Resolver desigualdades compuestas con “y”
Ahora que sabemos cómo resolver desigualdades lineales, el siguiente paso es observar las desigualdades compuestas. Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra «y» o la palabra «o». Por ejemplo, las siguientes son desigualdades compuestas.
[ begin {array} {lll} {x + 3> −4} & { text {and}} y {4x − 5 leq 3} \ {2 (y + 1) <0} & { text {or}} & {y − 5 geq −2} \ end {array} nonumber ]
DESIGUALDAD COMPUESTA
Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra «y» o la palabra «o».
Resolver una desigualdad compuesta significa encontrar todos los valores de la variable que hacen que la desigualdad compuesta sea una declaración verdadera. Resolvemos desigualdades compuestas usando las mismas técnicas que usamos para resolver desigualdades lineales. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego consideramos las dos soluciones.
Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra «y», buscamos todos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra «o», buscamos todos los números que hacen verdadera la desigualdad o .
Comencemos con las desigualdades compuestas con «y». Nuestra solución serán los números que son soluciones a ambas desigualdades conocidas como la intersección de las dos desigualdades. Considere la intersección de dos calles, la parte donde las calles se superponen, pertenece a ambas calles.
Para encontrar la solución de la desigualdad compuesta, observamos las gráficas de cada desigualdad y luego encontramos los números que pertenecen a ambas gráficas, donde las gráficas se superponen.
Para la desigualdad compuesta (x> −3 ) y (x leq 2 ), graficamos cada desigualdad. Luego buscamos dónde se superponen los gráficos. Los números que están sombreados en ambos gráficos, estarán sombreados en el gráfico de la solución de la desigualdad compuesta. Ver Figura ( PageIndex {1} ) .

Podemos ver que los números entre (- 3 ) y (2 ) están sombreados en los dos primeros gráficos. Luego se sombrearán en el gráfico de la solución.
El número (- 3 ) no está sombreado en el primer gráfico y, como no está sombreado en ambos gráficos, no está incluido en el gráfico de la solución.
El número dos está sombreado en los gráficos primero y segundo. Por lo tanto, está sombreado en el gráfico de la solución.
Así es como mostraremos nuestra solución en los siguientes ejemplos.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resuelve (6x − 3 <9 ) y (2x + 7 geq 3 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.
- Respuesta
-
(6x − 3 <9 ) y (2x + 9 geq 3 ) Paso 1. Resuelve cada desigualdad
.(6x − 3 <9 ) (2x + 9 geq 3 ) (6x <12 ) (2x geq −6 ) (x <2 ) y (x geq −3 ) Paso 2. Representa gráficamente cada solución. Luego grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. El gráfico final mostrará todos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas: los números sombreados en en ambos de los dos primeros gráficos. Paso 3. Escribe la solución en notación de intervalo. ([- 3,2) ) Todos los números que hacen verdaderas ambas desigualdades son la solución a la desigualdad compuesta.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (4x − 7 <9 ) y (5x + 8 geq 3 ).
- Respuesta
-
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (3x − 4 <5 ) y (4x + 9 geq 1 ).
- Respuesta
-
RESUELVE UNA DESIGUALDAD COMPUESTA CON «Y».
- Resuelve cada desigualdad.
- Representa gráficamente cada solución. Luego grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas.
Este gráfico muestra la solución a la desigualdad compuesta. - Escribe la solución en notación de intervalo.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelve (3 (2x + 5) leq 18 ) y (2 (x − 7) <- 6 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.
- Respuesta
-
(3 (2x + 5) leq 18 ) y (2 (x − 7) <- 6 ) Resuelve cada desigualdad
.(6x + 15 leq 18 ) (2x − 14 <−6 ) (6x leq 3 ) (2x <8 ) (x leq frac {1} {2} ) y (x <4 ) Representa gráficamente cada solución
.Representa gráficamente los números
que hacen que ambas desigualdades
sean verdaderas.Escriba la solución
en notación de intervalo.((- infty, frac {1} {2}] )
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (2 (3x + 1) leq 20 ) y (4 (x − 1) <2 ).
- Respuesta
-
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (5 (3x − 1) leq 10 ) y (4 (x + 3) <8 ).
- Respuesta
-
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Resuelve ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) y (- 2 (x − 3) geq 4 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.
- Respuesta
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: ( frac {1} {4} x − 3 geq −1 ) y (- 3 (x − 2) geq 2 ).
- Respuesta
-
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: ( frac {1} {5} x − 5 geq −3 ) y (- 4 (x − 1) geq −2 ).
- Respuesta
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A veces tenemos una desigualdad compuesta que se puede escribir de manera más concisa. Por ejemplo, (a
DOBLE DESIGUALDAD
Una doble desigualdad es una desigualdad compuesta como (a [ text {Otras formas:} quad begin {array} {lllll} {a
Para resolver una doble desigualdad, realizamos la misma operación en las tres «partes» de la doble desigualdad con el objetivo de aislar la variable en el centro.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Resuelve (- 4 leq 3x − 7 <8 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.
- Respuesta
-
(- 4 leq 3x – 7 <8 ) Agregue 7 a las tres partes. (-4 , { color {rojo} {+ , 7}} leq 3x – 7 , { color {rojo} {+ , 7}} <8 , { color { rojo} {+ , 7}} ) Simplifica. (3 le 3x <15 ) Divide cada parte entre tres. ( dfrac {3} { color {rojo} {3}} leq dfrac {3x} { color {rojo} {3}} < dfrac {15} { color {rojo} { 3}} ) Simplifica. (1 leq x <5 ) Representa gráficamente la solución. Escribe la solución en notación de intervalo. ([1, 5) )
Cuando se escribe como una doble desigualdad, (1 leq x <5 ), es fácil ver que las soluciones son los números atrapados entre uno y cinco, incluido uno, pero no cinco. Luego podemos graficar la solución inmediatamente como lo hicimos anteriormente.
Otra forma de graficar la solución de (1 leq x <5 ) es graficar tanto la solución de (x geq 1 ) como la solución de (x <5 ). Luego encontraríamos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas como lo hicimos en ejemplos anteriores.
Ejemplo ( PageIndex {11} )
Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (- 5 leq 4x − 1 <7 ).
- Respuesta
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Ejemplo ( PageIndex {12} )
Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (- 3 <2x − 5 leq 1 ).
- Respuesta
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