En Capítulo 1 , presentamos los números naturales ( mathbb {N} = {1,2,3, ldots } ), los números enteros ( mathbb {W } = {0,1,2,3, ldots } ), y los enteros ( mathbb {Z} = { ldots, -3, -2, -1,0,1,2, 3, ldots } ). Más adelante en el capítulo, presentamos los números racionales, números de la forma (p / q ), donde (p ) y (q ) son enteros. Notamos que tanto los decimales que terminan como los que se repiten son números racionales. Cada uno de estos números tiene una posición única en la línea numérica (consulte la Figura ( PageIndex {1} )).
Los números naturales, números enteros y enteros también son números racionales, porque cada uno puede expresarse en la forma (p / q ), donde (p ) y (q ) son enteros. Por ejemplo, (0 = 0/12 ), (4 = 4/1 ) y (- 3 = -12 / 4 ). De hecho, los números racionales contienen todos los números que hemos estudiado hasta este momento en el curso. Sin embargo, no todos los números son números racionales. Por ejemplo, considere el número decimal (- 3.10110111011110 ldots ), que no termina ni se repite. El número ( sqrt {2} = 1.414213562373095 ldots ) también es igual a un número decimal que nunca termina y nunca se repite. Se puede hacer una declaración similar sobre el número ( pi = 3.141592653589793 dots ) Cada uno de estos números irracionales (no racionales) también tiene una posición única en la línea numérica (ver Figura ( PageIndex {2} )) .
Otros dos números irracionales que puedes encontrar en tus estudios matemáticos son e (constante de Euler), que es aproximadamente igual a (e aprox 2.71828182845904 ldots ) y ( phi ) (pronunciado “phi”) , llamada la proporción áurea, que es igual a ( phi = (1+ sqrt {5}) / 2 ). El número e surge en aplicaciones que involucran interés compuesto, probabilidad y otras áreas de las matemáticas. El número ( phi ) se usa en los mercados financieros y también podría decirse que es la proporción de belleza en el arte y la arquitectura.
Los números reales
Si combinamos todos los números racionales e irracionales en una colección, entonces tenemos un conjunto de números que se llama el conjunto de números reales. El conjunto de números reales se denota con el símbolo ( mathbb {R} ).
Cada punto en la recta numérica está asociado con un número real único. Por el contrario, cada número real está asociado con una posición única en la recta numérica. En lugar de esta correspondencia, la línea numérica generalmente se llama línea real.
Ordenando los números reales
Los números reales se ordenan en la línea real de una manera idéntica a cómo ordenamos los enteros en la línea numérica en Sección 1 del Capítulo 1 .
Orden en la línea real
Suponga que (a ) y (b ) son números reales posicionados en la línea real como se muestra a continuación.
- Debido a que (a ) se encuentra a la “izquierda de” (b ), decimos que (a ) es “menor que” (b ), o en símbolos matemáticos, (a < si). El símbolo de desigualdad (<) se lee "menor que".
- Alternativamente, (b ) se encuentra a la “derecha de” (a ), por lo que también podemos decir que (b ) es “mayor que” (a ), o en símbolos matemáticos, (b> a ). El símbolo de desigualdad (> ) se lee “mayor que”.
Aquí hay dos símbolos de desigualdad más que utilizaremos en esta sección.
Menor o igual que
Si queremos decir que (a ) se encuentra a la “izquierda de” (b ), o comparte la misma posición que (b ), entonces decimos que (a ) es ” menor o igual que ” (b ) y escriba (a ≤ b ). El símbolo de desigualdad (≤ ) se pronuncia “menor o igual que”.
Mayor o igual que
Si queremos decir que (b ) se encuentra a la “derecha de” (a ), o comparte la misma posición que (a ), entonces decimos que (b ) es ” mayor o igual que ” (a ) y escriba (b≥ a ). El símbolo de desigualdad (≥ ) se pronuncia” mayor que o igual a “.
