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las matematicas

2.6: Resolviendo Ecuaciones de Valor Absoluto y Desigualdades

Ecuaciones de valor absoluto

 

Recuerde que el valor absoluto 63 de un número real (a ), denotado (| a | ), se define como el distancia entre cero (el origen) y la gráfica de ese número real en la recta numérica. Por ejemplo, (| −3 | = 3 ) y (| 3 | = 3 ).

 
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Figura 2.6.1
 
 

Además, el valor absoluto de un número real se puede definir algebraicamente como una función por partes.

 

(| a | = left { begin {array} {l} {a text {if} a geq 0} \ {- a text {if} a <0} end { matriz} right. )

 

Dada esta definición, (| 3 | = 3 ) y (| −3 | = – (−3) = 3 ). Por lo tanto, la ecuación (| x | = 3 ) tiene dos soluciones para (x ), a saber, ( {± 3 } ). En general, dada cualquier expresión algebraica (X ) y cualquier número positivo (p ):

 

( text {If} : | X | = p text {then} X = – p text {or} X = p )

 

En otras palabras, el argumento del valor absoluto 64 (X ) puede ser positivo o negativo (pags). Usa este teorema para resolver ecuaciones de valor absoluto algebraicamente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Resuelve: (| x + 2 | = 3 ).

 

Solución

 

En este caso, el argumento del valor absoluto es (x + 2 ) y debe ser igual a (3 ) o (- 3 ).

 
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Figura 2.6.2
 
 

Por lo tanto, para resolver esta ecuación de valor absoluto, establezca (x + 2 ) igual a (± 3 ) y resuelva cada ecuación lineal como de costumbre.

 

( begin {array} {c} {| x + 2 | = 3} \ {x + 2 = – 3 quad quad text {o} quad quad x + 2 = 3} \ {x = – 5 quad quad quad quad quad quad quad x = 1} end {array} )

 

Respuesta :

 

Las soluciones son (- 5 ) y (1 ).

 
 

Para visualizar estas soluciones, grafica las funciones a cada lado del signo igual en el mismo conjunto de ejes de coordenadas. En este caso, (f (x) = | x + 2 | ) es una función de valor absoluto desplazada dos unidades horizontalmente a la izquierda, y (g (x) = 3 ) es una función constante cuyo gráfico es un linea horizontal. Determine los valores de (x ) donde (f (x) = g (x) ).

 

 

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Figura 2.6.3
 
 

En el gráfico podemos ver que ambas funciones coinciden donde (x = −5 ) y (x = 1 ). Las soluciones corresponden a los puntos de intersección.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resuelve: (| 2 x + 3 | = 4 ).

 

Solución

 

Aquí el argumento del valor absoluto es (2x + 3 ) y puede ser igual a (- 4 ) o (4 ).

 

( begin {array} {rl} {| 2 x + 3 |} & {= quad 4} \ {2 x + 3 = – 4} & { text {o} quad 2 x + 3 = 4} \ {2 x = – 7} & quad quad : : {2 x = 1} \ {x = – frac {7} {2}} & quad quad : : {x = frac {1} {2}} end {array} )

 

Verifique si estas soluciones satisfacen la ecuación original.

                                                                                                              
Verifique (x = – frac {7} {2} ) Comprobar (x = frac {1} {2} )
( begin {alineado} | 2 x + 3 | & = 4 \ left | 2 left ( color {Cerulean} {- frac {7} {2}} right) + 3 derecha | & = 4 \ | – 7 + 3 | & = 4 \ | – 4 | & = 4 \ 4 & = 4 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) ( begin {array} {r} {| 2 x + 3 | = 4} \ { left | 2 left ( color {Cerulean} { frac {1} {2}} right ) + 3 right | = 4} \ {| 1 + 3 | = 4} \ {| 4 | = 4} \ {4 = 4} : : color {Cerulean} {✓} end {array} )
 

Tabla 2.6.1

 

Respuesta :

 

Las soluciones son (- frac {7} {2} ) y ( frac {1} {2} ).

 
 

Para aplicar el teorema, el valor absoluto debe estar aislado. Los pasos generales para resolver ecuaciones de valor absoluto se resumen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resuelve: (2 | 5x – 1 | – 3 = 9 ).

