las matematicas

3.1: Introducción a los enteros (Parte 1)

3.1: Introducción a los enteros (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Localice números positivos y negativos en la recta numérica
    •      
  • Ordenar números positivos y negativos
    •      
  • Encontrar opuestos
    •      
  • Simplificar expresiones con valor absoluto
    •      
  • Traduce frases de palabras a expresiones con números enteros
    •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Trazar (0 ), (1 ) y (3 ) en una recta numérica. Si omitió este problema, revise Ejemplo 1.1.1 .
    2.      
  2. Complete el símbolo apropiado: ( (= ), (<), o (> )): (2 ) ___ (4 ) Si se perdió este problema, revise [19459015 ] Ejemplo 2.1.2 .
    3.  
 
 
 

Localice números positivos y negativos en la recta numérica

 

¿Vives en un lugar que tiene inviernos muy fríos? ¿Alguna vez has experimentado una temperatura bajo cero? Si es así, ya estás familiarizado con los números negativos. Un número negativo es un número menor que (0 ). Las temperaturas muy frías se miden en grados bajo cero y se pueden describir con números negativos. Por ejemplo, (- 1 ^ { circ} ) F (leído como “negativo un grado Fahrenheit”) está (1 ) grado debajo de (0 ). Se muestra un signo menos antes de un número para indicar que es negativo. La figura ( PageIndex {1} ) muestra (- 20 ^ { circ} ) F, que está (20 ) grados por debajo de (0 ).

 

This figure is a thermometer scaled in degrees Fahrenheit. The thermometer has a reading of 20 degrees.

 

Figura ( PageIndex {1} ): Las temperaturas bajo cero se describen con números negativos.

 

Las temperaturas no son los únicos números negativos. Un sobregiro bancario es otro ejemplo de un número negativo. Si una persona emite un cheque por más de lo que tiene en su cuenta, su saldo será negativo.

 

Las elevaciones también se pueden representar con números negativos. La elevación al nivel del mar es (0 ) pies. Las elevaciones sobre el nivel del mar son positivas y las elevaciones bajo el nivel del mar son negativas. La elevación del Mar Muerto, que limita con Israel y Jordania, es de aproximadamente (1,302 ) pies debajo del nivel del mar, por lo que la elevación del Mar Muerto se puede representar como (- 1,302 ) pies. Ver Figura ( PageIndex {2} ).

 

This figure is a drawing of a side view of the coast of Israel, showing different elevations. The Mediterranean Sea is labeled 0 feet elevation and the Dead Sea is labeled negative 1302 feet elevation. The country of Jordan is also labeled in the figure.

 

Figura ( PageIndex {2} ): La superficie del mar Mediterráneo tiene una elevación de 0 pies. El diagrama muestra que las montañas cercanas tienen elevaciones más altas (positivas) mientras que el Mar Muerto tiene una elevación más baja (negativa) .

 

Las profundidades debajo de la superficie del océano también se describen con números negativos. Un submarino, por ejemplo, puede descender a una profundidad de (500 ) pies. Su posición sería entonces (- 500 ) pies como se etiqueta en la Figura ( PageIndex {3} ).

 

This figure is a drawing of a submarine underwater. In the water is also a vertical number line, scaled in feet. The number line has 0 feet at the surface and negative 500 feet below the water where the submarine is located.

 

Figura ( PageIndex {3} ): Las profundidades debajo del nivel del mar se describen con números negativos. Un submarino a 500 pies bajo el nivel del mar está a −500 pies

 

Tanto los números positivos como los negativos se pueden representar en una recta numérica. Recuerde que la línea numérica creada en Agregar números enteros comenzó en (0 ) y mostró que los números de conteo aumentaban a la derecha como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ). Los números de conteo ( (1, 2, 3, … )) en la recta numérica son todos positivos. Podríamos escribir un signo más, (+ ), antes de un número positivo como (+ 2 ) o (+ 3 ), pero es costumbre omitir el signo más y escribir solo el número. Si no hay signo, se supone que el número es positivo.

 

This figure is a number line scaled from 0 to 6.

 

Figura ( PageIndex {4} )

 

Ahora necesitamos extender la recta numérica para incluir números negativos. Marcamos varias unidades a la izquierda de cero, manteniendo los intervalos del mismo ancho que los del lado positivo. Rotulamos las marcas con números negativos, comenzando con (- 1 ) en la primera marca a la izquierda de (0, -2 ) en la siguiente marca, y así sucesivamente. Ver Figura ( PageIndex {5} ).

