las matematicas

2.7: Resolver desigualdades lineales

2.7: Resolver desigualdades lineales

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Graficar desigualdades en la recta numérica
    •      
  • Resolver desigualdades usando las propiedades de resta y suma de la desigualdad
    •      
  • Resolver desigualdades usando las propiedades de división y multiplicación de la desigualdad
    •      
  • Resolver desigualdades que requieren simplificación
    •      
  • Traducir a una desigualdad y resolver
    •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Traducir del álgebra al inglés: (15> x ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.3.1 .
    2.      
  2. Resuelve: (n − 9 = −42 ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.1.7 .
    3.      
  3. Resuelve: (- 5p = −23 ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.2.1 .
    4.      
  4. Resuelve: (3a − 12 = 7a − 20 ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.3.22 .
    5.  
 
 

Desigualdades gráficas en la recta numérica

 

¿Recuerdas lo que significa que un número sea una solución para una ecuación? Una solución de una ecuación es un valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.

 

¿Qué pasa con la solución de una desigualdad? ¿Qué número haría verdadera la desigualdad (x> 3 )? ¿Estás pensando, “ x podría ser 4″? Eso es correcto, pero x también podría ser 5, o 20, o incluso 3.001. Cualquier número mayor que 3 es una solución a la desigualdad (x> 3 ).

 

Mostramos las soluciones a la desigualdad (x> 3 ) en la recta numérica sombreando todos los números a la derecha de 3, para mostrar que todos los números mayores que 3 son soluciones. Debido a que el número 3 en sí mismo no es una solución, ponemos un paréntesis abierto en 3. El gráfico de (x> 3 ) se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). Tenga en cuenta que se utiliza la siguiente convención: las flechas azules claras apuntan en la dirección positiva y las flechas azules oscuras apuntan en la dirección negativa.

 
This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than 3 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals 3, and a red line extending to the right of the parenthesis.  
Figura ( PageIndex {1} ): La desigualdad (x> 3 ) se representa gráficamente en esta recta numérica.
 
 

La gráfica de la desigualdad (x geq 3 ) es muy parecida a la gráfica de (x> 3 ), pero ahora tenemos que mostrar que 3 también es una solución. Hacemos eso poniendo un paréntesis en (x = 3 ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than or equal to 3 is graphed on the number line, with an open bracket at x equals 3, and a red line extending to the right of the bracket.  
Figura ( PageIndex {2} ): La desigualdad (x geq 3 ) se representa gráficamente en esta recta numérica.
 
 

Observe que el símbolo de paréntesis abierto, (, muestra que el punto final de la desigualdad no está incluido. El símbolo de paréntesis abierto, [, muestra que el punto final está incluido.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Gráfico en la recta numérica:

 
         
  1. (x leq 1 )
    2.      
  2. (x <5 )
    3.      
  3. (x> −1 )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (x leq 1 ) Esto significa que todos los números menores o iguales a 1. Sombreamos todos los números en la recta numérica a la izquierda de 1 y ponemos un paréntesis en x = 1 para mostrar que está incluido.
This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is less than or equal to 1 is graphed on the number line, with an open bracket at x equals 1, and a red line extending to the left of the bracket.

     

2. (x <5 ) Esto significa todos los números menores que 5, pero sin incluir 5. Sombreamos todos los números en la recta numérica a la izquierda de 5 y ponemos un paréntesis en x = 5 para mostrar No está incluido.
This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is less than 5 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals 5, and a red line extending to the right of the parenthesis.