Notación de generador de conjuntos
Los matemáticos usan una construcción llamada notación de generador de conjuntos para describir conjuntos o colecciones de números. La forma general de la notación de generador de conjuntos se ve de la siguiente manera: [ {x: text {alguna declaración sobre} x } nonumber ] Por ejemplo, supongamos que queremos describir el conjunto de “todos los números reales que son menos de (2 ) “. Podríamos usar la siguiente notación: [A = {x: x <2 } nonumber ]
Esto se lee en voz alta de la siguiente manera: ” (A ) es igual al conjunto de todos (x ) de modo que (x ) sea menor que (2 )”. Algunos prefieren usar una barra vertical en lugar de dos puntos. [A = {x | x <2 } nonumber ] En este texto usamos los dos puntos en la notación de generador de conjuntos, pero en su lugar puede usar la barra vertical. Quieren decir lo mismo. Todavía se podría objetar que la notación [ {x: x <2 } nonumber ] es un poco vaga. Una objeción podría ser "¿A qué tipo de números (x ) se refiere? ¿Quieres los enteros que son menos de dos o quieres los números reales que son menos de dos? Como puede ver, esta es una objeción válida. Una forma de abordar esta objeción es escribir: [A = {x in mathbb {R}: x <2 } quad text {or} quad A = {x in mathbb {N }: x <2 } nonumber ] El primero se lee " (A ) es el conjunto de todos (x ) en (R ) que son menos de dos", mientras que el segundo se lee " (A ) es el conjunto de todos (x ) en (N ) que son menos de dos ".
Supuesto del generador de conjuntos
En este texto, a menos que haya una referencia específica al conjunto de números deseado, asumiremos que la notación ( {x: x <2 } ) está pidiendo el conjunto de todos los números reales menores que (2 ).
En la Figura ( PageIndex {3} ), hemos sombreado el conjunto de números reales ( {x: x <2 } ). Porque
“menos que” es lo mismo que decir “izquierda de”, hemos sombreado (en rojo) todos los puntos en la línea real que se encuentran a la izquierda del número dos. Tenga en cuenta que hay un “círculo vacío” en el número dos. El punto que representa el número dos no está sombreado porque solo se nos pidió que sombreemos los números que son estrictamente menores que dos.
Si bien el sombreado en la Figura ( PageIndex {3} ) es perfectamente válido, mucha de la información proporcionada en la Figura ( PageIndex {3} ) es innecesaria (y tal vez distrae). Solo necesitamos etiquetar el punto final y sombrear los números reales a la izquierda de dos, como lo hemos hecho al construir la Figura ( PageIndex {4} ).
Para el contraste, supongamos que se nos pide que sombreemos el conjunto de números reales ( {x: x leq2 } ). Esto significa que debemos sombrear todos los números reales
que son “menores o iguales que (2 )” o “a la izquierda de (2 ) inclusive”. El conjunto resultante está sombreado en la Figura ( PageIndex {5} ).
Observe la diferencia entre las Figuras ( PageIndex {4} ) y ( PageIndex {45} ). En las Figuras ( PageIndex {4} ) sombreamos el conjunto ( {x: x <2 } ), por lo que el número (2 ) se deja sin sombrear (un punto vacío). En las Figuras ( PageIndex {5} ), estamos sombreando el conjunto ( {x: x leq2 } ), por lo que el número (2 ) está sombreado (un punto relleno).
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Sombrea el conjunto ( {x: x geq-3 } ) en la línea real.
Solución
La notación ( {x: x geq-3 } ) se pronuncia “el conjunto de todos los números reales (x ) de modo que (x ) sea mayor o igual que (- 3 ) “. Por lo tanto, necesitamos sombrear el número (- 3 ) y todos los números reales a la derecha de (- 3 ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Sombra ( {x: x leq 4 } ) en la línea real.
- Respuesta
-
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Utilice la notación de generador de conjuntos para describir el conjunto de números reales sombreados en la siguiente línea numérica.
Solución
El número (- 1 ) no está sombreado. Solo los números a la izquierda de (- 1 ) están sombreados. Este es el conjunto de todos los números reales (x ) de modo que (x ) es “menor que” (- 1 ). Por lo tanto, describimos este conjunto con la siguiente notación de generador de conjuntos: [ {x: x <-1 } nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Utilice la notación de generador de conjuntos para describir el siguiente conjunto de números reales:
- Respuesta
-
( {x: x> -10 } )
Notación de intervalo
En los ejemplos ( PageIndex {1} ) y ( PageIndex {2} ), utilizamos la notación de generador de conjuntos para describir el conjunto de números reales mayores o iguales que (- 3 ) y un segundo conjunto de números reales menores que (- 1 ). Existe otro simbolismo matemático, llamado notación de intervalo, que se puede usar para describir estos conjuntos de números reales. Considere el primer conjunto de números del Ejemplo ( PageIndex {1} ), ( {x: x geq-3 } ).
Barriendo nuestros ojos “de izquierda a derecha”, usamos ([- 3, infty) ) para describir este conjunto de números reales. Algunos comentarios están en orden:
- El soporte en el extremo izquierdo significa que (- 3 ) está incluido en el conjunto.
