2.7: Resolver desigualdades con dos variables

Habilidades para desarrollar

Identificar y verificar soluciones a desigualdades con dos variables.
Conjuntos de soluciones gráficas de desigualdades lineales con dos variables.

Soluciones a las desigualdades con dos variables

Sabemos que una ecuación lineal con dos variables tiene infinitas soluciones de pares ordenados que forman una línea cuando se grafican. Una desigualdad lineal con dos variables ⁶⁵ , por otro lado, tiene un conjunto de soluciones que consiste en una región que define la mitad de la avión.

Ecuación lineal	Desigualdad lineal
(y = frac {3} {2} x + 3 )	(y leq frac {3} {2} x + 3 )
$c0ba389d132dac23daf68ad7350690f2.png$ Figura 2.7.1	$a6b9541aed8ef1677c915bd3e20e30e6.png$ Figura 2.7.2

Tabla 2.7.1

Para la desigualdad, la línea define el límite de la región sombreada. Esto indica que cualquier par ordenado en la región sombreada, incluida la línea límite, satisfará la desigualdad. Para ver que este es el caso, elija algunos prueba puntos ⁶⁶ y sustitúyalos por la desigualdad.

Punto de prueba	(y leq frac {3} {2} x + 3 )
((0,0) )	( begin {array} {l} {0 leq frac {3} {2} (0) + 3} \ {0 leq 3} : : : color {Cerulean} {✓} end {array} )
((2,1) )	( begin {array} {l} {1 leq frac {3} {2} (2) + 3} \ {1 leq 3 + 3} \ {1 leq 6} : : : color {Cerulean} {✓} end {array} )
((- 2, – 1) )	( begin {array} {l} {- 1 leq frac {3} {2} (- 2) + 3} \ {- 1 leq – 3 + 3} \ {- 1 leq 0} : : : color {Cerulean} {✓} end {array} )

Tabla 2.7.2

Además, podemos ver que los pares ordenados fuera de la región sombreada no resuelven la desigualdad lineal.

Punto de prueba	(y leq frac {3} {2} x + 3 )
((- 2,3) )	( begin {array} {l} {3 leq frac {3} {2} (- 2) + 3} \ {3 leq – 3 + 3} \ {3 leq 0 quad x} color {rojo} {✗} end {array}

Tabla 2.7.3

La gráfica de la solución establecida en una desigualdad lineal es siempre una región. Sin embargo, el límite no siempre se puede incluir en ese conjunto. En el ejemplo anterior, la línea era parte del conjunto de soluciones debido a la parte “o igual a” de la desigualdad inclusiva (≤ ). Si se da una desigualdad estricta (<), usaríamos una línea discontinua para indicar que esos puntos no están incluidos en el conjunto de soluciones.

Límite no inclusivo	Límite inclusivo
(y < frac {3} {2} x + 3 )	(y leq frac {3} {2} x + 3 )
$32164708ce230b1f6cb8f1ed75ececdb.png$ Figura 2.7.3	$a6b9541aed8ef1677c915bd3e20e30e6.png$ Figura 2.7.4

Tabla 2.7.4

Considere el punto ((0, 3) ) en el límite; Este par ordenado satisface la ecuación lineal. Es la parte “o igual a” de la desigualdad inclusiva que hace que el par ordenado sea parte del conjunto de soluciones.

(y < frac {3} {2} x + 3 )	(y leq frac {3} {2} x + 3 )
( begin {array} {l} {3 < frac {3} {2} (0) + 3} \ {3 <0 + 3} \ {3 <3 x} color { rojo} {✗} end {array} )	( begin {array} {l} {3 leq frac {3} {2} (0) + 3} \ {3 leq 0 + 3} \ {3 leq 3} color {Cerulean} {✓} end {array} )

Tabla 2.7.5

Hasta ahora hemos visto ejemplos de desigualdades que fueron “menores que”. Ahora considere los siguientes gráficos con el mismo límite:

Mayor que (arriba)	Menos que (abajo)
(y geq frac {3} {2} x + 3 )	(y leq frac {3} {2} x + 3 )
$2a39ff5c1efb787eb4a1d8c4e4816031.png$ Figura 2.7.5	$a6b9541aed8ef1677c915bd3e20e30e6.png$ Figura 2.7.6

Tabla 2.7.6

Dados los gráficos anteriores, ¿qué podríamos esperar si utilizamos el origen (0, 0) como punto de prueba?

(y geq frac {3} {2} x + 3 )	(y leq frac {3} {2} x + 3 )
( begin {array} {l} {0 geq frac {3} {2} (0) + 3} \ {0 geq 0 + 3} \ {0 geq 3} color {rojo} {✗} end {array} )	( begin {array} {l} {0 leq frac {3} {2} (0) + 3} \ {0 leq 0 + 3} \ {0 leq 3} color {Cerulean} {✓} end {array} )

Tabla 2.7.7

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Determine si ((2, frac {1} {2}) ) es o no una solución para (5x – 2y <10 ).