 

Solución

 

Paso 1 : aísle el valor absoluto para obtener la forma (| X | = p ).

 

( begin {alineado} 2 | 5 x – 1 | – 3 & = 9 : : : color {Cerulean} {Agregar : 3 : a : ambos : lados.} 2 | 5 x – 1 | & = 12 : : color {Cerulean} {Divide : both : sides : by : 2} \ | 5 x – 1 | & = 6 end {alineado } )

 

Paso 2 : Establezca el argumento del valor absoluto igual a (± p ). Aquí el argumento es (5x – 1 ) y (p = 6 ).

 

(5 x – 1 = – 6 text {o} 5 x – 1 = 6 )

 

Paso 3 : Resuelve cada una de las ecuaciones lineales resultantes.

 

( begin {array} {rl} {5 x – 1 = – 6 quad : : text {or} quad quad5 x – 1} & {: : : : : : = 6} \ {5 x = – 5} quad : quad quad quad quad quad quad : & {5 x = 7} \ {x = – 1} quad quad quad quad quad quad quad : : & {x = frac {7} {5}} end {array} )

 

Paso 4 : Verifique las soluciones en la ecuación original.

                                                                                                              
Verificación (x = -1 ) Marque (x = frac {7} {5} )
( begin {alineado} 2 | 5 x – 1 | – 3 & = 9 \ 2 | 5 ( color {Cerulean} {- 1} color {Black} {)} – 1 | – 3 & = 9 \ 2 | – 5 – 1 | – 3 & = 9 \ 2 | – 6 | – 3 & = 9 \ 12 – 3 & = 9 \ 9 & = 9 color {Cerulean} {✓ } end {alineado} ) ( begin {alineado} 2 | 5 x – 1 | – 3 & = 9 \ 2 left | 5 left ( color {Cerulean} { frac {7} {5}} right) – 1 right | – 3 & = 9 \ 2 | 7 – 1 | – 3 & = 9 \ 2 | 6 | – 3 & = 9 \ 12 – 3 & = 9 \ 9 & = 9 color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
 

Tabla 2.6.2

 

Respuesta :

 

Las soluciones son (- 1 ) y ( frac {7} {5} )

 
 

No todas las ecuaciones de valor absoluto tendrán dos soluciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelve: (| 7 x – 6 | + 3 = 3 ).

 

Solución

 

Comience por aislar el valor absoluto.

 

( begin {array} {l} {| 7 x – 6 | + 3 = 3 : : : color {Cerulean} {Restar : 3 : en : ambos : lados. }} \ { quad | 7 x – 6 | = 0} end {array} )

 

Solo cero tiene el valor absoluto de cero, (| 0 | = 0 ). En otras palabras, (| X | = 0 ) tiene una solución, a saber, (X = 0 ). Por lo tanto, establezca el argumento (7x – 6 ) igual a cero y luego resuelva (x ).

 

( begin {alineado} 7 x – 6 & = 0 \ 7 x & = 6 \ x & = frac {6} {7} end {alineado} )

 

Geométricamente, una solución corresponde a un punto de intersección.

 

 

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Figura 2.6.4
 
 

Respuesta :

 

La solución es ( frac {6} {7} ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resuelve: (| x + 7 | + 5 = 4 ).

 

Solución

 

Comience por aislar el valor absoluto.

 

( begin {alineado} | x + 7 | + 5 & = 4 : : color {Cerulean} {Restar : 5 : en : ambos : lados.} \ | x + 7 | & = – 1 end {alineado} )

 

En este caso, podemos ver que el valor absoluto aislado es igual a un número negativo. Recuerde que el valor absoluto siempre será positivo. Por lo tanto, concluimos que no hay solución. Geométricamente, no hay punto de intersección.

 
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Figura 2.6.5
 
 

Respuesta :

 

No hay solución, (Ø ).

