3.1: Use una estrategia de resolución de problemas
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Objetivos de aprendizaje
Al final de esta sección, podrá:
Enfoque problemas de palabras con una actitud positiva
Utilice una estrategia de resolución de problemas para problemas verbales
Resolver problemas numéricos
Nota
Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.
Traducir “6 menos de dos veces x ” en una expresión algebraica. Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.3.43 .
Resuelva: ( frac {2} {3} x = 24 ). Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.2.10 .
Resuelve: (3x + 8 = 14 ). Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.3.1 .
Enfoque problemas verbales con una actitud positiva
“Si crees que puedes … o crees que no puedes … tienes razón”. – Henry Ford
¡El mundo está lleno de problemas verbales! ¿Mis ingresos me calificarán para alquilar ese departamento? ¿Cuánto golpe necesito para la fiesta? ¿Qué tamaño de diamante me puedo permitir comprar a mi novia? ¿Debo volar o conducir a mi reunión familiar? ¿Cuánto dinero necesito para llenar el auto con gasolina? ¿Cuánta propina debo dejar en un restaurante? ¿Cuántos calcetines debo empacar para vacaciones? ¿Qué tamaño de pavo necesito comprar para la cena de Acción de Gracias, y luego a qué hora necesito ponerlo en el horno? Si mi hermana y yo compramos un regalo a nuestra madre, ¿cuánto paga cada uno de nosotros?
Ahora que podemos resolver ecuaciones, estamos listos para aplicar nuestras nuevas habilidades a los problemas de palabras. ¿Conoces a alguien que haya tenido experiencias negativas en el pasado con problemas verbales? ¿Alguna vez ha tenido pensamientos como el estudiante a continuación (Figura ( PageIndex {1} ))?
Figura ( PageIndex {1} ): Los pensamientos negativos pueden ser barreras para el éxito.
Cuando sentimos que no tenemos control y seguimos repitiendo pensamientos negativos, establecemos barreras para el éxito. Necesitamos calmar nuestros miedos y cambiar nuestros sentimientos negativos.
Comienza con una nueva pizarra y comienza a pensar positivamente. Si tomamos el control y creemos que podemos tener éxito, ¡podremos dominar los problemas de palabras! Lea los pensamientos positivos en la Figura ( PageIndex {2} ) y dígalos en voz alta.
Figura ( PageIndex {2} ): Pensar pensamientos positivos es un primer paso hacia el éxito.
Piensa en algo, fuera de la escuela, que puedes hacer ahora pero que no podrías hacer hace 3 años. ¿Conduce un automóvil? ¿Snowboarding? Cocinar una comida gourmet? Hablando un nuevo idioma? Tus experiencias pasadas con problemas de palabras ocurrieron cuando eras más joven, ¡ahora eres mayor y estás listo para triunfar!
Use una estrategia de resolución de problemas para problemas verbales
Hemos revisado la traducción de frases en inglés a expresiones algebraicas, utilizando algunos vocabulario y símbolos matemáticos básicos. También hemos traducido oraciones en inglés a ecuaciones algebraicas y hemos resuelto algunos problemas de palabras. Los problemas verbales aplicaban las matemáticas a las situaciones cotidianas. Repetimos la situación en una oración, le asignamos una variable y luego escribimos una ecuación para resolver el problema. Este método funciona siempre que la situación sea familiar y las matemáticas no sean demasiado complicadas.
Ahora, ampliaremos nuestra estrategia para que podamos usarla para resolver con éxito cualquier problema verbal. Aquí enumeraremos la estrategia y luego la utilizaremos para resolver algunos problemas. Resumimos a continuación una estrategia efectiva para la resolución de problemas.
UTILICE UNA ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PALABRAS.
Lea el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.
Identifique lo que estamos buscando.
Nombre lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
Traduzca en una ecuación. Puede ser útil repetir el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en inglés a una ecuación algebraica.
Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
Responda la pregunta con una oración completa.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Pilar compró una cartera a la venta por ($ 18 ), que es la mitad del precio original. ¿Cuál fue el precio original de la cartera?
Respuesta
Paso 1. Lea el problema. Lea el problema dos o más veces si es necesario. Busque palabras desconocidas en un diccionario o en Internet.
En este problema, ¿está claro lo que se está discutiendo? ¿Cada palabra es familiar?
Sea p = el precio original del bolso.
Paso 2. Identifique lo que está buscando. ¿Alguna vez fuiste a tu habitación a buscar algo y luego olvidaste lo que estabas buscando? ¡Es difícil encontrar algo si no está seguro de qué es! ¡Lea el problema nuevamente y busque palabras que le digan lo que está buscando!
