Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Si y = f (x) tiene la gráfica que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a), dibuje la gráfica de y = f (2x).

 

Solución

 

En la sección anterior, investigamos la gráfica de y = 2f (x). El número 2 estaba fuera de la notación de función y, como resultado, estiramos la gráfica de y = f (x) verticalmente por un factor de 2. Sin embargo, tenga en cuenta que el 2 ahora está dentro de la notación de función y = f (2x). La intuición exigiría que esto pudiera tener algo que ver con el escalado en la dirección x (dirección horizontal), pero ¿cómo?

 

Nuevamente, cuando no estamos seguros de la forma del gráfico, confiamos en trazar una tabla de puntos. Comenzamos eligiendo estos valores de x: x = −2, −1, 0, 1 y 2. Tenga en cuenta que estos son precisamente la mitad de cada uno de los valores de x presentados en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} )(si). Ahora evaluaremos la función y = f (2x) en cada uno de estos valores de x. Por ejemplo, para calcular y = f (2x) en x = −2, primero insertamos x = −2 para x para obtener [y = f (2 (-2)) = f (-4) ] [19459001 ]  

Para completar el cálculo, ahora debemos evaluar f (−4). Sin embargo, este resultado se registra en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Allí encontramos que f (−4) = 0, y podemos completar el cálculo que se inició anteriormente.

 

[y = f (2 (-2)) = f (-4) = 0 ]

 

De manera similar, para evaluar la función y = f (2x) en x = −1, primero sustituya x = −1 en y = f (2x) para obtener

 

[y = f (2 (-1)) = f (-2) ]

 

Ahora, tenga en cuenta que f (−2) es el siguiente valor registrado en la tabla en la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Allí encontramos que f (−2) = −4, por lo que podemos completar el cálculo iniciado anteriormente.

 

[y = f (2 (-1)) = f (-2) = – 4 ]

 

En este punto, puede ver por qué elegimos los valores de x: −2, −1, 0, 1 y 2. Estos son precisamente la mitad de los valores de x en la tabla de valores originales para la función y = f (x) en la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Cuando los valores −2, −1, 0, 1 y 2 se sustituyen en la función y = f (2x), se duplican primero antes de buscar el valor de la función en la tabla de la Figura ( PageIndex { 3} ) (b).

 

Continuando de esta manera, evaluamos la función y = f (2x) en los valores restantes de x, a saber, 0, 1 y 2.

 

[ begin {alineado} y & = f (2 (0)) = f (0) = 0 \ y & = f (2 (1)) = f (2) = 2 \ y & = f (2 (2)) = f (4) = 0 end {alineado} ]

 

Ingresamos estos valores en la tabla de la Figura 4 (b) y los graficamos para determinar la gráfica de y = f (2x) en la Figura ( PageIndex {4} ) (a).

 

En este punto, hay varias comparaciones que puede hacer.

 

1. Compare los datos en la tabla en la Figura ( PageIndex {4} ) (b) con los datos de la función original en la tabla en la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Tenga en cuenta que los valores de y en cada tabla son idénticos. Sin embargo, tenga en cuenta que cada valor de x en la tabla de la Figura ( PageIndex {4} ) (b) es precisamente la mitad del valor de x correspondiente en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b )

 

2. Compare la gráfica de y = f (2x) en la Figura ( PageIndex {4} ) (a) con la gráfica original de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {3} )(una). Tenga en cuenta que cada valor de x en cada punto de la gráfica de y = f (2x) en

 

 

La Figura ( PageIndex {4} ) (a) es precisamente la mitad del valor x del punto correspondiente en el gráfico de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {3} ) (a )

 

Tenga en cuenta el resultado. La gráfica de y = f (2x) se comprime horizontalmente (hacia el eje y), tanto positiva como negativamente, por un factor de 2. Tenga en cuenta que esto es exactamente lo contrario de lo que podría esperar por intuición, pero un examen cuidadoso de los datos en las tablas en las Figuras ( PageIndex {3} ) (b) y ( PageIndex {4} ) (b) explicarán por qué.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Si y = f (x) tiene la gráfica que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a), dibuje la gráfica de y = f ((1/2) x).

 

Solución

 

En lugar de duplicar cada valor de x al comienzo, esta función primero reduce a la mitad cada valor de x. Por lo tanto, querremos evaluar la función y = f ((1/2) x) en x = −8, −4, 0, 4 y 8. Por ejemplo, para evaluar la función y = f ((1 / 2) x) en x = −8, primero sustituya x = −8 para obtener [y = f ((1/2) (- 8)) = f (-4) ]

 

Ahora, busque este valor en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b) y observe que f (−4) = 0. Por lo tanto, podemos completar el cálculo de la siguiente manera.