 
 

Si se le da una ecuación con dos valores absolutos de la forma (| a | = | b | ), entonces (b ) debe ser igual a (a ) u opuesto. Por ejemplo, si (a = 5 ), entonces (b = pm 5 ) y tenemos:

 

(| 5 | = | – 5 | text {or} | 5 | = | + 5 | )

 

En general, dadas expresiones algebraicas (X ) e (Y ):

 

( text {If} | X | = | Y | text {then} X = – Y text {or} X = Y ).

 

En otras palabras, si dos expresiones de valor absoluto son iguales, entonces los argumentos pueden ser iguales o opuestos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resuelve: (| 2 x – 5 | = | x – 4 | ).

 

Solución

 

Establezca (2x-5 ) igual a ( pm (x – 4) ) y luego resuelva cada ecuación lineal.

 

( begin {array} {c} {| 2 x – 5 | = | x – 4 |} \ {2 x – 5 = – (x – 4) : : text {or} : : 2 x – 5 = + (x – 4)} \ {2 x – 5 = – x + 4} quad quad quad 2x-5 = x-4 \ {3 x = 9} quad quad quad quad quad quad quad quad x = 1 \ {x = 3 quad quad quad quad quad quad quad quad quad : : : :} end {array} )

 

Para verificar, sustituimos estos valores en la ecuación original.

                                                                                                              
Verificación (x = 1 ) Verificación (x = 3 )
( begin {alineado} | 2 x – 5 | & = | x – 4 | \ | 2 ( color {Cerulean} {1} color {Black} {)} – 5 | & = | ( color {Cerulean} {1} color {Black} {)} – 4 | \ | – 3 | & = | – 3 | \ 3 & = 3 color {Cerulean} {✓} end {alineado } ) ( begin {alineado} | 2 x – 5 | & = | x – 4 | \ | 2 ( color {Cerulean} {3} color {Black} {)} – 5 | & = | ( color {Cerulean} {3} color {Black} {)} – 4 | \ | 1 | & = | – 1 | \ 1 & = 1 color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
 

Tabla 2.6.3

 

Como ejercicio, use una utilidad gráfica para representar gráficamente tanto (f (x) = | 2x-5 | ) como (g (x) = | x-4 | ) en el mismo conjunto de ejes. Verifique que las gráficas se crucen donde (x ) es igual a (1 ) y (3 ).

 

Respuesta :

 

Las soluciones son (1 ) y (3 ).

 
 

Desigualdades de valor absoluto

 

Comenzamos examinando las soluciones a la siguiente desigualdad:

 

(| x | leq 3 )

 

El valor absoluto de un número representa la distancia desde el origen. Por lo tanto, esta ecuación describe todos los números cuya distancia desde cero es menor o igual que (3 ). Podemos graficar este conjunto de soluciones sombreando todos esos números.

 
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Figura 2.6.6
 
 

Ciertamente podemos ver que hay infinitas soluciones para (| x | ≤3 ) delimitadas por (- 3 ) y (3 ). Exprese este conjunto de soluciones utilizando la notación establecida o la notación de intervalo de la siguiente manera:

 

( begin {array} {c} { {x | – 3 leq x leq 3 } color {Cerulean} {Set : Notation}} \ {[- 3,3] quad color {Cerulean} {Intervalo : Notación}} end {array} )

 

En este texto, elegiremos expresar soluciones en notación de intervalo. En general, dada cualquier expresión algebraica (X ) y cualquier número positivo (p ):

 

( text {If} | X | leq p text {then} – p leq X leq p ).

 

Este teorema también es válido para las desigualdades estrictas. En otras palabras, podemos convertir cualquier desigualdad de valor absoluto que involucre “ menor que ” en una desigualdad compuesta que puede resolverse como de costumbre.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (| x + 2 | <3 ).

 

Solución

 

Vincula el argumento (x + 2 ) por (- 3 ) y (3 ) y resuelve.

 

( begin {array} {c} {| x + 2 | <3} \ {- 3  

Aquí usamos puntos abiertos para indicar desigualdades estrictas en el gráfico de la siguiente manera.

 
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Figura 2.6.7
 
 

Respuesta :

 

Usando notación de intervalo, ((- 5,1) ).

