Sebastian se despide de su hermano, quien está hablando con un grupo de sus amigos a unos 20 pies de distancia. Entonces, Sebastián comienza a alejarse de su hermano a una velocidad constante de 4 pies por segundo. Modelemos la distancia que separa a los dos hermanos en función del tiempo.
Nuestro primer enfoque será gráfico. Dejaremos que la variable d represente la distancia (en pies) entre los hermanos y la variable t represente la cantidad de tiempo (en segundos) que ha pasado desde que Sebastián se despidió de su hermano. Como la distancia que separa a los hermanos depende de la cantidad de tiempo que ha pasado, diremos que la distancia d es la variable dependiente y el tiempo t es la variable independiente.
Es algo tradicional en el proceso de modelado colocar la variable independiente en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical. Esta no es una regla dura y rápida, más una cuestión de gusto personal, pero seguiremos esta regla en nuestro ejemplo, no obstante. Por lo tanto, colocaremos la distancia en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). Observe que hemos etiquetado cada eje con su representación variable e incluido las unidades, una práctica importante.
Advertencia
La etiqueta en el eje horizontal, t (s), puede parecer una notación de función para algunos lectores. Este no es el caso. Más bien, la variable t representa el tiempo, y la (s) entre paréntesis que sigue representa segundos, una abreviatura estándar en física. Comentarios similares están en orden para la etiqueta d (ft). La variable d representa la distancia, y el (ft) entre paréntesis que sigue representa pies, otra abreviatura estándar en física.
Hay varias maneras diferentes de etiquetar los ejes de su gráfico con unidades apropiadas para el problema en cuestión. Por ejemplo, considere la técnica presentada en la Figura ( PageIndex {2} ), donde las etiquetas se colocan a la izquierda del eje vertical y debajo del eje horizontal. Otra diferencia es el hecho de que las abreviaturas de las unidades en la Figura 1 se detallan en su totalidad en la Figura ( PageIndex {2} ).
Algunos instructores prefieren que gire la etiqueta de distancia en el eje vertical noventa grados, para que aparezca de lado. Otros prefieren etiquetar los extremos de cada eje con la variable, como lo hemos hecho en la Figura ( PageIndex {1} ), pero deletrear las unidades en su totalidad a lo largo de cada eje como lo hemos hecho en la Figura ( PageIndex {2} ). La lista de preferencias sigue y sigue.
Nota
Es importante mantener una conversación con su instructor para determinar cuáles son sus expectativas cuando se trata de etiquetar los ejes e indicar las unidades en sus gráficos.
Preferimos etiquetar los ejes como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ), e intentaremos ser coherentes con este estándar en el resto del texto, aunque podríamos desviarnos de formas alternativas de etiquetado desde de vez en cuando
Ahora debemos escalar cada eje apropiadamente, una tarea que es más difícil de lo que parece al principio. Una mala elección de escala puede hacer que la tarea por delante sea más difícil de lo necesario. Elegiremos una escala para cada eje con los siguientes pensamientos en mente.
Directrices para escalar ejes
Aquí hay algunos buenos consejos a seguir al escalar los ejes dependientes e independientes.
- Queremos evitar gráficos del tamaño de un sello de correos. Un gráfico grande es más fácil de interpretar que uno que está apretado en una pequeña esquina de nuestro papel cuadriculado.
- No es necesario tener la misma escala en cada eje, pero una vez que se elige una escala, debe permanecer consistente.
- Queremos elegir una escala que se correlacione fácilmente con la tasa dada.
Sebastian se aleja de su hermano a una velocidad constante de 4 pies por segundo. Dejemos que cada cuadro en el eje vertical represente 4 pies y cada dos cuadros en el eje horizontal representen 1 segundo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).
En el tiempo t = 0, Sebastian está separado de su hermano por una distancia de d = 20 pies. Esto corresponde al punto (t, d) = (0, 20) que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (a).