 

This figure is a number line with 0 in the middle. Then, the scaling has positive numbers 1 to 4 to the right of 0 and negative numbers, negative 1 to negative 4 to the left of 0.

 

Figura ( PageIndex {5} ): en una recta numérica, los números positivos están a la derecha de cero. Los números negativos están a la izquierda de cero. ¿Qué hay de cero? El cero no es ni positivo ni negativo.

 

Las flechas en cada extremo de la línea indican que la línea numérica se extiende para siempre en cada dirección. No hay mayor número positivo y no hay menor número negativo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): trazado en la recta numérica

 

Trace los números en una recta numérica:

 
         
  1. (3 )
    2.      
  2. (- 3 )
    3.      
  3. (- 2 )
    4.  
 

Solución

 

Dibuja una recta numérica. Marque (0 ) en el centro y etiquete varias unidades a izquierda y derecha.

 
         
  1. Para trazar (3 ), comience en (0 ) y cuente tres unidades a la derecha. Coloque un punto como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).
    2.  
 

This figure is a number line scaled from negative 4 to 4, with the point 3 labeled with a dot.

 

Figura ( PageIndex {6} )

 
         
  1. Para trazar (- 3 ), comience en (0 ) y cuente tres unidades a la izquierda. Coloque un punto como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).
    2.  
 

This figure is a number line scaled from negative 4 to 4, with the point negative 3 labeled with a dot.

 

Figura ( PageIndex {7} )

 
         
  1. Para trazar (- 2 ), comience en (0 ) y cuente dos unidades a la izquierda. Coloque un punto como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).
    2.  
 

This figure is a number line scaled from negative 4 to 4, with the point negative 2 labeled with a dot.

 

Figura ( PageIndex {8} )

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Trace los números en una recta numérica.

 

(1 ), (- 1 ), (- 4 )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_01_010_img.jpg

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Trace los números en una recta numérica.

 

(- 4 ), (4 ), (- 1 )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_01_011_img.jpg

     
 
 
 
 

Ordenar números positivos y negativos

 

Podemos usar la recta numérica para comparar y ordenar números positivos y negativos. Yendo de izquierda a derecha, los números aumentan de valor. Yendo de derecha a izquierda, los números disminuyen en valor. Ver Figura ( PageIndex {9} ).

 

This figure is a number line. Above the number line there is an arrow pointing to the right labeled increasing. Below the number line there is an arrow pointing to the left labeled decreasing.

 

Figura ( PageIndex {9} )

 

Tal como lo hicimos con los números positivos, podemos usar símbolos de desigualdad para mostrar el orden de los números positivos y negativos. Recuerde que usamos la notación (a b ) (leer (a ) es mayor que (b )) cuando (a ) está a la derecha de (b ) en la recta numérica. Esto se muestra para los números (3 ) y (5 ) en la Figura ( PageIndex {10} ).

 

This figure is a number line with points 3 and 5 labeled with dots. Below the number line is the statements 3 is less than 5 and 5 is greater than 3.

 

Figura ( PageIndex {10} ): El número 3 está a la izquierda del 5 en la línea numérica. Entonces 3 es menor que 5 y 5 es mayor que 3.

 

Las líneas de números a seguir muestran algunos ejemplos más.

 
         
  1. This figure is a number line with points 1 and 4 labeled with dots.
    2.  
 

(4 ) está a la derecha de (1 ) en la línea numérica, entonces (4> 1 ). (1 ) está a la izquierda de (4 ) en la recta numérica, entonces (1 <4 ).

 
         
  1. This figure is a number line with points negative 2 and 1 labeled with dots.
    2.  
 

(- 2 ) está a la izquierda de (1 ) en la línea numérica, entonces (- 2 <1 ). (1 ) está a la derecha de (- 2 ) en la recta numérica, entonces (1> −2 ).

 
         
  1. This figure is a number line with points negative 3 and negative 1 labeled with dots.
    2.  
 

(- 1 ) está a la derecha de (- 3 ) en la recta numérica, entonces (- 1> −3 ). (- 3 ) está a la izquierda de (- 1 ) en la línea numérica, entonces (- 3 <- 1 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): ordenar los pares

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números usando (<) o (> ):

 
         
  1. (14 ) ___ (6 )
    2.      
  2. (- 1 ) ___ (9 )
    3.      
  3. (- 1 ) ___ (- 4 )
    4.      
  4. (2 ) ___ (- 20 )
    5.  
 

Solución

 

Comience trazando los números en una recta numérica como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ).

 

This figure is a number line with points negative 20, negative 4, negative 1, 2, 6, 9, and 14 labeled with dots.

