En la sección anterior sobre Modelos lineales, vimos que si la variable dependiente estaba cambiando a una tasa constante con respecto a la variable independiente, entonces el gráfico era una línea. Si la tasa fue positiva, entonces, cuando barrimos nuestros ojos de izquierda a derecha, la línea se elevó hacia arriba, la variable dependiente aumentó con los cambios crecientes en la variable independiente. Si la tasa fue negativa, entonces el gráfico cayó hacia abajo, la variable dependiente disminuyó con los cambios crecientes en la variable independiente. También puede haber aprendido que las tasas más altas conducen a líneas más pronunciadas (líneas que aumentaron más rápidamente) y las tasas más bajas conducen a líneas que son menos pronunciadas.
En esta sección, conectaremos el concepto intuitivo de tasa desarrollado en la sección anterior con una definición formal de la pendiente de una línea. Para comenzar, establezcamos por adelantado qué se entiende por la pendiente de una línea.
Definición
La pendiente es un número que nos dice qué tan rápido sube o baja una línea.
Si la pendiente es un número que está directamente conectado a la “inclinación” de una línea, entonces deberíamos tener ciertas expectativas.
Expectativas
- Las líneas con pendiente positiva deben inclinarse cuesta arriba (a medida que nuestros ojos barren de izquierda a derecha).
- Las líneas con pendiente negativa deberían inclinarse cuesta abajo (a medida que nuestros ojos se desplazan de izquierda a derecha).
- Debido a que cualquier línea horizontal no se inclina cuesta arriba ni cuesta abajo, esperamos que tenga una pendiente igual a cero.
- Las líneas con una pendiente positiva más grande deberían aumentar más rápidamente que las líneas con una pendiente positiva más pequeña.
- Si dos líneas tienen pendiente negativa, entonces la línea que tiene la pendiente con un valor absoluto mayor debería caer más rápidamente que la otra línea.
Queda por definir cómo calcular la pendiente de una línea en particular. Cualquiera sea la definición que elijamos, debe cumplir con las expectativas descritas anteriormente. También nos gustaría que la definición de pendiente se ajuste al concepto de tasa desarrollado en la sección anterior. Por lo tanto, hacemos la siguiente definición.
Definición: Pendiente
La pendiente de una línea es la velocidad a la que la variable dependiente está cambiando con respecto a la variable independiente.
Observe cómo se usa la palabra “cambio” Definición. Es importante comprender que el cambio en cierta cantidad puede ser positivo, negativo o cero. Por ejemplo, si la temperatura exterior es (40 ^ { circ} mathrm {F} ) cuando salgo de mi casa a las 6 AM, y al mediodía la temperatura es de 65 ° F, entonces el cambio de temperatura es positivo (25 ^ { circ} mathrm {F} ). Por otro lado, si la temperatura exterior es (65 ^ { circ} mathrm {F} ) al mediodía, y la temperatura es (50 ^ { circ} mathrm {F} ) cuando regrese en casa por la noche, entonces el cambio de temperatura es negativo de 15 grados Fahrenheit.
Al calcular el cambio en una cantidad, siga esta regla.
Definición: Cambio en la cantidad
Cambio en la cantidad = Medida posterior – Medida anterior.
Por lo tanto, si T representa la temperatura y ( Delta T ) representa el cambio en la temperatura, entonces en nuestro primer caso (tomando la temperatura en la mañana y luego al mediodía), el cambio en la temperatura es [ Delta T = text {Latter} – text {Former} = 65 ^ { circ} mathrm {F} -40 ^ { circ} mathrm {F} = 25 ^ { circ} mathrm {F } ]
Este resultado positivo representa un aumento en la temperatura de (25 ^ { circ} mathrm {F} ).
En el segundo caso (tomando la temperatura al mediodía y luego más tarde en la noche), el cambio de temperatura es
[ begin {align *} Delta T & = text {Latter} – text {Former} \ [4pt] & = 50 ^ { circ} mathrm {F} -65 ^ { circ} mathrm {F} \ [4pt] & = – 15 ^ { circ} mathrm {F} end {align *} ]
Este resultado negativo representa una disminución en la temperatura de (15 ^ { circ} mathrm {F} )
Consejo 3
Los lectores deben tener en cuenta que la dirección de la resta es extremadamente importante. Para detectar el cambio en una cantidad, reste siempre la medición anterior (anterior) de la medición posterior (posterior).
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Una pelota se posa en reposo en la parte superior de una rampa larga. Se le da un pequeño toque y comienza a rodar por la rampa. La velocidad v de la pelota (en metros por segundo) se representa gráficamente frente al tiempo t (en segundos) en la Figura ( PageIndex {1} ).
