Objetivos de aprendizaje
- Resuelve ecuaciones que involucran exponentes racionales.
- Resuelve ecuaciones usando factorización.
- Resuelve ecuaciones radicales.
- Resuelve ecuaciones de valor absoluto.
- Resuelve otros tipos de ecuaciones.
Hemos resuelto ecuaciones lineales, ecuaciones racionales y ecuaciones cuadráticas utilizando varios métodos. Sin embargo, hay muchos otros tipos de ecuaciones, e investigaremos algunos tipos más en esta sección. Veremos ecuaciones que involucran exponentes racionales, ecuaciones polinómicas, ecuaciones radicales, ecuaciones de valor absoluto, ecuaciones en forma cuadrática y algunas ecuaciones racionales que se pueden transformar en cuadráticas. Resolver cualquier ecuación, sin embargo, emplea las mismas reglas algebraicas básicas. Aprenderemos algunas técnicas nuevas a medida que se aplican a ciertas ecuaciones, pero el álgebra nunca cambia.
Resolviendo ecuaciones que involucran exponentes racionales
Los exponentes racionales son exponentes que son fracciones, donde el numerador es una potencia y el denominador es una raíz. Por ejemplo, ({16} ^ { tfrac {1} {2}} ) es otra forma de escribir ( sqrt {16} ); (8 ^ { tfrac {1} {3}} ) es otra forma de escribir ( sqrt [3] {8} ). La capacidad de trabajar con exponentes racionales es una habilidad útil, ya que es altamente aplicable en el cálculo.
Podemos resolver ecuaciones en las que una variable se eleva a un exponente racional elevando ambos lados de la ecuación al recíproco del exponente. La razón por la que elevamos la ecuación al recíproco del exponente es porque queremos eliminar el exponente en el término variable, y un número multiplicado por su recíproco es igual a (1 ). Por ejemplo,
[ dfrac {2} {3} left ( dfrac {3} {2} right) = 1 nonumber ]
[3 left ( dfrac {1} {3} right) = 1, nonumber ]
y así sucesivamente.
EXPONENTES RACIONALES
Un exponente racional indica una potencia en el numerador y una raíz en el denominador. Hay múltiples formas de escribir una expresión, una variable o un número con un exponente racional:
[a ^ { tfrac {m} {n}} = { left (a ^ { tfrac {1} {n}} right)} ^ m = {a ^ m} ^ { tfrac {1} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} = {( sqrt [n] {a})} ^ m ]
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Evaluación de un número elevado a un exponente racional
Evaluar (8 ^ { tfrac {2} {3}} )
Solución
Si tomamos la raíz primero o la potencia primero depende del número. Es fácil encontrar la raíz cúbica de (8 ), así que reescribe (8 ^ { tfrac {2} {3}} ) como ({ left (8 ^ { tfrac {1} {3 }} right)} ^ 2 ).
[ begin {align *} { left (8 ^ { tfrac {1} {3}} right)} ^ 2 & = {(2)} ^ 2 \ & = 4 end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Evaluar ({64} ^ {- tfrac {1} {3}} )
- Respuesta
-
( dfrac {1} {4} )
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resuelva la ecuación que incluye una variable elevada a un exponente racional
Resuelve la ecuación en la que una variable se eleva a un exponente racional: (x ^ { tfrac {5} {4}} = 32 ).
Solución
La forma de eliminar el exponente en (x ) es elevando ambos lados de la ecuación a una potencia que sea recíproca de ( dfrac {5} {4} ), que es ( dfrac {4} {5} ).
[ begin {align *} x ^ { tfrac {5} {4}} & = 32 \ { left (x ^ { tfrac {5} {4}} right)} ^ { tfrac {4} {5}} & = { left (32 right)} ^ { tfrac {4} {5}} \ x & = (2) ^ 4 \ & = 16 end {align * } ]
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve la ecuación (x ^ { tfrac {3} {2}} = 125 ).
- Respuesta
-
(25 )
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolviendo una ecuación que involucra exponentes racionales y factorización
Resuelve (3x ^ { tfrac {3} {4}} = x ^ { tfrac {1} {2}} ).
