Puntos de trazado en un sistema de coordenadas rectangulares

Al igual que los mapas usan un sistema de cuadrícula para identificar ubicaciones, se utiliza un sistema de cuadrícula en álgebra para mostrar una relación entre dos variables en un sistema de coordenadas rectangular. El sistema de coordenadas rectangulares también se denomina plano xy o el “plano de coordenadas”.

El sistema de coordenadas rectangular está formado por dos rectas numéricas que se cruzan, una horizontal y otra vertical. La recta numérica horizontal se llama eje x . La recta numérica vertical se llama eje y . Estos ejes dividen un plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Los cuadrantes se identifican con números romanos, que comienzan en la esquina superior derecha y continúan en sentido antihorario. Ver Figura .

 

   

 

En el sistema de coordenadas rectangular, cada punto está representado por un par ordenado . El primer número en el par ordenado es el x -coordinado del punto, y el segundo número es el y -coordinado del punto. La frase “par ordenado” significa que el orden es importante.

¿Cuál es el par ordenado del punto donde se cruzan los ejes? En ese punto, ambas coordenadas son cero, por lo que su par ordenado es ((0,0) ). El punto ((0,0) ) tiene un nombre especial. Se llama el origen .

Utilizamos las coordenadas para ubicar un punto en el plano xy . Tracemos el punto ((1,3) ) como ejemplo. Primero, ubique 1 en el eje x y dibuje ligeramente una línea vertical a través de (x = 1 ). Luego, ubique 3 en el eje y y dibuje una línea horizontal a través de y = 3.y = 3. Ahora, encuentre el punto donde estas dos líneas se encuentran, ese es el punto con coordenadas ((1,3) ). Ver Figura .

 

   

 

Observe que la línea vertical a través de (x = 1 ) y la línea horizontal a través de (y = 3 ) no son parte del gráfico. Solo los usamos para ayudarnos a localizar el punto ((1,3) ).

Cuando una de las coordenadas es cero, el punto se encuentra en uno de los ejes. En Figura el punto ((0,4) ) está en el eje y y el punto ((- 2,0) ) está en el eje x .

 

Figura ( PageIndex {3} )

 

Los signos del x -coordinado y y -coordinado afectan la ubicación de los puntos. Es posible que haya notado algunos patrones al graficar los puntos en el ejemplo anterior. Podemos resumir los patrones de signos de los cuadrantes de esta manera:

Hasta ahora, todas las ecuaciones que ha resuelto eran ecuaciones con solo una variable. En casi todos los casos, cuando resolvió la ecuación, obtuvo exactamente una solución. Pero las ecuaciones pueden tener más de una variable. Las ecuaciones con dos variables pueden tener la forma (Ax + By = C ). Una ecuación de esta forma se llama ecuación lineal en dos variables.

Aquí hay un ejemplo de una ecuación lineal en dos variables, x y y .

La ecuación (y = −3x + 5 ) también es una ecuación lineal. Pero no parece estar en la forma (Ax + By = C ). Podemos usar la propiedad de igualdad de la igualdad y reescribirla en forma (Ax + By = C ).

[ begin {array} {ll} {} & {y} & = & {- 3x + 5} \ { text {Agregar a ambos lados.}} & {Y + 3x} & = & {3x + 5 + 3x} \ { text {Simplify.}} & {Y + 3x} & = & {5} \ { text {Use la propiedad conmutativa para ponerlo en}} & {} & { } & {} \ {Ax + By = C text {form.}} & {3x + y} & = & {5} end {array} nonumber ]

Al reescribir (y = −3x + 5 ) como (3x + y = 5 ), podemos ver fácilmente que es una ecuación lineal en dos variables porque tiene la forma (Ax + By = C ). Cuando una ecuación tiene la forma (Ax + By = C ), decimos que está en la forma estándar de una ecuación lineal .

La mayoría de las personas prefieren tener A , B y C sean enteros y (A geq 0 ) cuando escriben una ecuación lineal en estándar forma, aunque no es estrictamente necesario.

Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Para cada número que se sustituye por x hay un valor correspondiente y . Este par de valores es una solución a la ecuación lineal y está representado por el par ordenado ((x, y) ). Cuando sustituimos estos valores de x y y en la ecuación, el resultado es una declaración verdadera, porque el valor en el lado izquierdo es igual al valor en el lado derecho.

Las ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones. Podemos trazar estas soluciones en el sistema de coordenadas rectangulares. Los puntos se alinearán perfectamente en línea recta. Conectamos los puntos con una línea recta para obtener la gráfica de la ecuación. Ponemos flechas en los extremos de cada lado de la línea para indicar que la línea continúa en ambas direcciones.

Un gráfico es una representación visual de todas las soluciones de la ecuación. Es un ejemplo del dicho: “Una imagen vale más que mil palabras”. La línea muestra todas las soluciones a esa ecuación. Cada punto en la línea es una solución de la ecuación. Y, cada solución de esta ecuación está en esta línea. Esta línea se llama la gráfica de la ecuación. ¡Los puntos no en la línea no son soluciones!