3.2: Resolver sistemas lineales con dos variables

3.2: Resolver sistemas lineales con dos variables

El método de sustitución

 

En esta sección, revisamos una técnica completamente algebraica para resolver sistemas, la sustitución método 11 . La idea es resolver una ecuación para una de las variables y sustituir el resultado en la otra ecuación. Después de realizar este paso de sustitución, nos queda una ecuación única con una variable, que se puede resolver con álgebra.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Resuelva por sustitución: ( left { begin {array} {l} {2 x + y = – 3} \ {3 x – 2 y = – 8} end {array} right. ).

 

Solución

 

Resuelve cualquier variable en cualquiera de las ecuaciones. Si elige la primera ecuación, puede aislar (y ) en un solo paso.

 

( begin {alineado} 2 x + y & = – 3 \ y & = – 2 x – 3 end {alineado} )

 

Sustituye la expresión (- 2x-3 ) por la variable (y ) en la ecuación other .

 
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Figura 3.2.1
 

(3 x – 2 (- color {OliveGreen} {2 x – 3} color {Black} {)} = – 8 )

 

Esto nos deja con una ecuación equivalente con una variable, que puede resolverse utilizando las técnicas aprendidas hasta este punto. Resolver para la variable restante.

 

( begin {alineado} 3 x – 2 ( color {OliveGreen} {- 2 x – 3} color {Black} {)} & = – 8 \ 3 x + 4 x + 6 & = – 8 \ 7 x + 6 & = – 8 \ 7 x & = – 14 \ x & = – 2 end {alineado} )

 

Atrás sustituto 12 para encontrar la otra coordenada. Sustituya (x = −2 ) en cualquiera de las ecuaciones originales o sus equivalentes. Por lo general, usamos la ecuación equivalente que encontramos al aislar una variable en el primer paso.

 

( begin {alineado} y & = – 2 x – 3 \ & = – 2 ( color {OliveGreen} {- 2} color {Black} {)} – 3 \ & = 4 – 3 \ & = 1 end {alineado} )

 

Recuerde presentar la solución como un par ordenado: ((- 2, 1) ). Verifique que estas coordenadas resuelvan ambas ecuaciones del sistema original:

                                                                                                                                                              
Verificación : ((- 2,1) )
Ecuación 1 Ecuación 2
( begin {array} {r} {2 x + y = – 3} \ {2 ( color {Cerulean} {- 2} color {Black} {)} + ( color {Cerulean } {1} color {Black} {)} = – 3} \ {- 4 + 1 = – 3} \ {- 3 = – 3} : : color {Cerulean} {✓} end {array} ) ( begin {array} {r} {3 x – 2 y = – 8} \ {3 (- 2) color {Cerulean} {- 2} color {Black} {(} color {Cerulean} {1} color {Black} {)} = – 8} \ {- 6 – 2 = – 8} \ {- 8 = – 8} : : color {Cerulean} {✓} end {array} )
 

Tabla 3.2.1

 

La gráfica de este sistema lineal sigue:

 
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Figura 3.2.2
 

El método de sustitución para resolver sistemas es un método completamente algebraico. Por lo tanto, no es necesario graficar las líneas.

 

Respuesta :

 

((- 2, 1) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resuelva por sustitución: ( left { begin {array} {l} {3 x – 5 y = 9} \ {4 x + 2 y = – 1} end {array} right. ).

 

Solución

 

No importa qué variable elijamos aislar primero. En este caso, comience resolviendo (x ) en la primera ecuación.

 

( begin {alineado} 3 x – 5 y & = 9 \ 3 x & = 5 y + 9 \ x & = frac {5 y + 9} {3} \ x & = frac {5} {3} y + 3 end {alineado} )

 

( left { begin {array} {c} {3 x – 5 y = 9 Longrightarrow color {Cerulean} {x} color {Black} {=} frac {5} {3 } y + 3} \ {4 color {Cerulean} {x} color {Black} {+} 2 y = – 1} end {array} right. )

 

Luego, sustituye en la segunda ecuación y resuelve (y ).

