2.8: Desigualdades lineales y desigualdades de valor absoluto

2.8: Desigualdades lineales y desigualdades de valor absoluto

         

                                                                                                                                          
                                                              
                 
 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Usar notación de intervalo.
  •      
  • Usar propiedades de desigualdades.
  •      
  • Resolver desigualdades en una variable algebraicamente.
  •      
  • Resolver desigualdades de valor absoluto.
  •  
 
 

No es fácil hacer el papel de honor en la mayoría de las mejores universidades. Suponga que los estudiantes deben llevar una carga de curso de al menos (12 ) horas de crédito y mantener un promedio de calificaciones de (3.5 ) o superior. ¿Cómo podrían expresarse matemáticamente estos requisitos del cuadro de honor? En esta sección, exploraremos varias formas de expresar diferentes conjuntos de números, desigualdades y desigualdades de valor absoluto.

 
Several red winner’s ribbons lie on a white table.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 

Uso de la notación de intervalo

 

La ​​indicación de la solución a una desigualdad como (x≥4 ) se puede lograr de varias maneras.

 
         
  • Podemos usar una recta numérica como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ). El rayo azul comienza en (x = 4 ) y, como lo indica la punta de flecha, continúa hasta el infinito, lo que ilustra que el conjunto de soluciones incluye todos los números reales mayores o iguales a (4 ).
  •      
  • Podemos usar la notación set-builder : ( {x | x≥4 } ), que se traduce como «todos los números reales (x ) de modo que (x ) es mayor o igual que (4 ) «. Observe que las llaves se usan para indicar un conjunto.
  •      
  • El tercer método es notación de intervalo , en la que los conjuntos de soluciones se indican entre paréntesis o corchetes. Las soluciones a (x≥4 ) se representan como ([4, infty) ). Este es quizás el método más útil, ya que se aplica a los conceptos estudiados más adelante en este curso y a otros cursos de matemáticas de nivel superior.
  •  
 
A number line starting at zero with the last tick mark being labeled 11.  There is a dot at the number 4 and an arrow extends toward the right.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 

El concepto principal a recordar es que los paréntesis representan soluciones mayores o menores que el número, y los corchetes representan soluciones que son mayores o iguales o menores o iguales que el número. Use paréntesis para representar infinito o infinito negativo, ya que el infinito positivo y negativo no son números en el sentido habitual de la palabra y, por lo tanto, no pueden ser «igualados». Algunos ejemplos de un intervalo, o un conjunto de números en el que cae una solución, son ([- 2,6) ), o todos los números entre (- 2 ) y (6 ), incluido ( −2 ), pero sin incluir (6 ); ((- 1,0) ), todos los números reales entre, pero sin incluir (- 1 ) y (0 ); y ((- infty, 1] ), todos los números reales menores e incluidos (1 ). La tabla ( PageIndex {1} ) describe las posibilidades.

  Conjunto indicado                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Notación de generador de conjuntos Notación de intervalo
Todos los números reales entre (a ) y (b ), pero sin incluir (a ) o (b )              

( {x | a              

((a, b) )
Todos los números reales mayores que (a ), pero sin incluir (a ) ( {x | x> a } ) ((a, infty) )
Todos los números reales menores que (b ), pero sin incluir (b ) ( {x | x               ((- infty, b) )
Todos los números reales mayores que (a ), incluido (a ) ( {x | x≥a } ) ([a, infty) )
Todos los números reales menores que (b ), incluyendo (b ) ( {x | x≤b } ) ((- infty, b] )
Todos los números reales entre (a ) y (b ), incluido (a ) ( {x | a≤x               ([a, b) )
Todos los números reales entre (a ) y (b ), incluido (b ) ( {x | a               ((a, b] )
Todos los números reales entre (a ) y (b ), incluidos (a ) y (b ) ( {x | a≤x≤b } ) ([a, b] )
Todos los números reales menores que (a ) o mayores que (b ) ( {x | x b } ) ((- infty, a) cup (b, infty) )
Todos los números reales ( {x | x space is space all space real space numbers } ) ((- infty, infty) )
   
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de la notación de intervalo para expresar todos los números reales mayores o iguales que un

 

Use la notación de intervalo para indicar todos los números reales mayores o iguales que (- 2 ).

 

Solución

 

Use un paréntesis a la izquierda de (- 2 ) y paréntesis después del infinito: ([- 2, infty) ). El paréntesis indica que (- 2 ) está incluido en el conjunto con todos los números reales mayores que (- 2 ) hasta el infinito.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Use la notación de intervalo para indicar todos los números reales entre (- 3 ) y (5 ) inclusive.

 
     
Respuesta
     
     

([- 3,5] )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Uso de la notación de intervalo para expresar todos los números reales Menor o igual que a o Mayor o igual que b

 

Escribe el intervalo expresando todos los números reales menores o iguales a (- 1 ) o mayores o iguales a (1 ).

 

Solución

 

Tenemos que escribir dos intervalos para este ejemplo. El primer intervalo debe indicar todos los números reales menores o iguales que (1 ). Entonces, este intervalo comienza en (- infty ) y termina en (- 1 ), que se escribe como ((- infty, −1] ).

 

El segundo intervalo debe mostrar todos los números reales mayores o iguales que (1 ), que se escribe como ([1, infty) ). Sin embargo, queremos combinar estos dos conjuntos. Logramos esto insertando el símbolo de unión, ∪, entre los dos intervalos.

 

[(- infty, −1] cup [1, infty) nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Exprese todos los números reales menores que (- 2 ) o mayores o iguales que (3 ) en notación de intervalo.

