Saltar al contenido
las matematicas

2.6: Ecuaciones cuadráticas

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Resuelve ecuaciones cuadráticas por factorización.
  •      
  • Resuelve ecuaciones cuadráticas por la propiedad de la raíz cuadrada.
  •      
  • Resuelve ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.
  •      
  • Resuelve ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
  •  
 
 

El monitor de la computadora a la izquierda en la Figura ( PageIndex {1} ) es un modelo de (23,6 ) pulgadas y el de la derecha es un modelo de (27 ) pulgadas. Proporcionalmente, los monitores parecen muy similares. Si hay una cantidad limitada de espacio y deseamos el monitor más grande posible, ¿cómo decidimos cuál elegir? En esta sección, aprenderemos cómo resolver problemas como este utilizando cuatro métodos diferentes.

 
Two televisions side-by-side. The right television is slightly larger than the left.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 

Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización

 

Una ecuación que contiene un polinomio de segundo grado se denomina ecuación cuadrática . Por ejemplo, ecuaciones como (2x ^ 2 + 3x − 1 = 0 ) y (x ^ 2−4 = 0 ) son ecuaciones cuadráticas. Se utilizan de innumerables maneras en los campos de la ingeniería, la arquitectura, las finanzas, las ciencias biológicas y, por supuesto, las matemáticas.

 

A menudo, el método más fácil de resolver una ecuación cuadrática es factoring . Factorizar significa encontrar expresiones que se pueden multiplicar para dar la expresión en un lado de la ecuación.

 

Si se puede factorizar una ecuación cuadrática, se escribe como un producto de términos lineales. La resolución por factorización depende de la propiedad del producto cero, que establece que si (a⋅b = 0 ), entonces (a = 0 ) o (b = 0 ), donde a y b son números reales o expresiones algebraicas. En otras palabras, si el producto de dos números o dos expresiones es igual a cero, entonces uno de los números o una de las expresiones debe ser igual a cero porque cero multiplicado por cualquier cosa es igual a cero.

 

Multiplicar los factores expande la ecuación a una cadena de términos separados por signos más o menos. Entonces, en ese sentido, la operación de multiplicación deshace la operación de factorización. Por ejemplo, expanda la expresión factorizada ((x − 2) (x + 3) ) multiplicando los dos factores juntos.

 

[ begin {align *} (x-2) (x + 3) & = x ^ 2 + 3x-2x-6 \ & = x ^ 2 + x-6 \ end {align * } ]

 

El producto es una expresión cuadrática. Establecido igual a cero, (x ^ 2 + x − 6 = 0 ) es una ecuación cuadrática. Si factorizáramos la ecuación, recuperaríamos los factores que multiplicamos.

 

El proceso de factorizar una ecuación cuadrática depende del coeficiente principal, ya sea (1 ) u otro entero. Analizaremos ambas situaciones; pero primero, queremos confirmar que la ecuación está escrita en forma estándar, (ax ^ 2 + bx + c = 0 ), donde (a ), (b ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ). La ecuación (x ^ 2 + x − 6 = 0 ) está en forma estándar.

 

Podemos usar la propiedad del producto cero para resolver ecuaciones cuadráticas en las que primero tenemos que factorizar el máximo factor común (MCD), y para ecuaciones que también tienen fórmulas especiales de factorización, como la diferencia de cuadrados, ambos de los cuales veremos más adelante en esta sección.

 
 
 

PROPIEDAD CERO-PRODUCTO Y ECUACIONES CUADRÁTICAS

 

La propiedad de producto cero establece

 

Si (a⋅b = 0 ), entonces (a = 0 ) o (b = 0 ),

 

donde (a ) y (b ) son números reales o expresiones algebraicas.

 

Una ecuación cuadrática es una ecuación que contiene un polinomio de segundo grado; por ejemplo

 

[ax ^ 2 + bx + c = 0 ]

 

donde (a ), (b ) y (c ) son números reales, y si (a ≠ 0 ), está en forma estándar.

 
 
 

Resolviendo cuadráticas con un coeficiente principal de (1 )

 

En la ecuación cuadrática (x ^ 2 + x − 6 = 0 ), el coeficiente principal, o el coeficiente de (x ^ 2 ), es (1 ). Tenemos un método de factorizar ecuaciones cuadráticas en esta forma.