     

3. (x> −1 ) Esto significa todos los números mayores que −1, pero sin incluir −1. Sombreamos todos los números en la recta numérica a la derecha de −1, luego ponemos un paréntesis en x = −1 para mostrar que no está incluido.
This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than negative 1 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals negative 1, and a red line extending to the right of the parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Gráfico en la recta numérica:

 
         
  1. (x leq −1 )
    2.      
  2. (x> 2 )
    3.      
  3. (x <3 )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     

     

             
  1. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is less than or equal to negative 1 is graphed on the number line, with an open bracket at x equals negative 1, and a dark line extending to the left of the bracket.
    2.          
  2. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than 2 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals 2, and a dark line extending to the right of the parenthesis.
    3.          
  3. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is less than 3 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals 3, and a dark line extending to the left of the parenthesis.
    4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Gráfico en la recta numérica:

 
         
  1. (x> −2 )
    2.      
  2. (x <−3 )
    3.      
  3. (x geq −1 )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     

     

             
  1. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than negative 2 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals negative 2, and a dark line extending to the right of the parenthesis.
    2.          
  2. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is less than negative 3 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals negative 3, and a dark line extending to the left of the parenthesis.
    3.          
  3. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than or equal to negative 1 is graphed on the number line, with an open bracket at x equals negative 1, and a dark line extending to the right of the bracket.
    4.      
     
 
 
 

También podemos representar desigualdades usando la notación de intervalo . Como vimos anteriormente, la desigualdad (x> 3 ) significa todos los números mayores que 3. No hay un límite superior para la solución de esta desigualdad. En notación de intervalo , expresamos (x> 3 ) como ((3, infty) ). El símbolo ( infty ) se lee como “infinito”. No es un número real. La figura ( PageIndex {3} ) muestra tanto la recta numérica como la notación de intervalo.

 
This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than 3 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals 3, and a red line extending to the right of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, 3 comma infinity, parenthesis.  
Figura ( PageIndex {3} ): La desigualdad (x> 3 ) se representa gráficamente en esta recta numérica y se escribe en notación de intervalo.
 
 

La desigualdad (x leq 1 ) significa que todos los números son menores o iguales que 1. No hay un extremo inferior para esos números. Escribimos (x leq 1 ) en notación de intervalo como ((- infty, 1] ). El símbolo (- infty ) se lee como ‘infinito negativo’. Figura ( PageIndex {4 } ) muestra tanto la línea numérica como la notación de intervalo.

 
This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is less than or equal to 1 is graphed on the number line, with an open bracket at x equals 1, and a red line extending to the left of the bracket. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma 1, bracket.  
Figura ( PageIndex {4} ): La desigualdad (x leq 1 ) se representa gráficamente en esta recta numérica y se escribe en notación de intervalo.
 
 
 
 
 

DESIGUALDADES, LÍNEAS DE NÚMEROS Y NOTAS DE INTERVALO

 

This figure show four number lines, all without tick marks. The inequality x is greater than a is graphed on the first number line, with an open parenthesis at x equals a, and a red line extending to the right of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, a comma infinity, parenthesis. The inequality x is greater than or equal to a is graphed on the second number line, with an open bracket at x equals a, and a red line extending to the right of the bracket. The inequality is also written in interval notation as bracket, a comma infinity, parenthesis. The inequality x is less than a is graphed on the third number line, with an open parenthesis at x equals a, and a red line extending to the left of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma a, parenthesis. The inequality x is less than or equal to a is graphed on the last number line, with an open bracket at x equals a, and a red line extending to the left of the bracket. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma a, bracket.

 
 

¿Notó cómo el paréntesis o el paréntesis en la notación de intervalo coincide con el símbolo en el punto final de la flecha? Estas relaciones se muestran en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
This figure shows the same four number lines as above, with the same interval notation labels. Below the interval notation for each number line, there is text indicating how the notation on the number lines is similar to the interval notation. The first number line is a graph of x is greater than a, and the interval notation is parenthesis, a comma infinity, parenthesis. The text below reads: “Both have a left parenthesis.” The second number line is a graph of x is greater than or equal to a, and the interval notation is bracket, a comma infinity, parenthesis. The text below reads: “Both have a left bracket.” The third number line is a graph of x is less than a, and the interval notation is parenthesis, negative infinity comma a, parenthesis. The text below reads: “Both have a right parenthesis.” The last number line is a graph of x is less than or equal to a, and the interval notation is parenthesis, negative infinity comma a, bracket. The text below reads: “Both have a right bracket.”  
Figura ( PageIndex {5} ): La notación para las desigualdades en una recta numérica y en notación de intervalo usa símbolos similares para expresar los puntos finales de los intervalos.
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Graficar en la recta numérica y escribir en notación de intervalo:

 
         
  1. (x> 2 )
    2.      
  2. (x leq −1,5 )
    3.      
  3. (x geq frac {3} {4} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     

     

             
  1. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than 2 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals 2, and a dark line extending to the right of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, 2 comma infinity, parenthesis.
    2.          
  2. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is less than or equal to negative 1.5 is graphed on the number line, with an open bracket at x equals negative 1.5, and a dark line extending to the left of the bracket. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma negative 1.5, bracket.
    3.          
  3. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than or equal to 3/4 is graphed on the number line, with an open bracket at x equals 3/4, and a dark line extending to the right of the bracket. The inequality is also written in interval notation as bracket, 3/4 comma infinity, parenthesis.
    4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Graficar en la recta numérica y escribir en notación de intervalo:

 
         
  1. (x leq −4 )
    2.      
  2. (x geq 0.5 )
    3.      
  3. (x <- frac {2} {3} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     

     

             
  1. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is less than or equal to negative 4 is graphed on the number line, with an open bracket at x equals negative 4, and a dark line extending to the left of the bracket. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma negative 4, bracket.
    2.          
  2. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is greater than or equal to 0.5 is graphed on the number line, with an open bracket at x equals 0.5, and a dark line extending to the right of the bracket. The inequality is also written in interval notation as bracket, o.5 comma infinity, parenthesis.
    3.          
  3. This figure is a number line ranging from negative 5 to 5 with tick marks for each integer. The inequality x is less than negative 2/3 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals negative 2/3, and a dark line extending to the left of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma negative 2/3, parenthesis.
    4.      
     
 
 
 

Resolver desigualdades utilizando las propiedades de resta y suma de la desigualdad

 

Las propiedades de igualdad y resta de igualdad establecen que si dos cantidades son iguales, cuando sumamos o restamos la misma cantidad de ambas cantidades, los resultados serán iguales.

 
 
 

PROPIEDADES DE IGUALDAD

 

[ begin {array} {ll} { textbf {Propiedad de igualdad de la resta}} y { textbf {Propiedad de igualdad de la suma}} \ { text {Para cualquier número} a, b, text {y} c,} y { text {Para cualquier número} a, b, text {y} c} \ { text {if} qquad quad a = b,} & { text {if} qquad quad a = b} \ { text {then} a – c = b – c. } & { text {then} a + c = b + c} end {array} ]

 
 
 

Propiedades similares son válidas para las desigualdades.

                                                                                                                                                                                                                                                              
Por ejemplo, sabemos que −4 es menor que 2. .
Si restamos 5 de ambas cantidades, ¿el lado izquierdo es aún menos que el derecho? .
Obtenemos −9 a la izquierda y −3 a la derecha. .
Y sabemos que −9 es menor que −3. .
             

El signo de desigualdad se mantuvo igual.

             
 

Tabla ( PageIndex {1} )

 

Del mismo modo, podríamos demostrar que la desigualdad también se mantiene igual para la suma.

 

Esto nos lleva a las propiedades de resta y suma de la desigualdad.

 
 
 

PROPIEDADES DE DESIGUALDAD

 

[ begin {array} {ll} { textbf {Propiedad de resta de la desigualdad}} y { textbf {Propiedad de adición de la desigualdad}} \ { text {Para cualquier número} a, b, text {y} c,} y { text {Para cualquier número} a, b, text {y} c} \ { text {if} qquad quad a b} & { text {if} qquad quad a> b} { text {then} a – c> b – c. } & { text {then} a + c> b + c} end {array} ]

 
 

Utilizamos estas propiedades para resolver desigualdades, siguiendo los mismos pasos que usamos para resolver ecuaciones. Al resolver la desigualdad (x + 5> 9 ), los pasos se verían así:

 
 

[ begin {array} {rrll} {} & {x + 5} & {>} & {9} \ { text {Reste 5 de ambos lados para aislar} x.} & {X + 5 – 5} y {>} y {9 – 5} \ {} y {x} & {>} y {4} \ end {array} ]

 

Cualquier número mayor que 4 es una solución a esta desigualdad.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve la desigualdad (n – frac {1} {2} leq frac {5} {8} ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Agregue ( frac {1} {2} ) a ambos lados de la desigualdad. .
Simplificar. .
Representa gráficamente la solución en la recta numérica. .
Escribe la solución en notación de intervalo.
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

(p – frac {3} {4} geq frac {1} {6} )

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality p is greater than or equal to 11/12. Below this inequality is the inequality graphed on a number line ranging from 0 to 4, with tick marks at each integer. There is a bracket at p equals 11/12, and a dark line extends to the right from 11/12. Below the number line is the solution written in interval notation: bracket, 11/12 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

(r – frac {1} {3} leq frac {7} {12} )

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality r is less than or equal to 11/12. Below this inequality is the inequality graphed on a number line ranging from 0 to 4, with tick marks at each integer. There is a bracket at r equals 11/12, and a dark line extends to the left from 11/12. Below the number line is the solution written in interval notation: parenthesis, negative infinity comma 11/12, bracket.

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Resolver desigualdades utilizando las propiedades de división y multiplicación de la desigualdad

 

Las propiedades de división y multiplicación de la igualdad establecen que si dos cantidades son iguales, cuando dividimos o multiplicamos ambas cantidades por la misma cantidad, los resultados también serán iguales (siempre que no dividamos por 0).

 
 

PROPIEDADES DE IGUALDAD

 

[ begin {array} {ll} { textbf {Propiedad de igualdad de división}} y { textbf {Propiedad de igualdad de multiplicidad}} \ { text {Para cualquier número a, b, c y c} neq 0} & { text {Para cualquier número a, b, c}} \ { text {if} qquad a = b} & { text {if} qquad quad a = b} \ { text {then} quad frac {a} {c} = frac {b} {c}} y { text {then} quad ac = bc} end {array} ] [19459003 ]  

 

¿Hay propiedades similares para las desigualdades? ¿Qué le sucede a una desigualdad cuando dividimos o multiplicamos ambos lados por una constante?

 

Considere algunos ejemplos numéricos.

 

Tabla ( PageIndex {2} )

 

Los signos de desigualdad permanecieron igual.

 

¿La desigualdad permanece igual cuando dividimos o multiplicamos por un número negativo?

 

Tabla ( PageIndex {3} )

 

Los signos de desigualdad invirtieron su dirección.

 

Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número positivo, el signo de desigualdad permanece igual. Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.

 

Aquí están las propiedades de división y multiplicación de la desigualdad para una fácil referencia.

 
 

DIVISIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE PROPIEDADES DE DESIGUALDAD

 

Para cualquier número real a, b, c

 

[ begin {array} {ll} { text {if} a 0, text {then}} & { frac {a} {c} < frac {b} {c} text {y} ac b text {y} c> 0, text {luego}} y { frac {a} {c }> frac {b} {c} text {y} ac> bc} \ { text {if} a frac {b} {c} text {y} ac> bc} \ { text {if} a> b text {y} c <0, text {then}} & { frac {a} {c} < frac {b} {c} text {y} ac  

 

Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por a:

 
         
  • positivo número, la desigualdad permanece igual .
    •      
  • negativo número, la desigualdad se invierte .
    •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelve la desigualdad (7y <42 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

(9c> 72 )

 
     
Respuesta
     
     

(c> 8 )

     

This figure is a number line ranging from 6 to 10 with tick marks for each integer. The inequality c is greater than 8 is graphed on the number line, with an open parenthesis at c equals 8, and a dark line extending to the right of the parenthesis.