- A medida que avanza hacia el extremo derecho de la línea real, los números crecen sin límite. Por lo tanto, el símbolo ( infty ) (infinito positivo) se usa para indicar que estamos incluyendo todos los números reales a la derecha de (- 3 ). Sin embargo, ( infty ) no es realmente un número, por lo que usamos paréntesis para indicar que “no estamos incluyendo” este punto de ficción.
El conjunto de números del Ejemplo ( PageIndex {1} ) es ( {x: x <-1 } ).
Barriendo nuestros ojos “de izquierda a derecha”, este conjunto de números reales se describe con ((- infty, -1) ). Nuevamente, los comentarios están en orden:
- El número (- 1 ) no está incluido en este conjunto. Para indicar que no está incluido, usamos un paréntesis.
- A medida que avanza hacia el extremo izquierdo de la línea real, los números disminuyen sin límite. Por lo tanto, el símbolo (- infty ) (infinito negativo) se utiliza para indicar que estamos incluyendo todos los números reales a la izquierda de (- 1 ). Nuevamente, (- infty ) no es un número real, por lo que usamos un paréntesis para indicar que no estamos incluyendo este punto “ficticio”.
Desliza tus ojos de “izquierda a derecha”
Si desea asegurarse de que utiliza correctamente la notación de intervalo, coloque los números en su notación de intervalo en el mismo orden en que se encuentran mientras mueve los ojos de “izquierda a derecha” en la línea real.
En la Tabla ( PageIndex {1} ) al final de la sección se presenta un buen resumen de la creación de conjuntos y la notación de intervalos.
Desigualdades equivalentes
Al igual que las ecuaciones, dos desigualdades son equivalentes si tienen los mismos conjuntos de soluciones.
Sumando o restando la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad
Sea (a ) y (b ) números reales con [a Si (c ) es cualquier número real, entonces [a + c
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resuelva para (x: x-2 ≤ 7 ). Dibuje la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir su solución.
Solución
Para “deshacer” restando (2 ), agregamos (2 ) a ambos lados de la desigualdad.
[ begin {alineado} x-2 & leq 7 quad color {Red} text {Desigualdad original. } \ x-2 + 2 & leq 7 + 2 quad color {Rojo} text {Agregar} 2 text {a ambos lados. } \ x & leq 9 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Para sombrear los números reales menores o iguales que (9 ), sombreamos el número (9 ) y todos los números reales a la izquierda de (9 ).
Utilizando la notación set-builder, la solución es ( {x: x leq 9 } ). Usando notación de intervalo, la solución es ((- infty, 9] ).
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Use la notación de intervalo para describir la solución de: (x − 7 <−8 ).
- Respuesta
-
((- infty, -1) )
Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una desigualdad por un número positivo, tenemos una desigualdad equivalente.
Multiplicando o dividiendo por un número positivo
Sea (a ) y (b ) números reales con (a
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelve (x: 3 x leq-9 ) Dibuja la solución en la línea real, luego usa el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir tu solución.
Solución
Para “deshacer” multiplicando por (3 ), divida ambos lados de la desigualdad por (3 ). Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número positivo, no invertimos el signo de desigualdad.
[ begin {alineado} 3x & leq -9 quad color {Rojo} text {Desigualdad original. } \ dfrac {3x} {3} & leq dfrac {-9} {3} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 3. \ x & leq -3 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Sombrea los números reales menores o iguales que (- 3 ).
Utilizando la notación set-builder, la solución es ( {x: x leq-3 } ). Usando notación de intervalo, la solución es ((- infty, -3] ).
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Use la notación de intervalo para describir la solución de: [2 x> -8 nonumber ]
- Respuesta
-
((- 4, infty) )
Invertir el signo de desigualdad
Hasta este punto, parece que la técnica para resolver desigualdades es prácticamente idéntica a la técnica utilizada para resolver ecuaciones. Sin embargo, en esta sección vamos a encontrar una excepción.
Supongamos que comenzamos con la desigualdad válida (- 2 <5 ), luego multiplicamos ambos lados por (2 ), (3 ) y (4 ).
[ begin {array} {rrrr} {- 2 <5} & {-2 <5} & {-2 <5} \ {2 (-2) <2 (5)} & {3 (-2) <3 (5)} y {4 (-2) <4 (5)} \ {-4 <10} y {-6 <15} y {-8 <20} end {array} nonumber ]
Tenga en cuenta que en cada caso, la desigualdad resultante sigue siendo válida.