 

( begin {alineado} 4 left ( frac {5} {3} y + 3 right) + 2 y & = – 1 \ frac {20} {3} y + 12 + 2 y & = – 1 \ frac {26} {3} y & = – 13 \ y & = – 13 left ( frac {3} {26} right) \ y & = – frac { 3} {2} end {alineado} )

 

Sustituir en la ecuación utilizada en el paso de sustitución:

 

( begin {alineado} x & = frac {5} {3} y + 3 \ & = frac {5} {3} left ( color {Cerulean} {- frac {3 } {2}} right) + 3 \ & = – frac {5} {2} + 3 \ & = frac {1} {2} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( left ( frac {1} {2}, – frac {3} {2} right) )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelva por sustitución: ( left { begin {array} {l} {5 x – 4 y = 3} \ {x + 2 y = 2} end {array} right. ) .

 
     
Respuesta
     
     

( left (1, frac {1} {2} right) )

     

     
 
 
 
 

Como sabemos, no todos los sistemas lineales tienen una única solución de par ordenado. A continuación, exploramos lo que sucede cuando se usa el método de sustitución para resolver un sistema dependiente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resuelva por sustitución: ( left { begin {array} {l} {- 5 x + y = – 1} \ {10 x – 2 y = 2} end {array} right. ).

 

Solución

 

Dado que la primera ecuación tiene un término con coeficiente (1 ), elegimos resolver eso primero.

 

( left { begin {array} {l} {- 5 x + y = – 1 quad Rightarrow quad color {Cerulean} {y} color {Black} {=} 5 x – 1} \ {10 x – 2 color {Cerulean} {y} color {Black} {=} 2} end {array} right. )

 

Luego, sustituye esta expresión por (y ) en la segunda ecuación.

 

( begin {alineado} 10 x – 2 y & = 2 \ 10 x – 2 ( color {OliveGreen} {5 x – 1} color {Black} {)} & = 2 \ 10 x – 10 x + 2 & = 2 \ 2 & = 2 quad color {Cerulean} {True} end {alineado} )

 

Este proceso condujo a una declaración verdadera; por lo tanto, la ecuación es una identidad y cualquier número real es una solución. Esto indica que el sistema es dependiente. Las soluciones simultáneas toman la forma ((x, mx + b) ), o en este caso, ((x, 5x – 1) ), donde (x ) es cualquier número real.

 

Respuesta :

 

((x, 5 x – 1) )

 
 

Para tener una mejor comprensión del ejemplo anterior, reescribe ambas ecuaciones en forma de pendiente-intersección y gráficas en el mismo conjunto de ejes.

 

( left { begin {array} {l} {- 5 x + y = – 1} \ {10 x – 2 y = 2} end {array} right. Rightarrow left { begin {array} {l} {y = 5 x – 1} \ {y = 5 x – 1} end {array} right. )

 
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Figura 3.2.3
 

Podemos ver que ambas ecuaciones representan la misma línea y, por lo tanto, el sistema es dependiente. Ahora explore lo que sucede al resolver un sistema inconsistente usando el método de sustitución.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resolver por sustitución: ( left { begin {array} {l} {- 7 x + 3 y = 3} \ {14 x – 6 y = – 16} end {array} right . ).

 

Solución

 

Resuelve (y ) en la primera ecuación.

 

( begin {alineado} – 7 x + 3 y & = 3 \ – 7 x + 3 y & = 3 \ 3 y & = 7 x + 3 \ y & = frac {7 x + 3} {3} \ y & = frac {7} {3} x + 1 end {alineado} )

 

( left { begin {array} {ll} {- 7 x + 3 y = 3} & { Rightarrow quad color {Cerulean} {y} color {Black} {=} frac {7} {3} x + 1} \ {14 x – 6 color {Cerulean} {y} color {Black} {=} – 16} end {array} right. )

 

Sustituir en la segunda ecuación y resolver.

 

( begin {alineado} 14 x – 6 y & = – 16 \ 14x-6 left ( color {OliveGreen} { frac {7} {3} x + 1} right) & = – 16 \ 14x – overset { color {Cerulean} {2}} { color {Black} { cancel {6}}} cdot frac {7} { underset { color {Cerulean} {1 }} { cancel {3}}} x – 6 & = – 16 \ 14 x – 14 x – 6 & = – 16 \ – 6 & = – 16 quad color {rojo} {Falso} end {alineado} )

 

Resolver conduce a una declaración falsa. Esto indica que la ecuación es una contradicción. No hay solución para (x ) y, por lo tanto, no hay solución para el sistema.

