3.2: Graficar ecuaciones lineales en dos variables

3.2: Graficar ecuaciones lineales en dos variables

Puntos de trazado en un sistema de coordenadas rectangulares

 

Al igual que los mapas usan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones, se utiliza un sistema de cuadrícula en álgebra para mostrar una relación entre dos variables en un sistema de coordenadas rectangular. El sistema de coordenadas rectangulares también se denomina plano xy o el «plano de coordenadas».

 

El sistema de coordenadas rectangular está formado por dos rectas numéricas que se cruzan, una horizontal y otra vertical. La recta numérica horizontal se llama eje x . La recta numérica vertical se llama eje y . Estos ejes dividen un plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Los cuadrantes se identifican con números romanos, que comienzan en la esquina superior derecha y continúan en sentido antihorario. Ver Figura .

 
 
This figure shows a square grid. A horizontal number line in the middle is labeled x. A vertical number line in the middle is labeled y. The number lines intersect at zero and together divide the square grid into 4 equally sized smaller squares. The square in the top right is labeled I. The square in the top left is labeled II. The square in the bottom left is labeled III. The square in the bottom right is labeled IV.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 
 

En el sistema de coordenadas rectangular, cada punto está representado por un par ordenado . El primer número en el par ordenado es el x -coordinado del punto, y el segundo número es el y -coordinado del punto. La frase «par ordenado» significa que el orden es importante.

 
 

PARES PEDIDAS

 

Un par ordenado , (x, y) (x, y) da las coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular. El primer número es el x -coordinado. El segundo número es el y -coordinado.

 

This figure shows the expression (x, y). The variable x is labeled x-coordinate. The variable y is labeled y-coordinate.

 
 

¿Cuál es el par ordenado del punto donde se cruzan los ejes? En ese punto, ambas coordenadas son cero, por lo que su par ordenado es ((0,0) ). El punto ((0,0) ) tiene un nombre especial. Se llama el origen .

 
 

EL ORIGEN

 

El punto ((0,0) ) se llama origen . Es el punto donde se cruzan los ejes x y y .

 
 

Utilizamos las coordenadas para ubicar un punto en el plano xy . Tracemos el punto ((1,3) ) como ejemplo. Primero, ubique 1 en el eje x y dibuje ligeramente una línea vertical a través de (x = 1 ). Luego, ubique 3 en el eje y y dibuje una línea horizontal a través de y = 3.y = 3. Ahora, encuentre el punto donde estas dos líneas se encuentran, ese es el punto con coordenadas ((1,3) ). Ver Figura .

 
 
This figure shows a point plotted on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 6 to 6. The point (1, 3) is labeled. A dashed vertical line goes through the point and intersects the x-axis at xplus1. A dashed horizontal line goes through the point and intersects the y-axis at yplus3.  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 

Observe que la línea vertical a través de (x = 1 ) y la línea horizontal a través de (y = 3 ) no son parte del gráfico. Solo los usamos para ayudarnos a localizar el punto ((1,3) ).

 

Cuando una de las coordenadas es cero, el punto se encuentra en uno de los ejes. En Figura el punto ((0,4) ) está en el eje y y el punto ((- 2,0) ) está en el eje x .

 
This figure shows points plotted on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 6 to 6. The point (negative 2, 0) is labeled and lies on the x-axis. The point (0, 4) is labeled and lies on the y-axis.  

Figura ( PageIndex {3} )

 
 
 
 

PUNTOS SOBRE LOS EJES

 

Los puntos con un y -coordinado igual a 0 están en el eje x , y tienen coordenadas ((a, 0) ).

 

Los puntos con una x -coordinada igual a 0 están en el eje y , y tienen coordenadas ((0, b) ).

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 
 

Trace cada punto en el sistema de coordenadas rectangulares e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto:

 
 
 
 

ⓐ ((- 5,4 )) ⓑ ((- 3, −4) ) ⓒ ((2, −3) ) ⓓ ((0, −1) ) ⓔ ((3, dfrac {5} {2}) ).