( color {Red} text {¡Atención! ¡Estamos a punto de cometer un error!} )
Comienza de nuevo con (- 2 <5 ), pero esta vez multiplica ambos lados por (- 2 ), (- 3 ) y (- 4 ).
[ begin {array} {rrrr} {- 2 <5} & {-2 <5} & {-2 <5} \ {-2 (-2) <- 2 (5)} & {; - 3 (-2) <- 3 (5)} & {; - 4 (-2) <- 4 (5)} \ {4 <-10} y {6 <-15} & { 8 <-20} end {array} nonumber ]
¡En cada una de las desigualdades resultantes, el símbolo de desigualdad apunta hacia el lado equivocado!
Cuando multiplicas ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debes invertir el signo de desigualdad. Comenzando con (- 2 <5 ), multiplique ambos lados por (- 2 ), (- 3 ) y (- 4 ), pero invierta el símbolo de desigualdad.
Algunos lectores pueden preferir una razón más formal de por qué revertimos la desigualdad cuando multiplicamos ambos lados por un número negativo. Supongamos que (a
[ begin {alineado} (ab) c &> 0 \ a cb c &> 0 \ a cb c + bc &> 0 + bc \ ac &> bc end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, si comienza con (a bc ).
Multiplicando o dividiendo por un número negativo
Sea (a ) y (b ) números reales con (a bc nonumber ] y [ dfrac {a} {c}> dfrac {b} {c} nonumber ] Es decir, cuando multiplicando o dividiendo ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe invertir el signo de desigualdad.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Resuelve para (x: −2x <4 ). Dibuje la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir su solución.
Solución
Para “deshacer” multiplicando por (- 2 ), divida ambos lados entre (- 2 ). Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número negativo, revertimos el signo de desigualdad.
[ begin {alineado} -2 x & <4 quad color {Rojo} text {Desigualdad original. } \ dfrac {-2x} {- 2} &> dfrac {4} {- 2} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} -2 \ x &> -2 quad color {Red} text {Invierta el signo de desigualdad. } \ x &> -2 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Sombrea los números reales mayores que (- 2 ).
Utilizando la notación de generador de conjuntos, la solución es ( {x: x> -2 } ). Usando notación de intervalo, la solución es ((- 2, infty) ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Use la notación de intervalo para describir la solución de: [- 3x≥− 6 nonumber ]
- Respuesta
-
((- infty, 2] )
Múltiples pasos
A veces es necesario realizar una secuencia de pasos para llegar a la solución.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Resuelve para (x: 2 x +5> −7 ). Dibuje la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir su solución.
Solución
Para “deshacer” agregando (5 ), reste (5 ) de ambos lados de la desigualdad.
[ begin {alineado} 2x + 5 &> -7 quad color {Rojo} text {Desigualdad original. } \ 2x + 5-5 &> -7-5 quad color {Rojo} text {Restar} 5 text {de ambos lados. } \ 2x &> -12 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Para “deshacer” la multiplicación por (2 ), divida ambos lados entre (2 ). Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número positivo, no invertimos el signo de desigualdad.
[ begin {alineado} dfrac {2x} {2} &> dfrac {-12} {2} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} 2 \ x &> – 6 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Sombrea los números reales mayores que (- 6 ).
Utilizando la notación set-builder, la solución es ( {x: x> -6 } ). Usando la notación de intervalo, la solución es ((- 6, infty) ).
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Use la notación de intervalo para describir la solución de: [3x-2 ≤4 nonumber ]
- Respuesta
-
((- infty, 2] )
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Resuelva para (x: 3 −5x ≤ 2x + 17 ). Dibuje la solución en la línea real, luego use el generador de conjuntos y la notación de intervalo para describir su solución.
Solución
Necesitamos aislar términos que contengan (x ) en un lado de la desigualdad. Comience restando (2x ) de ambos lados de la desigualdad.
[ begin {alineado} 3-5x & leq 2x + 17 quad color {Red} text {Desigualdad original. } \ 3-5x-2x & leq 2x + 17-2x quad color {Rojo} text {Restar} 2x text {de ambos lados. } \ 3-7x & leq 17 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Continuamos aislando términos que contienen (x ) en un lado de la desigualdad. Resta (3 ) de ambos lados.
[ begin {alineado} 3-7x-3 y leq 17-3 quad color {Rojo} text {Restar} 3 text {de ambos lados. } \ -7x & leq 14 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Para “deshacer” multiplicando por (- 7 ), divida ambos lados entre (- 7 ). Debido a que estamos dividiendo ambos lados por un número negativo, revertimos el signo de desigualdad.