 
 

La solución a (| x + 2 | <3 ) se puede interpretar gráficamente si dejamos que (f (x) = | x + 2 | ) y (g (x) = 3 ) y luego determine dónde (f (x)  

 

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Figura 2.6.7
 
 

La solución consiste en todos los valores de (x ) donde la gráfica de (f ) está debajo de la gráfica de (g ). En este caso, podemos ver que (| x + 2 | <3 ) donde los valores (x ) - están entre (- 5 ) y (1 ). Para aplicar el teorema, primero debemos aislar el valor absoluto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Resuelva: (4 | x + 3 | – 7 ≤ 5 ).

 

Solución

 

Comience por aislar el valor absoluto.

 

( begin {array} {c} {4 | x + 3 | – 7 leq 5} \ {4 | x + 3 | leq 12} \ {| x + 3 | leq 3 } end {array} )

 

Luego, aplica el teorema y reescribe la desigualdad de valor absoluto como una desigualdad compuesta.

 

( begin {array} {c} {| x + 3 | leq 3} \ {- 3 leq x + 3 leq 3} end {array} )

 

Resolver.

 

( begin {alineado} – 3 leq x + 3 leq & 3 \ – 3 color {Cerulean} {- 3} color {Black} { leq} x + 3 color {Cerulean } {- 3} & color {Black} { leq} 3 color {Cerulean} {- 3} \ – 6 leq x leq 0 end {alineado} )

 

Sombrea las soluciones en una recta numérica y presenta la respuesta en notación de intervalo. Aquí usamos puntos cerrados para indicar desigualdades inclusivas en el gráfico de la siguiente manera:

 
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Figura 2.6.8
 
 

Respuesta :

 

Usando notación de intervalo, ([- 6,0] )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (3 + | 4 x – 5 | <8 ).

 
     
Respuesta
     
     

Notación de intervalo: ((0, frac {5} {2}) )

     
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Figura 2.6.9
     
     

     
 
 
 
 

A continuación, examinamos las soluciones a una desigualdad que involucra “ mayor que “, como en el siguiente ejemplo:

 

(| x | geq 3 )

 

Esta desigualdad describe todos los números cuya distancia desde el origen es mayor o igual que (3 ). En un gráfico, podemos sombrear todos esos números.

 
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Figura 2.6.10
 
 

Hay infinitas soluciones que se pueden expresar utilizando la notación de conjunto y la notación de intervalo de la siguiente manera:

 

( begin {array} {l} { {x | x leq – 3 text {or} x geq 3 } : : color {Cerulean} {Set : Notation}} \ {(- infty, – 3] cup [3, infty) : : color {Cerulean} {Interval : Notation}} end {array} )

 

En general, dada cualquier expresión algebraica (X ) y cualquier número positivo (p ):

 

( text {If} | X | geq p text {then} X leq – p text {o} X geq p ).

 

El teorema también es válido para las desigualdades estrictas. En otras palabras, podemos convertir cualquier desigualdad de valor absoluto que involucre “ mayor que ” en una desigualdad compuesta que describe dos intervalos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (| x + 2 |> 3 ).

 

Solución

 

El argumento (x + 2 ) debe ser menor que (- 3 ) o mayor que (3 ).

 

( begin {array} {c} {| x + 2 |> 3} \ {x + 2 <- 3 quad text {o} quad x + 2> 3} \ {x <- 5} quad quad quad quad quad : x> 1 end {array} )

 
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Figura 2.6.11
 
 

Respuesta :

 

Usando notación de intervalo, ((- ∞, −5) ∪ (1, ∞) ).

 
 

La solución a (| x + 2 |> 3 ) puede interpretarse gráficamente si dejamos que (f (x) = | x + 2 | ) y (g (x) = 3 ) y luego determine dónde (f (x)> g (x) ) graficando tanto (f ) como (g ) en el mismo conjunto de ejes.

 

 

 
Figura 2.6.12
 
 

La solución consiste en todos (x ) – valores donde la gráfica de (f ) está por encima de la gráfica de (g ). En este caso, podemos ver que (| x + 2 |> 3 ) donde los valores de (x ) son menores que (- 5 ) o mayores que (1 ). Para aplicar el teorema primero debemos aislar el valor absoluto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Resuelve: (3 + 2 | 4x – 7 | ≥ 13 ).