     

((8, infty) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

(12d leq 60 )

 
     
Respuesta
     
     

(d leq 5 )

     

This figure is a number line ranging from 3 to 7 with tick marks for each integer. The inequality d is less than or equal to 5 is graphed on the number line, with an open bracket at d equals 5, and a dark line extending to the left of the bracket. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma 5, bracket.

     

((- infty, 5] )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resuelve la desigualdad (- 10a geq 50 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

(- 8q <32 )

 
     
Respuesta
     
     

(q> −4 )

     

This figure is a number line ranging from negative 6 to negative 3 with tick marks for each integer. The inequality q is greater than negative 4 is graphed on the number line, with an open parenthesis at q equals negative 4, and a dark line extending to the right of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative 4 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Resuelve cada desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

(- 7r leq −70 )

 
     
Respuesta
     
     

This figure is a number line ranging from 9 to 13 with tick marks for each integer. The inequality r is greater than or equal to 10 is graphed on the number line, with an open bracket at r equals 10, and a dark line extending to the right of the bracket. The inequality is also written in interval notation as bracket, 10 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

RESOLVIENDO DESIGUALDADES

 
A veces, al resolver una desigualdad, la variable termina a la derecha. Podemos reescribir la desigualdad a la inversa para obtener la variable a la izquierda.
 
 

[ begin {array} {l} x> a text {tiene el mismo significado que} a  

Piensa en ello como “Si Xavier es más alto que Alex, entonces Alex es más bajo que Xavier”.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Resuelve la desigualdad (- 20 < frac {4} {5} u ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

(24 leq frac {3} {8} m )

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality m is greater than or equal to 64. Below this inequality is a number line ranging from 63 to 67 with tick marks for each integer. The inequality m is greater than or equal to 64 is graphed on the number line, with an open bracket at m equals 64, and a dark line extending to the right of the bracket. The inequality is also written in interval notation as bracket, 64 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

(- 24 < frac {4} {3} n )

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality n is greater than negative 18. Below this inequality is a number line ranging from negative 20 to negative 16 with tick marks for each integer. The inequality n is greater than negative 18 is graphed on the number line, with an open parenthesis at n equals negative 18, and a dark line extending to the right of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative 18 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Resuelve la desigualdad ( frac {t} {- 2} geq 8 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

( frac {k} {- 12} leq 15 )

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality k is greater than or equal to negative 180. Below this inequality is a number line ranging from negative 181 to negative 177 with tick marks for each integer. The inequality k is greater than or equal to negative 180 is graphed on the number line, with an open bracket at n equals negative 180, and a dark line extending to the right of the bracket. The inequality is also written in interval notation as bracket, negative 180 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Resuelve la desigualdad, representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 

( frac {u} {- 4} geq -16 )

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality u is less than or equal to 64. Below this inequality is a number line ranging from 62 to 66 with tick marks for each integer. The inequality u is less than or equal to 64 is graphed on the number line, with an open bracket at u equals 64, and a dark line extending to the left of the bracket. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma 64, bracket.

     
 
 
 

Resolver desigualdades que requieren simplificación

 