Luego, Sebastian se aleja de su hermano a una velocidad constante de 4 pies por segundo. Esto significa que por cada segundo de tiempo que transcurre, la distancia entre los hermanos aumenta en 4 pies. Comenzando en el punto (0, 20), mueva 1 segundo (dos cuadros) hacia la derecha y 4 pies (1 cuadro) hacia arriba hasta el punto (1, 24), como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (si).
La tasa de separación es una constante de 4 pies por segundo. Entonces, continúe indefinidamente en la forma de la Figura Figura ( PageIndex {4} ) (b), moviéndose 1 segundo (2 cajas) a la derecha, luego 4 pies hacia arriba (1 caja). Esto producirá la relación lineal entre la distancia y el tiempo sugerida en la Figura ( PageIndex {5} ) (a).
Si suponemos que la distancia es una función continua del tiempo, una suposición legítima debido al hecho de que la distancia aumenta continuamente a una velocidad constante de 4 pies por segundo, entonces podemos reemplazar el conjunto discreto de puntos de datos en Figura ( PageIndex {5} ) (a) con la línea que se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (b).
La línea en la Figura ( PageIndex {5} ) (b) es un modelo continuo. Se puede dibujar con un simple trazo del lápiz, sin que la punta del lápiz deje contacto con nuestro papel cuadriculado. Por otro lado, el conjunto de puntos en la Figura ( PageIndex {4} ) (a) es un modelo discreto. Después de trazar un punto, nuestro lápiz debe romper el contacto con nuestro papel cuadriculado antes de trazar el siguiente punto. Esta es la diferencia esencial entre un modelo discreto y un modelo continuo.
En este caso, el modelo continuo es una representación más precisa de la distancia entre los hermanos. Decimos esto porque la distancia entre ellos aumenta a una velocidad constante de 4 pies por segundo, o 2 pies cada medio segundo, o 1 pie cada cuarto de segundo, etc. En breve, mostraremos un ejemplo donde este tipo de modelo continuo es irrazonable.
Ahora que hemos modelado la distancia entre los hermanos con un gráfico, podemos usar el gráfico para hacer predicciones. Por ejemplo, para determinar la distancia entre los hermanos después de 8 segundos, ubique 8 segundos en el eje de tiempo, dibuje una flecha vertical hacia la línea, luego una flecha horizontal hacia el eje de distancia, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).
Sin embargo, supongamos que queremos determinar la distancia entre los hermanos después de 2 minutos. Como el gráfico de la Figura ( PageIndex {5} ) (b) solo modela la distancia durante los primeros 10 segundos, tendríamos que volver a dibujar el gráfico durante los primeros 2 minutos (120 segundos) para determinar la respuesta. No planificamos con anticipación para esta contingencia, por lo que quizás podamos modelar la distancia entre los hermanos de otra manera, una que prediga más fácilmente la distancia entre los hermanos después de una cantidad arbitraria de tiempo t.
Con este fin, buscamos un patrón que describa la distancia d entre los hermanos en función del tiempo t. Debido a que la distancia entre los hermanos aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo, observamos que:
- En t = 0 segundos, la distancia entre los hermanos es d = 20 pies.
- En t = 1 segundo, la distancia entre los hermanos es d = 24 pies.
- En t = 2 segundos, la distancia entre los hermanos es d = 28 pies.
- En t = 3 segundos, la distancia entre los hermanos es d = 32 pies.
Resumimos estos resultados en la Tabla ( PageIndex {1} ) (a).
Sin embargo, no desea simplificar las distancias como tenemos en la Tabla ( PageIndex {1} ) (a), porque oculta el patrón o la relación entre la distancia d y el tiempo t. Es más eficiente buscar una relación entre la distancia y el tiempo de la siguiente manera. Después de t = 1 segundo, la distancia aumenta en 1 incremento de 4 pies, entonces d = 20 + 4 (1). Después de t = 2 segundos, la distancia aumenta en 2 incrementos de 4 pies, entonces d = 20 + 4 (2). Continuando de esta manera, tenemos:
• En t = 3 segundos, la distancia entre los hermanos es d = 20 + 4 (3) pies.