 

Respuesta :

 

( varnothing )

 
 

Una declaración falsa indica que el sistema es inconsistente, o en términos geométricos, que las líneas son paralelas y no se intersecan. Para ilustrar esto, determine la forma de pendiente-intersección de cada línea y gráficas en el mismo conjunto de ejes.

 

( left { begin {array} {ll} {- 7 x + 3 y = 3} \ {14 x – 6 y = – 16} end {array} right. Rightarrow izquierda { begin {array} {l} {y = frac {7} {3} x + 1} \ {y = frac {7} {3} x + frac {8} {3}} end {array} right. )

 
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Figura 3.2.4
 

En forma de pendiente-intersección, es fácil ver que las dos líneas tienen la misma pendiente pero diferentes (y ) – intersecciones.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelva por sustitución: ( left { begin {array} {r} {2 x – 5 y = 3} \ {4 x – 10 y = 6} end {array} right. )

 
     
Respuesta
     
     

( left (x, frac {2} {5} x – frac {3} {5} right) )

     

     
 
 
 
 

El método de eliminación

 

En esta sección, el objetivo es revisar otro método completamente algebraico para resolver un sistema de ecuaciones lineales llamado eliminación 13 [ 19459010] o adición método 14 . Este método depende de la propiedad de suma de las ecuaciones 15 : dadas las expresiones algebraicas A, B, C y D que tenemos [19459011 ]  

( text {If} : A = B text {y} C = D, text {then} A + C = B + D )

 

Podemos sumar las ecuaciones para eliminar la variable (y ).

 

( begin {alineado} x color {rojo} {+ y} color {Negro} {=} 5 \ pm frac {x color {rojo} {- y} = 1} { 2 x : : : = : : : 6} end {alineado} )

 

Esto nos deja con una ecuación lineal con una variable que se puede resolver fácilmente:

 

( begin {alineado} 2 x & = 6 \ x & = 3 end {alineado} )

 

En este punto, tenemos la coordenada (x ) de la solución simultánea, por lo que todo lo que queda por hacer es sustituir de nuevo para encontrar el valor (y ) correspondiente.

 

( begin {array} {r} {x + y = 5} \ { color {OliveGreen} {3} color {Black} {+} y = 5} \ {y = 2} end {array} )

 

La solución al sistema es ((3, 2) ). Por supuesto, la variable no siempre se elimina tan fácilmente. Típicamente, tenemos que encontrar un sistema equivalente aplicando la propiedad de multiplicación de la igualdad a una o ambas ecuaciones como un medio para alinear una de las variables a eliminar. El objetivo es organizar que los términos (x ) o los términos (y ) sean opuestos, de modo que cuando se agregan las ecuaciones, los términos se eliminen.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resolver por eliminación: ( left { begin {array} {l} {5 x – 3 y = – 1} \ {3 x + 2 y = 7} end {array} right. ).

 

Solución

 

Elegimos eliminar los términos con la variable (y ) porque los coeficientes tienen signos diferentes. Para hacer esto, primero determinamos el mínimo común múltiplo de los coeficientes; en este caso, el (LCM (3, 2) ) es (6 ). Por lo tanto, multiplique ambos lados de ambas ecuaciones por los valores apropiados para obtener coeficientes de (- 6 ) y (6 ). Esto da como resultado el siguiente sistema equivalente:

 

( left { begin {array} {ll} {5 x – 3 y = – 1} & { stackrel {x 2} { Rightarrow}} \ {3 x + 2 y = 7 } & { stackrel {x3} { Rightarrow}} end {array} right. left { begin {array} {c} {10 x – 6 y = – 2} \ {9 x + 6 y = 21} end {array} right. )

 

Los términos que involucran (y ) ahora están alineados para eliminar. Suma las ecuaciones y resuelve (x ).

