3.3: Dominio y rango – las matematicas

Si estás de humor para una película de terror, quizás quieras ver una de las cinco películas de terror más populares de todos los tiempos: Soy Legend, Hannibal, The Ring, The Grudge y The Conjuring. La Figura ( PageIndex {1} ) muestra la cantidad, en dólares, de cada una de esas películas recaudadas cuando fueron lanzadas, así como la venta de entradas para películas de terror en general por año. Tenga en cuenta que podemos usar los datos para crear una función de la cantidad que ganó cada película o la venta total de entradas para todas las películas de terror por año. Al crear varias funciones utilizando los datos, podemos identificar diferentes variables independientes y dependientes, y podemos analizar los datos y las funciones para determinar el dominio y el rango. En esta sección, investigaremos métodos para determinar el dominio y el rango de funciones como estas.

Encontrar el dominio de una función definida por una ecuación

En Funciones y notación de funciones, nos presentaron los conceptos de dominio y rango . En esta sección, practicaremos la determinación de dominios y rangos para funciones específicas. Tenga en cuenta que, al determinar dominios y rangos, debemos considerar lo que es físicamente posible o significativo en ejemplos del mundo real, como la venta de entradas y el año en el ejemplo de película de terror anterior. También debemos considerar lo que está matemáticamente permitido. Por ejemplo, no podemos incluir ningún valor de entrada que nos lleve a tomar una raíz par de un número negativo si el dominio y el rango consisten en números reales. O en una función expresada como una fórmula, no podemos incluir ningún valor de entrada en el dominio que nos lleve a dividir por 0.

Podemos visualizar el dominio como un «área de retención» que contiene «materias primas» para una «máquina de funciones» y el rango como otra «área de retención» para los productos de la máquina (Figura ( PageIndex {2} ) )

Figura ( PageIndex {2} ): Diagrama de cómo una función relaciona dos relaciones

Podemos escribir el dominio y el rango en la notación de intervalo , que utiliza valores entre paréntesis para describir un conjunto de números. En la notación de intervalo, usamos un corchete [cuando el conjunto incluye el punto final y un paréntesis (para indicar que el punto final no está incluido o el intervalo no está limitado. Por ejemplo, si una persona tiene $ 100 para gastar, él o ella necesita expresar el intervalo que es mayor que 0 y menor o igual que 100 y escribir ( left (0, 100 right] ). Discutiremos la notación de intervalo con mayor detalle más adelante.

Dirijamos nuestra atención a encontrar el dominio de una función cuya ecuación se proporciona. A menudo, encontrar el dominio de tales funciones implica recordar tres formas diferentes. Primero, si la función no tiene un denominador o una raíz par, considere si el dominio podría ser todos los números reales. En segundo lugar, si hay un denominador en la ecuación de la función, excluya valores en el dominio que obliguen al denominador a ser cero. Tercero, si hay una raíz par, considere excluir los valores que harían el radicando negativo.

Antes de comenzar, revisemos las convenciones de notación de intervalo:

El término más pequeño del intervalo se escribe primero.
El término más grande en el intervalo se escribe en segundo lugar, después de una coma.
Los paréntesis, (() o () ), se usan para indicar que un punto final no está incluido, llamado exclusivo.
Los corchetes, ([) o (] ), se utilizan para indicar que se incluye un punto final, llamado inclusivo.

Consulte la Figura ( PageIndex {3} ) para ver un resumen de la notación de intervalo.

Figura ( PageIndex {3} ): Resumen de notación de intervalo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar el dominio de una función como un conjunto de pares ordenados

Encuentre el dominio de la siguiente función: ( {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40) } ).

Solución

Primero identifique los valores de entrada. El valor de entrada es la primera coordenada en un par ordenado. No hay restricciones, ya que los pares ordenados simplemente se enumeran. El dominio es el conjunto de las primeras coordenadas de los pares ordenados.

[ {2,3,4,5,6 } nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Encuentre el dominio de la función:

[ {(- 5,4), (0,0), (5, −4), (10, −8), (15, −12) } nonumber ]

Respuesta: ( {- 5, 0, 5, 10, 15 } )

HowTo: Dada una función escrita en forma de ecuación, encuentra el dominio.

Identifique los valores de entrada.
Identifique cualquier restricción en la entrada y excluya esos valores del dominio.
Escriba el dominio en forma de intervalo, si es posible.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar el dominio de una función

Encuentre el dominio de la función (f (x) = x ^ 2−1 ).