En este problema, las palabras “cuál era el precio original de la cartera” nos dicen lo que necesitamos encontrar.
Paso 3. Nombre lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad. Podemos usar cualquier letra para la variable, pero elija una que facilite recordar lo que representa.
Paso 4. Traduzca en una ecuación. Puede ser útil repetir el problema en una oración con toda la información importante. Traduce la oración en inglés a una ecuación algebraica.
Vuelva a leer el problema cuidadosamente para ver cómo se relaciona la información dada. A menudo, hay una oración que brinda esta información, o puede ser útil escribir una oración con toda la información importante. Busque palabras clave para ayudar a traducir la oración al álgebra. Traduce la oración a una ecuación.
Repite el problema en una oración con toda la información importante.
( color {cyan} underbrace { strut color {black} mathbf {18}} quad underbrace { strut color {black} textbf {is}} quad underbrace { color {black} textbf {la mitad del precio original.}} )
Paso 5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas algebraicas. Incluso si conoce la solución de inmediato, usar buenas técnicas algebraicas aquí lo preparará mejor para resolver problemas que no tienen respuestas obvias.
Resuelve la ecuación.
(18 = frac {1} {2} p )
Multiplica ambos lados por 2.
({ color {rojo} {2}} cdot 18 = { color {rojo} {2}} cdot frac {1} {2} p )
Simplifica.
(36 = p )
Paso 6. Verifique la respuesta en el problema para asegurarse de que tenga sentido. Resolvimos la ecuación y encontramos que (p = 36 ), que significa que “el precio original” era ($ 36 ).
¿Tiene sentido $ 36 en el problema? Sí, porque 18 es la mitad de 36, y el bolso estaba a la venta a la mitad del precio original.
Si este fuera un ejercicio de tarea, nuestro trabajo podría verse así:
Pilar compró una cartera a la venta por ($ 18 ), que es la mitad del precio original. ¿Cuál fue el precio original de la cartera?
Paso 7. Responda la pregunta con una oración completa. El problema preguntaba “¿Cuál era el precio original de la cartera?”
La respuesta a la pregunta es: “El precio original del bolso era de $ 36”.
Sea (p = ) el precio original.
(18 ) es la mitad del precio original.
(18 = frac {1} {2} p )
Multiplica ambos lados por (2 ).
({ color {rojo} {2}} cdot 18 = { color {rojo} {2}} cdot frac {1} {2} p )
Simplifica.
(36 = p )
Verificación. ¿Es ($ 36 ) un precio razonable para un bolso?
Sí.
¿Es (18 ) la mitad de (36 )?
(18 stackrel {?} {=} Frac {1} {2} cdot 36 )
(18 = 18 marca de verificación )
El precio original del bolso era ($ 36 ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Joaquín compró una librería a la venta por ($ 120 ), que era dos tercios del precio original. ¿Cuál fue el precio original de la librería?
Respuesta
($ 180 )
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Dos quintos de las canciones en la lista de reproducción de Mariel son country. Si hay (16 ) canciones country, ¿cuál es el número total de canciones en la lista de reproducción?
Respuesta
(40 )
Probemos este enfoque con otro ejemplo.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Ginny y sus compañeros de clase formaron un grupo de estudio. El número de niñas en el grupo de estudio fue tres veces más que el doble de niños. Había (11 ) niñas en el grupo de estudio. ¿Cuántos niños había en el grupo de estudio?
Respuesta
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifique lo que estamos buscando.
¿Cuántos niños había en el grupo de estudio?
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representar el número de niños.
Sea (n = ) el número de niños.
Paso 4. Traducir. Repite el problema en una oración con toda la información importante.
( color {cyan} underbrace { color {black} textbf {El número} \ color {black} textbf {de chicas} (11)} quad underbrace { strut text {} \ color {black} textbf {was}} quad underbrace { color {black} textbf {tres más que} \ color {black} textbf {dos veces el número de niños}} )
( quad dfrac {8} { color {red} {2}} = dfrac {2b} { color {red} {2}} )
Simplificar.
( quad 4 = b )
Paso 6. Verificar. Primero, ¿es razonable nuestra respuesta? Sí, tener (4 ) niños en un grupo de estudio parece estar bien. El problema dice que el número de niñas era (3 ) más del doble del número de niños. Si hay cuatro niños, ¿eso hace once niñas? Dos veces (4 ) niños es (8 ). Tres más que (8 ) es (11 ).