 

Figura ( PageIndex {11} )

 
         
    2.  
                                                                                                              
Compare 14 y 6. 14___6
14 está a la derecha de 6 en la recta numérica. 14> 6
 
         
    2.  
                                                                                                              
Compare −1 y 9. −1 ___ 9
−1 está a la izquierda de 9 en la recta numérica. −1 <9
 
         
    2.  
                                                                                                              
Compare −1 y −4. −1 ___− 4
−1 está a la derecha de −4 en la recta numérica. −1> −4
 
         
    2.  
                                                                                                              
Compare 2 y −20. 2 ___− 20
2 está a la derecha de −20 en la recta numérica. 2> −20
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números usando (<) o (> ).

 
         
  1. (15 ) ___ (7 )
    2.      
  2. (- 2 ) ___ (5 )
    3.      
  3. (- 3 ) ___ (- 7 )
    4.      
  4. (5 ) ___ (- 17 )
    5.  
 
     
Responda a
     
     

(> )

     
     
Respuesta b
     
     

(<)

     
     
Respuesta c
     
     

(> )

     
     
Respuesta d
     
     

(> )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números usando (<) o (> ).

 
         
  1. (8 ) ___ (13 )
    2.      
  2. (3 ) ___ (- 4 )
    3.      
  3. (- 5 ) ___ (- 2 )
    4.      
  4. (9 ) ___ (- 21 )
    5.  
 
     
Responda a
     
     

(<)

     
     
Respuesta b
     
     

(> )

     
     
Respuesta c
     
     

(<)

     
     
Respuesta d
     
     

(> )

     
 
 
 

Encontrar opuestos

 

En la recta numérica, los números negativos son una imagen especular de los números positivos con cero en el medio. Como los números (2 ) y (- 2 ) están a la misma distancia de cero, se denominan opuestos . El opuesto de (2 ) es (- 2 ), y el opuesto de (- 2 ) es (2 ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {12 a} ). De manera similar, (3 ) y (- 3 ) son opuestos como se muestra en la Figura ( PageIndex {12 b} ).

 

This figure shows two number lines. The first has points negative 2 and positive 2 labeled. Below the first line the statement is the numbers negative 2 and 2 are opposites. The second number line has the points negative 3 and 3 labeled. Below the number line is the statement negative 3 and 3 are opposites.

 

Figura ( PageIndex {12} )

 
 

Definición: opuesto

 

El opuesto de un número es el número que está a la misma distancia de cero en la recta numérica, pero en el lado opuesto de cero.

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Encuentra el opuesto de cada número:

 
         
  1. (7 )
    2.      
  2. (- 10 )
    3.  
 

Solución

 
         
  1. El número (- 7 ) está a la misma distancia de (0 ) que (7 ), pero en el lado opuesto de (0 ). Entonces (- 7 ) es lo opuesto a (7 ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ).
    2.  
 

This figure is a number line. The points negative 7 and 7 are labeled. Above the line it is shown the distance from 0 to negative 7 and the distance from 0 to 7 are both 7.

 

Figura ( PageIndex {13} )

 
         
  1. El número (10 ​​) está a la misma distancia de (0 ) que (- 10 ), pero en el lado opuesto de (0 ). Entonces (10 ​​) es lo opuesto a (- 10 ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ).
    2.  
 

This figure is a number line. The points negative 10 and 10 are labeled. Above the line it is shown the distance from 0 to negative 10 and the distance from 0 to 10 are both 10.

 

Figura ( PageIndex {14} )

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentra el opuesto de cada número:

 
         
  1. (4 )
    2.      
  2. (- 3 )
    3.  
 
     
Responda a
     
     

(- 4 )

     
     
Respuesta b
     
     

(3 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra el opuesto de cada número:

 
         
  1. (8 )
    2.      
  2. (- 5 )
    3.  
 
     
Responda a
     
     

(- 8 )

     
     
Respuesta b
     
     

(5 )

     
 
 
 

Notación opuesta

 

Así como la misma palabra en inglés puede tener diferentes significados, el mismo símbolo en álgebra puede tener diferentes significados.

 

El significado específico se vuelve claro al observar cómo se usa. Has visto el símbolo ” (- )”, de tres maneras diferentes.

                                                                                                                                                                                                              
10 – 4              

Entre dos números, el símbolo indica la operación de resta.

             

Leemos 10 – 4 como 10 menos 4.

             
-8              

Delante de un número, el símbolo indica un número negativo.

             

Leemos −8 como ocho negativo.

             
-x              

Frente a una variable o un número, indica lo contrario.

             

Leemos −x como el opuesto de x.