Determine la pendiente de la línea.
Solución
Hemos definido la pendiente como la velocidad a la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. En este caso, la velocidad v de la pelota “depende” de la cantidad de tiempo t que ha transcurrido. En consecuencia, v es la variable dependiente y se ha colocado en el eje vertical.3 Por otro lado, t es la variable independiente y se le ha asignado el eje horizontal.
Para determinar la velocidad a la que v cambia con respecto a t (la pendiente de la línea), primero seleccionamos dos puntos P (2, 3) y Q (8, 12) en la línea, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ). A medida que barremos nuestros ojos de izquierda a derecha (una convención que siempre seguiremos cuando se trate de pendientes), el punto P ocurre antes que el punto Q. Por lo tanto, consideramos P la medición “anterior” y el punto Q la medición “última”.
En el punto P, el tiempo es t = 2 segundos, luego en el punto Q el tiempo es t = 8 segundos. El cambio en t se encuentra restando la medición anterior de la última medición.
[ Delta t = 8 s-2 s = 6 s nonumber ]
En el punto P, la velocidad es v = 3 metros por segundo, luego en el punto Q la velocidad es v = 12 metros por segundo. Por lo tanto, el cambio en v es
[ Delta v = 12 mathrm {m} / mathrm {s} -3 mathrm {m} / mathrm {s} = 9 mathrm {m} / mathrm {s} nonumber ]
Finalmente, la pendiente de la línea se define como la tasa a la cual la variable dependiente v está cambiando con respecto a la variable independiente t. Es decir,
[ text {Slope} = frac { Delta v} { Delta t} = frac {9 mathrm {m} / mathrm {s}} {6 mathrm {s}} = frac {3 mathrm {m} / mathrm {s}} { mathrm {s}} nonumber ]
Los científicos prefieren escribir esto como 1.5 ( mathrm {m} / mathrm {s} ^ {2} ), pero esto podría no ser tan intuitivo como escribir 1.5 (m / s) / s, lo que indica que la velocidad aumenta a una velocidad de 1,5 m / s por segundo. Esto tiene sentido ya que una pelota rodando por una rampa aumentará su velocidad con el paso del tiempo. La pendiente proporciona una descripción numérica exacta de cómo aumenta la velocidad con respecto al tiempo.
Tenga en cuenta que nuestra definición de la pendiente de la línea satisface uno de nuestros objetivos: la pendiente es exactamente la misma que la noción de tasa descrita en la sección anterior. De hecho, tenga en cuenta el triángulo rectángulo que hemos dibujado en la Figura ( PageIndex {2} ). El borde inferior del triángulo tiene 12 cajas de largo, pero cada 2 cajas representa un segundo, por lo que este desplazamiento en la dirección del tiempo t es de 6 segundos. El lado vertical del triángulo rectángulo tiene 9 cajas de altura donde cada caja representa 1 metro por segundo. En consecuencia, este borde vertical del triángulo rectángulo representa un desplazamiento positivo de 9 metros por segundo. Por lo tanto, cada 6 segundos, hay un aumento en la velocidad de 9 metros por segundo. Por lo tanto, la pelota está aumentando la velocidad a una velocidad de 9 metros por segundo cada 6 segundos, o de manera equivalente, 1.5 metros por segundo cada segundo.
Nota
En la Figura ( PageIndex {2} ), la velocidad a la que aumenta la velocidad con respecto al tiempo es equivalente a la pendiente de la línea.
Supongamos que hemos etiquetado nuestros puntos (P left (t _ { text {initial}}, v _ { text {initial}} right) ) y (Q left (t _ { text { final}}, v _ { text {final}} right) ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).
Ahora el cambio en la velocidad v sería
[ Delta v = v _ { text {final}} – v _ { text {initial}} nonumber ]
y el cambio en el tiempo t sería
[ Delta t = t _ { text {final}} – t _ { text {initial}} nonumber ]
Por lo tanto, la pendiente de la línea se calcularía con la siguiente fórmula.