Paso 7. Responda la pregunta.
Había (4 ) niños en el grupo de estudio.
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Guillermo compró libros de texto y cuadernos en la librería. El número de libros de texto era (3 ) más del doble del número de cuadernos. Compró (7 ) libros de texto. ¿Cuántos cuadernos compró?
Respuesta
(2 )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Gerry trabajó sudoku y crucigramas esta semana. El número de acertijos de Sudoku que completó es ocho veces más que el número de crucigramas. Completó (22 ) rompecabezas de Sudoku. ¿Cuántos crucigramas hizo?
Respuesta
(7 )
Resolver problemas numéricos
Ahora que tenemos una estrategia de resolución de problemas, la usaremos en varios tipos diferentes de problemas de palabras. El primer tipo en el que trabajaremos es “problemas numéricos”. Los problemas numéricos dan algunas pistas sobre uno o más números. Usamos estas pistas para escribir una ecuación. Los problemas numéricos no suelen surgir a diario, pero proporcionan una buena introducción a la práctica de la estrategia de resolución de problemas descrita anteriormente.
Ejercicio ( PageIndex {7} )
La diferencia de un número y seis es (13 ). Encuentra el número.
Respuesta
Paso 1. Lea el problema. ¿Son familiares todas las palabras?
Paso 2. Identifique lo que estamos buscando.
el número
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representar el número.
Sea (n = ) el número.
Paso 4. Traducir. Recuerde buscar palabras clave como “diferencia … de … y …”
Repita el problema como una oración.
( color {cyan} underbrace { color {black} textbf {La diferencia del número y} mathbf {6}} quad underbrace { strut color {black} textbf {es }} quad underbrace { strut color {black} mathbf {13}} )
La diferencia de (19 ) y (6 ) es (13 ). Se comprueba!
Paso 7. Responda la pregunta.
El número es (19 ).
Ejercicio ( PageIndex {8} )
La diferencia de un número y ocho es (17 ). Encuentra el número.
Respuesta
(25 )
Ejercicio ( PageIndex {9} )
La diferencia de un número y once es (- 7 ). Encuentra el número.
Respuesta
(4 )
Ejercicio ( PageIndex {10} )
La suma de dos veces un número y siete es (15 ). Encuentra el número.
Respuesta
¿Notó que omitimos algunos de los pasos cuando resolvimos esta ecuación? Si aún no está listo para omitir estos pasos, escriba todos los que necesite.
Ejercicio ( PageIndex {11} )
La suma de cuatro veces un número y dos es (14 ). Encuentra el número.
Respuesta
(3 )
Ejercicio ( PageIndex {12} )
La suma de tres veces un número y siete es (25 ). Encuentra el número.
Respuesta
(6 )
Algunos problemas de palabras numéricas nos piden que encontremos dos o más números. Puede ser tentador nombrarlos a todos con diferentes variables, pero hasta ahora solo hemos resuelto ecuaciones con una variable. Para evitar usar más de una variable, definiremos los números en términos de la misma variable. Asegúrese de leer el problema detenidamente para descubrir cómo se relacionan todos los números entre sí.
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Un número es cinco más que otro. La suma de los números es 21. Encuentra los números.
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Un número es seis más que otro. La suma de los números es veinticuatro. Encuentra los números.
Respuesta
9, 15
Ejercicio ( PageIndex {15} )
La suma de dos números es cincuenta y ocho. Un número es cuatro más que el otro. Encuentra los números.
Respuesta
27, 31
Ejercicio ( PageIndex {16} )
La suma de dos números es negativa catorce. Un número es cuatro menos que el otro. Encuentra los números.
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {17} )
La suma de dos números es negativa veintitrés. Un número es siete menos que el otro. Encuentra los números.
Respuesta
-15, -8
Ejercicio ( PageIndex {18} )
La suma de dos números es (- 18 ). Un número es (40 ) más que el otro. Encuentra los números.
Respuesta
-29, 11
Ejercicio ( PageIndex {19} )
Un número es diez más que dos veces otro. Su suma es una. Encuentra los números.
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {20} )
Un número es ocho más que dos veces otro. Su suma es negativa cuatro. Encuentra los números.
Respuesta
(- 4, ; 0 )
Ejercicio ( PageIndex {21} )
Un número es tres más que tres veces otro. Su suma es (- 5 ). Encuentra los números.
