Resolver ecuaciones de valor absoluto
Mientras nos preparamos para resolver ecuaciones de valor absoluto, revisamos nuestra definición de valor absoluto .
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la recta numérica.
El valor absoluto de un número n se escribe como (| n | ) y (| n | geq 0 ) para todos los números.
Los valores absolutos son siempre mayores o iguales que cero.
Aprendimos que tanto un número como su opuesto están a la misma distancia de cero en la recta numérica. Como tienen la misma distancia desde cero, tienen el mismo valor absoluto. Por ejemplo:
- (- 5 ) está a 5 unidades de distancia de 0, entonces (| −5 | = 5 ).
- (5 ) está a 5 unidades de distancia de 0, entonces (| 5 | = 5 ).
La figura ( PageIndex {1} ) ilustra esta idea.
Para la ecuación | x | = 5, | x | = 5, estamos buscando todos los números que hagan de esta una declaración verdadera. Estamos buscando los números cuya distancia desde cero es 5. Acabamos de ver que tanto 5 como −5−5 son cinco unidades desde cero en la recta numérica. Son las soluciones a la ecuación.
( begin {array} {ll} { text {If}} & {| x | = 5} \ { text {then}} & {x = −5 text {or} x = 5} \ end {array} )
La solución se puede simplificar a una sola declaración escribiendo (x = pm 5 ). Esto se lee, “ x es igual a positivo o negativo 5″.
Podemos generalizar esto a la siguiente propiedad para ecuaciones de valor absoluto.
ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO
Para cualquier expresión algebraica, u , y cualquier número real positivo, a ,
[ begin {array} {ll} { text {if}} & {| u | = a} \ { text {then}} & {u = −a text {or} u = a} \ nonumber end {array} ]
Recuerde que un valor absoluto no puede ser un número negativo.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resolver:
- (| x | = 8 )
- (| y | = −6 )
- (| z | = 0 )
- Solución a
-
( begin {array} {ll} {} & {| x | = 8} \ { text {Escriba las ecuaciones equivalentes.}} & {X = −8 text {or} x = 8 } \ {} & {x = pm 8} \ end {array} )
- Solución b
-
( begin {array} {ll} {} & {| y | = −6} \ {} & { text {Sin solución}} \ end {array} )
Desde un valor absoluto siempre es positivo, no hay soluciones para esta ecuación. - Solución c
-
( begin {array} {ll} {} & {| z | = 0} \ { text {Escriba las ecuaciones equivalentes.}} & {Z = −0 text {o} z = 0 } \ { text {Since} −0 = 0,} & {z = 0} \ end {array} )
Ambas ecuaciones nos dicen que z = 0z = 0 y que solo hay una solución .
EJERCICIO ( PageIndex {2} )
Resolver:
- (| x | = 2 )
- (| y | = −4 )
- (| z | = 0 )
- Responda a
-
( pm 2 )
- Respuesta b
-
sin solución
- Respuesta c
-
0
EJERCICIO ( PageIndex {3} )
Resolver:
- (| x | = 11 )
- (| y | = −5 )
- (| z | = 0 )
- Responda a
-
( pm 11 )
- Respuesta b
-
sin solución
- Respuesta c
-
0
Para resolver una ecuación de valor absoluto , primero aislamos la expresión de valor absoluto usando los mismos procedimientos que usamos para resolver ecuaciones lineales. Una vez que aislamos la expresión de valor absoluto, la reescribimos como las dos ecuaciones equivalentes.
