Resolver desigualdades lineales
Una desigualdad lineal es muy parecida a una ecuación lineal, pero el signo igual se reemplaza por un signo de desigualdad. Una desigualdad lineal es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las formas, (ax + b
DESIGUALDAD LINEAL
Una desigualdad lineal es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las siguientes formas donde (a, , b, ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ) :
[ begin {array} {llll} {ax + b
Cuando resolvimos ecuaciones lineales, pudimos usar las propiedades de igualdad para sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados y mantener la igualdad. Propiedades similares son válidas para las desigualdades.
Podemos sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad y aún así mantener la desigualdad. Por ejemplo:
Observe que el signo de desigualdad se mantuvo igual.
Esto nos lleva a las propiedades de suma y resta de la desigualdad.
ADICION Y SUBTRACCION PROPIEDAD DE LA DESIGUALDAD
Para cualquier número (a, , b, ) y (c, ) if (a
[ begin {array} {ll} {a + c b + c} & {a − c> b −c} \ nonumber end {array} ]
Podemos sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad y aún mantener la desigualdad
¿Qué le sucede a una desigualdad cuando dividimos o multiplicamos ambos lados por una constante?
Primero multipliquemos y dividamos ambos lados por un número positivo.
Los signos de desigualdad se mantuvieron igual.
¿La desigualdad permanece igual cuando dividimos o multiplicamos por un número negativo?
Observe que cuando completamos los signos de desigualdad, los signos de desigualdad invirtieron su dirección.
Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número positivo, el signo de desigualdad permanece igual. Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.
Esto nos da la propiedad de multiplicación y división de la desigualdad.
PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE DESIGUALDAD
Para cualquier número (a, , b, ) y (c, )
[ begin {array} {l} { text {multiplicar o dividir por un positivo}} \ \ space space space space text {if} a 0 text {, luego} ac
Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por (a ):
- número positivo, la desigualdad se mantiene igual.
- número negativo, la desigualdad se invierte.
A veces, al resolver una desigualdad, como en el siguiente ejemplo, la variable termina a la derecha. Podemos reescribir la desigualdad a la inversa para obtener la variable a la izquierda.
[x> a text {tiene el mismo significado que} a Piensa en ello como «Si Xander es más alto que Andy, entonces Andy es más bajo que Xander». Ejemplo ( PageIndex {7} ) Resuelve cada desigualdad. Grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo. ⓐ (x− frac {3} {8} leq frac {3} {4} ) ⓑ (9y <54 ) ⓒ (- 15 < frac {3} {5} z ) ⓐ ⓑ ⓒ Ejemplo ( PageIndex {8} ) Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: ⓐ (p− frac {3} {4} geq frac {1} {6} ) ⓑ (9c> 72 ) ⓒ (24 leq frac {3} {8} m ) ⓐ ⓑ ⓒ Ejemplo ( PageIndex {9} ) Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: ⓐ (r− frac {1} {3} leq frac {7} {12} ) ⓑ (12d leq 60 ) ⓒ (- 24 < frac {4} {3 } n ) ⓐ ⓑ ⓒ Ten cuidado cuando multipliques o dividas por un número negativo; recuerda invertir el signo de desigualdad. Ejemplo ( PageIndex {10} ) Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo. ⓐ (- frac {1} {3} m geq frac {6} {5} ) ⓑ ( frac {n} {- 2} geq 8 ) ⓐ ⓑ Ejemplo ( PageIndex {11} ) Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: ⓐ (- 8q <32 ) ⓑ ( frac {k} {- 12} leq 15 ). ⓐ ⓑ Ejemplo ( PageIndex {12} ) Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: ⓐ (- 7r leq −70 ) ⓑ ( frac {u} {- 4} geq −16 ). ⓐ ⓑ La mayoría de las desigualdades tomarán más de un paso para resolver. Seguimos los mismos pasos que utilizamos en la estrategia general para resolver ecuaciones lineales, pero asegúrese de prestar mucha atención cuando multiplicamos o dividimos para aislar la variable. Ejemplo ( PageIndex {13} ) Resuelve la desigualdad (6y leq 11y + 17 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo. Ejemplo ( PageIndex {14} ) Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: (3q geq 7q − 23 ). Ejemplo ( PageIndex {15} ) Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: (6x <10x + 19 ). Al resolver desigualdades, generalmente