Solución

El valor de entrada, mostrado por la variable x en la ecuación, se eleva al cuadrado y luego el resultado se reduce en uno. Cualquier número real puede ser cuadrado y luego reducirse en uno, por lo que no hay restricciones en el dominio de esta función. El dominio es el conjunto de números reales.

En forma de intervalo, el dominio de f es ((- infty, infty) ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Encuentre el dominio de la función:

[f (x) = 5 − x + x ^ 3 nonumber ]

Respuesta: ((- infty, infty) )

Howto: Dada una función escrita en forma de ecuación que incluye una fracción, encuentra el dominio

Identifique los valores de entrada.
Identifique cualquier restricción en la entrada. Si hay un denominador en la fórmula de la función, establezca el denominador igual a cero y resuelva para x. Si la fórmula de la función contiene una raíz par, establezca el radical y mayor o igual que 0, y luego resuelva.
Escriba el dominio en forma de intervalo, asegurándose de excluir cualquier valor restringido del dominio.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Encontrar el dominio de una función que involucra un denominador

Encuentre el dominio de la función (f (x) = dfrac {x + 1} {2 − x} ).

Solución

Cuando hay un denominador, queremos incluir solo valores de la entrada que no obliguen al denominador a ser cero. Entonces, estableceremos el denominador igual a 0 y resolveremos x.

[ begin {align *} 2 − x = 0 \ [4pt] −x & = – 2 \ [4pt] x & = 2 end {align *} ]

Ahora, excluiremos 2 del dominio. Las respuestas son todos números reales donde (x <2 ) o (x> 2 ). Podemos usar un símbolo conocido como la unión, ( cup ), para combinar los dos conjuntos. En notación de intervalo, escribimos la solución: ((- infty, 2) ∪ (2, infty) ).

$[Line graph of f(x).]$

En forma de intervalo, el dominio de f es ((- infty, 2) cup (2, infty) ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Encuentre el dominio de la función:

[f (x) = dfrac {1 + 4x} {2x − 1} nonumber ]

Respuesta: [(- infty, dfrac {1} {2}) cup ( dfrac {1} {2}, infty) nonumber ]

HowTo: Dada una función escrita en forma de ecuación que incluye una raíz par, encuentra el dominio.

Identifique los valores de entrada.
Dado que hay una raíz par, excluya cualquier número real que dé como resultado un número negativo en el radicando. Establezca el radicando mayor o igual que cero y resuelva para x.
Las soluciones son el dominio de la función. Si es posible, escriba la respuesta en forma de intervalo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar el dominio de una función con una raíz par

Encuentre el dominio de la función:

[f (x) = sqrt {7-x} nonumber. ]

Solución

Cuando hay una raíz par en la fórmula, excluimos cualquier número real que resulte en un número negativo en el radicando.

Establezca el radicando mayor o igual que cero y resuelva para x.

[ begin {align *} 7 − x & ≥0 \ [4pt] −x & ≥ − 7 \ [4pt] x & ≤7 end {align *} ]

Ahora, excluiremos cualquier número mayor que 7 del dominio. Todas las respuestas son números reales menores o iguales a 7, o ( left (- infty, 7 right] ).

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra el dominio de la función

[f (x) = sqrt {5 + 2x}. nonumber ]

Respuesta: [ left [−2.5, infty right) nonumber ]

Preguntas y respuestas: ¿Puede haber funciones en las que el dominio y el rango no se crucen en absoluto?

Sí. Por ejemplo, la función (f (x) = – dfrac {1} { sqrt {x}} ) tiene el conjunto de todos los números reales positivos como su dominio pero el conjunto de todos los números reales negativos como su gama Como ejemplo más extremo, las entradas y salidas de una función pueden ser categorías completamente diferentes (por ejemplo, nombres de días de la semana como entradas y números como salidas, como en una tabla de asistencia), en tales casos el dominio y el rango no tienen elementos en común.

Uso de anotaciones para especificar dominio y rango

En los ejemplos anteriores, utilizamos desigualdades y listas para describir el dominio de las funciones. También podemos usar desigualdades u otras declaraciones que puedan definir conjuntos de valores o datos, para describir el comportamiento de la variable en la notación de generador de conjuntos. Por ejemplo, ( {x | 10≤x <30 } ) describe el comportamiento de x en la notación de generador de conjuntos. Las llaves ( {} ) se leen como “el conjunto de”, y la barra vertical (| ) se lee como “tal que”, por lo que leeríamos ( {x | 10≤x < 30 } ) como "el conjunto de valores de x tal que 10 es menor o igual que x, y x es menor que 30."

La figura ( PageIndex {4} ) compara la notación de desigualdad, la notación de generador de conjuntos y la notación de intervalo.