 

( begin {alineado} 10 x color {rojo} {- 6 y} y color {Negro} {=} – 2 \ + quad 9 x color {rojo} {+ 6 y} & color {Black} {=} 21 \ hline 19 x & = 19 \ x & = 1 end {alineado} )

 

Sustituto de espalda.

 

( begin {alineado} 3 x + 2 y & = 7 \ 3 ( color {OliveGreen} {1} color {Black} {)} + 2 y & = 7 \ 3 + 2 y & = 7 \ 2 y & = 4 \ y & = 2 end {alineado} )

 

Por lo tanto, la solución simultánea es ((1, 2) ). El cheque sigue.

                                                                                                                                                
Verificar : ((1, 2) )
Ecuación 1: Ecuación 2:
( begin {alineado} 5 x – 3 y & = – 1 \ 5 ( color {Cerulean} {1} color {Black} {)} – 3 ( color {Cerulean} {2} color {Black} {)} & = – 1 \ 5 – 6 & = – 1 \ – 1 & = – 1 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) [19459029 ]               ( begin {array} {r} {3 x + 2 y = 7} \ {3 ( color {Cerulean} {1} color {Black} {)} + 2 ( color {Cerulean } {2} color {Black} {)} = 7} \ {3 + 4 = 7} \ {7 = 7} : : color {Cerulean} {✓} end {array} )
 

Tabla 3.2.2

 

Respuesta :

 

((1, 2) )

 
 

A veces los sistemas lineales no se dan en forma estándar (ax + by = c ). Cuando este es el caso, es mejor reorganizar las ecuaciones antes de comenzar los pasos para resolver por eliminación. Además, podemos eliminar cualquiera de las variables. El objetivo es obtener una solución para una de las variables y luego volver a sustituirla para encontrar una solución para la otra.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resolver por eliminación: ( left { begin {alineado} 12 x + 5 y & = 11 \ 3 x & = 4 y + 1 end {alineado} derecho. ).

 

Solución :

 

Primero, reescribe la segunda ecuación en forma estándar.

 

( begin {alineado} 3 x & = 4 y + 1 \ 3 x – 4 y & = 1 end {alineado} )

 

Esto da como resultado un sistema equivalente en forma estándar, donde los términos similares se alinean en columnas.

 

( left { begin {array} {cc} {12 x + 5 y = 11} \ {3 x = 4 y + 1} end {array} right. Rightarrow left { begin {array} {c} {12 x + 5 y = 11} \ {3 x – 4 y = 1} end {array} right. )

 

Podemos eliminar el término con la variable (x ) si multiplicamos la segunda ecuación por (- 4 ).

 
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Figura 3.2.5
 

Luego, sumamos las ecuaciones,

 

( begin {alineado} color {rojo} {12 x} color {Negro} {+ 5 y} y color {Negro} {=} 11 \ + quad color {rojo} { -12x} color {Black} {+ 16 y} & color {Black} {=} -4 \ hline 21y & = 7 \ y & = frac {7} {21} = frac {1 } {3} end {alineado} )

 

Sustituto de espalda.

 

( begin {array} {l} {3 x = 4 y + 1} \ {3 x = 4 left ( color {OliveGreen} { frac {1} {3}} right) + 1} \ {3 x = frac {4} {3} + 1} \ {3 x = frac {7} {3}} \ {x = frac {7} {3} cdot frac {1} {3}} \ {x = frac {7} {9}} end {array} )

 

Respuesta :

 

( left ( frac {7} {9}, frac {1} {3} right) )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resolver por eliminación: ( left { begin {array} {l} {2 x + 5 y = 5} \ {3 x + 2 y = – 9} end {array} right. ).

 
     
Respuesta
     
     

((- 5, 3) )

     

     
 
 
 
 

En este punto, exploramos lo que sucede al resolver sistemas dependientes e inconsistentes utilizando el método de eliminación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resolver por eliminación: ( left { begin {array} {c} {3 x – y = 7} \ {6 x – 2 y = 14} end {array} right. ) .

 

Solución

 

Para eliminar la variable (x ), podríamos multiplicar la primera ecuación por (- 2 ).