es más fácil recolectar las variables en el lado donde el coeficiente de la variable es mayor. Esto elimina los coeficientes negativos y, por lo tanto, no tenemos que multiplicar o dividir por uno negativo, lo que significa que no tenemos que recordar revertir el signo de desigualdad. Ejemplo ( PageIndex {16} ) Resuelve la desigualdad (8p + 3 (p − 12)> 7p − 28 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo. Ejemplo ( PageIndex {17} ) Resuelve la desigualdad (9y + 2 (y + 6)> 5y − 24 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo. Ejemplo ( PageIndex {18} ) Resuelve la desigualdad (6u + 8 (u − 1)> 10u + 32 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo. Al igual que algunas ecuaciones son identidades y otras son contradicciones, las desigualdades también pueden ser identidades o contradicciones. Reconocemos estas formas cuando nos quedan solo constantes a medida que resolvemos la desigualdad. Si el resultado es una declaración verdadera, tenemos una identidad. Si el resultado es una declaración falsa, tenemos una contradicción. Ejemplo ( PageIndex {19} ) Resuelve la desigualdad (8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo. Ejemplo ( PageIndex {20} ) Resuelve la desigualdad (4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo. Ejemplo ( PageIndex {21} ) Resuelve la desigualdad (9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo. Podemos eliminar fracciones en las desigualdades tanto como lo hicimos en las ecuaciones. Una vez más, tenga cuidado con los signos al multiplicar o dividir por un negativo. Ejemplo ( PageIndex {22} ) Resuelve la desigualdad ( frac {1} {3} a− frac {1} {8} a> frac {5} {24} a + frac {3} {4} ), representa gráficamente solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalo. Ejemplo ( PageIndex {23} ) Resuelve la desigualdad ( frac {1} {4} x− frac {1} {12} x> frac {1} {6} x + frac {7} {8} ), representa gráficamente solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalo. Ejemplo ( PageIndex {24} ) Resuelva la desigualdad ( frac {2} {5} z− frac {1} {3} z < frac {1} {15} z− frac {3} {5} ), gráfico la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalo.
(8p + 3 (p − 12)> 7p − 28 )
Simplifica cada lado tanto como sea posible.
Distribuir.
(8p + 3p − 36> 7p − 28 )
Combina términos similares.
(11p − 36> 7p − 28 )
Reste (7p ) de ambos lados para recopilar las variables
de la izquierda, ya que (11> 7 ). (11p − 36−7p> 7p − 28−7p )
Simplificar.
(4p − 36> −28 )
Agregue (36 ) a ambos lados para recoger las constantes
a la derecha. (4p − 36 + 36> −28 + 36 )
Simplificar.
(4p> 8 )
Divide ambos lados de la desigualdad entre
(4 ); La desigualdad se mantiene igual. ( dfrac {4p} {4}> dfrac {8} {4} )
Simplificar.
(p> 2 )
Representa gráficamente la solución en la recta numérica.
Escribe la solución en notación de intervalo.
((2, infty) )
Simplifica cada lado tanto como sea posible.
(8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x )
Distribuir.
(8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x )
Combina términos similares.
(10x − 10 <10x + 36 )
Reste ({ color {red} {10x}} ) de ambos lados para recopilar las variables de la izquierda.
(10x − 10 , { color {rojo} {- , 10x}} <10x + 36 , { color {rojo} {- , 10x}} )
Simplificar.
(- 10 <36 )
Los (x ) se han ido, y tenemos una verdadera declaración
.
La desigualdad es una identidad.
La solución son todos los números reales.
Representa gráficamente la solución en la recta numérica.
Escribe la solución en notación de intervalo.
((- infty, infty) )
( frac {1} {3} a− frac {1} {8} a> frac {5} {24} a + frac {3} {4} )
Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, 24,
para borrar las fracciones. ({ color {red} {24}} left ( dfrac {1} {3} a− dfrac {1} {8} a right)> , { color {red} { 24}} left ( dfrac {5} {24} a + dfrac {3} {4} right) )
Simplificar.
(8a – 3a> 5a + 18 )
Combina términos similares.
(5a> 5a + 18 )
Reste (5a ) de ambos lados para recopilar las variables
de la izquierda. (5a , { color {rojo} {- , 5a}}> 5a , { color {rojo} {- , 5a}} + 18 )
Simplificar.
(0> 18 )
La afirmación es falsa.
La desigualdad es una contradicción.
No hay solución.
Representa gráficamente la solución en la recta numérica.
Escribe la solución en notación de intervalo.
No hay solución.