Solución

Sustituya los valores (x ) – y (y ) – en la ecuación y vea si se obtiene una declaración verdadera.

( begin {array} {r} {5 x – 2 y <10} \ {5 ( color {Cerulean} {2} color {Black} {)} - 2 left ( color {Cerulean} { frac {1} {2}} right) <10} \ {10 - 1 <10} \ {9 <10} color {Cerulean} {✓} end {array} )

Respuesta :

((2, frac {1} {2}) ) es una solución.

Estas ideas y técnicas se extienden a las desigualdades no lineales con dos variables. Por ejemplo, todas las soluciones a (y> x ^ {2} ) están sombreadas en el gráfico a continuación.

El límite de la región es una parábola, que se muestra como una curva discontinua en el gráfico, y no forma parte del conjunto de soluciones. Sin embargo, del gráfico esperamos que el par ordenado ((- 1,4) ) sea una solución. Además, esperamos que los pares ordenados que no están en la región sombreada, como ((- 3, 2) ), no satisfagan la desigualdad.

Verificación ((- 1, 4) )	Verificación ((- 3, 2) )
( begin {array} {l} {y> x ^ {2}} \ {4> (- 1) ^ {2}} \ {4> 1} color {Cerulean} {✓ } end {array} )	( begin {array} {l} {y> x ^ {2}} \ {2> (- 3) ^ {2}} \ {2> 9} color {red} {✗ } end {array} )

Tabla 2.7.8

A continuación se presentan gráficos de conjuntos de soluciones de desigualdades con límites parabólicos inclusivos.

(y leq (x – 1) ^ {2} – 2 )	(y geq (x – 1) ^ {2} – 2 )
$c2f435fe1aac6d09820b94447436bc78.png$ Figura 2.7.8	$ea928f1ceec1321852c0e45b4fd99236.png$ Figura 2.7.9

Tabla 2.7.9

Se le recomienda que pruebe los puntos dentro y fuera de cada conjunto de soluciones que se muestra arriba.

Representación gráfica de soluciones a las desigualdades con dos variables

Las soluciones a las desigualdades lineales son un semiplano sombreado, delimitado por una línea continua o una línea discontinua. Este límite se incluye o no en la solución, dependiendo de la desigualdad dada. Si se nos da una desigualdad estricta, usamos una línea discontinua para indicar que el límite no está incluido. Si se nos da una desigualdad inclusiva, usamos una línea continua para indicar que está incluida. Los pasos para graficar el conjunto de soluciones para una desigualdad con dos variables se muestran en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Representa gráficamente el conjunto de soluciones (y> −3x + 1 ).

Solución

Paso 1: Representa gráficamente el límite. Debido a la estricta desigualdad, graficaremos el límite (y = −3x + 1 ) usando una línea discontinua. Podemos ver que la pendiente es (m = −3 = – frac {3} {1} = frac {rise} {run} ) y la (y ) – intersección es ((0, 1 ) ).

$82284673731d10796e50613e26fc9742.png$

Figura 2.7.10

Paso 2: Pruebe un punto que esté no en el límite. Un punto de prueba común es el origen, ((0, 0) ). El punto de prueba nos ayuda a determinar qué mitad del avión sombrear.


Punto de prueba (y> – 3 x + 1 )
((0,0) ) ( begin {array} {l} {0> – 3 (0) + 1} \ {0> 1} color {red} {✗} end {array} )
      Tabla 2.7.10
Paso 3: Sombrea la región que contiene las soluciones. Como el punto de prueba ((0, 0) ) no era una solución, no se encuentra en la región que contiene todas las soluciones de pares ordenados. Por lo tanto, sombree la mitad del plano que no contiene este punto de prueba. En este caso, sombree por encima de la línea límite.

Respuesta :

Considere el problema de sombrear por encima o por debajo de la línea límite cuando la desigualdad está en forma de pendiente-intersección. Si (y> mx + b ), sombrea por encima de la línea. Si (y

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Representa gráficamente el conjunto de soluciones (2 x – 5 y geq – 10 ).

Solución

Aquí el límite está definido por la línea (2x – 5y = −10 ). Como la desigualdad es inclusiva, graficamos el límite usando una línea continua. En este caso, grafica la línea de límite usando intersecciones.