Solución
Esta ecuación involucra exponentes racionales así como factorizar exponentes racionales. Demos un paso a la vez. Primero, coloque los términos variables en un lado del signo igual y establezca la ecuación igual a cero.
[ begin {align *} 3x ^ { tfrac {3} {4}} – left (x ^ { tfrac {1} {2}} right) & = x ^ { tfrac { 1} {2}} – left (x ^ { tfrac {1} {2}} right) \ 3x ^ { tfrac {3} {4}} – x ^ { tfrac {1} {2 }} & = 0 end {align *} ]
Ahora, parece que deberíamos factorizar el lado izquierdo, pero ¿qué factorizamos? Siempre podemos factorizar el término con el exponente más bajo. Reescribe (x ^ { tfrac {1} {2}} ) como (x ^ { tfrac {2} {4}} ). Luego, factoriza (x ^ { tfrac {2} {4}} ) de ambos términos a la izquierda.
[ begin {align *} 3x ^ { tfrac {3} {4}} – x ^ { tfrac {1} {2}} & = 0 \ x ^ { tfrac {2} { 4}} left (3x ^ { tfrac {1} {4}} – 1 right) & = 0 end {align *} ]
¿De dónde vino (x ^ { tfrac {1} {4}} )? Recuerde, cuando multiplicamos dos números con la misma base, sumamos los exponentes. Por lo tanto, si multiplicamos (x ^ { tfrac {2} {4}} ) nuevamente al usar la propiedad distributiva, obtenemos la expresión que teníamos antes de la factorización, que es lo que debería suceder. Necesitamos un exponente tal que cuando se agrega a ( dfrac {2} {4} ) sea igual a ( dfrac {3} {4} ). Por lo tanto, el exponente en (x ) entre paréntesis es ( dfrac {1} {4} ).
Continuemos. Ahora tenemos dos factores y podemos usar el teorema del factor cero.
[ begin {align *}
x ^ { tfrac {2} {4}} left (3x ^ { tfrac {1} {4}} – 1 right) & = 0
x ^ { tfrac {2} {4}} & = 0 \
x & = 0 \
3x ^ { tfrac {1} {4}} – 1 & = 0 \
3x ^ { tfrac {1} {4}} & = 1 \
x ^ { tfrac {1} {4}} & = dfrac {1} {3}, qquad text {Divide ambos lados entre 3.} \
{ left (x ^ { tfrac {1} {4}} right)} ^ 4 & = { left ( dfrac {1} {3} right )} ^ 4, qquad text {Eleve ambos lados al recíproco de} dfrac {1} {4} \
x & = dfrac {1} {81}
end {align *} ]
Las dos soluciones son (0 ) y ( dfrac {1} {81} ).
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelva: ({ left (x + 5 right)} ^ { tfrac {3} {2}} = 8 ).
- Respuesta
-
(- 1 )
Resolver ecuaciones usando la factorización
Hemos utilizado la factorización para resolver ecuaciones cuadráticas, pero es una técnica que podemos usar con muchos tipos de ecuaciones polinómicas, que son ecuaciones que contienen una serie de términos que incluyen coeficientes numéricos y variables. Cuando nos enfrentamos a una ecuación que contiene polinomios de grado superior a (2 ), a menudo podemos resolverlos factorizando.
ECUACIONES POLINOMIAS
Un polinomio de grado (n ) es una expresión del tipo
[a_nx ^ n + a_ {n − 1} x ^ {n − 1} + ⋅⋅⋅ + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 ]
donde (n ) es un entero positivo y (a_n, …, a_0 ) son números reales y (a_n ≠ 0 ).
Establecer el polinomio igual a cero da una ecuación polinomial . El número total de soluciones (reales y complejas) para una ecuación polinómica es igual al máximo exponente (n ).
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Resolver un polinomio por factorización
Resuelve el polinomio factorizando: (5x ^ 4 = 80x ^ 2 ).
Solución
Primero, establezca la ecuación igual a cero. Luego factorice lo que es común a ambos términos, el MCD.