• En t = 4 segundos, la distancia entre los hermanos es d = 20 + 4 (4) pies.
Estos resultados se resumen en la Tabla ( PageIndex {1} ) (b).
Tabla ( PageIndex {1} ) (a) Determinación de una ecuación modelo.
| t | d |
|---|---|
| 0 |
20 |
| 1 | 20 + 4 (1) |
| 2 | 20 + 4 (2) |
| 3 | 20 + 4 (3) |
Tabla ( PageIndex {1} ) (b) Determinación de una ecuación modelo.
A diferencia de la Tabla ( PageIndex {1} ) (a), la Tabla ( PageIndex {1} ) (b) revela una relación entre la distancia d y el tiempo t que puede describirse mediante la ecuación
[d = 20 + 4 t ]
El lector cuidadoso verificará que la ecuación (3) revela las distancias correctas para t = 0, 1, 2 y 3 segundos, como se registra en la Tabla ( PageIndex {1} ) (a). Se pueden hacer dos observaciones importantes sobre la ecuación (3).
- El 20 en d = 20 + 4t es la distancia inicial entre los hermanos y corresponde al punto (0, 20) en la Figura ( PageIndex {4} ) (a).
- El 4 en N = 20 + 4t es la velocidad a la que aumenta la distancia entre los hermanos (4 pies por segundo).
Además, la ecuación (3) puede usarse para predecir la distancia entre los hermanos a los 2 minutos. Primero, convierta t = 2 minutos en t = 120 segundos, luego sustituya este número en la ecuación de nuestro modelo (3).
[d = 20 + 4 (120) = 500 ]
Por lo tanto, la distancia entre los hermanos después de 2 minutos es d = 500 pies.
También podemos escribir la ecuación d = 20 + 4t usando la notación de función.
[d (t) = 20 + 4 t ]
Luego, para encontrar la distancia entre los hermanos al final de 2 minutos, realizaríamos el siguiente cálculo.
[ begin {array} {l} {d (120) = 20 + 4 (120)} \ {d (120) = 500} end {array} ]
A diferencia de la notación de funciones, cuando el resultado se escribe d = 500 pies, observe cómo se oculta una pieza de información, es decir, el tiempo. Con la notación de función, interpretamos que d (120) = 500 significa “la distancia entre los dos hermanos después de 120 segundos es de 500 pies”. Observe cómo la distancia y el tiempo están disponibles en la notación d (120) = 500.
Modelando lo discreto con lo continuo
Jenny construye una conejera detrás de su granero. Coloca 25 conejos en la conejera, luego cierra la puerta y se va. Desafortunadamente, hay un defecto en el diseño de la conejera y los conejos comienzan a escapar a una velocidad constante de 5 conejos cada 2 horas. Nuevamente, modelaremos el número N de conejos que quedan en la conejera en función del tiempo t. Primero, proponemos un modelo gráfico.
Tenga en cuenta que la cantidad de conejos que quedan en la conejera depende de la cantidad de tiempo que haya pasado. Esto hace que el número N de conejos restantes en la conejera sea la variable dependiente, que colocaremos en el eje vertical en la Figura ( PageIndex {7} ) (a). El tiempo t es la variable independiente y se coloca en el eje horizontal.
Nuevamente elegiremos una escala para nuestros ejes que tenga en cuenta el hecho de que la población de conejos está disminuyendo a un ritmo constante de 5 conejos cada 2 horas. En la Figura ( PageIndex {7} ) (b), dejamos que cada cuadro en el eje vertical represente 1 conejo, mientras que dos cuadros en el eje horizontal representan 1 hora. Podríamos dejar que cada cuadro en el eje horizontal represente una hora, pero nuestra elección hace un gráfico que es un poco más grande. Los gráficos más grandes son un poco más fáciles de leer e interpretar.
En el tiempo t = 0 horas, la población de conejos es N = 25 conejos. Este hecho está representado por el punto (t, N) = (0, 25) en la Figura ( PageIndex {8} ) (a). Debido a que la población de conejos disminuye a un ritmo constante de 5 conejos cada 2 horas, comenzamos en el punto (0, 25), luego nos movemos 2 horas (4 cajas) a la derecha, y 5 conejos (5 cajas) hasta el punto (2, 20), también se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (a).