 
 

Cómo: Factorizar una ecuación cuadrática con el coeficiente principal de 1

 
         
  1. Encuentra dos números cuyo producto sea igual a (c ) y cuya suma sea igual a (b ).
  2.      
  3. Usa esos números para escribir dos factores de la forma ((x + k) ) o ((x − k) ), donde k es uno de los números encontrados en el paso 1. Usa los números exactamente como son. En otras palabras, si los dos números son (1 ) y (- 2 ), los factores son ((x + 1) (x − 2) ).
  4.      
  5. Resuelva usando la propiedad del producto cero estableciendo un factor igual a cero y resolviendo la variable.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Resolviendo un Cuadrático con Coeficiente Principal de (1 )

 

Factoriza y resuelve la ecuación: (x ^ 2 + x − 6 = 0 ).

 

Solución

 

Para factorizar (x ^ 2 + x − 6 = 0 ), buscamos dos números cuyo producto sea igual a (- 6 ) y cuya suma sea igual a (1 ). Comience mirando los posibles factores de (- 6 ).

 

[1⋅ (−6) nonumber ]

 

[(- 6) ⋅1 nonumber ]

 

[2⋅ (−3) nonumber ]

 

[3⋅ (−2) nonumber ]

 

El último par, (3⋅ (−2) ) suma a (1 ), así que estos son los números. Tenga en cuenta que solo funcionará un par de números. Luego, escribe los factores.

 

[(x − 2) (x + 3) = 0 nonumber ]

 

Para resolver esta ecuación, utilizamos la propiedad de producto cero. Establezca cada factor igual a cero y resuelva.

 

[ begin {align *} (x-2) (x + 3) & = 0 \ (x-2) & = 0 \ x & = 2 \ (x + 3) & = 0 x & = -3 end {align *} ]

 

Las dos soluciones son (2 ) y (- 3 ). Podemos ver cómo las soluciones se relacionan con el gráfico en la Figura ( PageIndex {2} ). Las soluciones son las intersecciones en x de (x ^ 2 + x − 6 = 0 ).

 
Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 5 to 5 and the y-axis ranging from negative 7 to 7. The function x squared plus x minus six equals zero is graphed, with the x-intercepts (-3,0) and (2,0), plotted as well.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Factoriza y resuelve la ecuación cuadrática: (x ^ 2−5x − 6 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

((x − 6) (x + 1) = 0 ), (x = 6 ), (x = −1 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resolver la ecuación cuadrática por factorización

 

Resuelve la ecuación cuadrática factorizando: (x ^ 2 + 8x + 15 = 0 ).

 

Solución

 

Encuentra dos números cuyo producto sea igual a (15 ) y cuya suma sea igual a (8 ). Liste los factores de (15 ).

 

[1⋅15 nonumber ]

 

[3⋅5 nonumber ]

 

[(- 1) ⋅ (−15) nonumber ]

 

[(- 3) ⋅ (−5) nonumber ]

 

Los números que se suman a (8 ) son (3 ) y (5 ). Luego, escribe los factores, establece cada factor igual a cero y resuelve.

 

[ begin {align *} (x + 3) (x + 5) & = 0 \ (x + 3) & = 0 \ x & = -3 \ (x + 5) & = 0 \ x & = -5 end {align *} ]

 

Las soluciones son (- 3 ) y (- 5 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve la ecuación cuadrática factorizando: (x ^ 2−4x − 21 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

((x − 7) (x + 3) = 0 ), (x = 7 ), (x = −3 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de la propiedad del producto cero para resolver una ecuación cuadrática

 

Resuelve la ecuación de diferencia de cuadrados usando la propiedad del producto cero: (x ^ 2−9 = 0 ).

 

Solución

 

Reconociendo que la ecuación representa la diferencia de cuadrados, podemos escribir los dos factores tomando la raíz cuadrada de cada término, usando un signo menos como operador en un factor y un signo más como operador en el otro. Resolver usando la propiedad de factor cero.

 

[ begin {align *} x ^ 2-9 & = 0 \ (x-3) (x + 3) & = 0 \ x-3 & = 0 \ x & = 3 \ (x + 3) & = 0 \ x & = -3 end {align *} ]

 

Las soluciones son (3 ) y (- 3 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelva factorizando: (x ^ 2−25 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

((x + 5) (x − 5) = 0, x = −5, x = 5 )

     
 
 
 

Factorizando y resolviendo una ecuación cuadrática de orden superior

 

Cuando el coeficiente principal no es (1 ), factorizamos una ecuación cuadrática usando el método llamado agrupación , que requiere cuatro términos.