[ begin {alineado} dfrac {-7x} {- 7} y geq dfrac {14} {- 7} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} -7 x & geq-2 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Utilizando la notación de generador de conjuntos, la solución es ( {x: x geq-2 } ). Usando notación de intervalo, la solución es ([- 2, infty) ).
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Use la notación de intervalo para describir la solución de: [4-x> 2x +1 nonumber ]
- Respuesta
-
((- infty, 1) )
Eliminamos las fracciones de una desigualdad de la manera habitual, multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador.
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Resuelva para (x: dfrac {3} {4} – dfrac {x} {12}> dfrac {1} {3} ).
Solución
Primero, elimine las fracciones de la desigualdad multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador, que en este caso es (12 ).
[ begin {alineado} dfrac {3} {4} – dfrac {x} {12} &> dfrac {1} {3} quad color {Rojo} text {Desigualdad original. } \ 12 left [ dfrac {3} {4} – dfrac {x} {12} right] &> left [ dfrac {1} {3} right] 12 quad color {Rojo { } text {Multiplica ambos lados por} 12. \ 12 left [ dfrac {3} {4} right] -12 left [ dfrac {x} {12} right] &> left [ dfrac {1} {3} right] 12 quad color {Red} text {Distribuya el} 12. \ 9-x &> 4 quad color {Red} text {Cancelar y multiplicar. } end {alineado} nonumber ]
Para “deshacer” agregando (9 ), reste (9 ) de ambos lados.
[ begin {alineado} 9-x-9 &> 4-9 quad color {Rojo} text {Restar} 9 text {de ambos lados. } \ -x &> -5 quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Podríamos dividir ambos lados entre (- 1 ), pero multiplicar ambos lados por (- 1 ) también hará el trabajo. Debido a que estamos multiplicando ambos lados por un número negativo, revertimos el signo de desigualdad.
[ begin {alineado} (-1) (- x) y <(-5) (- 1) quad color {Rojo} text {Multiplica ambos lados por} -1. text {Invierte el signo de desigualdad. } \ x & <5 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ]
Sombrea los números reales menos que (5 ).
Utilizando la notación de generador de conjuntos, la solución es ( {x: x <5 } ). Usando notación de intervalo, la solución es ((- infty, 5) ).
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Use la notación de intervalo para describir la solución de: [ dfrac {2 x} {3} – dfrac {3} {4} geq- dfrac {3} {2} nonumber ]
- Respuesta
-
([- 9/8, infty) )
Eliminamos decimales de una desigualdad de la manera habitual, multiplicando ambos lados por la potencia apropiada de diez.
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Resuelva para (x: 3.25-1.2 x> 4.6 ).
Solución
Primero, elimine los decimales de la desigualdad multiplicando ambos lados por (100 ), que mueve cada punto decimal dos lugares a la derecha.
[ begin {alineado} 3.25-1.2 x &> 4.6 quad color {Rojo} text {Desigualdad original. } \ 325-120 x &> 460 quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 100. \ 325-120 x-325 &> 460-325 quad color {Red} text { Resta} 325 text {de ambos lados. } \ -120 x &> 135 quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } \ dfrac {-120 x} {- 120} y < dfrac {135} {- 120} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} -120. text {Invierta el signo de desigualdad.} \ x & <- dfrac {27} {24} quad color {Red} text {Reduzca a los términos más bajos.} end {alineado} nonumber ] [19459004 ]
Sombrea los números reales menores que (- 27/24 ).
Utilizando la notación de generador de conjuntos, la solución es ( {x: x <-27 / 24 } ). Usando notación de intervalo, la solución es ((- infty, -27 / 24) ).
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Use la notación de intervalo para describir la solución de: [2.3 x-5.62 geq-1.4 nonumber ]
- Respuesta
-
([211/115, infty) )
Tabla resumen de conjunto de constructores y notación de intervalos
En la Tabla ( PageIndex {1} ) se presenta una tabla resumen del generador de conjuntos y la notación de intervalo.
| Sombreado en la línea real | Set-builder | Intervalo |
|---|---|---|
 |
( {x: x> -5 } ) | ((- 5, infty) ) |
 |
( {x; x geq-5 } ) | ([- 5, infty) ) |
 |
( {x: x <-5 } ) | ((- infty, -5) ) |
| |
( {x: x leq-5 } ) | ((- infty, -5] ) |