             
– (−2)              

Aquí tenemos dos signos. El signo entre paréntesis indica que el número es negativo 2. El signo fuera de los paréntesis indica lo contrario.

             

Leemos – (−2) como lo opuesto a −2.

             
 
 

Definición: notación opuesta

 

(- a ) significa lo contrario del número (a ).

 

La notación (- a ) se lee lo contrario de (a ).

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): simplificar

 

Simplifique: (- (- 6) ).

 

Solución

                                                                                                              
– (- 6)
El opuesto de −6 es 6. 6
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplificar: (- (- 1) )

 
     
Respuesta
     
     

(1 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplificar: (- (- 5) )

 
     
Respuesta
     
     

(5 )

     
 
 
 
 

Enteros

 

El conjunto de números de conteo, sus opuestos y (0 ) es el conjunto de enteros.

 
 

Definición: enteros

 

Los enteros están contando números, sus opuestos y cero.

 

[ ldots −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ldots nonumber ]

 
 

Debemos tener mucho cuidado con los signos al evaluar lo contrario de una variable.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): evaluar

 

Evaluar (- x ):

 
         
  1. cuando (x = 8 )
    2.      
  2. cuando (x = −8 )
    3.  
 

Solución

 
         
    2.  
                                                                                                                                                              
Para evaluar −x cuando x = 8, sustituya 8 por x. (- x )
Sustituye ( textcolor {red} {8} ) por x. (- ( textcolor {red} {8}) )
Simplificar. (- 8 )
 
         
    2.  
                                                                                                                                                              
Para evaluar −x cuando x = −8, sustituya 8 por x. (- x )
Sustituye ( textcolor {red} {- 8} ) por x. (- ( textcolor {rojo} {- 8}) )
Simplificar. (- 8 )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Evaluar (- n ):

 
         
  1. cuando (n = 4 )
    2.      
  2. cuando (n = −4 )
    3.  
 
     
Responda a
     
     

(- 4 )

     
     
Respuesta b
     
     

(4 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Evalúe (- m ):

 
         
  1. cuando (m = 11 )
    2.      
  2. cuando (m = −11 )
    3.  
 
     
Responda a
     
     

(- 11 )

     
     
Respuesta b
     
     

(11 )

     
 
 
 
 

Simplificar expresiones con valor absoluto

 

Vimos que números como (5 ) y (- 5 ) son opuestos porque están a la misma distancia de (0 ) en la recta numérica. Ambos son cinco unidades de (0 ). La distancia entre (0 ) y cualquier número en la recta numérica se denomina valor absoluto de ese número. Como la distancia nunca es negativa, el valor absoluto de cualquier número nunca es negativo. El símbolo del valor absoluto es dos líneas verticales a cada lado de un número. Entonces, el valor absoluto de (5 ) se escribe como (| 5 | ), y el valor absoluto de (- 5 ) se escribe como (| −5 | ) como se muestra en la Figura ( Índice de página {15} ).

 

This figure is a number line. The points negative 5 and 5 are labeled. Above the number line the distance from negative 5 to 0 is labeled as 5 units. Also above the number line the distance from 0 to 5 is labeled as 5 units.

 

Figura ( PageIndex {15} )

 
 

Definición: Valor absoluto

 

El valor absoluto de un número es su distancia desde (0 ) en la recta numérica.

 

El valor absoluto de un número (n ) se escribe como (| n | ).

 

[| n | geq 0 ; para; todas; números no número ]

 
 
 
 

Ejemplo 3.6:

 

Simplificar:

 
         
  1. (| 3 | )
    2.      
  2. (| −44 | )
    3.      
  3. (| 0 | )
    4.  
 

Solución

 
         
    2.  
                                                                                                              
| 3 |
3 son 3 unidades de cero. 3
 
         
    2.  
                                                                                                              
| -44 |
-44 es 44 unidades desde cero. 44
 
         
    2.  
                                                                                                              
| 0 |
0 ya está en cero. 0
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (| 12 | )
    2.      
  2. (- | −28 | )
    3.  
 
     
Responda a
     
     

(12 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 28 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio 3.12:

 

Simplificar:

 
         
  1. (| 9 | )
    2.      
  2. (- | 37 | )
    3.  
 
     
Responda a
     
     

(9 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 37 )

     
 
 
 
 

Colaboradores

 
         
  • Lynn Marecek (Santa Ana College) y MaryAnne Anthony-Smith (antes de Santa Ana College). Este contenido producido por OpenStax y está licenciado bajo una licencia Creative Commons Attribution License 4.0 .  
    •  
 
                                  
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antonio1095

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