 
 

Agrupación: pasos para factorizar ecuaciones cuadráticas

 

Con la ecuación en forma estándar, revisemos los procedimientos de agrupación

 
         
  1. Con la cuadrática en forma estándar, (ax ^ 2 + bx + c = 0 ), multiplique (a⋅c ).
  2.      
  3. Encuentra dos números cuyo producto sea igual a ac y cuya suma sea igual a (b ).
  4.      
  5. Reescribe la ecuación reemplazando el término (bx ) con dos términos usando los números encontrados en el paso (1 ) como coeficientes de (x ).
  6.      
  7. Factoriza los dos primeros términos y luego factoriza los dos últimos términos. Las expresiones entre paréntesis deben ser exactamente las mismas para usar la agrupación.
  8.      
  9. Factoriza la expresión entre paréntesis.
  10.      
  11. Establece las expresiones iguales a cero y resuelve la variable.
  12.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Resolver una ecuación cuadrática usando la agrupación

 

Usa la agrupación para factorizar y resolver la ecuación cuadrática: (4x ^ 2 + 15x + 9 = 0 ).

 

Solución

 

Primero, multiplique (ac: 4 (9) = 36 ). Luego, enumere los factores de (36 ).

 

[1⋅36 nonumber ]

 

[2⋅18 nonumber ]

 

[3⋅12 nonumber ]

 

[4⋅9 nonumber ]

 

[6⋅6 nonumber ]

 

El único par de factores que suma a (15 ) es (3 + 12 ). Reescribe la ecuación reemplazando el término b, (15x ), con dos términos usando (3 ) y (12 ) como coeficientes de (x ). Factoriza los primeros dos términos y luego factoriza los últimos dos términos.

 

[ begin {align *} 4x ^ 2 + 3x + 12x + 9 & = 0 \ x (4x + 3) +3 (4x + 3) & = 0 \ (4x + 3) (x + 3) & = 0 qquad text {Resolver usando la propiedad de producto cero} \ (4x + 3) & = 3 \ x & = – dfrac {3} {4} \ (x + 3) & = 0 \ x & = -3 end {align *} ]

 

Las soluciones son (- dfrac {3} {4} ) y (- 3 ). Ver Figura ( PageIndex {3} ).

 
Coordinate plane with the x-axis ranging from negative 6 to 2 with every other tick mark labeled and the y-axis ranging from negative 6 to 2 with each tick mark numbered. The equation: four x squared plus fifteen x plus nine is graphed with its x-intercepts: (-3/4,0) and (-3,0) plotted as well.  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelva usando factorización agrupando: (12x ^ 2 + 11x + 2 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

((3x + 2) (4x + 1) = 0 ), (x = – dfrac {2} {3} ), (x = – dfrac {1} {4} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Resolver una ecuación cuadrática de mayor grado por factorización

 

Resuelve la ecuación factorizando: (- 3x ^ 3−5x ^ 2−2x = 0 ).

 

Solución

 

Esta ecuación no parece cuadrática, ya que la potencia más alta es (3 ), no (2 ). Recuerde que lo primero que queremos hacer al resolver cualquier ecuación es factorizar el MCD, si existe. Y lo hace aquí. Podemos factorizar (- x ) de todos los términos y luego proceder con la agrupación.

 

[ begin {align *}
-3x ^ 3-5x ^ 2-2x & = 0 \
-x (3x ^ 2 + 5x + 2) & = 0 \
-x (3x ^ 2 + 3x + 2x + 2) & = 0 qquad text {Usar agrupación en la expresión entre paréntesis} \
-x [3x (x + 1) +2 (x + 1) ] & = 0 \
-x (3x + 2) (x + 1) & = 0 \
text {Ahora, usamos la propiedad de producto cero. Observe que tenemos tres factores.} \
-x & = 0 \
x & = 0 \
3x + 2 & = 0 \
x & = – dfrac {2} {3 } \
x + 1 & = 0 \
x & = -1
end {align *} ]

 

Las soluciones son (0 ), (- dfrac {2} {3} ) y (- 1 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelva factorizando: (x ^ 3 + 11x ^ 2 + 10x = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 0, x = −10, x = −1 )

     
 
 
 

Uso de la propiedad de raíz cuadrada

 

Cuando no hay un término lineal en la ecuación, otro método para resolver una ecuación cuadrática es usar la propiedad de raíz cuadrada , en la cual aislamos el término (x ^ 2 ) y tomamos el raíz cuadrada del número al otro lado del signo igual. Tenga en cuenta que a veces es posible que tengamos que manipular la ecuación para aislar el término (x ^ 2 ) para que se pueda usar la propiedad de raíz cuadrada.