[ begin {align *} 5x ^ 4-80x ^ 2 & = 0 \ 5x ^ 2 (x ^ 2-16) & = 0 end {align *} ]
Observe que tenemos la diferencia de cuadrados en el factor (x ^ 2−16 ), que continuaremos factorizando y obtendremos dos soluciones. El primer término, (5x ^ 2 ), genera, técnicamente, dos soluciones ya que el exponente es (2 ), pero son la misma solución.
[ begin {align *} 5x ^ 2 & = 0 \ x & = 0 \ x ^ 2-16 & = 0 \ (x + 4) (x-4) & = 0 \ x & = 4 \ x & = -4 end {align *} ]
Las soluciones son (0 ) (solución doble), (4 ) y (- 4 ).
Análisis
Podemos ver las soluciones en el gráfico en la Figura ( PageIndex {1} ). Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica cruza el eje (x ) – son las soluciones: las intersecciones (x ). Observe en el gráfico que en la solución (0 ), el gráfico toca el eje (x ) y se recupera. No cruza el eje (x ). Esto es típico de las soluciones dobles.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelva factorizando: (12x ^ 4 = 3x ^ 2 ).
- Respuesta
-
(x = 0, x = 12, x = −12 )
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Resolver un polinomio agrupando
Resuelve un polinomio agrupando: (x ^ 3 + x ^ 2−9x − 9 = 0 ).
Solución
Este polinomio consiste en (4 ) términos, que podemos resolver agrupando. Los procedimientos de agrupamiento requieren factorizar los dos primeros términos y luego factorizar los dos últimos términos. Si los factores entre paréntesis son idénticos, podemos continuar el proceso y resolver, a menos que se sugiera más factorización.
[ begin {align *} x ^ 3 + x ^ 2-9x-9 & = 0 \ x ^ 2 (x + 1) -9 (x + 1) & = 0 \ (x ^ 2 -9) (x + 1) & = 0 end {align *} ]
El proceso de agrupación termina aquí, ya que podemos factorizar (x ^ 2−9 ) usando la fórmula de la diferencia de cuadrados.
[ begin {align *} (x ^ 2-9) (x + 1) & = 0 \ (x-3) (x + 3) (x + 1) & = 0 \ x & = 3 \ x & = -3 \ x & = -1 end {align *} ]
Las soluciones son (3 ), (- 3 ) y (- 1 ). Tenga en cuenta que el máximo exponente es (3 ) y obtuvimos soluciones (3 ). Podemos ver las soluciones, las intersecciones x, en el gráfico de la Figura ( PageIndex {2} ).
Análisis
Buscamos resolver ecuaciones cuadráticas factorizando cuando el coeficiente principal es (1 ). Cuando el coeficiente principal no es (1 ), lo resolvemos agrupando. La agrupación requiere cuatro términos, que obtuvimos dividiendo el término lineal de las ecuaciones cuadráticas. También podemos usar la agrupación para algunos polinomios de grado superior a (2 ), como vimos aquí, ya que ya había cuatro términos.
Solución de ecuaciones radicales
Las ecuaciones radicales son ecuaciones que contienen variables en el radical y (la expresión bajo un símbolo radical), como
[ sqrt {3x + 18} = x nonumber ]
[ sqrt {x + 3} = x-3 nonumber ]
[ sqrt {x + 5} – sqrt {x-3} = 2 nonumber ]
Las ecuaciones radicales pueden tener uno o más términos radicales, y se resuelven eliminando cada radical, uno a la vez. Debemos tener cuidado al resolver ecuaciones radicales, ya que no es inusual encontrar soluciones extrañas , raíces que, de hecho, no son soluciones para la ecuación. Estas soluciones no se deben a un error en el método de resolución, sino que resultan del proceso de elevar ambos lados de una ecuación a una potencia. Sin embargo, verificar cada respuesta en la ecuación original confirmará las verdaderas soluciones.
ECUACIONES RADICALES
Una ecuación que contiene términos con una variable en el radicando se llama ecuación radical .
Cómo: dada una ecuación radical, resuélvela
- Aislar la expresión radical en un lado del signo igual. Ponga todos los términos restantes en el otro lado.
