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las matematicas

3.2: Introducción a los enteros (Parte 2)

                 

 

Tratamos las barras de valor absoluto tal como tratamos los paréntesis en el orden de las operaciones. Simplificamos la expresión dentro primero.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): evaluar

 

Evaluar:

 
         
  1. (| x | ) cuando (x = −35 )
  2.      
  3. (| −y | ) cuando (y = −20 )
  4.      
  5. (- | u | ) cuando (u = 12 )
  6.      
  7. (- | p | ) cuando (p = −14 )
  8.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
Para encontrar | x | cuando x = −35: (| x | )
Sustituye ( textcolor {red} {- 35} ) por x. (| textcolor {rojo} {- 35} | )
Toma el valor absoluto. (35 )
 
         
  1.  
                                                                                                                                                                                                              
Para encontrar | – y | cuando y = −20: (| -y | )
Sustituye ( textcolor {red} {- 20} ) por y. (| – ( textcolor {rojo} {- 20}) | )
Simplificar. (| 20 | )
Toma el valor absoluto. (20 )
 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
Para encontrar – | u | cuando u = 12: (- | u | )
Sustituye ( textcolor {red} {12} ) por t. (- | textcolor {rojo} {12} | )
Toma el valor absoluto. (- 12 )
 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
Para encontrar – | p | cuando p = −14: (- | p | )
Sustituye ( textcolor {red} {- 14} ) por p. (- | textcolor {rojo} {- 14} | )
Toma el valor absoluto. (- 14 )
 

Observe que el resultado es negativo solo cuando hay un signo negativo fuera del símbolo de valor absoluto

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Evaluar:

 
         
  1. (| x | ) cuando (x = −17 )
  2.      
  3. (| −y | ) cuando (y = −39 )
  4.      
  5. (- | m | ) cuando (m = 22 )
  6.      
  7. (- | p | ) cuando (p = −11 )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(17 )

     
     
Respuesta b
     
     

(39 )

     
     
Respuesta c
     
     

(- 22 )

     
     
Respuesta d
     
     

(11 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Evaluar:

 
         
  1. (| y | ) cuando (y = −23 )
  2.      
  3. (| −y | ) cuando (y = −21 )
  4.      
  5. (- | n | ) cuando (n = 37 )
  6.      
  7. (- | q | ) cuando (q = −49 )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(23 )

     
     
Respuesta b
     
     

(21 )

     
     
Respuesta c
     
     

(- 37 )

     
     
Respuesta d
     
     

(- 49 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): compara expresiones

 

Complete (<), (> ) o (= ) para cada uno de los siguientes:

 
         
  1. (| −5 | ) ___ (- | −5 | )
  2.      
  3. (8 ) ___ (- | −8 | )
  4.      
  5. (- 9 ) ___ (- | −9 | )
  6.      
  7. (- | −7 | ) ___ (- 7 )
  8.  
 

Solución

 

Para comparar dos expresiones, simplifique cada una primero. Entonces compare.

 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
| −5 | ___− | −5 |
Simplificar. 5 ___− 5
Orden. 5> −5
 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
8 ___− | −8 |
Simplificar. 8 ___− 8
Orden. 8> −8
 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
−9 ___− | −9 |
Simplificar. −9 ___− 9
Orden. −9 = −9
 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
– | −7 | ___− 7
Simplificar. −7 ___− 7
Orden. −7 = −7
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Complete (<), (> ) o (= ) para cada uno de los siguientes:

 
         
  1. (| −9 | ) ___ (- | −9 | )
  2.      
  3. (2 ) ___ (- | −2 | )
  4.      
  5. (- 8 ) ___ (| −8 | )
  6.      
  7. (- | −5 | ) ___ (- 5 )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(> )

     
     
Respuesta b
     
     

(> )

     
     
Respuesta c
     
     

(<)

     
     
Respuesta d
     
     

(= )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Complete (<), (> ) o (= ) para cada uno de los siguientes:

 
         
  1. (7 ) ___ (- | −7 | )
  2.      
  3. (- | −11 | ) ___ (- 11 )
  4.      
  5. (| −4 | ) ___ (- | −4 | )
  6.      
  7. (- 1 ) ___ (| −1 | )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(> )

     
     
Respuesta b
     
     

(= )

     
     
Respuesta c
     
     

(> )

     
     
Respuesta d
     
     

(<)

     
 
 
 
 

Las barras de valor absoluto actúan como símbolos de agrupación. Primero simplifique lo más posible dentro de las barras de valor absoluto. Luego tome el valor absoluto del número resultante y continúe con cualquier operación fuera de los símbolos de valor absoluto.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): simplificar

 

Simplificar:

 
         
  1. (| 9−3 | )
  2.      
  3. (4 | −2 | )
  4.  
 