 
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Figura 3.2.6
 

Ahora sumando las ecuaciones que tenemos

 

( begin {alineado} -6 x + color {rojo} {2 y} y color {Negro} {=} -14 \ pm quad color {negro} {6x} – color {rojo} {2 y} y color {Negro} {=} 14 \ hline 0 & = 0 quad color {Cerulean} {True} end {alineado} )

 

Una declaración verdadera indica que este es un sistema dependiente. Las líneas coinciden, y necesitamos (y ) en términos de (x ) para presentar la solución establecida en la forma ((x, mx + b) ). Elija una de las ecuaciones originales y resuelva para (y ). Como las ecuaciones son equivalentes, no importa cuál elija.

 

( begin {alineado} 3 x – y & = 7 \ – y & = – 3 x + 7 \ color {Cerulean} {- 1} color {Black} {(} – y) & = color {Cerulean} {- 1} color {Black} {(} – 3 x + 7) \ y & = 3 x – 7 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

((x, 3 x – 7) )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resolver por eliminación: ( left { begin {array} {l} {3 x + 15 y = – 15} \ {2 x + 10 y = 30} end {array} right. ).

 
     
Respuesta
     
     

Sin solución, ( varnothing )

     

     
 
 
 
 

Dado un sistema lineal donde las ecuaciones tienen coeficientes fraccionarios, generalmente es mejor borrar las fracciones antes de comenzar el método de eliminación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Resuelve: ( left { begin {array} {l} {- frac {1} {10} x + frac {1} {2} y = frac {4} {5}} \ { frac {1} {7} x + frac {1} {3} y = – frac {2} {21}} end {array} right. ).

 

Solución

 

Recuerde que podemos eliminar fracciones multiplicando ambos lados de una ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (LCD). Tenga cuidado de distribuir y luego simplificar.

                                                                                                                           
Ecuación 1 Ecuación 2
( begin {array} {r} { color {Cerulean} {10} color {Black} { left (- frac {1} {10} x + frac {1} {2} y right)} = color {Cerulean} {10} color {Black} { left ( frac {4} {5} right)}} \ { color {Cerulean} {10} color { Negro} { cdot} left (- frac {1} {10} x right) + color {Cerulean} {10} color {Black} { cdot} frac {1} {2} y = color {Cerulean} {10} color {Black} { cdot} frac {4} {5}} \ {- x + 5 y = 8} end {array} ) ( begin {array} {c} { color {Cerulean} {21} color {Black} { left ( frac {1} {7} x + frac {1} {3} y right)} = color {Cerulean} {21} color {Black} { left (- frac {2} {21} right)}} \ { color {Cerulean} {21} color { Negro} { cdot} frac {1} {7} x + color {Cerulean} {21} color {Black} { cdot} frac {1} {3} y = color {Cerulean} {21 } color {Black} { left (- frac {2} {21} right)}} \ {3 x + 7 y = – 2} end {array} )
 

Tabla 3.2.3

 

Esto da como resultado un sistema equivalente donde las ecuaciones tienen coeficientes enteros,

 

( left { begin {array} {ll} {- frac {1} {10} x + frac {1} {2} y = frac {4} {5}} & { stackrel {x 10} { Rightarrow}} \ { frac {1} {7} x + frac {1} {3} y = – frac {2} {21}} & { stackrel {x21 } { Rightarrow}} end {array} right. Left { begin {array} {c} {- x + 5y = 8} \ {3 x + 7 y = -2} end {array } right. )

 

Resolver usando el método de eliminación.

 

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Figura 3.2.7

 

( begin {alineado} color {rojo} {- 3 x} + color {negro} {15 y} y color {Negro} {=} 24 \ pm quad color {rojo } {3x} + color {negro} {7 y} y color {Negro} {=} -2 \ hline 22y & = 22 \ y & = 1 end {alineado} )

 

Sustituto de espalda.

 

( begin {alineado} 3 x + 7 y & = – 2 \ 3 x + 7 ( color {OliveGreen} {1} color {Black} {)} & = – 2 \ 3 x + 7 & = – 2 \ 3 x & = – 9 \ x & = – 3 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

((- 3,1) )

 
 

Podemos usar una técnica similar para borrar decimales antes de resolver.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resolver usando eliminación: ( left { begin {array} {l} { frac {1} {3} x – frac {2} {3} y = 3} \ { frac { 1} {3} x – frac {1} {2} y = frac {8} {3}} end {array} right. ).