- Si el radical es una raíz cuadrada, entonces cuadra ambos lados de la ecuación. Si es una raíz cúbica, eleva ambos lados de la ecuación a la tercera potencia. En otras palabras, para un radical raíz (n ^ {th} ), eleva ambos lados a la potencia (n ^ {th} ). Hacerlo elimina el símbolo radical.
- Resuelve la ecuación restante.
- Si aún queda un término radical, repita los pasos 1–2.
- Confirme las soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Resolviendo una ecuación con un radical
Resuelve ( sqrt {15−2x} = x ).
Solución
El radical ya está aislado en el lado izquierdo del lado igual, así que proceda al cuadrado de ambos lados.
[ begin {align *} sqrt {15-2x} & = x \ { left ( sqrt {15-2x} right)} ^ 2 & = {(x)} ^ 2 \ 15-2x & = x ^ 2 end {align *} ]
Vemos que la ecuación restante es cuadrática. Póngalo igual a cero y resuelva.
[ begin {align *} 0 & = x ^ 2 + 2x-15 \ 0 & = (x + 5) (x-3) \ x & = -5 \ x & = 3 end {align * } ]
Las soluciones propuestas son (- 5 ) y (3 ). Revisemos cada solución en la ecuación original. Primero, verifique (x = −5 ).
[ begin {align *} sqrt {15-2x} & = x \ sqrt {15-2 (-5)} & = – 5 \ sqrt {25} & = -5 5 & neq -5 end {align *} ]
Esta es una solución extraña. Si bien no se cometió ningún error al resolver la ecuación, encontramos una solución que no satisface la ecuación original.
Comprueba (x = 3 ).
[ begin {align *} sqrt {15-2x} & = x \ sqrt {15-2 (3)} & = 3 \ sqrt {9} & = 3 \ 3 & = 3 end {align *} ]
La solución es (3 ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelve la ecuación radical: ( sqrt {x + 3} = 3x-1 )
- Respuesta
-
(x = 1 ), solución extraña (x = – dfrac {2} {9} )
Ejemplo ( PageIndex {7} ): Resolviendo una ecuación radical que contiene dos radicales
Resolver ( sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} = 4 )
Solución
Como esta ecuación contiene dos radicales, aislamos un radical, lo eliminamos y luego aislamos el segundo radical.
[ sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} = 4 nonumber ]
[ begin {align *} sqrt {2x + 3} & = 4- sqrt {x-2} qquad text {Subtract} sqrt {x-2} text {de ambos lados} \ { left ( sqrt {2x + 3} right)} ^ 2 & = { left (4- sqrt {x-2} right)} ^ 2 qquad text {Cuadrar ambos lados} end {alinear *} ]
Usa la fórmula cuadrada perfecta para expandir el lado derecho: ({(a − b)} ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2 ).
[ begin {align *} 2x + 3 & = {(4)} ^ 2-2 (4) sqrt {x-2} + {( sqrt {x-2})} ^ 2 \ 2x + 3 & = 16-8 sqrt {x-2} + (x-2) \ 2x + 3 & = 14 + x-8 sqrt {x-2} qquad text {Combinar términos similares} \ x -11 & = -8 sqrt {x-2} qquad text {Aislar el segundo radical} \ {(x-11)} ^ 2 & = {(-8 sqrt {x-2})} ^ 2 qquad text {Cuadrado a ambos lados} \ x ^ 2-22x + 121 & = 64 (x-2) end {align *} ]
Ahora que ambos radicales han sido eliminados, establezca el cuadrático igual a cero y resuelva.
[ begin {align *} x ^ 2-22x + 121 & = 64x-128 \ x ^ 2-86x + 249 & = 0 \ (x-3) (x-83) & = 0 \ x & = 3 \ x & = 83 end {align *} ]
Las soluciones propuestas son (3 ) y (83 ). Verifica cada solución en la ecuación original.
[ begin {align *} sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} & = 4 \ sqrt {2x + 3} & = 4- sqrt {x-2} sqrt {2 (3) +3} & = 4- sqrt {(3) -2} \ sqrt {9} & = 4- sqrt {1} \ 3 & = 3 end {align * } ]
Una solución es (3 ).
Comprueba (x = 83 ).