 
 
 

LA PROPIEDAD DE LA RAÍZ CUADRADA

 

Con el término (x ^ 2 ) aislado, la propiedad de raíz cuadrada establece que:

 

if (x ^ 2 = k ), entonces (x = ± sqrt {k} )

 

donde (k ) es un número real distinto de cero.

 
 
 
 

Cómo: dada una ecuación cuadrática con un término (x ^ 2 ) pero sin término (x ), usa la propiedad de raíz cuadrada para resolverla

 
         
  1. Aislar el término (x ^ 2 ) en un lado del signo igual.
  2.      
  3. Saca la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, colocando un signo (± ) antes de la expresión en el lado opuesto al término cuadrado.
  4.      
  5. Simplifique los números en el costado con el signo (± ).
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Resolviendo una ecuación cuadrática simple usando la propiedad de raíz cuadrada

 

Resuelve la cuadrática usando la propiedad de raíz cuadrada: (x ^ 2 = 8 ).

 

Solución

 

Saca la raíz cuadrada de ambos lados y luego simplifica el radical. Recuerde usar un signo (± ) antes del símbolo radical.

 

[ begin {align *} x ^ 2 & = 8 \ x & = pm sqrt {8} \ & = pm 2 sqrt {2} end {align *} ]

 

Las soluciones son (2 sqrt {2} ), (- 2 sqrt {2} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Resolviendo una ecuación cuadrática usando la propiedad de raíz cuadrada

 

Resuelve la ecuación cuadrática: (4x ^ 2 + 1 = 7 ).

 

Solución

 
 

Primero, aísle el término (x ^ 2 ). Luego toma la raíz cuadrada de ambos lados.

 

[ begin {align *} 4x ^ 2 + 1 & = 7 \ 4x ^ 2 & = 6 \ x ^ 2 & = dfrac {6} {4} \ x & = pm dfrac { sqrt {6}} {2} end {align *} ]

 

Las soluciones son ( dfrac { sqrt {6}} {2} ) y (- dfrac { sqrt {6}} {2} ).

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la ecuación cuadrática usando la propiedad de raíz cuadrada: (3 {(x − 4)} ^ 2 = 15 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 4 ± sqrt {5} )

     
 
 
 

Completando la plaza

 

No todas las ecuaciones cuadráticas pueden factorizarse o resolverse en su forma original usando la propiedad de raíz cuadrada. En estos casos, podemos usar un método para resolver una ecuación cuadrática conocida como completando el cuadrado . Usando este método, sumamos o restamos términos a ambos lados de la ecuación hasta que tengamos un trinomio cuadrado perfecto en un lado del signo igual. Luego aplicamos la propiedad de raíz cuadrada. Para completar el cuadrado, el coeficiente principal, (a ), debe ser igual a (1 ). Si no es así, divida la ecuación completa por (a ). Luego, podemos usar los siguientes procedimientos para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado.

 

Usaremos el ejemplo (x ^ 2 + 4x + 1 = 0 ) para ilustrar cada paso.

 

Dada una ecuación cuadrática que no puede ser factorizada, y con (a = 1 ), primero suma o resta el término constante al signo derecho del signo igual.

 

[ begin {align *}
x ^ 2 + 4x + 1 & = 0 \
x ^ 2 + 4x & = -1 qquad text {Multiplicar el b} text {término por } dfrac {1} {2} text {y al cuadrado.} \
dfrac {1} {2} (4) & = 2 \
2 ^ 2 & = 4 qquad text {Agregar} left ({ dfrac {1} {2}} right) ^ 2 text {a ambos lados del signo igual y simplifica el lado derecho. Tenemos} \
x ^ 2 + 4x + 4 & = -1 + 4 \
x ^ 2 + 4x + 4 & = 3 qquad text {El lado izquierdo de la ecuación ahora puede factorizarse como un cuadrado perfecto.} \
{(x + 2)} ^ 2 & = 3 \
sqrt {{((+ + 2)} ^ 2} & = pm sqrt {3} qquad text {Use la propiedad de raíz cuadrada y resuelva.} \
sqrt {{((+ + 2)} ^ 2} & = pm sqrt {3} \
x + 2 & = pm sqrt {3} \
x & = -2 pm sqrt {3}
end {align *} ]

 

Las soluciones son (- 2+ sqrt {3} ) y (- 2− sqrt {3} ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Resolviendo un Cuadrático completando el cuadrado

 

Resuelve la ecuación cuadrática completando el cuadrado: (x ^ 2−3x − 5 = 0 ).

