 4} & { text {if} x <- 8} \ { x + 4} y { text {if} - 8 leq x <- 4} \ { sqrt {x + 4}} y { text {if} x geq - 4} end {array} derecha. )
  14.      
  15. (f (x) = left { begin {array} {ll} {x + 10} & { text {if} x leq – 10} \ {| x – 5 | – 15 } & { text {if} – 10 20} end {array} right. )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

     
1790a36f5e4c391f1d37b3abdabb2349.png
Figura 2.5.39
     

3.

     
f2e8945e9fea8dc040b6d5a1180fd1d0.png
Figura 2.5.40
     

5.

     
ab01cd028abe7241da8e857be88bdb8a.png
Figura 2.5.41
     

7.

     
00235242b3f9ae8ded77603b43125c75.png
Figura 2.5.42
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Escribe una ecuación que represente la función cuya gráfica se da.

 

1.

 
9de0ccbee5d59fa05acab85d085cb4d7.png
Figura 2.5.43
 

2.

 
122abd4ccb8eb72a59532b22ed6116ab.png
Figura 2.5.44
 

3.

 
b8f5c01476fe7ee9f21dd781da420d2d.png
Figura 2.5.45
 

4.

 
Figura 2.5.46
 

5.

 
e90ad3255312e9bf25d0f866de703eb4.png
Figura 2.5.47
 

6.

 
6c160b69a9ef56763a5424ea14fbc86f.png
Figura 2.5.48
 

7.

 
613f12af91bfbf853201387cb6dd7acb.png
Figura 2.5.49
 

8.

 
Figura 2.5.50
 
     
Respuesta
     
     

1. (f (x) = sqrt {x – 5} )

     

3. (f (x) = (x – 15) ^ {2} – 10 )

     

5. (f (x) = frac {1} {x + 8} + 4 )

     

7. (f (x) = sqrt {x + 16} – 4 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Usa las transformaciones para graficar las siguientes funciones.

 
         
  1. (f (x) = – x + 5 )
  2.      
  3. (f (x) = – | x | – 3 )
  4.      
  5. (g (x) = – | x – 1 | )
  6.      
  7. (f (x) = – (x + 2) ^ {2} )
  8.      
  9. (h (x) = sqrt {- x} + 2 )
  10.      
  11. (g (x) = – sqrt {x} + 2 )
  12.      
  13. (g (x) = – (x + 2) ^ {3} )
  14.      
  15. (h (x) = – sqrt {x – 2} + 1 )
  16.      
  17. (g (x) = – x ^ {3} + 4 )
  18.      
  19. (f (x) = – x ^ {2} + 6 )
  20.      
  21. (f (x) = – 3 | x | )
  22.      
  23. (g (x) = – 2 x ^ {2} )
  24.      
  25. (h (x) = frac {1} {2} (x – 1) ^ {2} )
  26.      
  27. (h (x) = frac {1} {3} (x + 2) ^ {2} )
  28.      
  29. (g (x) = – frac {1} {2} sqrt {x – 3} )
  30.      
  31. (f (x) = – 5 sqrt {x + 2} )
  32.      
  33. (f (x) = 4 sqrt {x – 1} + 2 )
  34.      
  35. (h (x) = – 2 x + 1 )
  36.      
  37. (g (x) = – frac {1} {4} (x + 3) ^ {3} – 1 )
  38.      
  39. (f (x) = – 5 (x – 3) ^ {2} + 3 )
  40.      
  41. (h (x) = – 3 | x + 4 | – 2 )
  42.      
  43. (f (x) = – frac {1} {x} )
  44.      
  45. (f (x) = – frac {1} {x + 2} )
  46.      
  47. (f (x) = – frac {1} {x + 1} + 2 )
  48.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

     
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Figura 2.5.57
     

3.

     
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Figura 2.5.58
     

5.

     
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Figura 2.5.59
     

7.

     
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Figura 2.5.60
     

9.

     
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Figura 2.5.61
     

11.

     
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Figura 2.5.62
     

13.

     
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Figura 2.5.63
     

15.

     
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Figura 2.5.64
     

17.

     
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Figura 2.5.65
     

19.

     
Figura 2.5.66
     

21.

     
Figura 2.5.67
     

23.

     
Figura 2.5.68
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 
         
  1. Use diferentes colores para representar gráficamente la familia de gráficos definidos por (y = kx ^ {2} ), donde (k in left {1, frac {1} {2}, frac { 1} {3}, frac {1} {4} right } ). ¿Qué le sucede a la gráfica cuando el denominador de (k ) es muy grande? Comparta sus hallazgos en el panel de discusión.
  2.      
  3. Gráfico (f (x) = sqrt {x} ) y (g (x) = – sqrt {x} ) en el mismo conjunto de ejes de coordenadas. ¿Cómo se ve la forma general? Intenta encontrar una sola ecuación que describa la forma. Comparte tus hallazgos.
  4.      
  5. Explore lo que le sucede al gráfico de una función cuando los valores del dominio se multiplican por un factor (a ) antes de que se aplique la función, (f (ax) ). Desarrolle algunas reglas para esta situación y compártalas en el panel de discusión.
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 
 

Notas a pie de página

 

57 Un conjunto de operaciones que cambian la ubicación de un gráfico en un plano de coordenadas pero dejan el tamaño y la forma sin cambios.

 

58 Un conjunto de operaciones que cambian el tamaño y / o la forma de un gráfico en un plano de coordenadas.

 

59 Una transformación rígida que desplaza un gráfico hacia arriba o hacia abajo.

 

60 Una transformación rígida que desplaza un gráfico hacia la izquierda o hacia la derecha.

 

61 Una transformación que produce una imagen especular del gráfico sobre un eje.

 

62 Una transformación no rígida, producida al multiplicar funciones por un número real distinto de cero, que parece estirar el gráfico vertical u horizontalmente.

 
                                  
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