Respuesta
(- 3, ; -2 )
Algunos problemas numéricos involucran enteros consecutivos. Los enteros consecutivos son enteros que se suceden inmediatamente. Ejemplos de enteros consecutivos son:
[ begin {array} {l} {1,2,3,4} \ {-10, -9, -8, -7} \ {150,151,152,153} end {array} ] [ 19459034]
Observe que cada número es uno más que el número que lo precede. Entonces, si definimos el primer entero como (n ), el siguiente entero consecutivo es (n + 1 ). El siguiente es uno más que (n + 1 ), por lo que es (n + 1 + 1 ), que es (n + 2 ). [ begin {array} {ll} {n} & {1 ^ { text {st}} text {integer}} \ {n + 1} & {2 ^ { text {nd} } text {entero consecutivo}} \ {n + 2} y {3 ^ { text {rd}} text {entero consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ] [19459034 ]
Ejercicio ( PageIndex {22} )
La suma de dos enteros consecutivos es (47 ). Encuentra los números.
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {23} )
La suma de dos enteros consecutivos es 95. Encuentra los números.
Respuesta
47, 48
Ejercicio ( PageIndex {24} )
La suma de dos enteros consecutivos es −31. Encuentra los números.
Respuesta
-16, -15
Ejercicio ( PageIndex {25} )
Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma sea −42.
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {26} )
Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma sea −96.
Respuesta
-33, -32, -31
Ejercicio ( PageIndex {27} )
Encuentra tres enteros consecutivos cuya suma sea −36.
Respuesta
-13, -12, -11
Ahora que hemos trabajado con enteros consecutivos, ampliaremos nuestro trabajo para incluir enteros pares e impares consecutivos. Los números enteros consecutivos son números enteros que se suceden inmediatamente. Ejemplos de enteros pares consecutivos son:
[ begin {array} {l} {18,20,22} \ {64,66,68} \ {-12, -10, -8} end {array} ] [19459034 ]
Observe que cada número entero es (2 ) más que el número que lo precede. Si llamamos al primero (n ), entonces el siguiente es (n + 2 ). El siguiente sería (n + 2 + 2 ) o (n + 4 ). [ begin {array} {cll} {n} y {1 ^ { text {st}} text {par entero}} \ {n + 2} y {2 ^ { text {nd }} text {entero par consecutivo}} \ {n + 4} & {3 ^ { text {rd}} text {entero par consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ]
Los enteros impares consecutivos son enteros impares que se suceden inmediatamente. Considere los enteros impares consecutivos (77 ), (79 ) y (81 ).
[ begin {array} {l} {77,79,81} \ {n, n + 2, n + 4} end {array} ]
[ begin {array} {cll} {n} y {1 ^ { text {st}} text {entero impar}} \ {n + 2} y {2 ^ { text {nd}} text {entero impar consecutivo}} \ {n + 4} y {3 ^ { text {rd}} text {entero impar consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ] [19459057 ]
¿Parece extraño agregar 2 (un número par) para pasar de un entero impar al siguiente? ¿Obtiene un número impar o un número par cuando sumamos 2 a 3? a 11? a 47?
Ya sea que el problema solicite números pares o impares consecutivos, no tiene que hacer nada diferente. El patrón sigue siendo el mismo: para pasar de un número entero impar o par al siguiente, agregue 2.
Ejercicio ( PageIndex {28} )
Encuentra tres enteros pares consecutivos cuya suma sea 84.
Respuesta
[ begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Leer} text {el problema.}} & {} \ { textbf {Paso 2. Identificar} text {qué somos buscando.}} & { text {tres enteros pares consecutivos}} \ { textbf {Paso 3. Nombre} text {los enteros.}} & { text {Let} n = 1 ^ {st} text {pares enteros.}} \ {} & {n + 2 = 2 ^ {nd} text {entero par consecutivo}} \ {} & {n + 4 = 3 ^ {rd} text {par par entero}} \ { textbf {Paso 4. Traducir.}} & {} \ { text {Repetir como una oración. }} & { text {La suma de los tres enteros pares es 84.}} \ { text {Traducir a una ecuación.}} & {n + n + 2 + n + 4 = 84} \ { textbf {Paso 5. Resolver} text {la ecuación. }} & {} \ { text {Combinar términos similares.}} & {n + n + 2 + n + 4 = 84} \ { text {Restar 6 de cada lado.}} & {3n + 6 = 84} \ { text {Divide cada lado entre 3.}} & {3n = 78} \ {} & {n = 26 space 1 ^ {st} text {integer}} \\ { } & {n + 2 space 2 ^ {nd} text {integer}} \ {} & {26 + 2} \ {} & {28} \\ {} & {n + 4 space 3 ^ {rd} text {integer}} \ {} & {26 + 4} \ {} & {30} \ { textbf {Paso 6. Verificar.}} Y {} \\ { 26 + 28 + 30 stackrel {?} {=} 84} y {} \ {84 = 84 marca de verificación} y {} \ { textbf {Paso 7. Respuesta} text {la pregunta.}} & { text {Los tres enteros consecutivos son 26, 28 y 30.}} end {array} ]
Ejercicio ( PageIndex {29} )
Encuentra tres enteros pares consecutivos cuya suma sea 102.