[ text {Slope} = frac { Delta v} { Delta t} = frac {v _ { text {final}} – v _ { text {initial}}} {t _ { text {final}} – t _ { text {initial}}} nonumber ]
Con (P left (t _ { text {initial}}, v _ { text {initial}} right) = (2 mathrm {s}, 3 mathrm {m} / mathrm {s }) ) y (Q left (t _ { text {final}}, v _ { text {final}} right) = (8 mathrm {s}, 12 mathrm {m} / mathrm { s}), ) esto se convierte en
[ text {Slope} = frac {12 mathrm {m} / mathrm {s} -3 mathrm {m} / mathrm {s}} {8 mathrm {s} -2 mathrm {s}} = frac {9 mathrm {m} / mathrm {s}} {6 mathrm {s}} = 1.5 mathrm {m} / mathrm {s} ^ {2} nonumber ]
La fórmula de la pendiente
El último cálculo en el Ejemplo ( PageIndex {1} ) nos permite analizar la pendiente de una línea como un concepto puramente matemático, uno que no está enraizado en una aplicación de soporte como en el Ejemplo ( PageIndex {1 } ). Tome, por ejemplo, la línea que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) que pasa por los puntos (P (−3, −3) ) y (Q (2, 1) ).
En este ejemplo, la variable dependiente es y y la variable independiente es x, entonces la pendiente de la línea es ( Delta y ) (el cambio en y) dividido por ( Delta x ) (el cambio en x).
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} ]
Barriendo nuestros ojos de izquierda a derecha, el punto P es el primero, seguido del punto Q. Teniendo en cuenta “este último menos el primero”, el cambio en y se calcula restando el valor y del punto P del y -valor del punto Q. Es decir,
[ Delta y = 1 – (- 3) = 4 ]
Del mismo modo, el cambio en x se calcula restando el valor x del punto P del valor x del punto Q. Es decir,
[ Delta x = 2 – (- 3) = 5 ]
Por lo tanto, la pendiente de la línea es
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {4} {5} ]
Alternativamente, podemos usar los puntos P y Q como vértices de un triángulo rectángulo con lados paralelos a los ejes (mostrados en la Figura ( PageIndex {5} ) (a)). El borde horizontal del triángulo rectángulo es de 5 cuadros (cada uno representa 1 unidad), por lo que el desplazamiento en x es de 5 unidades. El borde vertical es de 4 cajas (cada una representa 1 unidad), por lo que el desplazamiento en y es de 4 unidades. Por lo tanto, cada vez que x aumenta en 5 unidades, y experimenta un aumento de 4 unidades. Por lo tanto, la pendiente de la línea es nuevamente 4/5.
Supongamos que hemos etiquetado nuestros puntos (P left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y (Q left (x_ {2}, y_ {2} right) ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (b). Ahora el cambio en y sería
[ Delta y = y_ {2} -y_ {1} ]
y el cambio en x sería
[ Delta x = x_ {2} -x_ {1} ]
Por lo tanto, la pendiente de la línea se calcularía con la siguiente fórmula.
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]
Con (P left (x_ {1}, y_ {1} right) = (- 3, -3) ) y (Q left (x_ {2}, y_ {2} right ) = (2,1), ) esto se convierte en
[ text {Slope} = frac {1 – (- 3)} {2 – (- 3)} = frac {4} {5} ]
Vale la pena resumir la fórmula de la pendiente en una definición.
Definición 5
La pendiente de la línea que pasa por los puntos (P left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y (Q left (x_ {2}, y_ {2} derecha) ) viene dada por la fórmula
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]
Veamos algunos ejemplos más.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Encuentre la pendiente de la línea que pasa por los puntos P (−3, −2) y Q (3, 1).
Solución
Podemos usar la fórmula de la pendiente en la Definición 5 para determinar la pendiente. Con ( left (x_ {1}, y_ {1} right) = P (-3, -2) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) = Q ( 3,1) ),
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} = frac {1 – (- 2)} {3 – (- 3)} = frac {3} {6} = frac {1} {2} ]
Los lectores a veces preguntan: “¿Qué punto debería ser ( left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y cuál debería ser ( left (x_ {2}, y_ {2} Correcto))?” La respuesta corta es: “¡No importa!” Supongamos, en cambio, que dejamos ( left (x_ {1}, y_ {1} right) = Q (3,1) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) = P (-3, -2) ). Entonces,
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} = frac {-2-1} {- 3-3} = frac {-3} {- 6} = frac {1} {2} ]
Debido a que el cambio en cualquier cantidad se encuentra restando la medición anterior de la medición posterior, continuaremos enfatizando el primer orden. Sin embargo, si invertimos los puntos como lo hicimos en nuestro segundo cálculo, tanto el numerador como el denominador invierten el signo con este intercambio, entonces obtenemos la misma respuesta.
Por supuesto, también podemos determinar la pendiente trazando P (−3, −2) y Q (3, 1) y la línea que pasa por P y Q, como lo hemos hecho en la Figura ( PageIndex {6} ).