Para encontrar la intercepción (x ) -, configure (y = 0 ).	Para encontrar la intercepción (y ) -, configure (x = 0 ).
( begin {array} {c} {2 x – 5 y = – 10} \ {2 x – 5 ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} = – 10 } \ {2 x = – 10} \ {x = – 5} end {array} )	( begin {array} {r} {2 x – 5 y = – 10} \ {2 ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} – 5 y = – 10 } \ {- 5 y = – 10} \ {y = 2} end {array} )
(x ) – intercepción: ((- 5, 0) )	(y ) – intercepción: ((0, 2) )

Tabla 2.7.11

Luego, prueba un punto; Esto ayuda a decidir qué región sombrear.

Punto de prueba	(2 x – 5 y geq – 10 )
((0,0) )	( begin {alineado} 2 (0) – 5 (0) & geq – 10 \ 0 & geq – 10 color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

Tabla 2.7.12

Dado que el punto de prueba está en el conjunto de solución, sombree la mitad del plano que lo contiene.

Respuesta :

En este ejemplo, observe que el conjunto de la solución consiste en todos los pares ordenados debajo de la línea de límite. Esto puede parecer contradictorio porque la desigualdad original involucraba “mayor que” (≥ ). Esto ilustra que es una mejor práctica probar realmente un punto. Resuelve (y ) y verás que el sombreado es correcto.

( begin {alineado} 2 x – 5 y & geq – 10 \ 2 x – 5 y color {Cerulean} {- 2 x} & geq – 10 color {Cerulean} {- 2x } \ – 5 y & geq – 2 x – 10 \ frac {- 5 y} { color {Cerulean} {- 5}} & color {OliveGreen} { leq} color {Black} { frac {- 2 x – 10} { color {Cerulean} {- 5}}} : : : color {Cerulean} {Reverso : the : desigualdad.} \ y & leq frac {2} {5} x + 2 end {alineado} )

En forma de pendiente-intersección, puede ver que la región debajo de la línea de límite debe estar sombreada. Un enfoque alternativo es expresar primero el límite en forma de pendiente-intersección, graficarlo y luego sombrear la región apropiada.

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Representa gráficamente el conjunto de soluciones (y <2 ).

Solución

Primero, grafica la línea límite (y = 2 ) con una línea discontinua debido a la estricta desigualdad. Luego, prueba un punto.

Punto de prueba	(y <2 )
((0,0) )	(0 <2 color {Cerulean} {✓} )

Tabla 2.7.13

En este caso, sombree la región que contiene el punto de prueba.

Respuesta :

Los pasos son los mismos para desigualdades no lineales con dos variables. Grafica primero el límite y luego prueba un punto para determinar qué región contiene las soluciones.

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

Representa gráficamente el conjunto de soluciones (y <(x + 2) ^ {2} - 1 ).

Solución

El límite es una parábola básica desplazada (2 ) unidades a la izquierda y (1 ) unidad hacia abajo. Comience dibujando un límite parabólico discontinuo debido a la estricta desigualdad.

Luego, prueba un punto.

Punto de prueba	(y <(x + 2) ^ {2} - 1 )
((0,0) )	( begin {array} {l} {0 <(0 + 2) ^ {2} - 1} \ {0 <4 - 1} \ {0 <3} color {Cerulean} { ✓} end {array} )

Tabla 2.7.14

En este caso, sombree la región que contiene el punto de prueba ((0, 0) ).

Respuesta :

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Representa gráficamente el conjunto de soluciones (y geq x ^ {2} + 3 ).

Solución

El límite es una parábola básica desplazada (3 ) unidades hacia arriba. Se grafica usando una curva sólida debido a la desigualdad inclusiva.

Luego, prueba un punto.

Punto de prueba	(y geq x ^ {2} + 3 )
((0,0) )	( begin {array} {l} {0 geq 0 ^ {2} + 3} \ {0 geq 3} color {red} {✗} end {array} ) [19459032 ]

Tabla 2.7.15

En este caso, sombree la región que no contiene el punto de prueba ((0,0) ).

Respuesta :

Puntos clave

Las desigualdades lineales con dos variables tienen infinitas soluciones de pares ordenados, que se pueden representar sombreando en la mitad apropiada de un plano de coordenadas rectangular.
Para graficar el conjunto de soluciones de una desigualdad con dos variables, primero grafica el límite con una línea discontinua o continua dependiendo de la desigualdad. Si se le da una desigualdad estricta, use una línea discontinua para el límite. Si se le da una desigualdad inclusiva, use una línea continua. Luego, elija un punto de prueba que no esté en el límite. Si el punto de prueba resuelve la desigualdad, sombree la región que lo contiene; de lo contrario, sombrea el lado opuesto.
Comprueba tu respuesta probando puntos dentro y fuera de la región de sombreado para verificar que resuelven la desigualdad o no.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

¿Es el par ordenado una solución a la desigualdad dada?

