Uso de la notación de intervalo

 

La ​​indicación de la solución a una desigualdad como (x≥4 ) se puede lograr de varias maneras.

 

     
• Podemos usar una recta numérica como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ). El rayo azul comienza en (x = 4 ) y, como lo indica la punta de flecha, continúa hasta el infinito, lo que ilustra que el conjunto de soluciones incluye todos los números reales mayores o iguales a (4 ).
     
• Podemos usar la notación set-builder : ( {x | x≥4 } ), que se traduce como “todos los números reales (x ) de modo que (x ) es mayor o igual que (4 ) “. Observe que las llaves se usan para indicar un conjunto.
     
• El tercer método es notación de intervalo , en la que los conjuntos de soluciones se indican entre paréntesis o corchetes. Las soluciones a (x≥4 ) se representan como ([4, infty) ). Este es quizás el método más útil, ya que se aplica a los conceptos estudiados más adelante en este curso y a otros cursos de matemáticas de nivel superior.
 

 

   

 

El concepto principal a recordar es que los paréntesis representan soluciones mayores o menores que el número, y los corchetes representan soluciones que son mayores o iguales o menores o iguales que el número. Use paréntesis para representar infinito o infinito negativo, ya que el infinito positivo y negativo no son números en el sentido habitual de la palabra y, por lo tanto, no pueden ser “igualados”. Algunos ejemplos de un intervalo, o un conjunto de números en el que cae una solución, son ([- 2,6) ), o todos los números entre (- 2 ) y (6 ), incluido ( −2 ), pero sin incluir (6 ); ((- 1,0) ), todos los números reales entre, pero sin incluir (- 1 ) y (0 ); y ((- infty, 1] ), todos los números reales menores e incluidos (1 ). La tabla ( PageIndex {1} ) describe las posibilidades.

  Conjunto indicado                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

Notación de generador de conjuntos	Notación de intervalo
Todos los números reales entre (a ) y (b ), pero sin incluir (a ) o (b )	( {x | a	((a, b) )
Todos los números reales mayores que (a ), pero sin incluir (a )	( {x | x> a } )	((a, infty) )
Todos los números reales menores que (b ), pero sin incluir (b )	( {x | x	((- infty, b) )
Todos los números reales mayores que (a ), incluido (a )	( {x | x≥a } )	([a, infty) )
Todos los números reales menores que (b ), incluyendo (b )	( {x | x≤b } )	((- infty, b] )
Todos los números reales entre (a ) y (b ), incluido (a )	( {x | a≤x	([a, b) )
Todos los números reales entre (a ) y (b ), incluido (b )	( {x | a	((a, b] )
Todos los números reales entre (a ) y (b ), incluidos (a ) y (b )	( {x | a≤x≤b } )	([a, b] )
Todos los números reales menores que (a ) o mayores que (b )	( {x | x b } )	((- infty, a) cup (b, infty) )
Todos los números reales	( {x | x space is space all space real space numbers } )	((- infty, infty) )

           

Uso de las propiedades de las desigualdades

 

Cuando trabajamos con desigualdades, generalmente podemos tratarlas de manera similar pero no exactamente como tratamos las igualdades. Podemos usar la propiedad de suma y la propiedad de multiplicación para ayudarnos a resolverlos. La única excepción es cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo; Al hacerlo se invierte el símbolo de desigualdad.

   

Propiedad adicional

 

     
• Si (a  

 

Propiedad de multiplicación

 

     
• Si (a 0 ), entonces (ac      
• Si (a bc ).
 

 

Estas propiedades también se aplican a (a≤b ), (a> b ) y (a≥b ).

 

 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Demostrando la propiedad de adición

 

Ilustra la propiedad de suma de desigualdades resolviendo cada uno de los siguientes:

 

     
1. (a) (x − 15 <4 )
     
2. (b) (6≥x − 1 )
     
3. (c) (x + 7> 9 )
 

 

Solución

 

La ​​propiedad de suma para las desigualdades establece que si existe una desigualdad, sumar o restar el mismo número en ambos lados no cambia la desigualdad.

 

a.

 

[ begin {align *} x-15 & <4 \ x-15 + 15 & <4 + 15 \ x & <19 end {align *} ]

 

b.

 

[ begin {align *} 6 & geq x-1 \ 6 + 1 & geq x-1 + 1 \ 7 & geq x end {align *} ]

 

c.

 

[ begin {align *} x + 7 &> 9 \ x + 7-7 &> 9-7 \ x &> 2 end {align *} ]

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: (3x − 2 <1 ).

 

     

Respuesta

     

     

(x <1 )

     

 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Demostrando la propiedad de multiplicación

 

Ilustra la propiedad de multiplicación para las desigualdades resolviendo cada uno de los siguientes:

 

     
1. (3x <6 )
     
2. (- 2x − 1≥5 )
     
3. (5 − x> 10 )
 

 

Solución

 

a.

 

[ begin {align *} 3x & <6 \ dfrac {1} {3} (3x) & <(6) dfrac {1} {3} \ x & <2 end {align * } ]

 

b.

 

[ begin {align *} -2x-1 & geq 5 \ -2x & geq 6 \ left (- dfrac {1} {2} right) (- 2) & geq ( 6) left (- dfrac {1} {2} right) qquad text {Multiplicar por} left (- dfrac {1} {2} right) \ x & leq -3 qquad texto {Invertir la desigualdad.} end {align *} ]

 

c.

 

[ begin {align *} 5-x &> 10 \ -x &> 5 \ (-1) (- x) &> (5) (- 1) qquad text {Multiplicar por} – 1 \ x & <-5 qquad text {Invierta la desigualdad.} End {align *} ]

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve: (4x + 7≥2x − 3 ).

 

     

Respuesta

     

     

(x≥ − 5 )