2.7: Resolver desigualdades compuestas

2.7: Resolver desigualdades compuestas

Resolver desigualdades compuestas con “y”

 

Ahora que sabemos cómo resolver desigualdades lineales, el siguiente paso es observar las desigualdades compuestas. Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra «y» o la palabra «o». Por ejemplo, las siguientes son desigualdades compuestas.

 

[ begin {array} {lll} {x + 3> −4} & { text {and}} y {4x − 5 leq 3} \ {2 (y + 1) <0} & { text {or}} & {y − 5 geq −2} \ end {array} nonumber ]

 
 

DESIGUALDAD COMPUESTA

 

Una desigualdad compuesta se compone de dos desigualdades conectadas por la palabra «y» o la palabra «o».

 
 

Resolver una desigualdad compuesta significa encontrar todos los valores de la variable que hacen que la desigualdad compuesta sea una declaración verdadera. Resolvemos desigualdades compuestas usando las mismas técnicas que usamos para resolver desigualdades lineales. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego consideramos las dos soluciones.

 

Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra «y», buscamos todos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. Para resolver una desigualdad compuesta con la palabra «o», buscamos todos los números que hacen verdadera la desigualdad o .

 

Comencemos con las desigualdades compuestas con «y». Nuestra solución serán los números que son soluciones a ambas desigualdades conocidas como la intersección de las dos desigualdades. Considere la intersección de dos calles, la parte donde las calles se superponen, pertenece a ambas calles.

 

The figure is an illustration of two streets with their intersection shaded

 

Para encontrar la solución de la desigualdad compuesta, observamos las gráficas de cada desigualdad y luego encontramos los números que pertenecen a ambas gráficas, donde las gráficas se superponen.

 

Para la desigualdad compuesta (x> −3 ) y (x leq 2 ), graficamos cada desigualdad. Luego buscamos dónde se superponen los gráficos. Los números que están sombreados en ambos gráficos, estarán sombreados en el gráfico de la solución de la desigualdad compuesta. Ver Figura ( PageIndex {1} ) .

 
 
The figure shows the graph of x is greater than negative 3 with a left parenthesis at negative 3 and shading to its right, the graph of x is less than or equal to 2 with a bracket at 2 and shading to its left, and the graph of x is greater than negative 3 and x is less than or equal to 2 with a left parenthesis at negative 3 and a right parenthesis at 2 and shading between negative 3 and 2. Negative 3 and 2 are marked by lines on each number line.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 
 

Podemos ver que los números entre (- 3 ) y (2 ) están sombreados en los dos primeros gráficos. Luego se sombrearán en el gráfico de la solución.

 

El número (- 3 ) no está sombreado en el primer gráfico y, como no está sombreado en ambos gráficos, no está incluido en el gráfico de la solución.

 

El número dos está sombreado en los gráficos primero y segundo. Por lo tanto, está sombreado en el gráfico de la solución.

 

Así es como mostraremos nuestra solución en los siguientes ejemplos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resuelve (6x − 3 <9 ) y (2x + 7 geq 3 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
(6x − 3 <9 ) y (2x + 9 geq 3 )
Paso 1. Resuelve cada desigualdad
.
(6x − 3 <9 ) (2x + 9 geq 3 )
(6x <12 ) (2x geq −6 )
(x <2 ) y (x geq −3 )
Paso 2. Representa gráficamente cada solución. Luego grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas. El gráfico final mostrará todos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas: los números sombreados en en ambos de los dos primeros gráficos. .
Paso 3. Escribe la solución en notación de intervalo. ([- 3,2) )
Todos los números que hacen verdaderas ambas desigualdades son la solución a la desigualdad compuesta.
     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (4x − 7 <9 ) y (5x + 8 geq 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

The solution is negative 1 is less than or equal to x which is less than 4. On a number line it is shown with a closed circle at negative 1 and an open circle at 4 with shading in between the closed and open circles. Its interval notation is negative 1 to 4 within a bracket and a parenthesis.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (3x − 4 <5 ) y (4x + 9 geq 1 ).

 
     
Respuesta
     
     

The solution is negative 2 is less than or equal to x which is less than 3. On a number line it is shown with a closed circle at negative 2 and an open circle at 3 with shading in between the closed and open circles. Its interval notation is negative 2 to 3 within a bracket and a parenthesis.

     
 
 
 
 
 
 
 

RESUELVE UNA DESIGUALDAD COMPUESTA CON «Y».