(5 x – y> – 2; (- 3, – 4) )
(4 x – y <- 8; (- 3, - 10) )
(6 x – 15 y geq – 1; left ( frac {1} {2}, – frac {1} {3} right) )
(x – 2 y geq 2; left ( frac {2} {3}, – frac {5} {6} right) )
( frac {3} {4} x – frac {2} {3} y < frac {3} {2}; (1, - 1) )
( frac {2} {5} x + frac {4} {3} y> frac {1} {2}; (- 2,1) )
(y leq x ^ {2} – 1; (- 1,1) )
(y geq x ^ {2} + 3; (- 2,0) )
(y geq (x – 5) ^ {2} + 1; (3,4) )
(y leq 2 (x + 1) ^ {2} – 3; (- 1, – 2) )
(y> 3 – | x |; (- 4, – 3) )
(y <| x | - 8; (5, - 7) )
(y> | 2 x – 1 | – 3; (- 1,3) )
(y <| 3 x - 2 | + 2; (- 2,10) )

Respuesta

1. No

3. Sí

5. Sí

7. No

9. No

11. No

13. Sí

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Representa gráficamente el conjunto de soluciones.

(y <2 x - 1 )
(y> −4x + 1 )
(y ≥ – frac {2} {3} x + 3 )
(y ≤ frac {4} {3} x – 3 )
(2x + 3y ≤ 18 )
(5x + 2y ≤ 8 )
(6x – 5 años> 30 )
(8x – 6y <24 )
(3x – 4 años <0 )
(x – 3y> 0 )
(x + y ≥ 0 )
(x – y ≥ 0 )
(y ≤ −2 )
(y> −3 )
(x <−2 )
(x ≥ −3 )
( frac {1} {6} x + frac {1} {10} y leq frac {1} {2} )
( frac {3} {8} x + frac {1} {2} y geq frac {3} {4} )
( frac {1} {12} x – frac {1} {6} y < frac {2} {3} )
( frac {1} {3} x – frac {1} {9} y> frac {4} {3} )
(5x ≤ −4y – 12 )
(- 4x ≤ 12 – 3 años )
(4y + 2 <3x )
(8x <9 - 6y )
(5 ≥ 3x – 15 años )
(2 x geq 6 – 9 y )
Escribe una desigualdad que describa todos los puntos en el semiplano superior sobre el eje (x ).
Escribe una desigualdad que describa todos los puntos en el semiplano inferior debajo del eje (x ).
Escribe una desigualdad que describa todos los puntos en el semiplano a la izquierda del eje (y ).
Escribe una desigualdad que describa todos los puntos en el semiplano a la derecha del eje (y ).
Escribe una desigualdad que describa todos los pares ordenados cuya (y ) – coordenada es al menos (k ) unidades.
Escribe una desigualdad que describa todos los pares ordenados cuya coordenada (x ) es como máximo (k ) unidades.

Respuesta

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27. (y> 0 )

29. (x <0 )

31. (y geq k )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Representa gráficamente el conjunto de soluciones.

(y ≤ x ^ {2} + 3 )
(y> x ^ {2} – 2 )
(y ≤ −x ^ {2} )
(y ≥ −x ^ {2} )
(y> (x + 1) ^ {2} )
(y> (x – 2) ^ {2} )
(y ≤ (x – 1) ^ {2} + 2 )
(y ≤ (x + 3) ^ {2} – 1 )
(y <−x ^ {2} + 1 )
(y> – (x – 2) ^ {2} + 1 )
(y ≥ | x | – 2 )
(y <| x | + 1 )
(y <| x - 3 | )
(y ≤ | x + 2 | )
(y> – | x + 1 | )
(y ≤ – | x – 2 | )
(y ≥ | x + 3 | – 2 )
(y ≥ | x – 2 | – 1 )
(y <- | x + 4 | + 2 )
(y> – | x – 4 | – 1 )
(y> x ^ {3} – 1 )
(y ≤ x ^ {3} + 2 )
(y ≤ sqrt {x} )
(y> sqrt {x} – 1 )
Se debe construir un corral rectangular con un máximo de (200 ) pies de cercado. Escribe una desigualdad lineal en términos de la longitud (l ) y el ancho (w ). Dibuje la gráfica de todas las posibles soluciones a este problema.
Una compañía vende un producto por ($ 8 ) y otro por ($ 12 ). ¿Cuántos de cada producto se deben vender para que los ingresos sean al menos ($ 2,400 )? Deje que (x ) represente la cantidad de productos vendidos a ($ 8 ) y deje que (y ) represente la cantidad de productos vendidos a ($ 12 ). Escriba una desigualdad lineal en términos de (x ) y (y ) y dibuje la gráfica de todas las soluciones posibles.