[ begin {align *} sqrt {2x + 3} + sqrt {x-2} & = 4 \ sqrt {2x + 3} & = 4- sqrt {x-2} sqrt {2 (83) +3} & = 4- sqrt {(83) -2} \ sqrt {169} & = 4- sqrt {81} \ 13 & neq -5 end { alinear *} ]
La única solución es (3 ). Vemos que (x = 83 ) es una solución extraña.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelve la ecuación con dos radicales: ( sqrt {3x + 7} + sqrt {x + 2} = 1 )
- Respuesta
-
(x = −2 ), solución extraña (x = −1 )
Resolviendo una ecuación de valor absoluto
A continuación, aprenderemos cómo resolver una ecuación de valor absoluto . Para resolver una ecuación como (| 2x − 6 | = 8 ), notamos que el valor absoluto será igual a (8 ) si la cantidad dentro de las barras de valor absoluto es (8 ) o ( −8 ). Esto lleva a dos ecuaciones diferentes que podemos resolver de forma independiente.
[ begin {align *} 2x-6 & = 8 \ 2x & = 14 \ x & = 7 end {align *} ]
O
[ begin {align *} 2x-6 & = -8 \ 2x & = -2 \ x & = -1 end {align *} ]
Saber cómo resolver problemas que involucran funciones de valor absoluto es útil. Por ejemplo, es posible que necesitemos identificar números o puntos en una línea que están a una distancia específica de un punto de referencia dado.
ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de (x ) se escribe como (| x | ). Tiene las siguientes propiedades:
Si (x≥0 ), entonces (| x | = x ). If (x <0 ), entonces (x = −x ).
Para números reales (A ) y (B ), una ecuación de la forma (| A | = B ), con (B≥0 ), tendrá soluciones cuando (A = B ) o (A = −B ). Si (B <0 ), la ecuación (| A | = B ) no tiene solución.
Una ecuación de valor absoluto en la forma (| ax + b | = c ) tiene las siguientes propiedades:
- Si (c <0 ), (| ax + b | = c ) no tiene solución.
- Si (c = 0 ), (| ax + b | = c ) tiene una solución.
- Si (c> 0 ), (| ax + b | = c ) tiene dos soluciones.
Cómo
Dada una ecuación de valor absoluto, resuélvela.
- Aísle la expresión de valor absoluto en un lado del signo igual.
- Si (c> 0 ), escribe y resuelve dos ecuaciones: (ax + b = c ) y (ax + b = −c ).
Ejemplo ( PageIndex {8} ): Resolver ecuaciones de valor absoluto
Resuelve las siguientes ecuaciones de valor absoluto:
- (| 6x + 4 | = 8 )
- (| 3x + 4 | = −9 )
- (| 3x − 5 | −4 = 6 )
- (| −5x + 10 | = 0 )
Solución:
- (| 6x + 4 | = 8 )
Escribe dos ecuaciones y resuelve cada una:
[ begin {align *} 6x + 4 & = 8 \ 6x & = 4 \ x & = dfrac {2} {3} end {align *} ]
O
[ begin {align *} 6x + 4 & = -8 \ 6x & = -12 \ x & = -2 end {align *} ]
Las dos soluciones son ( dfrac {2} {3} ) y (- 2 ).
- (| 3x + 4 | = −9 )
No hay solución ya que un valor absoluto no puede ser negativo.
- (| 3x − 5 | −4 = 6 )
Aísle la expresión de valor absoluto y luego escriba dos ecuaciones.
[ begin {align *} | 3x-5 | -4 & = 6 \ | 3x-5 | & = 10 \ 3x-5 & = 10 \ 3x & = 15 \ x & = 5 end { alinear *} ]
O
[ begin {align *} 3x-5 & = -10 \ 3x = -5 \ x = dfrac {5} {3} end {align *} ]
Hay dos soluciones: (5 ) y (- dfrac {5} {3} ).
- (| −5x + 10 | = 0 )
La ecuación se establece igual a cero, por lo que tenemos que escribir solo una ecuación.
[ begin {align *} -5x + 10 & = 0 \ -5x & = -10 \ x & = 2 end {align *} ]
Hay una solución: (2 ).