Figura ( PageIndex {4} ): Resumen de notaciones para desigualdades, generador de conjuntos e intervalo.

Para combinar dos intervalos usando notación de desigualdad o notación de generador de conjuntos, usamos la palabra «o». Como vimos en ejemplos anteriores, usamos el símbolo de unión, ( cup ), para combinar dos intervalos no conectados. Por ejemplo, la unión de los conjuntos ( {2,3,5 } ) y ( {4,6 } ) es el conjunto ( {2,3,4,5,6 } ). Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno u otro (o ambos) de los dos conjuntos originales. Para conjuntos con un número finito de elementos como estos, los elementos no tienen que estar listados en orden ascendente de valor numérico. Si los dos conjuntos originales tienen algunos elementos en común, esos elementos deberían enumerarse solo una vez en el conjunto de unión. Para conjuntos de números reales en intervalos, otro ejemplo de una unión es

[ {x | | x | ≥3 } = left (- infty, −3 right] cup left [3, infty right) ]

Notación de generador de conjuntos y notación de intervalo

La notación de generador de conjuntos es un método para especificar un conjunto de elementos que satisfacen una determinada condición. Toma la forma ( {x | text {declaración sobre x} } ) que se lee como «el conjunto de todas las x de manera tal que la declaración sobre x sea verdadera». Por ejemplo,

[ {x | 4

La notación de intervalo es una forma de describir conjuntos que incluyen todos los números reales entre un límite inferior que puede incluirse o no y un límite superior que puede incluirse o no. Los valores finales se enumeran entre paréntesis o paréntesis. Un corchete indica inclusión en el conjunto y un paréntesis indica exclusión del conjunto. Por ejemplo,

[ left (4,12 right] nonumber ]

Dado un gráfico lineal, describe el conjunto de valores usando notación de intervalo.

Identifique los intervalos que se incluirán en el conjunto al determinar dónde la línea gruesa se superpone a la línea real.
En el extremo izquierdo de cada intervalo, use [con cada valor final que se incluirá en el conjunto (punto sólido) o (para cada valor final excluido (punto abierto).
En el extremo derecho de cada intervalo, use] con cada valor final que se incluirá en el conjunto (punto relleno) o) para cada valor final excluido (punto abierto).
Use el símbolo de unión ( cup ) para combinar todos los intervalos en un conjunto.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Describiendo conjuntos en la línea de números reales

Describa los intervalos de valores que se muestran en la Figura ( PageIndex {5} ) usando notación de desigualdad, notación de generador de conjuntos y notación de intervalo.

[Line graph of (1<=x<=3) and (5)] — Figura ( PageIndex {5} ): Gráfico de línea de (1≤x≤3 text {o} x> 5 ).

Solución

Para describir los valores, (x ), incluidos en los intervalos mostrados, diríamos, » (x ) es un número real mayor o igual a 1 y menor o igual a 3, o un número real mayor que 5 «.

Desigualdad

[1≤x≤3 text {o} x> 5 nonumber ]

Notación de generador de conjuntos

[ {x | 1≤x≤3 text {o} x> 5 } nonumber ]

Notación de intervalo

[[1,3] cup (5, infty) nonumber ]

Recuerde que, al escribir o leer la notación de intervalo, usar un corchete significa que el límite está incluido en el conjunto. El uso de paréntesis significa que el límite no está incluido en el conjunto.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Dada la figura ( PageIndex {6} ), especifique el conjunto graficado en

palabras
notación de generador de conjuntos
notación de intervalo

[Line graph of -2<=x, -1<=x<3.] — Figura ( PageIndex {6} ): Gráfico de líneas de (- 2 { leq} x ), (- 1 { leq} x <3 ). Leq} x ), (-1 { leq} x <3 ).

Responda a: Valores que son menores o iguales que –2, o valores que son mayores o iguales que –1 y menores que 3;
Respuesta b: ( {x | x≤ − 2 o −1≤x <3 } )
Respuesta c: ( left (−∞, −2 right] cup left [−1,3 right) )

Búsqueda de dominio y rango a partir de gráficos

Otra forma de identificar el dominio y el rango de funciones es mediante el uso de gráficos. Debido a que el dominio se refiere al conjunto de posibles valores de entrada, el dominio de un gráfico consta de todos los valores de entrada que se muestran en el eje x. El rango es el conjunto de posibles valores de salida, que se muestran en el eje y. Tenga en cuenta que si el gráfico continúa más allá de la parte del gráfico que podemos ver, el dominio y el rango pueden ser mayores que los valores visibles. Ver Figura ( PageIndex {7} ).