 
 
 
     
Respuesta
     
     

El primer número del par de coordenadas es el x -coordinado, y el segundo número es el y -coordinado. Para trazar cada punto, dibuje una línea vertical a través de la x -coordinada y una línea horizontal a través de la y -coordinada. Su intersección es el punto.

     

ⓐ Dado que (x = −5 ), el punto está a la izquierda del eje y . Además, desde (y = 4 ), el punto está por encima del eje x . El punto ((- 5,4) ) está en el Cuadrante II.

     

ⓑ Dado que (x = −3 ), el punto está a la izquierda del eje y . Además, desde (y = −4 ), el punto está por debajo del eje x . El punto ((- 3, −4) ) está en el Cuadrante III.

     

ⓒ Dado que (x = 2 ), el punto está a la derecha del eje y . Como (y = −3 ), el punto está debajo del eje x . El punto ((2, −3) ) está en el Cuadrante IV.

     

ⓓ Dado que (x = 0 ), el punto cuyas coordenadas son ((0, −1) ) está en el eje y .

     

ⓔ Dado que (x = 3 ), el punto está a la derecha del eje y . Como (y = dfrac {5} {2}) ), el punto está por encima del eje x . (Puede ser útil escribir ( dfrac {5} {2}) ) como un número mixto o decimal.) El punto ((3, dfrac {5} {2}) ) está en el Cuadrante I

     

This figure shows points plotted on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 6 to 6. The following points are labeled: (3, 5 divided by 2), (negative 2, 3), negative 5, 4), (negative 3, negative 4), and (2, negative 3).

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Trace cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto:

 

ⓐ ((- 2,1) ) ⓑ ((- 3, −1) ) ⓒ ((4, −4) ) ⓓ ((- 4,4) ) ⓔ ((−4, dfrac {3} {2}) )

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows points plotted on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 6 to 6. The point labeled a is 2 units to the left of the origin and 1 unit above the origin and is located in quadrant II. The point labeled b is 3 units to the left of the origin and 1 unit below the origin and is located in quadrant III. The point labeled c is 4 units to the right of the origin and 4 units below the origin and is located in quadrant IV. The point labeled d is 4 units to the left of the origin and 4 units above the origin and is located in quadrant II. The point labeled e is 4 units to the left of the origin and 1 and a half units above the origin and is located in quadrant II.

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Trace cada punto en un sistema de coordenadas rectangular e identifique el cuadrante en el que se encuentra el punto:

 

ⓐ ((- 4,1) ) ⓑ ((- 2,3) ) ⓒ ((2, −5) ) ⓓ ((- 2,5) ) ⓔ ( (−3, dfrac {5} {2}) )

 
     
Respuesta
     
     

This figure shows points plotted on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 6 to 6. The point labeled a is 4 units to the left of the origin and 1 unit above the origin and is located in quadrant II. The point labeled b is 2 units to the left of the origin and 3 units above the origin and is located in quadrant II. The point labeled c is 2 units to the right of the origin and 5 units below the origin and is located in quadrant IV. The point labeled d is 2 units to the left of the origin and 5 units above the origin and is located in quadrant II. The point labeled e is 3 units to the left of the origin and 2 and a half units above the origin and is located in quadrant II.

     
 
 
 
 
 
 

Los signos del x -coordinado y y -coordinado afectan la ubicación de los puntos. Es posible que haya notado algunos patrones al graficar los puntos en el ejemplo anterior. Podemos resumir los patrones de signos de los cuadrantes de esta manera:

 
 
 

CUADRANTES

                                                                                                                                                                                                                                                    
Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV
((x, y) ) ((x, y) ) ((x, y) ) ((x, y) )
((+, +) ) ((-, +) ) ((-, -) ) ((+, -) )
 

This figure shows the x y-coordinate plane with the four quadrants labeled. In the top right of the plane is quadrant I labeled (plus, plus). In the top left of the plane is quadrant II labeled (minus, plus). In the bottom left of the plane is quadrant III labeled (minus, minus). In the bottom right of the plane is quadrant IV labeled (plus, minus).