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Resuelve la ecuación de valor absoluto: (| 1−4x | + 8 = 13 ).
- Respuesta
-
(x = −1, x = dfrac {3} {2} )
Resolviendo otros tipos de ecuaciones
Hay muchos otros tipos de ecuaciones además de las que hemos discutido hasta ahora. Veremos más de ellos a lo largo del texto. Aquí, discutiremos las ecuaciones que están en forma cuadrática, y las ecuaciones racionales que resultan en una forma cuadrática.
Resolver ecuaciones en forma cuadrática
Las ecuaciones en forma cuadrática son ecuaciones con tres términos. El primer término tiene un poder distinto de (2 ). El término medio tiene un exponente que es la mitad del exponente del término principal. El tercer término es una constante. Podemos resolver ecuaciones de esta forma como si fueran cuadráticas. Algunos ejemplos de estas ecuaciones incluyen (x ^ 4−5x ^ 2 + 4 = 0 ), (x ^ 6 + 7x ^ 3−8 = 0 ) y (x ^ { tfrac {2} {3}} + 4x ^ { tfrac {1} {3}} + 2 = 0 ). En cada uno, duplicar el exponente del término medio es igual al exponente del término principal. Podemos resolver estas ecuaciones sustituyendo una variable por el término medio.
FORMA CUADRÁTICA
Si el exponente en el término medio es la mitad del exponente en el término principal, tenemos una ecuación en forma cuadrática , que podemos resolver como si fuera un cuadrático. Sustituimos una variable por el término medio para resolver ecuaciones en forma cuadrática.
Cómo: dada una ecuación de forma cuadrática, resuélvela
- Identifique el exponente en el término principal y determine si es el doble del exponente en el término medio.
- Si es así, sustituya una variable, como (u ), por la parte variable del término medio.
- Reescribe la ecuación para que tome la forma estándar de un cuadrático.
- Resolver usando uno de los métodos habituales para resolver un cuadrático.
- Reemplace la variable de sustitución con el término original.
- Resuelve la ecuación restante.
Ejemplo ( PageIndex {9} ): Resolviendo una ecuación de cuarto grado en forma cuadrática
Resuelve esta ecuación de cuarto grado: (3x ^ 4−2x ^ 2−1 = 0 ).
Solución
Esta ecuación se ajusta al criterio principal, que el poder en el término principal es el doble del poder en el término medio. A continuación, haremos una sustitución para el término variable en el medio. Deje (u = x ^ 2 ). Reescribe la ecuación en (u ).
[3u ^ 2−2u − 1 = 0 nonumber ]
Ahora resuelve la cuadrática.
[ begin {align *} 3u ^ 2-2u-1 & = 0 \ (3u + 1) (u-1) & = 0 end {align *} ]
Resuelve cada factor y reemplaza el término original para (u ).
[ begin {align *} 3u + 1 & = 0 \ 3u & = -1 \ u & = – dfrac {1} {3} \ x ^ 2 & = – dfrac {1} {3} \ x & = pm i sqrt { dfrac {1} {3}} \ u-1 & = 0 \ u & = 1 \ x ^ 2 & = 1 \ x & = pm 1 end {align * } ]
Las soluciones son (x = ± i sqrt { dfrac {1} {3}} ) y (x = ± 1 )
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Resolver usando la sustitución: (x ^ 4−8x ^ 2−9 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = −3,3, −i, i )
Ejemplo ( PageIndex {10} ): Resolviendo una ecuación en forma cuadrática que contiene un binomio
Resuelve la ecuación en forma cuadrática: ({(x + 2)} ^ 2 + 11 (x + 2) −12 = 0 ).
Solución
Esta ecuación contiene un binomio en lugar de la variable única. La tendencia es expandir lo que se presenta. Sin embargo, reconocer que se ajusta a los criterios para estar en forma cuadrática hace toda la diferencia en el proceso de resolución. Primero, haga una sustitución, dejando (u = x + 2 ). Luego reescribe la ecuación en (u ).