[Graph of a polynomial that shows the x-axis is the domain and the y-axis is the range] — Figura ( PageIndex {7} ): Gráfico de un polinomio que muestra que el eje x es el dominio y el eje y es el rango

Podemos observar que el gráfico se extiende horizontalmente de −5 a la derecha sin límite, por lo que el dominio es ( left [−5, ∞ right) ). La extensión vertical del gráfico es todos los valores de rango 5 e inferiores, por lo que el rango es ( left (−∞, 5 right] ). Tenga en cuenta que el dominio y el rango siempre se escriben de valores más pequeños a más grandes, o de de izquierda a derecha para el dominio, y desde la parte inferior del gráfico hasta la parte superior del gráfico para el rango.

Ejemplo ( PageIndex {6A} ): Búsqueda de dominio y rango desde un gráfico

Encuentre el dominio y el rango de la función f cuyo gráfico se muestra en la Figura 1.2.8.

[Graph of a function from (-3, 1].] — Figura ( PageIndex {8} ): Gráfico de una función de (-3, 1].

Solución

Podemos observar que la extensión horizontal del gráfico es de –3 a 1, por lo que el dominio de f es ( left (−3,1 right] ).

La extensión vertical del gráfico es de 0 a –4, por lo que el rango es ( left [−4,0 right) ). Ver Figura ( PageIndex {9} ).

[Graph of the previous function shows the domain and range.] — Figura ( PageIndex {9} ): El gráfico de la función anterior muestra el dominio y el rango

Ejemplo ( PageIndex {6B} ): Encontrar dominio y rango a partir de un gráfico de producción de petróleo

Encuentre el dominio y el rango de la función f cuyo gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

[Graph of the Alaska Crude Oil Production where the y-axis is thousand barrels per day and the -axis is the years.] — Figura ( PageIndex {10} ): Gráfico de la producción de petróleo crudo de Alaska donde el eje y es de mil barriles por día y el eje es los años (crédito: modificación del trabajo de la Administración de Información de Energía de los EE. UU. )

Solución:

La cantidad de entrada a lo largo del eje horizontal es «años», que representamos con la variable t para el tiempo. La cantidad de salida es «miles de barriles de petróleo por día», que representamos con la variable b para barriles. El gráfico puede continuar hacia la izquierda y la derecha más allá de lo que se ve, pero en función de la parte del gráfico que es visible, podemos determinar el dominio como (1973≤t≤2008 ) y el rango como aproximadamente (180≤ b≤2010 ).

En notación de intervalo, el dominio es ([1973, 2008] ), y el rango es aproximadamente ([180, 2010] ). Para el dominio y el rango, aproximamos los valores más pequeños y más grandes, ya que no se encuentran exactamente en las líneas de la cuadrícula.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Dada la figura ( PageIndex {11} ), identifique el dominio y el rango utilizando la notación de intervalo.

[Graph of World Population Increase where the y-axis represents millions of people and the x-axis represents the year.] — Figura ( PageIndex {11} ): Gráfico del aumento de la población mundial donde el eje y representa a millones de personas y el eje x representa el año.

Respuesta

dominio = ([1950,2002] )

rango = ([47,000,000,89,000,000] )

¿Pueden ser iguales el dominio y el rango de una función?

Sí. Por ejemplo, el dominio y el rango de la función raíz del cubo son el conjunto de todos los números reales.

Búsqueda de dominios y rangos de las funciones del kit de herramientas

Ahora volveremos a nuestro conjunto de funciones del kit de herramientas para determinar el dominio y el rango de cada uno.

[Constant function f(x)=c.] — Figura ( PageIndex {12} ): Función constante (f (x) = c ).

Para la función constante (f (x) = c ), el dominio consta de todos los números reales; No hay restricciones en la entrada. El único valor de salida es la constante (c ), por lo que el rango es el conjunto ( {c } ) que contiene este elemento único. En notación de intervalo, esto se escribe como ([c, c] ), el intervalo que comienza y termina con (c ).

$[Identity function f(x)=x.]$
Figura ( PageIndex {13} ): Función de identidad f (x) = x.

Para la función de identidad (f (x) = x ), no hay restricción en (x ). Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales.

[Absolute function f(x)=|x|.] — Figura ( PageIndex {14} ): Función absoluta (f (x) = | x | ).

Para la función de valor absoluto (f (x) = | x | ), no hay restricción en (x ). Sin embargo, dado que el valor absoluto se define como una distancia desde 0, la salida solo puede ser mayor o igual que 0.

[quadratic function f(x)=x^2] — Figura ( PageIndex {15} ): Función cuadrática (f (x) = x ^ 2 ).

