2.6: Resolver desigualdades lineales

2.6: Resolver desigualdades lineales

Resolver desigualdades lineales

 

Una desigualdad lineal es muy parecida a una ecuación lineal, pero el signo igual se reemplaza por un signo de desigualdad. Una desigualdad lineal es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las formas, (ax + b c ) o (ax + b geq c ).

 
 

DESIGUALDAD LINEAL

 

Una desigualdad lineal es una desigualdad en una variable que se puede escribir en una de las siguientes formas donde (a, , b, ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ) :

 

[ begin {array} {llll} {ax + b c,} & {ax + b geq c.} \ nonumber end {array} ]

 
 

Cuando resolvimos ecuaciones lineales, pudimos usar las propiedades de igualdad para sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados y mantener la igualdad. Propiedades similares son válidas para las desigualdades.

 

Podemos sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad y aún así mantener la desigualdad. Por ejemplo:

 

Negative 4 is less than 2. Negative 4 minus 5 is less than 2 minus 5. Negative 9 is less than negative 3, which is true. Negative 4 is less than 2. Negative 4 plus 7 is less than 2 plus 7. 3 is less than 9, which is true.

 

Observe que el signo de desigualdad se mantuvo igual.

 

Esto nos lleva a las propiedades de suma y resta de la desigualdad.

 
 

ADICION Y SUBTRACCION PROPIEDAD DE LA DESIGUALDAD

 

Para cualquier número (a, , b, ) y (c, ) if (a  

[ begin {array} {ll} {a + c b + c} & {a − c> b −c} \ nonumber end {array} ]

 
 

Podemos sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad y aún mantener la desigualdad

 
 
 

¿Qué le sucede a una desigualdad cuando dividimos o multiplicamos ambos lados por una constante?

 

Primero multipliquemos y dividamos ambos lados por un número positivo.

 

10 is less than 15. 10 times 5 is less than 15 times 5. 50 is less than 75 is true. 10 is less than 15. 10 divided by 5 is less than 15 divided by 5. 2 is less than 3 is true.

 

Los signos de desigualdad se mantuvieron igual.

 

¿La desigualdad permanece igual cuando dividimos o multiplicamos por un número negativo?

 

10 is less than 15 10 times negative 5 is blank 15 times negative 5? Negative 50 is blank negative 75. Negative 50 is greater than negative 75. 10 is less than 15. 10 divided by negative 5 is blank 15 divided by negative 5. Negative 2 is blank negative 3. Negative 2 is blank negative 3.

 

Observe que cuando completamos los signos de desigualdad, los signos de desigualdad invirtieron su dirección.

 

Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número positivo, el signo de desigualdad permanece igual. Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.

 

Esto nos da la propiedad de multiplicación y división de la desigualdad.

 
 
 

PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE DESIGUALDAD

 

Para cualquier número (a, , b, ) y (c, )

 

[ begin {array} {l} { text {multiplicar o dividir por un positivo}} \ \ space space space space text {if} a 0 text {, luego} ac b text {y} c> 0 text {, luego} ac> bc text {y} frac {a} {c}> frac {b} {c}. \ \ text {multiplicar o dividir por un negativo} \ \ space space space space text {if} a bc text {y} frac {a} {c}> frac {b} {c}. \ space space space space text {if} a> b text {y} c <0 text {, luego} ac  

 
 

Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por (a ):

 
         
  • número positivo, la desigualdad se mantiene igual.
  •      
  • número negativo, la desigualdad se invierte.
  •  
 

A veces, al resolver una desigualdad, como en el siguiente ejemplo, la variable termina a la derecha. Podemos reescribir la desigualdad a la inversa para obtener la variable a la izquierda.

 

[x> a text {tiene el mismo significado que} a  

Piensa en ello como «Si Xander es más alto que Andy, entonces Andy es más bajo que Xander».

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve cada desigualdad. Grafica la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

ⓐ (x− frac {3} {8} leq frac {3} {4} ) ⓑ (9y <54 ) ⓒ (- 15 < frac {3} {5} z )

 
     
Respuesta
     
     

          

          

          
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo:

 

ⓐ (p− frac {3} {4} geq frac {1} {6} ) ⓑ (9c> 72 ) ⓒ (24 leq frac {3} {8} m )

 
     
Respuesta
     
     

     p is less than eleven-twelfths. The solution on the number line has a right bracket at eleven-twelfths with shading to the right. The solution in interval notation is, eleven-twelfths to infinity within a bracket and parenthesis.      

     c is less than 8. The solution on the number line has a left bracket at 8 with shading to the right. The solution in interval notation is, 8 to infinity within parentheses.      