La mayoría de las desigualdades tomarán más de un paso para resolver. Seguimos los mismos pasos que utilizamos en la estrategia general para resolver ecuaciones lineales, pero asegúrese de prestar mucha atención durante la multiplicación o división.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Resuelve la desigualdad (4m leq 9m + 17 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Resuelve la desigualdad (3q geq 7q − 23 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality q is less than or equal to 23/4. Below this inequality is a number line ranging from 4 to 8 with tick marks for each integer. The inequality q is less than or equal to 23/4 is graphed on the number line, with an open bracket at q equals 23/4 (written in), and a dark line extending to the left of the bracket. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma 23/4, bracket.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Resuelve la desigualdad (6x <10x + 19 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality x is greater than negative 19/4. Below this inequality is a number line ranging from negative 7 to negative 3, with tick marks for each integer. The inequality x is greater than negative 19/4 is graphed on the number line, with an open parenthesis at x equals negative 19/4 (written in), and a dark line extending to the right of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative 19/4 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Resuelve la desigualdad (8p + 3 (p − 12)> 7p − 28 ) representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Simplifica cada lado tanto como sea posible. 8p + 3 (p − 12)> 7p − 28
Distribuir. 8p + 3p − 36> 7p − 28
Combina términos similares. 11p − 36> 7p − 28
Resta 7p de ambos lados para recolectar las variables de la izquierda. 11p − 36−7p> 7p − 28−7p
Simplificar. 4p − 36> −28
Agrega 36 a ambos lados para recoger las constantes a la derecha. 4p − 36 + 36> −28 + 36
Simplificar. 4p> 8
Divide ambos lados de la desigualdad por 4; La desigualdad se mantiene igual. ( frac {4p} {4}> 84 )
Simplificar. (p> 2 )
Representa gráficamente la solución en la recta numérica. .
Escribe la solución en notación de intervalo. ((2, infty) )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Resuelve la desigualdad (9y + 2 (y + 6)> 5y − 24 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality y is greater than negative 6. Below this inequality is a number line ranging from negative 7 to negative 3 with tick marks for each integer. The inequality y is greater than negative 6 is graphed on the number line, with an open parenthesis at y equals negative 6, and a dark line extending to the right of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative 6 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Resuelve la desigualdad (6u + 8 (u − 1)> 10u + 32 ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality u is greater than 10. Below this inequality is a number line ranging from 9 to 13 with tick marks for each integer. The inequality u is greater than 10 is graphed on the number line, with an open parenthesis at u equals 10, and a dark line extending to the right of the parenthesis. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, 10 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 

Al igual que algunas ecuaciones son identidades y otras son contradicciones, las desigualdades también pueden ser identidades o contradicciones. Reconocemos estas formas cuando nos quedan solo constantes a medida que resolvemos la desigualdad. Si el resultado es una declaración verdadera, tenemos una identidad. Si el resultado es una declaración falsa, tenemos una contradicción.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Resuelve la desigualdad (8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Simplifica cada lado tanto como sea posible. 8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x
Distribuir. 8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x
Combina términos similares. 10x − 10 <10x + 36
Resta 10x de ambos lados para recolectar las variables de la izquierda. 10x − 10−10x <10x + 36−10x
Simplifica. −10 <36
Las xx se han ido, y tenemos una declaración verdadera. La desigualdad es una identidad.
La solución son todos los números reales.
Representa gráficamente la solución en la recta numérica. .
Escribe la solución en notación de intervalo. ((- infty, infty) )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Resuelve la desigualdad (4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows an inequality that is an identity. Below this inequality is a number line ranging from negative 2 to 2 with tick marks for each integer. The identity is graphed on the number line, with a dark line extending in both directions. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Resuelve la desigualdad (9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h ), representa gráficamente la solución en la recta numérica y escribe la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows an inequality that is an identity. Below this inequality is a number line ranging from negative 2 to 2 with tick marks for each integer. The identity is graphed on the number line, with a dark line extending in both directions. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Resuelva la desigualdad ( frac {1} {3} a – frac {1} {8} a> frac {5} {24} a + frac {3} {4} ), gráfico la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Resuelve la desigualdad ( frac {1} {4} x – frac {1} {12} x> frac {1} {6} x + frac {7} {8} ), gráfico la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows an inequality that is a contradiction. Below this is a number line ranging from negative 2 to 2 with tick marks for each integer. No inequality is graphed on the number line. Below the number line is the statement: “No solution.”

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Resuelva la desigualdad ( frac {2} {5} z – frac {1} {3} z < frac {1} {15} z - frac {3} {5} ), gráfico la solución en la recta numérica y escriba la solución en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows an inequality that is a contradiction. Below this is a number line ranging from negative 2 to 2 with tick marks for each integer. No inequality is graphed on the number line. Below the number line is the statement: “No solution.”