 

Solución

 

Primero, mueva el término constante al lado derecho del signo igual.

 

[ begin {align *}
x ^ 2-3x & = 5 qquad text {Luego, toma} dfrac {1} {2} text {del término b y al cuadrado.} \
dfrac {1} {2} (- 3) & = – dfrac {3} {2} \
{ left (- dfrac {3} {2} right)} ^ 2 = dfrac {9} {4} \
x ^ 2-3x + { left (- dfrac {3} {2} right)} ^ 2 & = 5 + { left (- dfrac {3} {2} right)} ^ 2 qquad text {Agregue el resultado a ambos lados del signo igual.} \
x ^ 2-3x + dfrac {9} {4} & = 5 + dfrac {9} {4} \
text {Factoriza el lado izquierdo como un cuadrado perfecto y simplifica el lado derecho.} \
{ left (x- dfrac {3} {2 } right)} ^ 2 & = dfrac {29} {4} \
(x- dfrac {3} {2}) & = pm dfrac { sqrt {29}} {2} qquad text {Use la propiedad de raíz cuadrada y resuelva.} \
x & = dfrac {3} {2} pm dfrac { sqrt {29}} {2} \
end { alinear *} ]

 

Las soluciones son ( dfrac {3} {2} + dfrac { sqrt {29}} {2} ), y ( dfrac {3} {2} – dfrac { sqrt { 29}} {2} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve completando el cuadrado: (x ^ 2−6x = 13 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 3 ± sqrt {22} )

     
 
 
 

Usando la fórmula cuadrática

 

El cuarto método para resolver una ecuación cuadrática es mediante el uso de la fórmula cuadrática , una fórmula que resolverá todas las ecuaciones cuadráticas. Aunque la fórmula cuadrática funciona en cualquier ecuación cuadrática en forma estándar, es fácil cometer errores al sustituir los valores en la fórmula. Preste mucha atención al sustituir, y use paréntesis al insertar un número negativo.

 

Podemos derivar la fórmula cuadrática completando completando el cuadrado . Asumiremos que el coeficiente principal es positivo; si es negativo, podemos multiplicar la ecuación por (- 1 ) y obtener un a positivo. Dado (ax ^ 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ), completaremos el cuadrado de la siguiente manera:

 

Primero, mueva el término constante al lado derecho del signo igual:

 

[ax ^ 2 + bx = −c nonumber ]

 

Como queremos que el coeficiente principal sea igual a (1 ), dividir entre (a ):

 

[x ^ 2 + dfrac {b} {a} x = – dfrac {c} {a} nonumber ]

 

Luego, encuentre ( dfrac {1} {2} ) del término medio y agregue ({( dfrac {1} {2} dfrac {b} {a})} ^ 2 = dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} ) a ambos lados del signo igual:

 

[x ^ 2 + dfrac {b} {a} x + dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} = dfrac {b ^ 2} {4a ^ 2} – dfrac {c} { a} nonumber ]

 

Luego, escribe el lado izquierdo como un cuadrado perfecto. Encuentre el denominador común del lado derecho y escríbalo como una sola fracción:

 

[{(x + dfrac {b} {2a})} ^ 2 = dfrac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2} nonumber ]

 

Ahora, usa la propiedad de raíz cuadrada, que da

 

[x + dfrac {b} {2a} = ± sqrt { dfrac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}} nonumber ]

 

[x + dfrac {b} {2a} = dfrac {± sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} nonumber ]

 

Finalmente, agregue (- dfrac {b} {2a} ) a ambos lados de la ecuación y combine los términos en el lado derecho. Por lo tanto,

 

[x = dfrac {-b ± sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} nonumber ]

 
 
 

LA FÓRMULA CUADRÁTICA

 

Escrito en forma estándar, (ax ^ 2 + bx + c = 0 ), cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando la fórmula cuadrática :

[x = dfrac {-b ± sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} ]
 

donde (a ), (b ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ).