[ begin {align *} u ^ 2 + 11u-12 & = 0 \ (u + 12) (u-1) & = 0 end {align *} ]
Resuelva usando la propiedad de factor cero y luego reemplace (u ) con la expresión original.
[ begin {align *} u + 12 & = 0 \ u & = -12 \ x + 2 & = -12 \ x & = -14 end {align *} ]
El segundo factor resulta en
[ begin {align *} u-1 & = 0 \ u & = 1 \ x + 2 & = 1 \ x & = -1 end {align *} ]
Tenemos dos soluciones: (- 14 ) y (- 1 ).
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Resuelva: ({(x − 5)} ^ 2−4 (x − 5) −21 = 0 ).
- Respuesta
-
(x = 2, x = 12 )
Resolviendo ecuaciones racionales que resultan en una cuadrática
Anteriormente, resolvimos ecuaciones racionales. A veces, resolver una ecuación racional da como resultado una ecuación cuadrática. Cuando esto sucede, continuamos la solución simplificando la ecuación cuadrática por uno de los métodos que hemos visto. Puede resultar que no hay solución.
Ejemplo ( PageIndex {11} ): Resolviendo una ecuación racional que conduce a una cuadrática
Resuelve la siguiente ecuación racional: ( dfrac {-4x} {x-1} + dfrac {4} {x + 1} = dfrac {-8} {x ^ 2-1} ) [ 19459003]
Solución
Queremos que todos los denominadores en forma factorizada encuentren la pantalla LCD. Dos de los denominadores no se pueden factorizar más. Sin embargo, (x ^ 2−1 = (x + 1) (x − 1) ). Entonces, la pantalla LCD es ((x + 1) (x − 1) ). A continuación, multiplicamos toda la ecuación por la pantalla LCD.
[ begin {align *} (x + 1) (x-1) left ( dfrac {-4x} {x-1} + dfrac {4} {x + 1} right) & = left ( dfrac {-8} {x ^ 2-1} right) (x + 1) (x-1) \ -4x (x + 1) +4 (x-1) & = -8 \ -4x ^ 2-4x + 4x-4 & = -8 \ -4x ^ 2 + 4 & = 0 \
-4 (x ^ 2-1) & = 0 \ -4 (x + 1 ) (x-1) & = 0 \ x & = -1 \ x & = 1 end {align *} ]
En este caso, cualquiera de las soluciones produce un cero en el denominador en la ecuación original. Por lo tanto, no hay solución.
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Resuelve ( dfrac {3x + 2} {x-2} + dfrac {1} {x} = dfrac {-2} {x ^ 2-2x} )
- Respuesta
-
(x = −1, x = 0 ) no es una solución.
Medios
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con diferentes tipos de ecuaciones.
- Ecuación racional sin solución
- Resolviendo ecuaciones con exponentes racionales usando potencias recíprocas
- Resolviendo ecuaciones radicales parte 1 de 2
- Resolviendo ecuaciones radicales parte 2 de 2
Conceptos clave
- Los exponentes racionales se pueden reescribir de varias maneras dependiendo de lo que sea más conveniente para el problema. Para resolver, ambos lados de la ecuación se elevan a una potencia que hará que el exponente en la variable sea igual a (1 ). Ver Ejemplo , Ejemplo y Ejemplo .
- La factorización se extiende a polinomios de orden superior cuando implica factorizar el MCD o factorizar por agrupación. Ver Ejemplo y Ejemplo .
- Podemos resolver ecuaciones radicales aislando el radical y elevando ambos lados de la ecuación a una potencia que coincida con el índice. Ver Ejemplo y Ejemplo .
- Para resolver ecuaciones de valor absoluto, necesitamos escribir dos ecuaciones, una para el valor positivo y otra para el valor negativo. Ver Ejemplo .
- Las ecuaciones en forma cuadrática son fáciles de detectar, ya que el exponente en el primer término es el doble del exponente en el segundo término y el tercer término es una constante. También podemos ver un binomio en lugar de la variable única. Usamos la sustitución para resolver. Ver Ejemplo y Ejemplo .
- Resolver una ecuación racional también puede conducir a una ecuación cuadrática o una ecuación en forma cuadrática. Ver Ejemplo .