 

[y = f ((1/2) (- 8)) = f (-4) = 0 ]

 

Del mismo modo, para evaluar la función y = f ((1/2) x) en x = −4, primero sustituya x = −4 para obtener

 

[y = f ((1/2) (- 4)) = f (-2) ]

 

Ahora, busque este valor en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b) y observe que f (−2) = −4. Por lo tanto, podemos completar el cálculo de la siguiente manera.

 

[y = f ((1/2) (- 4)) = f (-2) = – 4 ]

 

En este punto, verá por qué elegimos los valores de x: −8, −4, 0, 4 y 8. Estos valores son precisamente el doble de los valores de x en la tabla de valores originales para la función y = f (x) en la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Cuando los valores −8, −4, 0, 4 y 8 se sustituyen en la función y = f ((1/2) x), primero se reducen a la mitad antes de buscar el valor de la función en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b). Esta reducción a la mitad conduce a los valores −4, −2, 0, 2 y 4, que son precisamente los valores disponibles en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b).

 

Hacemos cálculos similares en los valores restantes de x, es decir, x = 0, 4 y 8.

 

[ begin {alineado} y & = f ((1/2) (0)) = f (0) = 0 \ y & = f ((1/2) (4)) = f ( 2) = 2 \ y & = f ((1/2) (8)) = f (4) = 0 end {alineado} ]

 

Con suerte, estos cálculos explican nuestra elección de los valores de x anteriores. Cada uno de estos resultados se registra en la tabla de la Figura ( PageIndex {5} ) (b) y se representa en el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (a).

 

 

Nuevamente, tenga en cuenta que los valores y en la tabla de la Figura ( PageIndex {5} ) (b) son idénticos a los valores y en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) ( si). Sin embargo, cada valor de x en la tabla de la Figura ( PageIndex {5} ) (b) es precisamente el doble del valor de x correspondiente en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) (b).

 

Esta duplicación de los valores de x es evidente en la gráfica de y = f ((1/2) x) que se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (a), donde la gráfica se estira por un factor de 2 horizontalmente (lejos del eje y), tanto positiva como negativamente. Tenga en cuenta que esto es exactamente lo contrario de lo que podría esperar por intuición, pero un examen cuidadoso de los datos en las tablas en las Figuras ( PageIndex {3} ) (b) y ( PageIndex {5} ) ( b) explicará por qué.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Si y = f (x) tiene la gráfica que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ) (a), dibuje la gráfica de y = f (−x).

 

Solución

 

En la sección anterior, se nos pidió que dibujáramos la gráfica de y = −f (x). Observe cómo aparece el signo menos en el exterior de la función. Claramente, los valores y de y = −f (x) deben ser opuestos en signo a los valores y de y = f (x). Es por eso que la gráfica de y = −f (x) fue un reflejo de la gráfica de y = f (x) a través del eje x.

 

Sin embargo, en este ejemplo, el signo menos está dentro de la función, dejando a uno intuir que se están negando los valores x, no los valores y. Elegiremos los siguientes valores de x: x = 4, 2, 0, −2 y −4. Esto es un poco engañoso, ya que parece que estamos eligiendo los mismos valores de x, solo en orden inverso. Este no es el caso. Estamos eligiendo el negativo de cada valor de x en la tabla de la Figura ( PageIndex {7} ) (b).

 

Para evaluar y = f (−x) en nuestro primer valor de x, es decir, x = 4, realizamos el siguiente cálculo. Primer sustituto x = 4 para obtener

 

[y = f (- (4)) = f (-4) ]

 

Ahora, busque este valor en la tabla de la Figura ( PageIndex {7} ) (b) y observe que f (−4) = 0. Por lo tanto, podemos completar el cálculo de la siguiente manera.

 

[y = f (- (4)) = f (-4) = 0 ]

 

Del mismo modo, para evaluar la función y = f (−x) en x = 2, primero sustituya x = 2 para obtener

 

[y = f (- (2)) = f (-2) ]

 

Ahora, busque este valor en la tabla de la Figura ( PageIndex {7} ) (b) y observe que f (−2) = −4. Por lo tanto, podemos completar el cálculo de la siguiente manera.

 

[y = f (- (2)) = f (-2) = – 4 ]

 

En este punto, verá por qué elegimos los valores de x: 4, 2, 0, −2 y −4. Estos valores son los negativos de los valores de x en la tabla de valores originales para la función y = f (x) en la Figura ( PageIndex {7} ) (b). Cuando los valores 4, 2, 0, −2 y −4 se sustituyen en la función y = f (−x), primero se niegan antes de buscar el valor de la función en la tabla de la Figura ( PageIndex {7} ) (b). Esta negación conduce a los valores −4, −2, 0, 2 y 4, que son precisamente los valores disponibles en la tabla de la Figura ( PageIndex {7} ) (b).