 

Solución

 

Comience por aislar el valor absoluto.

 

( begin {array} {r} {3 + 2 | 4 x – 7 | geq 13} \ {2 | 4 x – 7 | geq 10} \ {| 4 x – 7 | geq 5} end {array} )

 

Luego, aplica el teorema y reescribe la desigualdad de valor absoluto como una desigualdad compuesta.

 

( begin {array} & quad quad quad quad : : : | 4x-7 | geq 5 \ 4 x – 7 leq – 5 quad text {o} quad 4 x – 7 geq 5 end {array} )

 

Resolver.

 

( begin {array} {l} {4 x – 7 leq – 5 text {or} 4 x – 7 geq 5} \ quad : : : : {4 x leq 2} quad quad quad : : : 4x geq 12 \ quad : : : : {4 x leq frac {2} {4}} quad quad quad quad x geq 3 \ quad quad {4 x leq frac {1} {2}} end {array} )

 

Sombrea las soluciones en una recta numérica y presenta la respuesta usando notación de intervalo.

 
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Figura 2.6.13
 
 

Respuesta :

 

Usando notación de intervalo, ((- ∞, 12] ∪ [3, ∞) )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve y representa gráficamente: (3 | 6 x + 5 | – 2> 13 ).

 
     
Respuesta
     
     

Utilizando la notación de intervalo, ( left (- infty, – frac {5} {3} right) cup (0, infty) )

     

     

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Figura 2.6.14
     
     

     
 
 
 
 

Hasta este punto, los conjuntos de soluciones de desigualdades lineales de valor absoluto han consistido en un único intervalo acotado o dos intervalos no acotados. Este no es siempre el caso.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Resuelve y representa gráficamente: (| 2x − 1 | +5> 2 ).

 

Solución

 

Comience por aislar el valor absoluto.

 

( begin {array} {c} {| 2 x – 1 | + 5> 2} \ {| 2 x – 1 |> – 3} end {array} )

 

Observe que tenemos un valor absoluto mayor que un número negativo. Para cualquier número real x el valor absoluto del argumento siempre será positivo. Por lo tanto, cualquier número real resolverá esta desigualdad.

 
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Figura 2.6.15
 
 

Geométricamente, podemos ver que (f (x) = | 2x − 1 | +5 ) siempre es mayor que (g (x) = 2 ).

 
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Figura 2.6.16
 
 

Respuesta :

 

Todos los números reales, (ℝ ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Resuelve y representa gráficamente: (| x + 1 | + 4≤3 ).

 

Solución

 

Comience por aislar el valor absoluto.

 

( begin {array} {l} {| x + 1 | + 4 leq 3} \ {| x + 1 | leq – 1} end {array} )

 

En este caso, podemos ver que el valor absoluto aislado debe ser menor o igual que un número negativo. Nuevamente, el valor absoluto siempre será positivo; por lo tanto, podemos concluir que no hay solución.

 

Geométricamente, podemos ver que (f (x) = | x + 1 | +4 ) nunca es menor que (g (x) = 3 ).

 
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Figura 2.6.17
 
 

Respuesta : (Ø )

 
 

En resumen, hay tres casos para ecuaciones de valor absoluto y desigualdades. Las relaciones (=, <, leq,> ) y (≥ ) determinan qué teorema aplicar.

 

Caso 1: Una ecuación de valor absoluto:

                                                              
( begin {array} {c} { text {If} | X | = p} \ { text {then} X = – p text {or} X = p} end {array } )              
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Figura 2.6.18
             
             
 

Caso 2: Una desigualdad de valor absoluto que implica “ menos que “.

                                                              
( begin {array} {c} { text {If} | X | leq p} \ { text {then} – p leq X leq p} end {array} )              
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Figura 2.6.19
             
             
 

Caso 3: Una desigualdad de valor absoluto que implica “ mayor que “.

                                                              
( begin {array} {c} { text {If} | X | geq p} \ { text {then} X leq – p text {o} X geq p} end {array} )              
0519655a76754718478f57cf009322ad.png              
Figura 2.6.20
             
             
 
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