     

m is greater than or equal to 8. The solution on the number line has a right bracket at 64 with shading to the right. The solution in interval notation is, 64 to infinity within a bracket and parentheses.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo:

 

ⓐ (r− frac {1} {3} leq frac {7} {12} ) ⓑ (12d leq 60 ) ⓒ (- 24 < frac {4} {3 } n )

 
     
Respuesta
     
     

     r is less than or equal to eleven-twelfths. The solution on the number line has a left bracket at eleven-twelfths with shading to the left. The solution in interval notation is negative infinity to eleven-twelfths within a parenthesis and a bracket.      

     c is less than or equal to 5. The solution on the number line has a right bracket at 5 with shading to the left. The solution in interval notation is negative infinity to 5 within a parentheses and a bracket.      

     

n is greater than negative 18. The solution on the number line has a left parenthesis at negative 18 with shading to the right. The solution in interval notation is negative 18 to infinity within parentheses.

     
 
 
 
 
 

Ten cuidado cuando multipliques o dividas por un número negativo; recuerda invertir el signo de desigualdad.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

ⓐ (- frac {1} {3} m geq frac {6} {5} ) ⓑ ( frac {n} {- 2} geq 8 )

 
     
Respuesta
     
     

          

          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo:

 

ⓐ (- 8q <32 ) ⓑ ( frac {k} {- 12} leq 15 ).

 
     
Respuesta
     
     

     q is greater than or equal to negative 4. The solution on the number line has a left parenthesis at negative 4 with shading to the right. The solution in interval notation is negative 4 to infinity within parentheses.      

     

k is greater than or equal to negative 180. The solution on the number line has a left bracket at negative 180 with shading to the right. The solution in interval notation is negative 180 to infinity within a bracket and a parenthesis.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo:

 

ⓐ (- 7r leq −70 ) ⓑ ( frac {u} {- 4} geq −16 ).

 
     
Respuesta
     
     

     r is greater than or equal to 10. The solution on the number line has a left bracket at 10 with shading to the right. The solution in interval notation is 10 to infinity within a bracket and parenthesis.      

     

u is less than or equal to 64. The solution on the number line has a right bracket at 64 with shading to the left. The solution in interval notation is negative infinity to 64 within parenthesis and a bracket.

     
 
 
 
 
 

La mayoría de las desigualdades tomarán más de un paso para resolver. Seguimos los mismos pasos que utilizamos en la estrategia general para resolver ecuaciones lineales, pero asegúrese de prestar mucha atención cuando multiplicamos o dividimos para aislar la variable.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Resuelve la desigualdad (6y leq 11y + 17 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: (3q geq 7q − 23 ).

 
     
Respuesta
     
     

q is less than or equal to 23 divided by 4. The solution on the number line has a right bracket at 23 divided by 4 with shading to the left. The solution in interval notation is negative infinity to 23 divided by 4 within a parenthesis and a bracket.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo: (6x <10x + 19 ).

 
     
Respuesta
     
     

x is greater than negative 19 divided by 4. The solution on the number line has a left parenthesis at negative 19 divided by 4 with shading to the right. The solution in interval notation is negative 19 divided by 4 to infinity within parentheses.

     
 
 
 
 
 

Al resolver desigualdades, generalmente es más fácil recolectar las variables en el lado donde el coeficiente de la variable es mayor. Esto elimina los coeficientes negativos y, por lo tanto, no tenemos que multiplicar o dividir por uno negativo, lo que significa que no tenemos que recordar revertir el signo de desigualdad.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Resuelve la desigualdad (8p + 3 (p − 12)> 7p − 28 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(8p + 3 (p − 12)> 7p − 28 )
Simplifica cada lado tanto como sea posible.
Distribuir. (8p + 3p − 36> 7p − 28 )
Combina términos similares. (11p − 36> 7p − 28 )
Reste (7p ) de ambos lados para recopilar las variables
de la izquierda, ya que (11> 7 ).
(11p − 36−7p> 7p − 28−7p )
Simplificar. (4p − 36> −28 )
Agregue (36 ) a ambos lados para recoger las constantes
a la derecha.
(4p − 36 + 36> −28 + 36 )
Simplificar. (4p> 8 )
Divide ambos lados de la desigualdad entre
(4 ); La desigualdad se mantiene igual.
( dfrac {4p} {4}> dfrac {8} {4} )
Simplificar. (p> 2 )
Representa gráficamente la solución en la recta numérica. .
Escribe la solución en notación de intervalo. ((2, infty) )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Resuelve la desigualdad (9y + 2 (y + 6)> 5y − 24 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