Comenzando en el punto P, para llegar al punto Q, movemos 6 cuadros a la derecha, luego 3 cuadros hacia arriba, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ). Por lo tanto, la pendiente de la línea es
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {3} {6} = frac {1} {2} ]
Tenga en cuenta que dos de nuestras expectativas con respecto a la pendiente de una línea se cumplen con este ejemplo.
- La línea a través de P (−3, −2) y Q (3, 1) en la Figura ( PageIndex {6} ) tiene pendiente 1/2. Este es un número positivo y la línea se inclina cuesta arriba (como se esperaba) a medida que barrimos los ojos de izquierda a derecha.
- La pendiente en este ejemplo es 1/2, que es menor que la pendiente de la línea en la Figura ( PageIndex {5} ) (a), que era 4/5. Tenga en cuenta que la línea en la Figura ( PageIndex {6} ) es menos empinada que la línea en la Figura ( PageIndex {5} ) (a), que era otra de nuestras expectativas anteriores con respecto a la pendiente de una línea.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Encuentre la pendiente de la línea que pasa por los puntos P (−4, 4) y Q (4, −2).
Solución
Podemos usar la fórmula de la pendiente en la Definición 5 para determinar la pendiente. Con ( left (x_ {1}, y_ {1} right) = P (-4,4) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) = Q (4 , -2) ),
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} = frac {-2-4} {4 – (- 4)} = frac {-6} {8} = – frac {3} {4} ]
También podemos obtener la pendiente de la línea del gráfico en la Figura ( PageIndex {7} ). Comenzando en el punto P (−4, 4), mueva 8 unidades hacia la derecha, luego 6 unidades hacia abajo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).
Por lo tanto, la pendiente de la línea es
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {-6} {8} = – frac {3} {4} ]
Una vez más, una de nuestras expectativas anteriores con respecto a la pendiente de una línea se cumple en este ejemplo. La pendiente es −3/4, que es un número negativo, y la línea en la Figura ( PageIndex {7} ) se inclina hacia abajo (mientras barrimos los ojos de izquierda a derecha).
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Dibuje una línea que intercepte el eje y en (0, 3) para que la línea tenga pendiente −4/3. Dibuje una segunda línea que pase por el punto P (−1, −1) con pendiente 3/5.
Solución
La pendiente de la primera línea es −4/3. Esto significa que nuestra línea debe inclinarse cuesta abajo (mientras barrimos nuestros ojos de izquierda a derecha). La pendiente es el cambio en y sobre el cambio en x. Por lo tanto, cada vez que x aumenta en 3 unidades, y debe disminuir en 4 unidades. Trace el punto P (0, 3), como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (a). Luego, comenzando en P, mueva 3 unidades hacia la derecha, seguido de 4 unidades hacia abajo hasta el punto Q (3, −1), como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (a). Dibuje la línea requerida, que debe pasar por los puntos P y Q.
Para dibujar la segunda línea, primero trace el punto P (−1, −1), como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (b). Comenzando en el punto P, mueva 5 unidades hacia la derecha, luego hacia arriba 3 unidades hacia el punto Q (4, 2), como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (b). Dibuje la línea requerida que pasa por los puntos P y Q.
Líneas paralelas
Debido a que la pendiente controla la “inclinación” de una línea, es simple ver que las líneas paralelas deben tener la misma pendiente.
propiedad
Sea ( boldsymbol {L} _ {1} ) una línea con pendiente (m_ {1} ). Sea ( boldsymbol {L} _ {2} ) una línea con pendiente (m_ {2} ). Si ( boldsymbol {L} _ {1} ) y ( boldsymbol {L} _ {2} ) son paralelos, entonces
[m_ {1} = m_ {2} ]
Es decir, cualesquiera dos líneas paralelas tienen la misma pendiente.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
¿Cuál es la pendiente de cualquier línea horizontal? ¿Cuál es la pendiente de cualquier línea vertical?
Solución
Uno esperaría que nuestra definición verificara que la pendiente de cualquier línea horizontal sea cero. Seleccione, por ejemplo, la línea horizontal que se muestra en la Figura 9 (a). Seleccione los puntos (−3, 3) y (3, 3) en esta línea.
Con ( left (x_ {1}, y_ {1} right) = (- 3,3) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) = ( 3,3) )
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} = frac {3-3} {3 – (- 3)} = frac {0} {6} = 0 ]
Por lo tanto, la línea horizontal en la Figura ( PageIndex {9} ) (a) tiene una pendiente igual a cero, exactamente como se esperaba. Además, todas las líneas horizontales son paralelas a esta línea horizontal y tienen la misma pendiente. Por lo tanto, todas las líneas horizontales tienen pendiente cero.