La velocidad a la que disminuyen los conejos es constante a 5 conejos cada 2 horas, así que continúe indefinidamente en la forma de la Figura ( PageIndex {8} ) (a), moviendo 2 horas (4 cajas) al derecha, luego 5 conejos (5 cajas) hacia abajo. Esto producirá la relación lineal entre el número de conejos N y el tiempo t que se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (b).
Podemos dibujar una línea a través de los puntos de datos en la Figura ( PageIndex {8} ) (b) para producir el modelo continuo en la Figura ( PageIndex {9} ) (a). Sin embargo, debemos ser conscientes de la deficiencia impuesta por esta aproximación continua. Por ejemplo, considere la predicción en la Figura ( PageIndex {9} ) (b). ¿Es razonable decir que 7.5 conejos permanecen en la conejera después de 7 horas?
En nuestro primer modelo, la distancia entre los hermanos puede ser cualquier número real, por lo que un modelo continuo era apropiado. Sin embargo, en el caso de la conejera de Jenny, la población restante debe ser un número entero de conejos (a menos que entre un zorro), por lo que modelar la población con la línea continua en la Figura 9 (b) es, en el mejor de los casos, una aproximación de la realidad. Sin embargo, los matemáticos con frecuencia modelarán una situación discreta con un modelo continuo. Mientras conozcamos sus limitaciones, aún podemos usar el modelo para hacer predicciones razonables. Por ejemplo, podríamos decir que quedan aproximadamente 7 conejos en la conejera después de 7 horas.
Vimos la ventaja de usar la notación de funciones al final de nuestro modelo anterior, así que empleemos la notación de funciones un poco antes en este modelo. Vamos a dejar
[N (t) = text {la cantidad de conejos que quedan después de} t text {horas. } ]
Inicialmente, en el tiempo t = 0, hay 25 conejos en la conejera. Por lo tanto, escribimos
[N (0) = 25 ]
Podría ser más fácil pensar que perder 5 conejos cada 2 horas es equivalente a perder “en promedio” 2,5 conejos cada hora. Por lo tanto, al final de 1 hora, el número de conejos disminuye en un incremento de 2.5 conejos, y escribimos
[N (1) = 25-2.5 (1) ]
Al final de 2 horas, la población de conejos disminuye en 2 incrementos de 2.5 conejos y podemos escribir
[N (2) = 25-2.5 (2) ]
Al final de 3 horas, la población de conejos disminuye en 3 incrementos de 2.5 conejos y podemos escribir
[N (3) = 25-2.5 (3) ]
Se desarrolla un patrón claro, particularmente cuando resumimos estos resultados en la Tabla ( PageIndex {2} ).
| t | N (t) |
|---|---|
| 0 | 25 |
| 1 | 25 – 2.5 (1) |
| 2 | 25 – 2.5 (2) |
| 3 | 25 – 2.5 (3) |
Tabla ( PageIndex {2} ) Determinación de una ecuación modelo.
La tabla ( PageIndex {2} ) revela una relación entre el número de conejos N y el tiempo t que puede describirse mediante la ecuación [N (t) = 25-2.5 t ]
[N (t) = 25-2.5 t ]
El lector cuidadoso volverá a verificar que la ecuación (4) devuelve el número correcto de conejos en los tiempos t = 0, 1, 2 y 3, como se registra en la Tabla ( PageIndex {2} ).
Hay dos observaciones importantes que podemos hacer sobre la ecuación (4).
- El 25 en (N (t) = 25 – 2.5t ) es la población inicial de conejos y corresponde al punto (0, 25) en la Figura ( PageIndex {8} ) (a).
- El −2.5 en (N (t) = 25−2.5t ) es la tasa a la cual la población de conejos está disminuyendo “en promedio” (2.5 conejos por hora).