y is greater than negative 6. The solution on the number line has a left parenthesis at negative 6 with shading to the right. The solution in interval notation is negative 6 to infinity within parentheses.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Resuelve la desigualdad (6u + 8 (u − 1)> 10u + 32 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

u is greater than negative 10. The solution on the number line has a left parenthesis at 10 with shading to the right. The solution in interval notation is 10 to infinity within parentheses.

     
 
 
 
 
 

Al igual que algunas ecuaciones son identidades y otras son contradicciones, las desigualdades también pueden ser identidades o contradicciones. Reconocemos estas formas cuando nos quedan solo constantes a medida que resolvemos la desigualdad. Si el resultado es una declaración verdadera, tenemos una identidad. Si el resultado es una declaración falsa, tenemos una contradicción.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Resuelve la desigualdad (8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Simplifica cada lado tanto como sea posible. (8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x )
Distribuir. (8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x )
Combina términos similares. (10x − 10 <10x + 36 )
Reste ({ color {red} {10x}} ) de ambos lados para recopilar las variables de la izquierda. (10x − 10 , { color {rojo} {- , 10x}} <10x + 36 , { color {rojo} {- , 10x}} )
Simplificar. (- 10 <36 )
Los (x ) se han ido, y tenemos una verdadera declaración
.
La desigualdad es una identidad.
La solución son todos los números reales.
Representa gráficamente la solución en la recta numérica. .
Escribe la solución en notación de intervalo. ((- infty, infty) )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Resuelve la desigualdad (4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

The inequality is an identity. Its solution on the number line is shaded for all values. The solution in interval notation is negative infinity to infinity within parentheses.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Resuelve la desigualdad (9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

The inequality is an identity. Its solution on the number line is shaded for all values. The solution in interval notation is negative infinity to infinity within parentheses.

     
 
 
 
 
 

Podemos eliminar fracciones en las desigualdades tanto como lo hicimos en las ecuaciones. Una vez más, tenga cuidado con los signos al multiplicar o dividir por un negativo.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Resuelve la desigualdad ( frac {1} {3} a− frac {1} {8} a> frac {5} {24} a + frac {3} {4} ), representa gráficamente solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {1} {3} a− frac {1} {8} a> frac {5} {24} a + frac {3} {4} )
Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, 24,
para borrar las fracciones.
({ color {red} {24}} left ( dfrac {1} {3} a− dfrac {1} {8} a right)> , { color {red} { 24}} left ( dfrac {5} {24} a + dfrac {3} {4} right) )
Simplificar. (8a – 3a> 5a + 18 )
Combina términos similares. (5a> 5a + 18 )
Reste (5a ) de ambos lados para recopilar las variables
de la izquierda.
(5a , { color {rojo} {- , 5a}}> 5a , { color {rojo} {- , 5a}} + 18 )
Simplificar. (0> 18 )
La afirmación es falsa. La desigualdad es una contradicción.
No hay solución.
Representa gráficamente la solución en la recta numérica. .
Escribe la solución en notación de intervalo. No hay solución.
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Resuelve la desigualdad ( frac {1} {4} x− frac {1} {12} x> frac {1} {6} x + frac {7} {8} ), representa gráficamente solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

The inequality is a contradiction. So, there is no solution. As a result, there is no graph on the number line or interval notation.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Resuelva la desigualdad ( frac {2} {5} z− frac {1} {3} z < frac {1} {15} z− frac {3} {5} ), gráfico la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

The inequality is a contradiction. So, there is no solution. As a result, there is no graph on the number line or interval notation.

     
 
 
 
 
 
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