     
 
 
 

Traducir a una desigualdad y resolver

 

Para traducir oraciones en inglés a desigualdades, debemos reconocer las frases que indican la desigualdad. Algunas palabras son fáciles, como “más que” y “menos que”. Pero otros no son tan obvios.

 

Piensa en la frase “al menos”: ¿qué significa tener “al menos 21 años”? Significa 21 o más. La frase “al menos” es la misma que “mayor o igual que”.

 

La tabla ( PageIndex {4} ) muestra algunas frases comunes que indican desigualdades.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
> ( geq ) < ( leq )
es mayor o igual que es menor que es menor o igual que
es al menos es más pequeño que es como máximo
no es menor que tiene menos de no es más que
es el mínimo es inferior a es el máximo
 

Tabla ( PageIndex {4} )

 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Traducir y resolver. Luego escriba la solución en notación de intervalo y grafique en la recta numérica.

 

Doce veces c no es más que 96.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Traducir y resolver. Luego escriba la solución en notación de intervalo y grafique en la recta numérica.

 

Veinte veces y es como máximo 100

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality 20y is less than or equal to 100, and then its solution: y is less than or equal to 5. Below this inequality is a number line ranging from 4 to 8 with tick marks for each integer. The inequality y is less than or equal to 5 is graphed on the number line, with an open bracket at y equals 5, and a dark line extending to the left of the bracket. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity comma 5, bracket.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Traducir y resolver. Luego escriba la solución en notación de intervalo y grafique en la recta numérica.

 

Nueve veces z no es inferior a 135

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality 9z is greater than or equal to 135, and then its solution: z is greater than or equal to 15. Below this inequality is a number line ranging from 14 to 18 with tick marks for each integer. The inequality z is greater than or equal to 15 is graphed on the number line, with an open bracket at z equals 15, and a dark line extending to the right of the bracket. The inequality is also written in interval notation as bracket, 15 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {37} )

 

Traducir y resolver. Luego escriba la solución en notación de intervalo y grafique en la recta numérica.

 

Treinta menos que x es al menos 45.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {38} )

 

Traducir y resolver. Luego escriba la solución en notación de intervalo y grafique en la recta numérica.

 

Diecinueve menos que p no es menos que 47

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality p minus 19 is greater than or equal to 47, and then its solution: p is greater than or equal to 66. Below this inequality is a number line ranging from 65 to 69 with tick marks for each integer. The inequality p is greater than or equal to 66 is graphed on the number line, with an open bracket at p equals 66, and a dark line extending to the right of the bracket. The inequality is also written in interval notation as bracket, 66 comma infinity, parenthesis.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {39} )

 

Traducir y resolver. Luego escriba la solución en notación de intervalo y grafique en la recta numérica.

 

Cuatro más que a es como máximo 15.

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows the inequality a plus 4 is less than or equal to 15, and then its solution: a is less than or equal to 11. Below this inequality is a number line ranging from 10 to 14 with tick marks for each integer. The inequality a is less than or equal to 11 is graphed on the number line, with an open bracket at a equals 11, and a dark line extending to the left of the bracket. The inequality is also written in interval notation as parenthesis, negative infinity 11, bracket.

     
 
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Propiedad de resta de la desigualdad
    Para cualquier número a, b y c,
    si a b entonces a − c> b − c.
    •      
  • Propiedad de adición de la desigualdad
    Para cualquier número a, byc,
    si a b entonces a + c> b + c.
    •      
  • Propiedades de división y multiplicación de desigualdad y
    Para cualquier número a, byc,
    si a 0, entonces ac bc.
    si a> byc> 0, entonces ac> bc y ac> bc.
    si a bc y ac> bc.
    si a> byc <0, entonces ac      
  • Cuando dividimos o multiplicamos una desigualdad por a:      
               
    • positivo número, la desigualdad permanece igual .
      •          
    • negativo número, la desigualdad se invierte .
      •      
         
    •  
 
 
 

 
 
 
                                  
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