 

Hacemos cálculos similares en los valores restantes de x, a saber, x = 0, −2 y −4.

 

[ begin {array} {l} {y = f (- (0)) = f (0) = 0} \ {y = f (- (- 2)) = f (2) = 2} \ {y = f (- (- 4)) = f (4) = 0} end {array} ]

 

Organizamos estos puntos en la tabla de la Figura ( PageIndex {8} ) (b), luego los graficamos en la Figura ( PageIndex {8} ) (a).

 

Cuando compara las entradas de la tabla en la Figura ( PageIndex {8} ) (b) con las de la tabla en la Figura ( PageIndex {7} ) (b), tenga en cuenta que los valores aparecen en el mismo orden, pero los valores x de la tabla en la Figura ( PageIndex {7} ) (b) se han negado en la tabla en la Figura ( PageIndex {8} ) (b). Esto significa que un punto anterior como (−2, −4) se transforma en el punto (2, −4), que es un reflejo del punto (−2, −4) a través del eje y.

 

 

Por lo tanto, para producir la gráfica de y = f (−x), simplemente refleje la gráfica de y = f (x) a través del eje y.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Si y = f (x) tiene la gráfica que se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a), dibuje la gráfica de y = f (x + 1).

 

Solución

 

En la sección anterior, dibujamos la gráfica de y = f (x) +1. Tenga en cuenta que en y = f (x) +1, el número 1 está fuera de la función. El resultado fue un gráfico que se desplazó 1 unidad hacia arriba en la dirección y.

 

En este caso, y = f (x + 1) y el 1 está dentro de la notación de función, lo que lleva a intuir que la traducción podría estar en dirección horizontal (dirección x). ¿Pero cómo?

 

Nuevamente, estableceremos una tabla de puntos que satisfaga la ecuación y = f (x + 1), luego los trazaremos. Debido a que esta función requiere que primero agreguemos 1 a cada valor de x antes de insertarlo en la función, elegiremos los valores de x adecuadamente, es decir, x = −5, −3, −1, 1 y 3. En un momento, Quedará claro por qué hemos elegido estos valores particulares de x. Quizás ya ves por qué?

 

Necesitamos evaluar la función y = f (x + 1) en cada uno de estos valores elegidos de x. Para evaluar y = f (x + 1) en el primer valor, es decir x = −5, insertamos x = −5 y hacemos el cálculo [y = f (-5 + 1) = f (-4) ] [ 19459001]  

Para completar el cálculo, ahora debemos evaluar f (−4). Sin embargo, este resultado se registra en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b). Allí encontramos que f (−4) = 0, y podemos completar el cálculo iniciado anteriormente.

 

[y = f (-5 + 1) = f (-4) = 0 ]

 

De manera similar, podemos evaluar la función y = f (x + 1) en x = −3. Primero, sustituya x = −3 en y = f (x + 1) para obtener

 

[y = f (-3 + 1) = f (-2) ]

 

Para completar el cálculo, ahora debemos evaluar f (−2). Sin embargo, este resultado se registra en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b). Allí encontramos que f (−2) = −4, y podemos completar el cálculo iniciado anteriormente.

 

[y = f (-3 + 1) = f (-2) = – 4 ]

 

En este punto, puede ver por qué elegimos los valores de x: −5, −3, −1, 1 y 3. Estos son precisamente uno menos que los valores de x en la tabla de valores originales para la función y = f (x) en la Figura ( PageIndex {10} ) (b). Cuando los valores −5, −3, −1, 1 y 3 se sustituyen en la función y = f (x + 1), primero agregamos 1 a cada valor antes de buscar el valor de la función en la tabla en Figura ( PageIndex {10} ) (b). Esta suma de 1 conduce a los valores −4, −2, 0, 2 y 4, que son precisamente los valores disponibles en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b).

 

Continuando de esta manera, evaluamos la función y = f (x + 1) en los valores restantes de x, a saber, −1, 1 y 3.

 

[ begin {alineado} y & = f (-1 + 1) = f (0) = 0 \ y & = f (1 + 1) = f (2) = 2 \ y & = f (3 + 1) = f (4) = 0 end {alineado} ]

 

Reunimos estos resultados en la tabla de la Figura ( PageIndex {11} ) (b) y los trazamos en la Figura ( PageIndex {11} ) (a).

 

 

Cuando compara los puntos en la gráfica de y = f (x + 1) en la tabla de la Figura ( PageIndex {11} ) (b) con los puntos originales en la gráfica de y = f (x ) en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b), tenga en cuenta que los valores de y son idénticos, pero los valores de x en la tabla de la Figura ( PageIndex {11} ) (b) son todas 1 unidad menos que los valores de x correspondientes en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b). No es de extrañar que la gráfica de y = f (x + 1) en la Figura ( PageIndex {11} ) (a) se desplace 1 unidad a la izquierda de la gráfica original de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {10} ) (a).