Solución

 

Para cada expresión, siga el orden de las operaciones. Comience dentro de los símbolos de valor absoluto al igual que entre paréntesis.

 
         
  1.  
                                                                                                              
Simplifique dentro del signo de valor absoluto. | 9−3 | = | 6 |
Toma el valor absoluto. 6
 
         
  1.  
                                                                                                              
Toma el valor absoluto. 4 | −2 | = 4 • 2
Multiplica. 8
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (| 12 – 9 | )
  2.      
  3. (3 | −6 | )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(3 )

     
     
Respuesta b
     
     

(18 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (| 27 – 16 | )
  2.      
  3. (9 | −7 | )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(11 )

     
     
Respuesta b
     
     

(63 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): simplificar

 

Simplifique: (| 8 + 7 | – | 5 + 6 | ).

 

Solución

 

Para cada expresión, siga el orden de las operaciones. Comience dentro de los símbolos de valor absoluto al igual que entre paréntesis.

                                                                                                              
Simplifique dentro de cada signo de valor absoluto. | 8 + 7 | – | 5 + 6 | = | 15 | – | 11 |
Restar. 4
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Simplificar: (| 1 + 8 | – | 2 + 5 | )

 
     
Respuesta
     
     

(2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Simplificar: (| 9−5 | – | 7 – 6 | )

 
     
Respuesta
     
     

(3 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): simplificar

 

Simplifique: (24 – | 19 – 3 (6 – 2) | ).

 

Solución

 

Utilizamos el orden de las operaciones. Recuerde simplificar los símbolos de agrupación primero, para que los paréntesis dentro de los símbolos de valor absoluto sean los primeros.

                                                                                                                                                                                                                                                              
Simplifica primero entre paréntesis. 24 – | 19 – 3 (6 – 2) | = 24 – | 19 – 3 (4) |
Multiplica 3 (4). 24 – | 19 – 12 |
Restar dentro del signo de valor absoluto. 24 – | 7 |
Toma el valor absoluto. 24 – 7
Restar. 17
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Simplificar: (19 – | 11 – 4 (3 – 1) | )

 
     
Respuesta
     
     

(16 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Simplificar: (9 – | 8 – 4 (7 – 5) | )

 
     
Respuesta
     
     

(9 )

     
 
 
 
 

Traduzca frases de palabras en expresiones con enteros

 

Ahora podemos traducir frases de palabras en expresiones con números enteros. Busque palabras que indiquen un signo negativo. Por ejemplo, la palabra negativa en “veinte negativo” indica (- 20 ). Lo mismo ocurre con la palabra opuesto en “el opuesto de (20 )”.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ): traducir

 

Traduce cada frase en una expresión con enteros:

 
         
  1. lo contrario de catorce positivo
  2.      
  3. lo contrario de (- 11 )
  4.      
  5. negativo dieciséis
  6.      
  7. dos menos siete negativos
  8.  
 

Solución

 
         
  1. el opuesto de catorce (- 14 )
  2.      
  3. lo contrario de (- 11 – (−11) )
  4.      
  5. negativo dieciséis (- 16 )
  6.      
  7. dos menos negativo siete (2 – (−7) )
  8.  
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Traduce cada frase en una expresión con enteros:

 
         
  1. lo contrario de positivo nueve
  2.      
  3. lo contrario de (- 15 )
  4.      
  5. negativo veinte
  6.      
  7. once menos cuatro negativos
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(- 9 )

     
     
Respuesta b
     
     

(15 )

     
     
Respuesta c
     
     

(- 20 )

     
     
Respuesta d
     
     

(11 – (- 4) )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Traduce cada frase en una expresión con enteros:

 
         
  1. lo contrario de diecinueve negativo
  2.      
  3. lo contrario de veintidós
  4.      
  5. negativo nueve
  6.      
  7. negativo ocho menos negativo cinco
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(19 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 22 )

     
     
Respuesta c
     
     

(- 9 )

     
     
Respuesta d
     
     

(- 8 – (- 5) )

     
 
 
 
 

Como vimos al comienzo de esta sección, se necesitan números negativos para describir muchas situaciones del mundo real. En el siguiente ejemplo, veremos algunas aplicaciones más de números negativos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ): traducir

 

Traducir a una expresión con enteros:

 
         
  1. La temperatura es (12 ) grados Fahrenheit bajo cero.
  2.      
  3. El equipo de fútbol tuvo una ganancia de (3 ) yardas.
  4.      
  5. La elevación del Mar Muerto es (1,302 ) pies debajo del nivel del mar.
  6.      
  7. Una cuenta corriente está sobregirada por ($ 40 ).
  8.  
 

Solución

 

Busca frases clave en cada oración. Luego busque palabras que indiquen signos negativos. No olvide incluir las unidades de medida descritas en la oración.