Respuesta
32, 34, 36
Ejercicio ( PageIndex {30} )
Encuentra tres enteros pares consecutivos cuya suma sea −24.
Respuesta
−10, −8, −6
Ejercicio ( PageIndex {31} )
Una pareja casada juntos gana $ 110,000 al año. La esposa gana $ 16,000 menos del doble de lo que gana su esposo. ¿Qué gana el esposo?
Respuesta
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifique lo que estamos buscando.
¿Cuánto gana el esposo?
Paso 3. Nombre .
Elija una variable para representar la cantidad que gana el esposo.
Sea (h = ) la cantidad que gana el esposo.
La esposa gana ($ 16,000 ) menos del doble de eso.
(2h − 16,000 ) la cantidad que gana la esposa.
Paso 4. Traducir.
Juntos, el esposo y la esposa ganan ($ 110,000 ).
Repite el problema en una oración con toda la información importante.
Traducir a una ecuación.
Paso 5. Resuelve la ecuación.
(h + 2h – 16,000 = 110,000 )
Combina términos similares.
(3h – 16,000 = 110,000 )
Agregue (16,000 ) a ambos lados y simplifique.
(3h = 126,000 )
Divide cada lado entre (3 ).
(h = 42,000 )
($ 42,000 ) cantidad que gana el esposo
(2h – 16,000 ) cantidad que gana la esposa
(2 (42,000) – 16,000 )
(84,000 – 16,000 )
(68,000 )
Paso 6. Verificar.
Si la esposa gana ($ 68,000 ) y el esposo gana ($ 42,000 ) es el total ($ 110,000 ) (? Sí!
Paso 7. Responda la pregunta.
El esposo gana ($ 42,000 ) al año.
Ejercicio ( PageIndex {32} )
Según la Asociación Nacional de Concesionarios de Automóviles, el costo promedio de un automóvil en 2014 fue de $ 28,500. Esto fue $ 1,500 menos de 6 veces el costo en 1975. ¿Cuál fue el costo promedio de un automóvil en 1975?
Respuesta
$ 5000
Ejercicio ( PageIndex {33} )
Los datos del censo de EE. UU. Muestran que el precio medio de una casa nueva en los Estados Unidos en noviembre de 2014 fue de $ 280,900. Esto fue $ 10,700 más de 14 veces el precio en noviembre de 1964. ¿Cuál fue el precio promedio de una casa nueva en noviembre de 1964?
Respuesta
$ 19300
Conceptos clave
Estrategia de resolución de problemas
Lea el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.
Identifique lo que estamos buscando.
Nombre lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
Traduzca en una ecuación. Puede ser útil repetir el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en inglés a una ecuación de álgebra.
Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
Responda la pregunta con una oración completa.
Enteros consecutivos Los enteros consecutivos son enteros que se suceden inmediatamente.
[ begin {array} {cc} {n} y {1 ^ { text {st}} text {integer}} \ {n + 1} y {2 ^ { text {nd} } text {entero consecutivo}} \ {n + 2} y {3 ^ { text {rd}} text {entero consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ] [19459034 ]
Los enteros consecutivos son incluso enteros que se suceden inmediatamente.
[ begin {array} {cc} {n} y {1 ^ { text {st}} text {integer}} \ {n + 2} & {2 ^ { text {nd} } text {entero par consecutivo}} \ {n + 4} & {3 ^ { text {rd}} text {entero par consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ]
Los enteros impares consecutivos son enteros impares que se suceden inmediatamente.
[ begin {array} {cc} {n} y {1 ^ { text {st}} text {integer}} \ {n + 2} & {2 ^ { text {nd} } text {entero impar consecutivo}} \ {n + 4} & {3 ^ { text {rd}} text {entero impar consecutivo} ldots text {etc.}} end {array} ]