Supondríamos que la línea vertical en la Figura ( PageIndex {9} ) (b) tiene una pendiente indefinida (exploraremos esto más a fondo en los ejercicios). En la Figura ( PageIndex {9} ) (b), hemos seleccionado los puntos P (−3, −3) y Q (−3, 3) en la línea vertical. Con ( left (x_ {1}, y_ {1} right) = P (-3, -3) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) = Q ( -3, -3) ), [ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} = frac {3 – (- 3)} {- 3 – (- 3)} = frac {6} {0}, text {que no está definido. } ]
La pendiente de la línea vertical en la Figura ( PageIndex {9} ) (b) no está definida porque la división por cero no tiene sentido. Además, todas las líneas verticales son paralelas a esta línea vertical y tienen pendiente indefinida.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Dibuje una línea a través del punto P (1, 2) que sea paralela a la línea que pasa por el origen con pendiente −2/3.
Solución
Primero dibujaremos una línea a través del origen con pendiente −2/3. Trace el punto P (0, 0), luego mueva 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo hasta el punto Q (3, −2), como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a). Dibuje una línea a través de los puntos P y Q como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a).
Luego, trace el punto P (1, 2) como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (b). Para dibujar una línea a través de este punto que sea paralela a la línea a través del origen, esta segunda línea debe tener la misma pendiente que la primera línea. Por lo tanto, comience en el punto P (1, 2), como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (b), luego mueva 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo hasta el punto Q (4, 0) . Dibuje una línea a través de los puntos P y Q como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (b). Tenga en cuenta que esta segunda línea es paralela a la primera.
Líneas perpendiculares
La relación entre las pendientes de dos líneas perpendiculares no es tan sencilla como la relación entre las pendientes de dos líneas paralelas. Comencemos declarando la propiedad pertinente.
Propiedad 13
Sea (L_ {1} ) una línea con pendiente (m_ {1} ). Sea (L_ {2} ) una línea con pendiente (m_ {2} ). Si (L_ {1} ) y (L_ {2} ) son perpendiculares, entonces
[m_ {1} m_ {2} = – 1 ]
Es decir, el producto de las pendientes de dos líneas perpendiculares es −1.
Podemos resolver la ecuación (14) para (m_ {1} ) en términos de (m_ {2} ).
[m_ {1} = – frac {1} {m_ {2}} ]
La ecuación (15) nos dice que la pendiente de la primera línea es el recíproco negativo de la pendiente de la segunda línea.
Por ejemplo, suponga que (L_ {1} ) y (L_ {2} ) son líneas perpendiculares con pendientes (m_ {1} ) y (m_ {2} ), respectivamente [ 19459002]
- Si (m_ {2} = 2, ) entonces (m_ {1} = – frac {1} {2} )
- Si (m_ {2} = frac {3} {5}, ) entonces (m_ {1} = – frac {5} {3} )
- Si (m_ {2} = – frac {2} {3}, ) entonces (m_ {1} = frac {3} {2} )
Tenga en cuenta que en cada elemento con viñetas, el producto de las pendientes es -1.
No proporcionaremos una prueba de la ecuación (15), pero brindaremos algunas pruebas motivadoras en forma de gráfico.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Dibuja las gráficas de las líneas que pasan por el origen con pendientes 2 y −1/2.
Solución
En la Figura ( PageIndex {11} ) (a), trazamos el punto P (0, 0) en el origen, luego movimos 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba hasta el punto Q ( 1, 2). La línea resultante pasa por el origen y tiene pendiente (m_ {1} = 2 ) (alternativamente, (m_ {1} = 2/1 )).
En la Figura ( PageIndex {11} ) (b), nuevamente hemos trazado el punto P (0, 0) en el origen, luego movimos 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia abajo hasta el punto Q (2, −1). La línea resultante pasa a través del origen y tiene pendiente (m_ {2} = – 1/2 ).
Hay dos puntos importantes que deben hacerse sobre las líneas en la Figura ( PageIndex {11} ) (b).
Las dos líneas en la Figura ( PageIndex {11} ) (b) son perpendiculares. Se encuentran y forman un ángulo recto de (90 ^ { circ} ). Si tiene un transportador disponible, es posible que desee medir el ángulo entre las dos líneas y tenga en cuenta que la medida del ángulo es (90 ^ { circ} ).
El producto de las dos pendientes es
[m_ {1} m_ {2} = 2 cdot left (- frac {1} {2} right) = – 1 ]