 
     
Respuesta
     
     

((5, -2) )

     

     
 
 
 
 

Resumen de los métodos para resolver sistemas lineales

 

Hemos revisado tres métodos para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos variables. Cada método es válido y puede producir el mismo resultado correcto. En esta sección, resumimos las fortalezas y debilidades de cada método.

 

El método de gráficos es útil para comprender qué es un sistema de ecuaciones y cómo deben ser las soluciones. Cuando las ecuaciones de un sistema se grafican en el mismo conjunto de ejes, podemos ver que la solución es el punto donde se cruzan las gráficas. La representación gráfica se hace fácil cuando las ecuaciones están en forma de pendiente-intersección. Por ejemplo,

 

( left { begin {array} {l} {y = 5 x + 15} \ {y = – 5 x + 5} end {array} right. )

 
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Figura 3.2.8
 

La solución simultánea ((- 1, 10) ) corresponde al punto de intersección. Un inconveniente de este método es que es muy inexacto. Cuando las coordenadas de la solución no son enteros, el método es prácticamente inutilizable. Si tenemos una opción, generalmente evitamos este método en favor de las técnicas algebraicas más precisas.

 

El método de sustitución, por otro lado, es un método completamente algebraico. Requiere que resuelva una de las variables y sustituya el resultado en la otra ecuación. La ecuación resultante tiene una variable que puede resolver. Este método es particularmente útil cuando hay una variable dentro del sistema con un coeficiente de (1 ). Por ejemplo,

 

( left { begin {array} {l} {10 x + y = 20} \ {7 x + 5 y = 14} end {array} right. Color {Cerulean} { Elija : la : sustitución : método.} Quad )

 

En este caso, es fácil resolver (y ) en la primera ecuación y luego sustituir el resultado en la otra ecuación. Un inconveniente de este método es que a menudo conduce a ecuaciones equivalentes con coeficientes fraccionarios, con los cuales es tedioso trabajar. Si no hay un coeficiente de (1 ), generalmente es mejor elegir el método de eliminación.

 

El método de eliminación es un método completamente algebraico que hace uso de la propiedad de adición de ecuaciones. Multiplicamos una o ambas ecuaciones para obtener ecuaciones equivalentes donde se elimina una de las variables si las sumamos. Por ejemplo,

 

( left { begin {array} {l} {2 x – 3 y = 9} \ {5 x – 8 y = – 16} end {array} color {Cerulean} : : {Choose : the : elimination : method.} Right. Quad )

 

Para eliminar los términos que involucran (x ), multiplicaríamos ambos lados de la primera ecuación por (5 ) y ambos lados de la segunda ecuación por (- 2 ). Esto da como resultado un sistema equivalente donde la variable (x ) se elimina cuando sumamos las ecuaciones. Por supuesto, hay otras combinaciones de números que logran el mismo resultado. Incluso podríamos elegir eliminar la variable (y ). No importa qué variable se elimine primero, la solución será la misma. Tenga en cuenta que el método de sustitución, en este caso, requeriría cálculos tediosos con coeficientes fraccionarios. Una debilidad del método de eliminación, como veremos más adelante en nuestro estudio de álgebra, es que no siempre funciona para sistemas no lineales.

 

Notas a pie de página

 

11 Un medio para resolver un sistema lineal resolviendo una de las variables y sustituyendo el resultado en la otra ecuación.

 

12 Una vez que se encuentra un valor para una variable, sustitúyalo nuevamente en una de las ecuaciones originales, o su equivalente, para determinar el valor correspondiente de la otra variable.

 

13 Un medio para resolver un sistema mediante la adición de ecuaciones equivalentes para eliminar una variable.

 

14 A menudo se usa para referirse al método de eliminación para resolver sistemas.

 

15 Si (A, B, C ) y (D ) son expresiones algebraicas, donde (A = B ) y (C = D ), luego (A + C = B + D ).

 
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