 
         
  1. Resuelve cada desigualdad.
  2.      
  3. Representa gráficamente cada solución. Luego grafica los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas.
    Este gráfico muestra la solución a la desigualdad compuesta.
  4.      
  5. Escribe la solución en notación de intervalo.
  6.  
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelve (3 (2x + 5) leq 18 ) y (2 (x − 7) <- 6 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(3 (2x + 5) leq 18 ) y (2 (x − 7) <- 6 )
Resuelve cada desigualdad
.
(6x + 15 leq 18 ) (2x − 14 <−6 )
(6x leq 3 ) (2x <8 )
(x leq frac {1} {2} ) y (x <4 )
Representa gráficamente cada solución
.
.
Representa gráficamente los números
que hacen que ambas desigualdades
sean verdaderas.
.
Escriba la solución
en notación de intervalo.
((- infty, frac {1} {2}] )
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (2 (3x + 1) leq 20 ) y (4 (x − 1) <2 ).

 
     
Respuesta
     
     

The solution is x is less than three-halves. On a number line it is shown with an open circle at three-halves with shading to its left. Its interval notation is negative infinity to three-halves within a parentheses.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (5 (3x − 1) leq 10 ) y (4 (x + 3) <8 ).

 
     
Respuesta
     
     

The solution is x is less than negative 1. On a number line it is shown with an open circle at 1 with shading to its left. Its interval notation is negative infinity to negative 1 within parentheses.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) y (- 2 (x − 3) geq 4 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: ( frac {1} {4} x − 3 geq −1 ) y (- 3 (x − 2) geq 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

The inequality is a contradiction. So, there is no solution. As a result, there is no graph of the number line or interval notation.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: ( frac {1} {5} x − 5 geq −3 ) y (- 4 (x − 1) geq −2 ).

 
     
Respuesta
     
     

The inequality is a contradiction. So, there is no solution. As a result, there is no graph or the number line or interval notation.

     
 
 
 
 
 

A veces tenemos una desigualdad compuesta que se puede escribir de manera más concisa. Por ejemplo, (a doble desigualdad . Las dos formas son equivalentes.

 
 

DOBLE DESIGUALDAD

 

Una doble desigualdad es una desigualdad compuesta como (a  

[ text {Otras formas:} quad begin {array} {lllll} {a x> b} y { text {es equivalente a}} y {a> x} y { text {y}} y {x> b} \ {a geq x geq b} & { text {es equivalente a}} & {a geq x} & { text {and}} & {x geq b} \ end {array} nonumber ]

 
 

Para resolver una doble desigualdad, realizamos la misma operación en las tres «partes» de la doble desigualdad con el objetivo de aislar la variable en el centro.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Resuelve (- 4 leq 3x − 7 <8 ). Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(- 4 leq 3x – 7 <8 )
Agregue 7 a las tres partes. (-4 , { color {rojo} {+ , 7}} leq 3x – 7 , { color {rojo} {+ , 7}} <8 , { color { rojo} {+ , 7}} )
Simplifica. (3 le 3x <15 )
Divide cada parte entre tres. ( dfrac {3} { color {rojo} {3}} leq dfrac {3x} { color {rojo} {3}} < dfrac {15} { color {rojo} { 3}} )
Simplifica. (1 leq x <5 )
Representa gráficamente la solución. .
Escribe la solución en notación de intervalo. ([1, 5) )
     
 
 
 
 
 

Cuando se escribe como una doble desigualdad, (1 leq x <5 ), es fácil ver que las soluciones son los números atrapados entre uno y cinco, incluido uno, pero no cinco. Luego podemos graficar la solución inmediatamente como lo hicimos anteriormente.

 

Otra forma de graficar la solución de (1 leq x <5 ) es graficar tanto la solución de (x geq 1 ) como la solución de (x <5 ). Luego encontraríamos los números que hacen que ambas desigualdades sean verdaderas como lo hicimos en ejemplos anteriores.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (- 5 leq 4x − 1 <7 ).

 
     
Respuesta
     
     

The solution is negative 1 is less than or equal to x which is less than 2. Its graph has a closed circle at negative 1 and an open circle at 2 with shading between the closed and open circles. Its interval notation is negative 1 to 2 within a bracket and a parenthesis.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Resuelve la desigualdad compuesta. Grafica la solución y escribe la solución en notación de intervalo: (- 3 <2x − 5 leq 1 ).

 
     
Respuesta
     
     

The solution is 1 is less than x which is less than or equal to 3. Its graph has an open circle at 1 and a closed circle at 3 with shading between the closed and open circles. Its interval notation is negative 1 to 3 within a parenthesis and a bracket.

     
 
 
 
 
 
     
 
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