 
         
  1.  
                                                                                                              
La temperatura es de 12 grados Fahrenheit bajo cero.
Por debajo de cero nos dice que 12 es un número negativo. −12 ºF
 
         
  1.  
                                                                                                              
El equipo de fútbol tuvo una ganancia de 3 yardas.
Una ganancia nos dice que 3 es un número positivo. 3 yardas
 
         
  1.  
                                                                                                              
La elevación del Mar Muerto es de 1,302 pies bajo el nivel del mar.
Por debajo del nivel del mar nos dice que 1,302 es un número negativo. −1,302 pies
 
         
  1.  
                                                                                                              
Una cuenta corriente está sobregirada en $ 40.
Sobregirado nos dice que 40 es un número negativo. – $ 40
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Traducir a una expresión con números enteros: el equipo de fútbol tuvo una ganancia de (5 ) yardas.

 
     
Respuesta
     
     

(5 ) yardas

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Traducir a una expresión con números enteros: el buzo estaba (30 ) pies debajo de la superficie del agua.

 
     
Respuesta
     
     

(- 30 ) pies

     
 
 
 
 

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Conceptos clave

 
         
  • Notación opuesta      
               
    •          
    • La notación (- a ) se lee lo contrario de (a )
    •      
         
  •      
  • Notación de valor absoluto      
               
    • El valor absoluto de un número (n ) se escribe como (| n | ).
    •          
    •      
         
  •  
 

Glosario

 
     
valor absoluto
     
     

El valor absoluto de un número es su distancia desde (0 ) en la recta numérica.

     
     
enteros
     
     

Los enteros están contando números, sus opuestos y cero … (- 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 … )

     
     
número negativo
     
     

Un número negativo es menor que cero.

     
     
opuestos
     
     

El opuesto de un número es el número que está a la misma distancia de cero en la recta numérica, pero en el lado opuesto de cero.

     
 
 

La ​​práctica hace la perfección

 

Localice números positivos y negativos en la recta numérica

 

En los siguientes ejercicios, ubique y etiquete los puntos dados en una recta numérica.

 
         
  1. (a) 2 (b) −2 (c) −5
  2.      
  3. (a) 5 (b) −5 (c) −2
  4.      
  5. (a) −8 (b) 8 (c) −6
  6.      
  7. (a) −7 (b) 7 (c) −1
  8.  
 

Ordenar números positivos y negativos en la recta numérica

 

En los siguientes ejercicios, ordene cada uno de los siguientes pares de números, usando .

 
         
  1. (a) 9__4 (b) −3__6 (c) −8 __− 2 (d) 1 __− 10
  2.      
  3. (a) 6__2; (b) −7__4; (c) −9 __− 1; (d) 9 __− 3
  4.      
  5. (a) −5__1; (b) −4 __− 9; (c) 6__10; (d) 3 __− 8
  6.      
  7. (a) −7__3; (b) −10 __− 5; (c) 2 __− 6; (d) 8__9
  8.  
 

Encontrar opuestos

 

En los siguientes ejercicios, encuentra el opuesto de cada número.

 
         
  1. (a) 2 (b) −6
  2.      
  3. (a) 9 (b) −4
  4.      
  5. (a) −8 (b) 1
  6.      
  7. (a) −2 (b) 6
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. – (- 4)
  2.      
  3. – (- 8)
  4.      
  5. – (- 15)
  6.      
  7. – (- 11)
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, evalúa.

 
         
  1. −m cuando (a) m = 3 (b) m = −3
  2.      
  3. −p cuando (a) p = 6 (b) p = −6
  4.      
  5. −c cuando (a) c = 12 (b) c = −12
  6.      
  7. −d cuando (a) d = 21 (b) d = −21
  8.  
 

Simplificar expresiones con valor absoluto

 

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión de valor absoluto.

 
         
  1. (a) | 7 | (b) | −25 | (c) | 0 |
  2.      
  3. (a) | 5 | (b) | 20 | (c) | −19 |
  4.      
  5. (a) | −32 | (b) | −18 | (c) | 16 |
  6.      
  7. (a) | −41 | (b) | −40 | (c) | 22 |
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión de valor absoluto.

 
         
  1. (a) | x | cuando x = −28 (b) | – u | cuando u = −15
  2.      
  3. (a) | y | cuando y = −37 (b) | – z | cuando z = −24
  4.      
  5. (a) – | p | cuando p = 19 (b) – | q | cuando q = −33
  6.      
  7. (a) – | a | cuando a = 60 (b) – | b | cuando b = −12
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, complete o = para comparar cada expresión.