 

Tenga en cuenta que esto es algo contradictorio, porque aparentemente estamos agregando 1 a cada valor de x en y = f (x + 1). ¿Por qué el gráfico no mueve una unidad a la derecha? Bueno, una comparación cuidadosa de los valores de x en las tablas en las Figuras ( PageIndex {10} ) (b) y ( PageIndex {11} ) (b) revela la respuesta. Para utilizar los datos en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b), primero debemos restar 1 de cada valor de x para producir los valores de x en la tabla de la Figura ( PageIndex { 11} ) (b). Es por eso que la gráfica de y = f (x + 1) se mueve 1 unidad hacia la izquierda en lugar de 1 unidad hacia la derecha.

 

También puede recordar que la función y = f (2x) comprimida por un factor de 2, que también es lo contrario de lo que la intuición podría dictar. Del mismo modo, la función y = f ((1/2) x) se extiende por un factor de 2, que también va en contra de la intuición. Con estos pensamientos en mente, no es sorprendente que y = f (x + 1) desplace una unidad hacia la izquierda. Aún así, una comparación de los valores de x en las tablas en las Figuras ( PageIndex {10} ) (b) y ( PageIndex {11} ) (b) proporciona evidencia irrefutable de que el cambio es 1 unidad izquierda.

 

 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Si y = f (x) tiene la gráfica que se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a), dibuje la gráfica de y = f (x – 2).

 

Solución

 

Nuevamente, estableceremos una tabla de puntos que satisfaga la ecuación y = f (x – 2), luego los trazaremos. Debido a que esta función requiere que primero restemos 2 de cada valor x antes de insertarlo en la función, elegiremos los valores x: −2, 0, 2, 4 y 6. Necesitamos evaluar la función y = f ( x – 2) en cada uno de estos valores de x.

 

Para evaluar y = f (x – 2) en el primer valor, es decir x = −2, inserte x = −2 en la función y = f (x – 2) para obtener [y = f (-2 -2) = f (-4) ]

 

En la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b), encontramos que f (−4) = 0, que nos permite completar el cálculo anterior.

 

[y = f (-2-2) = f (-4) = 0 ]

 

De manera similar, evaluamos y = f (x – 2) en x = 0 para obtener

 

[y = f (0-2) = f (-2) ]

 

En la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b), encontramos que f (−2) = −4, que nos permite completar el cálculo anterior.

 

[y = f (0-2) = f (-2) = – 4 ]

 

Con suerte, verá por qué elegimos los valores de x: −2, 0, 2, 4 y 6. Estos valores son 2 más grandes que los valores de x en la tabla de valores originales para la función y = f ( x) en la Figura ( PageIndex {10} ) (b). Cuando los valores −2, 0, 2, 4 y 6 se sustituyen en la función y = f (x – 2), primero restamos 2 de cada valor antes de buscar el valor de la función en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b). Esta resta de 2 conduce a −4, −2, 0, 2 y 4, precisamente los valores que están disponibles en la tabla en la Figura ( PageIndex {10} ) (b).

 

Continuando de esta manera, evaluamos y = f (x – 2) en los valores restantes de x, a saber, x = 2, 4 y 6.

 

[ begin {array} {l} {y = f (2-2) = f (0) = 0} \ {y = f (4-2) = f (2) = 2} {y = f (6-2) = f (4) = 0} end {array} ]

 

Reunimos estos resultados en la tabla de la Figura ( PageIndex {12} ) (b) y los trazamos en la Figura ( PageIndex {12} ) (a).

 

 

Cuando compara los puntos en la gráfica de y = f (x − 2) en la tabla de la Figura ( PageIndex {12} ) (b) con los puntos originales en la gráfica de y = f (x ) en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b), tenga en cuenta que los valores de y son idénticos, pero los valores de x en la tabla de la Figura ( PageIndex {12} ) (b) son 2 más grandes que los valores de x correspondientes en la tabla de la Figura ( PageIndex {10} ) (b). No es de extrañar que la gráfica de y = f (x – 2) en la Figura ( PageIndex {12} ) (a) se desplace 2 unidades a la derecha de la gráfica original de y = f (x) en la Figura ( PageIndex {10} ) (a).

 

Una vez más, esto funciona contraintuitivo (¿por qué la gráfica de y = f (x – 2) no desplaza 2 unidades hacia la izquierda?), Sino una comparación de los valores de x en las tablas de las Figuras ( PageIndex {10} ) (b) y ( PageIndex {12} ) (b) indica claramente un desplazamiento hacia la derecha.