2.9: Factorización prima y el mínimo común múltiplo (Parte 1)

2.9: Factorización prima y el mínimo común múltiplo (Parte 1)

Hallar la factorización prima de un número compuesto

 

En la sección anterior, encontramos los factores de un número. Los números primos tienen solo dos factores, el número (1 ) y el número primo en sí. Los números compuestos tienen más de dos factores, y cada número compuesto puede escribirse como un producto único de números primos. Esto se llama factorización prima de un número. Cuando escribimos la factorización prima de un número, estamos reescribiendo el número como un producto de números primos. Encontrar la factorización prima de un número compuesto lo ayudará más adelante en este curso.

 
 

Definición: Factorización prima

 

La factorización prima de un número es el producto de números primos que es igual al número.

 
 

Puede consultar la siguiente lista de números primos menores que (50 ) mientras trabaja en esta sección.

 

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 )

 

Factorización prima utilizando el método del árbol de factores

 

Una forma de encontrar la factorización prima de un número es hacer un árbol de factores. Comenzamos escribiendo el número y luego escribiéndolo como el producto de dos factores. Escribimos los factores debajo del número y los conectamos al número con un pequeño segmento de línea, una «rama» del árbol de factores.

 

Si un factor es primo, lo circundamos (como un brote en un árbol) y no factorizamos esa «rama» más. Si un factor no es primo, repetimos este proceso, escribiéndolo como el producto de dos factores y agregando nuevas ramas al árbol.

 

Continuamos hasta que todas las ramas terminen con un primo. Cuando se completa el árbol de factores, los números primos en círculo nos dan la factorización prima.

 

Por ejemplo, busquemos la factorización prima de (36 ). Podemos comenzar con cualquier par de factores como (3 ) y (12 ). Escribimos (3 ) y (12 ) debajo de (36 ) con ramas que los conectan.

 

The figure shows a factor tree with the number 36 at the top. Two branches are splitting out from under 36. The right branch has a number 3 at the end with a circle around it. The left branch has the number 12 at the end.

 

El factor (3 ) es primo, por lo que lo circundamos. El factor (12 ) es compuesto, por lo que debemos encontrar sus factores. Usemos (3 ) y (4 ). Escribimos estos factores en el árbol debajo de (12 ).

 

The figure shows a factor tree with the number 36 at the top. Two branches are splitting out from under 36. The right branch has a number 3 at the end with a circle around it. The left branch has the number 12 at the end. Two more branches are splitting out from under 12. The right branch has the number 4 at the end and the left branch has the number 3 at the end.

 

El factor (3 ) es primo, por lo que lo circundamos. El factor (4 ) es compuesto, y se factoriza en (2 • 2 ). Escribimos estos factores debajo de (4 ). Como (2 ) es primo, rodeamos ambos (2s ).

 

The figure shows a factor tree with the number 36 at the top. Two branches are splitting out from under 36. The right branch has a number 3 at the end with a circle around it. The left branch has the number 12 at the end. Two more branches are splitting out from under 12. The right branch has the number 4 at the end and the left branch has the number 3 at the end with a circle around it. Two more branches are splitting out from under 4. Both the left and right branch have the number 2 at the end with a circle around it.

 

La factorización prima es el producto de los números primos circulados. Generalmente escribimos la factorización prima en orden de menor a mayor.

 

(2 cdot 2 cdot 3 cdot 3 )

 

En casos como este, donde se repiten algunos de los factores primos, podemos escribir la factorización prima en forma exponencial.

 

(2 cdot 2 cdot 3 cdot 3 )

 

(2 ^ {2} cdot 3 ^ {2} )

 

Tenga en cuenta que podríamos haber comenzado nuestro árbol de factores con cualquier par de factores de (36 ). Elegimos (12 ) y (3 ), pero el mismo resultado hubiera sido el mismo si hubiéramos comenzado con (2 ) y (18 ), (4 ) y (9 ), o (6 ) y (6 ).

 
 

CÓMO: ENCONTRAR LA FACTORIZACIÓN PRIMERA DE UN NÚMERO COMPUESTO UTILIZANDO EL MÉTODO ÁRBOL

 
         
  • Paso 1. Encuentra cualquier par de factores del número dado y usa estos números para crear dos ramas.
  •      
  • Paso 2. Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo la prima.
  •      
  • Paso 3. Si un factor no es primo, escríbelo como el producto de un par de factores y continúa el proceso.
  •      
  • Paso 4. Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos en un círculo.
  •  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): factores primos

 

Encuentra la factorización prima de (48 ) usando el método del árbol de factores.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Podemos comenzar nuestro árbol usando cualquier par de factores de 48. Usemos 2 y 24. Rodeamos el 2 porque es primo y así la rama está completa.
Ahora factorizaremos 24. Usemos 4 y 6.
             

Ninguno de los factores es primo, por lo que tampoco hacemos un círculo. Factorizamos el 4, usando 2 y 2. Factorizamos 6, usando 2 y 3.

             

Hacemos un círculo alrededor de los 2 y los 3 ya que son primos. Ahora todas las ramas terminan en un primo.

             
Escribe el producto de los números circulados. 2 • 2 • 2 • 2 • 3
Escribe en forma exponencial. 2 4 • 3
 

Comprueba esto por tu cuenta multiplicando todos los factores. El resultado debería ser (48 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentra la factorización prima usando el método del árbol de factores: (80 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 5, text {or} 2 ^ 4 cdot 5 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentra la factorización prima usando el método del árbol de factores: (60 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 2 cdot 3 cdot 5, text {or} 2 ^ 2 cdot 3 cdot 5 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): factores primos

 

Encuentra la factorización prima de (84 ) usando el método del árbol de factores.