La ecuación (4) se puede usar para predecir el número de conejos que quedan en la conejera después de t = 7 horas. Simplemente sustituya t = 7 en la ecuación (4).
[N (7) = 25-2.5 (7) = 7.5 ]
Es importante tener en cuenta que la predicción realizada por la ecuación del modelo es idéntica a la realizada por el gráfico del modelo en la Figura ( PageIndex {9} ) (b).
Sin embargo, una vez más, tenga en cuenta que esta ecuación es un modelo continuo, y su predicción de que permanecen 7.5 conejos en la conejera no es realista (a menos que ese zorro se solte de nuevo). Sin embargo, si conocemos las deficiencias del modelo, la ecuación aún puede usarse como una buena herramienta predictiva. Por ejemplo, podríamos decir nuevamente que quedan aproximadamente 7 conejos en la conejera después de 7 horas. Esto se puede escribir (N (7) aprox 7 ), lo que significa que “después de 7 horas, quedan aproximadamente 7 conejos en la conejera”.
Determinación del modelo de ecuación a partir del gráfico
La Sra. Burke coloca un detector de movimiento en la parte delantera de su salón de clases, luego coloca a uno de sus alumnos a una distancia fija del detector y le pide que se acerque al detector a una velocidad constante. El detector mide la distancia d (en metros) del estudiante desde el detector en función del tiempo t (en segundos). La gráfica de distancia d versus tiempo t se da en la Figura ( PageIndex {10} ).
Es simple determinar la distancia inicial del estudiante desde el detector. Solo necesitamos determinar el valor de d en el tiempo t = 0 segundos. El resultado se encuentra en el punto (0, 15), como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (a). Por lo tanto, el alumno se instala a una distancia inicial de 15 metros del detector.
Para determinar la velocidad a la que el estudiante se acerca al detector, necesitamos trabajar un poco más. Examine la gráfica y elija dos puntos en la línea. Facilita un poco las cosas si selecciona puntos en la línea que se encuentran en la intersección de dos líneas de cuadrícula, pero como mostraremos, esto no es necesario. Con este pensamiento en mente, hemos elegido los puntos P (3, 13) y Q (6, 11) en la línea, como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (b).
Dibuje un triángulo rectángulo ( triangle P Q R ) con lados paralelos a los ejes, como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (b). Determina la longitud de cada lado del triángulo rectángulo.
- El lado PR tiene una longitud de 2 cuadros, pero cada cuadro representa 1 metro, por lo que el lado RP representa una disminución de 2 metros en la distancia del detector. Es por eso que hemos usado el signo menos al etiquetar el lado PR con −2m en la Figura ( PageIndex {11} ) (b).
- El lado RQ tiene 6 cajas de longitud, pero 2 cuadros representa 1 segundo, por lo que el lado RQ representa un aumento de 3 segundos en el tiempo. Es por eso que hemos etiquetado el lado RQ con 3 s en la Figura ( PageIndex {11} ) (b).
Por lo tanto, la distancia entre el estudiante y el detector está disminuyendo a una velocidad de 2 metros cada 3 segundos.
¿Qué pasaría si escogiéramos dos puntos diferentes en la línea? Considere el caso en la Figura ( PageIndex {12} ), donde hemos seleccionado los puntos en la línea en P (3, 13) y Q (9, 9). También hemos decidido dibujar el triángulo rectángulo ( triangle P Q R ) en el lado opuesto de la línea. Sin embargo, observe nuevamente que los lados del triángulo rectángulo ( triangle P Q R ) son paralelos a los ejes horizontal y vertical.
Determine la longitud de cada lado del triángulo ( triangle P Q R ).
- El lado PR tiene 12 cajas de longitud, pero 2 cuadros representan 1 segundo, por lo que el lado PR representa un aumento de 6 segundos en el tiempo. Es por eso que hemos etiquetado el lado P R con 6 s en la Figura ( PageIndex {12} ).
- La RQ lateral tiene 4 cajas de longitud, pero cada caja representa 1 metro, por lo que la RQ lateral representa una disminución de 4 metros de distancia del detector. Es por eso que hemos usado un signo menos en el etiquetado del lado RQ con −4 m en la Figura ( PageIndex {12} ).