 
     
Respuesta
     
     

((- infty, −2) cup [3, infty) )

     
 
 
 

Uso de las propiedades de las desigualdades

 

Cuando trabajamos con desigualdades, generalmente podemos tratarlas de manera similar pero no exactamente como tratamos las igualdades. Podemos usar la propiedad de suma y la propiedad de multiplicación para ayudarnos a resolverlos. La única excepción es cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo; Al hacerlo se invierte el símbolo de desigualdad.

 
 

PROPIEDADES DE DESIGUALDAD

 
 

Propiedad adicional

 
         
  • Si (a  
 

Propiedad de multiplicación

 
         
  • Si (a 0 ), entonces (ac      
  • Si (a bc ).
  •  
 

Estas propiedades también se aplican a (a≤b ), (a> b ) y (a≥b ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Demostrando la propiedad de adición

 

Ilustra la propiedad de suma de desigualdades resolviendo cada uno de los siguientes:

 
         
  1. (a) (x − 15 <4 )
  2.      
  3. (b) (6≥x − 1 )
  4.      
  5. (c) (x + 7> 9 )
  6.  
 

Solución

 

La ​​propiedad de suma para las desigualdades establece que si existe una desigualdad, sumar o restar el mismo número en ambos lados no cambia la desigualdad.

 

a.

 

[ begin {align *} x-15 & <4 \ x-15 + 15 & <4 + 15 \ x & <19 end {align *} ]

 

b.

 

[ begin {align *} 6 & geq x-1 \ 6 + 1 & geq x-1 + 1 \ 7 & geq x end {align *} ]

 

c.

 

[ begin {align *} x + 7 &> 9 \ x + 7-7 &> 9-7 \ x &> 2 end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: (3x − 2 <1 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x <1 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Demostrando la propiedad de multiplicación

 

Ilustra la propiedad de multiplicación para las desigualdades resolviendo cada uno de los siguientes:

 
         
  1. (3x <6 )
  2.      
  3. (- 2x − 1≥5 )
  4.      
  5. (5 − x> 10 )
  6.  
 

Solución

 

a.

 

[ begin {align *} 3x & <6 \ dfrac {1} {3} (3x) & <(6) dfrac {1} {3} \ x & <2 end {align * } ]

 

b.

 

[ begin {align *} -2x-1 & geq 5 \ -2x & geq 6 \ left (- dfrac {1} {2} right) (- 2) & geq ( 6) left (- dfrac {1} {2} right) qquad text {Multiplicar por} left (- dfrac {1} {2} right) \ x & leq -3 qquad texto {Invertir la desigualdad.} end {align *} ]

 

c.

 

[ begin {align *} 5-x &> 10 \ -x &> 5 \ (-1) (- x) &> (5) (- 1) qquad text {Multiplicar por} – 1 \ x & <-5 qquad text {Invierta la desigualdad.} End {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve: (4x + 7≥2x − 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x≥ − 5 )

     
 
 
 

Resolver desigualdades en una variable algebraicamente

 

Como muestran los ejemplos, podemos realizar las mismas operaciones en ambos lados de una desigualdad, tal como lo hacemos con las ecuaciones; combinamos términos similares y realizamos operaciones. Para resolver, aislamos la variable.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Resolver una desigualdad algebraicamente

 

Resuelve la desigualdad: (13−7x≥10x − 4 ).

 

Solución

 

Resolver esta desigualdad es similar a resolver una ecuación hasta el último paso.

 

[ begin {align *} 13-7x & geq 10x-4 \ 13-17x & geq -4 qquad text {Mover términos variables a un lado de la desigualdad} \ -17x & geq – 17 qquad text {Aislar el término variable} \ x & leq 1 qquad text {Dividir ambos lados por -17 revierte la desigualdad.} End {align *} ]

 

El conjunto de soluciones viene dado por el intervalo ((- infty, 1] ), o todos los números reales menores e incluidos (1 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve la desigualdad y escribe la respuesta usando notación de intervalo: (- x + 4 < dfrac {1} {2} x + 1 ).

 
     
Respuesta
     
     

((2, infty) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Resolver una desigualdad con fracciones

 

Resuelve la siguiente desigualdad y escribe la respuesta en notación de intervalo: (- dfrac {3} {4} x≥− dfrac {5} {8} + dfrac {2} {3} x ).

 

Solución:

 

Comenzamos a resolver de la misma manera que lo hacemos al resolver una ecuación.

 

[ begin {align *} – dfrac {3} {4} x & geq – dfrac {5} {8} + dfrac {2} {3} x \ – dfrac {3} {4} x- dfrac {2} {3} x & geq – dfrac {5} {8} qquad text {Poner términos variables en un lado.} \ – dfrac {9} {12} x – dfrac {8} {12} x & geq – dfrac {5} {8} qquad text {Escribe fracciones con denominador común.} \ – dfrac {17} {12} x & geq – dfrac {5} {8} \ x & leq – dfrac {5} {8} left (- dfrac {12} {17} right) qquad text {Multiplicar por un número negativo revierte la desigualdad.} \ x & leq dfrac {15} {34} end {align *} ]

 

El conjunto de soluciones es el intervalo ( left (- infty, dfrac {15} {34} right] ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la desigualdad y escribe la respuesta en notación de intervalo: (- dfrac {5} {6} x≤ dfrac {3} {4} + dfrac {8} {3} x ).

 
     
Respuesta
     
     

( left [- dfrac {3} {14}, infty right) )

     
 
 
 
                                  
                                    
]]>

,

Deja una respuesta