 
 
 

Hasta ahora, todas las ecuaciones que ha resuelto eran ecuaciones con solo una variable. En casi todos los casos, cuando resolvió la ecuación, obtuvo exactamente una solución. Pero las ecuaciones pueden tener más de una variable. Las ecuaciones con dos variables pueden tener la forma (Ax + By = C ). Una ecuación de esta forma se llama ecuación lineal en dos variables.

 
 
 

ECUACIÓN LINEAL

 

Una ecuación de la forma (Ax + By = C ), donde A y B no son ambos cero, se llama ecuación lineal en dos variables.

 
 
 

Aquí hay un ejemplo de una ecuación lineal en dos variables, x y y .

 

This figure shows the equation A x plus B y plus C. Below this is the equation x plus 4 y plus 8. Below this are the equations A plus 1, B plus 4, C plus 8. B and 4 are the same color in all the equations. C and 8 are the same color in all the equations.

 

La ecuación (y = −3x + 5 ) también es una ecuación lineal. Pero no parece estar en la forma (Ax + By = C ). Podemos usar la propiedad de igualdad de la igualdad y reescribirla en forma (Ax + By = C ).

 

[ begin {array} {ll} {} & {y} & = & {- 3x + 5} \ { text {Agregar a ambos lados.}} & {Y + 3x} & = & {3x + 5 + 3x} \ { text {Simplify.}} & {Y + 3x} & = & {5} \ { text {Use la propiedad conmutativa para ponerlo en}} & {} & { } & {} \ {Ax + By = C text {form.}} & {3x + y} & = & {5} end {array} nonumber ]

 

Al reescribir (y = −3x + 5 ) como (3x + y = 5 ), podemos ver fácilmente que es una ecuación lineal en dos variables porque tiene la forma (Ax + By = C ). Cuando una ecuación tiene la forma (Ax + By = C ), decimos que está en la forma estándar de una ecuación lineal .

 
 
 

FORMA ESTÁNDAR DE ECUACIÓN LINEAL

 

Una ecuación lineal está en forma estándar cuando se escribe (Ax + By = C ).

 
 
 

La mayoría de las personas prefieren tener A , B y C sean enteros y (A geq 0 ) cuando escriben una ecuación lineal en estándar forma, aunque no es estrictamente necesario.

 

Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Para cada número que se sustituye por x hay un valor correspondiente y . Este par de valores es una solución a la ecuación lineal y está representado por el par ordenado ((x, y) ). Cuando sustituimos estos valores de x y y en la ecuación, el resultado es una declaración verdadera, porque el valor en el lado izquierdo es igual al valor en el lado derecho.

 
 
 

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL EN DOS VARIABLES

 

Un par ordenado ((x, y) ) es una solución de la ecuación lineal (Ax + By = C ), si la ecuación es verdadera declaración cuando los valores x y y del par ordenado se sustituyen en la ecuación.

 
 
 

Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Podemos trazar estas soluciones en el sistema de coordenadas rectangulares. Los puntos se alinearán perfectamente en línea recta. Conectamos los puntos con una línea recta para obtener la gráfica de la ecuación. Ponemos flechas en los extremos de cada lado de la línea para indicar que la línea continúa en ambas direcciones.

 

Un gráfico es una representación visual de todas las soluciones de la ecuación. Es un ejemplo del dicho: «Una imagen vale más que mil palabras». La línea muestra todas las soluciones a esa ecuación. Cada punto en la línea es una solución de la ecuación. Y, cada solución de esta ecuación está en esta línea. Esta línea se llama la gráfica de la ecuación. ¡Los puntos no en la línea no son soluciones!

 
 
 

GRÁFICO DE UNA ECUACIÓN LINEAL

 

La gráfica de una ecuación lineal (Ax + By = C ) es una línea recta.

 
         
  • Cada punto en la línea es una solución de la ecuación.
  •      
  • Cada solución de esta ecuación es un punto en esta línea.
  •  
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Se muestra la gráfica de (y = 2x − 3 ).

