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las matematicas

3.1: Representación gráfica de ecuaciones a mano

Primero definamos qué se entiende por la gráfica de una ecuación en dos variables.

 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Dibuja la gráfica de la ecuación (y = x + 1 ).

 

Solución

 

La definición requiere que grafiquemos todos los puntos del Sistema de coordenadas cartesianas que satisfacen la ecuación (y = x + 1 ). Primero, creemos una tabla de puntos que satisfaga la ecuación. Comience creando tres columnas con encabezados (x ), (y ) y ((x, y) ), luego seleccione algunos valores para (x ) y colóquelos en la primera columna.

 

Tome el primer valor de (x ), a saber (x = −3 ), y sustitúyalo en la ecuación (y = x + 1 ).

 

[ begin {alineado} y & = x + 1 \ y & = – 3 + 1 \ y & = – 2 end {alineado} nonumber ]

 

[ begin {array} {| c | c | c | c |} hline x & {y = x + 1} & {(x, y)} \ hline-3 & {-2 } & {(-3, -2)} \ -2 & {} & {} \ {-1} & {} & {} \ {0} & {} & {} \ {1} & {} Y {} \ {2} y {} y {} \ {3} y {} y {} \ hline end {array} nonumber ]

 

Por lo tanto, cuando (x = −3 ), tenemos (y = −2 ). Ingrese este valor en la tabla.

 

Continúa sustituyendo cada valor tabular de (x ) en la ecuación (y = x + 1 ) y usa cada resultado para completar las entradas correspondientes en la tabla.

 

[ begin {array} {l} {y = -3 + 1 = -2} \ {y = -2 + 1 = -1} \ {y = -1 + 1 = 0} {y = 0 + 1 = 1} \ {y = 1 + 1 = 2} \ {y = 2 + 1 = 3} \ {y = 3 + 1 = 4} end {array} nonumber ]

 

[ begin {array} {| c | c | c | c |} hline x & {y = x + 1} & {(x, y)} \ hline-3 & {-2 } & {(-3, -2)} \ -2 & {-1} & {(-2, -1)} \ {-1} & {0} & {(-1,0)} {0} y {1} y {(0,1)} \ {1} y {2} y {(1,2)} \ {2} y {3} y {(2,3)} \ {3} y {4} y {(3,4)} \ hline end {array} nonumber ]

 

La última columna de la tabla ahora contiene siete puntos que satisfacen la ecuación (y = x + 1 ). Trace estos puntos en un Sistema de coordenadas cartesianas (vea la Figura ( PageIndex {9} ) ).

 
fig 3.1.9.png
Figura ( PageIndex {9} ) : Siete puntos que satisfacen la ecuación (y = x + 1 ).
 

En la Figura ( PageIndex {9} ), hemos trazado siete puntos que satisfacen la ecuación dada (y = x + 1 ). Sin embargo, la definición requiere que grafiquemos todos los puntos que satisfacen la ecuación. Parece que se está desarrollando un patrón en la Figura ( PageIndex {9} ), pero vamos a calcular y trazar algunos puntos más para estar seguros. Agregue los valores (x ) – (- 2.5 ), (- 1.5 ), (- 0.5 ), (0.5 ), (1.5 ) y (2.5 ) columna x de la tabla, luego use la ecuación (y = x + 1 ) para evaluar y en cada uno de estos (x ) – valores.

 

[ begin {array} {l} {y = -2.5 + 1 = -1.5} \ {y = -1.5 + 1 = -0.5} \ {y = -0.5 + 1 = 0.5} {y = 0.5 + 1 = 1.5} \ {y = 1.5 + 1 = 2.5} \ {y = 2.5 + 1 = 3.5} end {array} nonumber ]

 

[ begin {array} {| c | c | c | c |} hline x & {y = x + 1} & {(x, y)} \ hline-2.5 & {-1.5 } & {(-2.5, -1.5)} \ -1.5 & {-0.5} & {(-1.5, -0.5)} \ {-0.5} & {0.5} & {(-0.5,0.5)} {0.5} y {1.5} y {(0.5,1.5)} \ {1.5} y {2.5} y {(1.5,2.5)} \ {2.5} y {3.5} y {(2.5,3.5)} \ hline end {array} nonumber ]

 

Agregue estos puntos adicionales al gráfico en la Figura ( PageIndex {9} ) para producir la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

 
fig 3.1.10.png
Figura ( PageIndex {10} ) : Agregando puntos adicionales a la gráfica de (y = x + 1 ).
 

Hay un número infinito de puntos que satisfacen la ecuación (y = x + 1 ). En la Figura ( PageIndex {10} ), hemos trazado solo (13 ) puntos que satisfacen la ecuación. Sin embargo, la colección de puntos graficados en la Figura ( PageIndex {10} ) sugiere que si trazáramos el resto de los puntos que satisfacen la ecuación (y = x + 1 ), obtendríamos la gráfica de la línea que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ).

 
fig 3.1.11.png
Figura ( PageIndex {11} ) : La gráfica de (y = x + 1 ) es una línea.
 
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