Por lo tanto, la distancia entre el estudiante y el detector está disminuyendo a una velocidad de 4 metros cada 6 segundos. En símbolos, escribiríamos que la tasa es
[ text {Rate} = frac {-4 mathrm {m}} {6 mathrm {s}} = – frac {4} {6} mathrm {m} / mathrm {s } ]
Tenga en cuenta, sin embargo, que esto se reduce a [ text {Rate} = – frac {2} {3} mathrm {m} / mathrm {s} ] que es idéntico al índice encontrado anteriormente cuando usando los puntos P y Q en la Figura ( PageIndex {11} ) (b).
El hecho de que estas tasas sean equivalentes se debe al hecho de que los triángulos ( triangle PQR ) en la Figura ( PageIndex {11} ) (b) y la Figura ( PageIndex {12} ) son triángulos similares, por lo que sus lados son proporcionales. Por lo tanto, no importa qué dos puntos elija en la línea, ni importa en qué lado de la línea coloque su triángulo rectángulo. Por lo tanto, el único requisito es que dibuje un triángulo rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas.
Finalmente, veamos si podemos desarrollar una ecuación modelo. Definiremos [d (t) = text {la distancia desde el detector en el momento} t ]
Inicialmente, el estudiante está a 15 metros del detector. Es decir, en el tiempo t = 0, la distancia desde el detector es de 15 metros. En símbolos, escribimos
[d (0) = 15 ]
La distancia disminuye a una velocidad de 2 metros cada 3 segundos. Esto es equivalente a decir que la distancia disminuye 2/3 metros por segundo. Al final de 1 segundo, la distancia ha disminuido en 1 incremento de 2/3 metros, por lo que la distancia desde el detector está dada por
[d (1) = 15- frac {2} {3} (1) ]
Al final de 2 segundos, la distancia ha disminuido en 2 incrementos de 2/3 metros, por lo que la distancia desde el detector está dada por
[d (2) = 15- frac {2} {3} (2) ]
Al final de 3 segundos, la distancia ha disminuido en 3 incrementos de 2/3 metros, por lo que la distancia desde el detector está dada por
[d (3) = 15- frac {2} {3} (3) ]
Surge un patrón claro, particularmente si resume los resultados como lo hemos hecho en la Tabla ( PageIndex {3} ).
| t | d (t) |
|---|---|
| 0 | 15 |
| 1 | 15 – (2/3) (1) |
| 2 | 15 – (2/3) (2) |
| 3 | 15 – (2/3) (3) |
Tabla ( PageIndex {3} ) Determinación de una ecuación modelo.
La tabla ( PageIndex {3} ) revela que la relación lineal (ver Figura ( PageIndex {10} )) entre la distancia d desde el detector en el momento t puede ser modelada por la ecuación [d (t) = 15- frac {2} {3} t ]
Nuevamente, el lector cuidadoso verificará que la ecuación (5) devuelve la distancia correcta d en los tiempos t = 0, 1, 2 y 3 registrados en la Tabla ( PageIndex {3} ).
Hay dos observaciones importantes que deben hacerse sobre la ecuación (5).
1. El 15 en d (t) = 15− (2/3) t es la distancia inicial del detector y corresponde al punto (0, 15) en la Figura ( PageIndex {11} ) ( una).
2. El −2/3 en d (t) = 15− (2/3) t es la velocidad a la que cambia la distancia entre el alumno y el detector como se determina en la Figura ( PageIndex {11} )(si). Es negativo porque la distancia disminuye con el tiempo.
La ecuación (5) se puede usar para hacer predicciones. Por ejemplo, para determinar la distancia entre el alumno y el detector al final de 9 segundos, inserte t = 9 en la ecuación (5).
[d (9) = 15- frac {2} {3} (9) = 15-6 = 9 ]
Por supuesto, la notación d (9) = 9 se interpreta como “la distancia entre el estudiante y el detector después de 9 segundos es de 9 metros.