 

This figure shows a straight line graphed on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 10 to 10. The line has arrows on both ends and goes through the points (negative 3, negative 9), (negative 2, negative 7), (negative 1, negative 5), (0, negative 3), (1, negative 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5), (5, 7), and (6, 9). The line is labeled y plus 2 x minus 3.

 

Para cada par ordenado, decida:

 

ⓐ ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?

 

ⓑ ¿Es el punto en la línea?

 

A: ((0, −3) ) B: ((3,3) ) C: ((2, −3) ) D: ((- 1, −5) )

 
     
Respuesta
     
     

Sustituya los valores x – y y en la ecuación para verificar si el par ordenado es una solución a la ecuación.

     Example A shows the ordered pair (0, negative 3). Under this is the equation y plus 2 x minus 3. Under this is the equation negative 3 equals 2 times 0 minus 3. The negative 3 and 0 are colored the same as the negative 3 and 0 in the ordered pair at the top. There is a question mark above the plus sign. Below this is the equation negative 3 plus negative 3. Below this is the statement (0, negative 3) is a solution. Example B shows the ordered pair (3, 3). Under this is the equation y plus 2 x minus 3. Under this is the equation 3 equals 2 times 3 minus 3. The 3 and 3 are colored the same as the 3 and 3 in the ordered pair at the top. There is a question mark above the plus sign. Below this is the equation 3 plus 3. Below this is the statement (3, 3) is a solution. Example C shows the ordered pair (2, negative 3). Under this is the equation y plus 2 x minus 3. Under this is the equation negative 3 equals 2 times 2 minus 3. The negative 3 and 2 are colored the same as the negative 3 and 2 in the ordered pair at the top. There is a question mark above the plus sign. Below this is the inequality negative 3 is not equal to 1. Below this is the statement (2, negative 3) is not a solution. Example D shows the ordered pair (negative 1, negative 5). Under this is the equation y plus 2 x minus 3. Under this is the equation negative 5 equals 2 times negative 1 minus 3. The negative 1 and negative 5 are colored the same as the negative 1 and negative 5 in the ordered pair at the top. There is a question mark above the plus sign. Below this is the equation negative 5 plus negative 5. Below this is the statement (negative 1, negative 5) is a solution.      

ⓑ Trace los puntos ((0, −3) ), ((3,3) ), ((2, −3) ) y ((- 1, −5) )

     This figure shows the graph of the linear equation y plus 2 x minus 3 and some points graphed on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 10 to 10. The line has arrows on both ends and goes through the points (negative 1, negative 5), (0, negative 3), and (3, 3). The point (2, negative 3) is also plotted but not on the line.      

Los puntos ((0,3) ), ((3, −3) ) y ((- 1, −5) ) están en la línea (y = 2x −3 ), y el punto ((2, −3) ) no está en la línea.
Los puntos que son soluciones para (y = 2x − 3 ) están en la línea, pero el punto que no es una solución no está en la línea.

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Usa la gráfica de (y = 3x − 1 ). Para cada par ordenado, decida:

 

ⓐ ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?
ⓑ ¿Es el punto en la línea?

 

A ((0, −1) ) B ((2,5) )

 

This figure shows a straight line graphed on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 10 to 10. The line has arrows on both ends and goes through the points (negative 3, negative 10), (negative 2, negative 7), (negative 1, negative 4), (0, negative 1), (1, 2), (2, 5), and (3, 8). The line is labeled y plus 3 x minus 1.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ sí ⓑ sí

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Usa la gráfica de (y = 3x − 1 ). Para cada par ordenado, decida:

 

ⓐ ¿Es el par ordenado una solución a la ecuación?
ⓑ ¿Es el punto en la línea?

 

A ((3, −1) ) B ((- 1, −4) )

 

This figure shows a straight line graphed on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 10 to 10. The line has arrows on both ends and goes through the points (negative 3, negative 10), (negative 2, negative 7), (negative 1, negative 4), (0, negative 1), (1, 2), (2, 5), and (3, 8). The line is labeled y plus 3 x minus 1.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ no ⓑ sí

     
 
 
 
 
 
 
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