 
 
 

Cómo

 

Dada una ecuación cuadrática, resuélvela usando la fórmula cuadrática

 
         
  1. Asegúrese de que la ecuación esté en forma estándar: (ax ^ 2 + bx + c = 0 ).
  2.      
  3. Tome nota de los valores de los coeficientes y el término constante, (a ), (b ) y (c ).
  4.      
  5. Sustituya cuidadosamente los valores anotados en el paso 2 en la ecuación. Para evitar errores innecesarios, use paréntesis alrededor de cada entrada numérica en la fórmula.
  6.      
  7. Calcular y resolver.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Resolver la ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática

 

Resuelve la ecuación cuadrática: (x ^ 2 + 5x + 1 = 0 ).

 

Solución

 

Identifique los coeficientes: (a = 1, b = 5, c = 1 ). Luego usa la fórmula cuadrática.

 

[ begin {align *} x & = dfrac {- (5) pm sqrt {(5) ^ 2-4 (1) (1)}} {2 (1)} \ & = dfrac {-5 pm sqrt {25-4}} {2} \ & = dfrac {-5 pm sqrt {21}} {2} end {align *} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Resolviendo una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática

 

Usa la fórmula cuadrática para resolver (x ^ 2 + x + 2 = 0 ).

 

Solución

 
 

Primero, identificamos los coeficientes: (a = 1 ), (b = 1 ) y (c = 2 ).

 

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática.

 

[ begin {align *} x & = dfrac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ & = dfrac {- (1) pm sqrt {( 1) ^ 2-4 (1) (2)}} {2 (1)} \ & = dfrac {-1 pm sqrt {1-8}} {2} \ & = dfrac {- 1 pm sqrt {-7}} {2} \ & = dfrac {-1 pm i sqrt {7}} {2} end {align *} ]

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelve la ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática: (9x ^ 2 + 3x − 2 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = – dfrac {2} {3}, x = dfrac {1} {3} )

     
 
 
 

El discriminante

 

La fórmula cuadrática no solo genera las soluciones para una ecuación cuadrática, sino que nos informa sobre la naturaleza de las soluciones cuando consideramos el discriminante , o la expresión bajo el radical, (b ^ 2−4ac ). El discriminante nos dice si las soluciones son números reales o números complejos, y cuántas soluciones de cada tipo esperar. La tabla ( PageIndex {1} ) relaciona el valor del discriminante con las soluciones de una ecuación cuadrática.

                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} )
Valor del discriminante Resultados
(b ^ 2−4ac = 0 ) Una solución racional (solución doble)
(b ^ 2−4ac> 0 ), cuadrado perfecto Dos soluciones racionales
(b ^ 2−4ac> 0 ), no es un cuadrado perfecto Dos soluciones irracionales
(b ^ 2−4ac <0 ) Dos soluciones complejas
 
 
 

EL DISCRIMINANTE

 

Para (ax ^ 2 + bx + c = 0 ), donde (a ), (b ) y (c ) son números reales, el discriminante es La expresión bajo el radical en la fórmula cuadrática: (b ^ 2−4ac ). Nos dice si las soluciones son números reales o números complejos y cuántas soluciones de cada tipo esperar.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Uso del discriminante para encontrar la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática

 

Usa el discriminante para encontrar la naturaleza de las soluciones a las siguientes ecuaciones cuadráticas:

 
         
  1. (x ^ 2 + 4x + 4 = 0 )
  2.      
  3. (8x ^ 2 + 14x + 3 = 0 )
  4.      
  5. (3x ^ 2−5x − 2 = 0 )
  6.      
  7. (3x ^ 2−10x + 15 = 0 )
  8.  
 

Solución

 

Calcule el discriminante (b ^ 2−4ac ) para cada ecuación y establezca el tipo esperado de soluciones.

 

a.

 

(x ^ 2 + 4x + 4 = 0 )

 

(b ^ 2-4ac = {(4)} ^ 2-4 (1) (4) = 0 ) Habrá una doble solución racional.

 

b.

 

(8x ^ 2 + 14x + 3 = 0 )

 

(b ^ 2-4ac = {(14)} ^ 2-4 (8) (3) = 100 ) Como (100 ) es un cuadrado perfecto, habrá dos soluciones racionales.

 

c.