Para la función cuadrática (f (x) = x ^ 2 ), el dominio es todos los números reales ya que la extensión horizontal del gráfico es la recta numérica real completa. Debido a que el gráfico no incluye ningún valor negativo para el rango, el rango son solo números reales no negativos.

[Cubic function f(x)-x^3.] — Figura ( PageIndex {16} ): Función cúbica (f (x) -x ^ 3 ).

Para la función cúbica (f (x) = x ^ 3 ), el dominio es todos los números reales porque la extensión horizontal del gráfico es la recta numérica real completa. Lo mismo se aplica a la extensión vertical del gráfico, por lo que el dominio y el rango incluyen todos los números reales.

[Reciprocal function f(x)=1/x.] — Figura ( PageIndex {17} ): Función recíproca (f (x) = dfrac {1} {x} ).

Para la función recíproca (f (x) = dfrac {1} {x} ), no podemos dividir por 0, por lo que debemos excluir 0 del dominio. Además, 1 dividido por cualquier valor nunca puede ser 0, por lo que el rango tampoco incluirá 0. En la notación de generador de conjuntos, también podríamos escribir ( {x | x ≠ 0 } ), el conjunto de todos los valores reales números que no son cero.

[Reciprocal squared function ...] — Figura ( PageIndex {18} ): Función cuadrática recíproca (f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} )

Para la función al cuadrado recíproca (f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} ), no podemos dividir por 0, por lo que debemos excluir 0 del dominio. Tampoco hay x que pueda dar una salida de 0, por lo que 0 también se excluye del rango. Tenga en cuenta que la salida de esta función siempre es positiva debido al cuadrado en el denominador, por lo que el rango incluye solo números positivos.

$[Square root function f(x)=sqrt(x).]$
Figura ( PageIndex {19} ): Función de raíz cuadrada (f (x) = sqrt {(x )} ).

Para la función de raíz cuadrada (f (x) = sqrt {x} ), no podemos sacar la raíz cuadrada de un número real negativo, por lo que el dominio debe ser 0 o mayor. El rango también excluye números negativos porque la raíz cuadrada de un número positivo (x ) se define como positiva, a pesar de que el cuadrado del número negativo (- sqrt {x} ) también nos da (x )

[Cube root function f(x)=x^(1/3).] — Figura ( PageIndex {20} ): Función raíz de cubo (f (x) = sqrt [3] {x} ) .

Para la función de raíz cúbica (f (x) = sqrt [3] {x} ), el dominio y el rango incluyen todos los números reales. Tenga en cuenta que no hay ningún problema en tomar una raíz cúbica, o cualquier raíz entera impar, de un número negativo, y la salida resultante es negativa (es una función impar).

Dada la fórmula para una función, determine el dominio y el rango.

Excluya del dominio cualquier valor de entrada que resulte en división por cero.
Excluya del dominio cualquier valor de entrada que tenga salidas numéricas no reales (o indefinidas).
Utilice los valores de entrada válidos para determinar el rango de los valores de salida.
Mire el gráfico de función y los valores de la tabla para confirmar el comportamiento real de la función.

Ejemplo ( PageIndex {7A} ) : Encontrar el dominio y el rango utilizando las funciones del kit de herramientas

Encuentre el dominio y el rango de (f (x) = 2x ^ 3 − x ).

Solución

No hay restricciones en el dominio, ya que cualquier número real puede ser cortado en cubos y luego restado del resultado.

El dominio es ((- infty, infty) ) y el rango también es ((- infty, infty) ).

Ejemplo ( PageIndex {7B} ): Encontrar el dominio y el rango

Encuentre el dominio y el rango de (f (x) = frac {2} {x + 1} ).

Solución

No podemos evaluar la función en −1 porque la división por cero no está definida. El dominio es ((- infty, −1) cup (−1, infty) ). Como la función nunca es cero, excluimos 0 del rango. El rango es ((- infty, 0) cup (0, infty) ).

Ejemplo ( PageIndex {7C} ): Encontrar el dominio y el rango

Encuentre el dominio y el rango de (f (x) = 2 sqrt {x + 4} ).

Solución

No podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que el valor dentro del radical no debe ser negativo.

(x + 4≥0 ) cuando (x≥ − 4 )

El dominio de (f (x) ) es ([- 4, infty) ).

Luego encontramos el rango. Sabemos que (f (−4) = 0 ), y el valor de la función aumenta a medida que (x ) aumenta sin ningún límite superior. Concluimos que el rango de f es ( left [0, infty right) ).

Análisis

La figura ( PageIndex {19} ) representa la función (f ).