 

Solución

                                                                                                                                                              
Comenzamos con el par de factores 4 y 21. Ninguno de los factores es primo, por lo que los factorizamos más.
Ahora todos los factores son primos, así que los rodeamos.
Luego escribimos 84 como el producto de todos los números primos en círculo. 2 • 2 • 3 • 7 = 2 2 • 3 • 7
 

Dibuja un árbol de factores de (84 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentre la factorización prima usando el método del árbol de factores: (126 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 3 cdot 3 cdot 7, text {or} 2 cdot 3 ^ 2 cdot 7 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentra la factorización prima usando el método del árbol de factores: (294 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 3 cdot 7 cdot 7, text {or} 2 cdot 3 cdot 7 ^ 2 )

     
 
 
 
 

Factorización prima utilizando el método de escalera

 

El método de escalera es otra forma de encontrar los factores primos de un número compuesto. Conduce al mismo resultado que el método del árbol de factores. Algunas personas prefieren el método de escalera al método de árbol de factores, y viceversa.

 

Para comenzar a construir la «escalera», divida el número dado por su factor primo más pequeño. Por ejemplo, para comenzar la escalera para (36 ), dividimos (36 ) por (2 ), el factor primo más pequeño de (36 ).

 

The image shows the division of 2 into 36 to get the quotient 18. This division is represented using a division bracket with 2 on the outside left of the bracket, 36 inside the bracket and 18 above the 36, outside the bracket.

 

Para agregar un «escalón» a la escalera, seguimos dividiendo por el mismo cebado hasta que ya no se divide de manera uniforme.

 

The image shows the division of 2 into 36 to get the quotient 18. This division is represented using a division bracket with 2 on the outside left of the bracket, 36 inside the bracket and 18 above the 36, outside the bracket. Another division bracket is written around the 18 with a 2 on the outside left of the bracket and a 9 above the 18, outside of the bracket.

 

Luego dividimos por el próximo primo; entonces dividimos (9 ) por (3 ).

 

The image shows the division of 2 into 36 to get the quotient 18. This division is represented using a division bracket with 2 on the outside left of the bracket, 36 inside the bracket and 18 above the 36, outside the bracket. Another division bracket is written around the 18 with a 2 on the outside left of the bracket and a 9 above the 18, outside of the bracket. Another division bracket is written around the 9 with a 3 on the outside left of the bracket and a 3 above the 9, outside of the bracket.

 

Continuamos dividiendo la escalera de esta manera hasta que el cociente sea primo. Como el cociente, (3 ), es primo, nos detenemos aquí. ¿Ves por qué el método de escalera a veces se llama división apilada?

 

La factorización prima es el producto de todos los números primos en los lados y la parte superior de la escalera.

 

(2 cdot 2 cdot 3 cdot 3 )

 

(2 ^ {2} cdot 3 ^ {2} )

 

Observe que el resultado es el mismo que obtuvimos con el método del árbol de factores.

 
 

CÓMO: ENCONTRAR LA FACTORIZACIÓN PRIMERA DE UN NÚMERO COMPUESTO UTILIZANDO EL MÉTODO DE ESCALERA

 

Paso 1. Divide el número por el primo más pequeño.

 

Paso 2. Continúa dividiendo por ese primo hasta que ya no se divida de manera uniforme.

 

Paso 3. Divide entre el próximo primo hasta que ya no se divida de manera uniforme.

 

Paso 4. Continúa hasta que el cociente sea primo.

 

Paso 5. Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos en los lados y la parte superior de la escalera.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): factores primos

 

Encuentre la factorización prima de (120 ) usando el método de escalera.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Divide el número por el primo más pequeño, que es 2.
Continúa dividiendo entre 2 hasta que ya no se divida de manera uniforme.
Dividir por el próximo primo, 3.
El cociente, 5, es primo, por lo que la escalera está completa. Escribe la factorización prima de 120.              

2 • 2 • 2 • 3 • 5

             

2 3 • 3 • 5

             
 

Comprueba esto tú mismo multiplicando los factores. El resultado debería ser (120 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentre la factorización prima usando el método de escalera: (80 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 5, text {or} 2 ^ 4 cdot 5 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentre la factorización prima usando el método de escalera: (60 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 2 cdot 3 cdot 5, text {or} 2 ^ 2 cdot 3 cdot 5 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): factores primos

 

Encuentra la factorización prima de (48 ) usando el método de escalera.

 

Solución

                                                                                                                                                              
Divide el número por el primo más pequeño, 2.
Continúa dividiendo entre 2 hasta que ya no se divida de manera uniforme.
El cociente, 3, es primo, por lo que la escalera está completa. Escribe la factorización prima de 48.              

(2 • 2 • 2 • 2 • 3 )

             

(2 ^ 4 • 3 )

             
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentre la factorización prima usando el método de escalera: (126 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 3 cdot 3 cdot 7, text {or} 2 cdot 3 ^ 2 cdot 7 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentre la factorización prima usando el método de escalera: (294 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 3 cdot 7 cdot 7, text {or} 2 cdot 3 cdot 7 ^ 2 )

     
 
 
 
 
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