 

(3x ^ 2−5x − 2 = 0 )

 

(b ^ 2-4ac = {(- 5)} ^ 2-4 (3) (- 2) = 49 ) Como (49 ) es un cuadrado perfecto, habrá dos soluciones racionales.

 

d.

 

(3x ^ 2−10x + 15 = 0 )

 

(b ^ 2-4ac = {(- 10)} ^ 2-4 (3) (15) = – 80 ) Habrá dos soluciones complejas.

 
 

Usando el teorema de Pitágoras

 

Una de las fórmulas más famosas en matemáticas es el Teorema de Pitágoras . Se basa en un triángulo rectángulo y establece la relación entre las longitudes de los lados como (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ), donde (a ) y (b ) se refieren a las patas de un triángulo rectángulo adyacente al ángulo (90 ° ), y (c ) se refiere a la hipotenusa. Tiene usos inconmensurables en arquitectura, ingeniería, ciencias, geometría, trigonometría y álgebra, y en aplicaciones cotidianas.

 

Utilizamos el teorema de Pitágoras para resolver la longitud de un lado de un triángulo cuando tenemos las longitudes de los otros dos. Debido a que cada uno de los términos está cuadrado en el teorema, cuando estamos resolviendo para un lado de un triángulo, tenemos una ecuación cuadrática. Podemos usar los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas que aprendimos en esta sección para resolver el lado faltante.

 

El teorema de Pitágoras se da como

 

[a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ]

 

donde (a ) y (b ) se refieren a las patas de un triángulo rectángulo adyacente al ángulo (90 ° ), y (c ) se refiere a la hipotenusa, como se muestra en.

 
Right triangle with the base labeled: a, the height labeled: b, and the hypotenuse labeled: c  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Encontrar la longitud del lado faltante de un triángulo rectángulo

 

Encuentre la longitud del lado faltante del triángulo rectángulo en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
Right triangle with the base labeled: a, the height labeled: 4, and the hypotenuse labeled 12.  
Figura ( PageIndex {5} )
 
 

Solución

 

Como tenemos mediciones para el lado (b ) y la hipotenusa, el lado que falta es (a ).

 

[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 \ a ^ 2 + {(4)} ^ 2 & = {(12)} ^ 2 \ a ^ 2 + 16 & = 144 \ a ^ 2 & = 128 \ a & = sqrt {128} \ & = 8 sqrt {2} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Usa el teorema de Pitágoras para resolver el problema del triángulo rectángulo: la pata a mide 4 unidades, la pata b mide 3 unidades. Encuentra la longitud de la hipotenusa.

 
     
Respuesta
     
     

(5 ) unidades

     
 
 
 
 

Ecuaciones clave

                                                              
fórmula cuadrática (x = dfrac {−b ± sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} )
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Muchas ecuaciones cuadráticas se pueden resolver factorizando cuando la ecuación tiene un coeficiente principal de (1 ) o si la ecuación es una diferencia de cuadrados. La propiedad de factor cero se utiliza para encontrar soluciones. Ver Ejemplo , Ejemplo y Ejemplo .
  •      
  • Muchas ecuaciones cuadráticas con un coeficiente principal distinto de (1 ) se pueden resolver factorizando usando el método de agrupación. Ver Ejemplo y Ejemplo .
  •      
  • Otro método para resolver cuadráticos es la propiedad de raíz cuadrada. La variable es al cuadrado. Aislamos el término cuadrado y tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. La solución producirá una solución positiva y negativa. Ver Ejemplo y Ejemplo .
  •      
  • Completar el cuadrado es un método para resolver ecuaciones cuadráticas cuando la ecuación no se puede factorizar. Ver Ejemplo .
  •      
  • Un método altamente confiable para resolver ecuaciones cuadráticas es la fórmula cuadrática, basada en los coeficientes y el término constante en la ecuación. Ver Ejemplo .
  •      
  • El discriminante se utiliza para indicar la naturaleza de las raíces que producirá la ecuación cuadrática: real o compleja, racional o irracional, y cuántas de cada una. Ver Ejemplo .
  •      
  • El teorema de Pitágoras, entre los teoremas más famosos de la historia, se utiliza para resolver problemas de triángulos rectángulos y tiene aplicaciones en numerosos campos. Resolver para la longitud de un lado de un triángulo rectángulo requiere resolver una ecuación cuadrática. Ver Ejemplo .
  •  
 
 
                                  
]]>