 
         
  1. (a) −6__ | −6 | (b) – | −3 | __− 3
  2.      
  3. (a) −8__ | −8 | (b) – | −2 | __− 2
  4.      
  5. (a) | −3 | __− | −3 | (b) 4 __− | −4 |
  6.      
  7. (a) | −5 | __− | −5 | (b) 9 __− | −9 |
  8.  
 

En los siguientes ejercicios, simplifica cada expresión.

 
         
  1. | 8 – 4 |
  2.      
  3. | 9 – 6 |
  4.      
  5. 8 | −7 |
  6.      
  7. 5 | −5 |
  8.      
  9. | 15 – 7 | – | 14 – 6 |
  10.      
  11. | 17 – 8 | – | 13 – 4 |
  12.      
  13. 18 – | 2 (8 – 3) |
  14.      
  15. 15 – | 3 (8 – 5) |
  16.      
  17. 8 (14 – 2 | −2 |)
  18.      
  19. 6 (13 – 4 | −2 |)
  20.  
 

Traduzca frases de palabras en expresiones con enteros

 

Traduce cada frase en una expresión con enteros. No simplificar

 
         
  1. (a) el opuesto de 8 (b) el opuesto de −6 (c) negativo tres (d) 4 menos negativo 3
  2.      
  3. (a) el opuesto de 11 (b) el opuesto de −4 (c) negativo nueve (d) 8 menos negativo 2
  4.      
  5. (a) el opuesto de 20 (b) el opuesto de −5 (c) negativo doce (d) 18 menos negativo 7
  6.      
  7. (a) el opuesto de 15 (b) el opuesto de −9 (c) negativo sesenta (d) 12 menos 5
  8.      
  9. una temperatura de 6 grados bajo cero
  10.      
  11. una temperatura de 14 grados bajo cero
  12.      
  13. una elevación de 40 pies bajo el nivel del mar
  14.      
  15. una elevación de 65 pies bajo el nivel del mar
  16.      
  17. una pérdida de juego de fútbol de 12 yardas
  18.      
  19. una ganancia de juego de fútbol de 4 yardas
  20.      
  21. una ganancia de acciones de $ 3
  22.      
  23. una pérdida de existencias de $ 5
  24.      
  25. un puntaje de golf uno por encima del par
  26.      
  27. una puntuación de golf de 3 por debajo del par
  28.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Elevación La elevación más alta en los Estados Unidos es Mount McKinley, Alaska, a 20,320 pies sobre el nivel del mar. La elevación más baja es Death Valley, California, a 282 pies bajo el nivel del mar. Use números enteros para escribir la elevación de: (a) Mount McKinley (b) Death Valley
  2.      
  3. Temperaturas extremas La temperatura más alta registrada en la Tierra es 58 ° Celsius, registrada en el desierto del Sahara en 1922. La temperatura más baja registrada es 90 ° por debajo de 0 ° Celsius, registrada en la Antártida en 1983. Use enteros para escribir: (a) la temperatura más alta registrada (b) la temperatura más baja registrada
  4.      
  5. Presupuestos estatales En junio de 2011, el estado de Pensilvania estimó que tendría un superávit presupuestario de $ 540 millones. Ese mismo mes, Texas estimó que tendría un déficit presupuestario de $ 27 mil millones. Use números enteros para escribir el presupuesto: (a) superávit (b) déficit
  6.      
  7. Matrículas universitarias En los Estados Unidos, la matrícula universitaria comunitaria creció en 1,400,000 estudiantes de 2007 a 2010. En California, la matrícula universitaria comunitaria disminuyó en 110,171 estudiantes de 2009 a 2010. Utilice números enteros para escribir el cambio en inscripción: (a) crecimiento (b) disminución
  8.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. Da un ejemplo de un número negativo de tu experiencia de vida.
  2.      
  3. ¿Cuáles son los tres usos del signo “-” en álgebra? Explicar en qué se diferencian.
  4.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) Si la mayoría de sus cheques fueran:

 

… con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexione sobre las habilidades de estudio que utilizó para poder seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Se específico.

 

… con algo de ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no domina se convierten en baches en su camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos previos. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de continuar. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros e instructor son buenos recursos. ¿Hay un lugar en el campus donde hay tutores de matemáticas disponibles? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

 

… no, ¡no lo entiendo! Esta es una señal de advertencia y no debe ignorarla. Debe obtener ayuda de inmediato o se sentirá abrumado rápidamente. Consulte a su instructor lo antes posible para analizar su situación. Juntos pueden elaborar un plan para obtener la ayuda que necesitan.

 

Colaboradores

 
         
  • Lynn Marecek (Santa Ana College) y MaryAnne Anthony-Smith (anteriormente de Santa Ana College). Este contenido producido por OpenStax y está licenciado bajo una licencia Creative Commons Attribution License 4.0 .  
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