3.3: Ecuaciones de líneas

3.3: Ecuaciones de líneas

                 

En esta sección desarrollaremos la forma pendiente-intersección de una línea. Cuando haya completado el trabajo en esta sección, debería poder mirar la gráfica de una línea y determinar su ecuación en forma de pendiente-intersección.

 

El formulario de intercepción de pendiente

 

En la sección anterior , desarrollamos la fórmula para la pendiente de una línea. Supongamos que la variable dependiente es y y la variable independiente es x y tenemos una línea que pasa por los puntos (P left (x_ {1}, y_ {1} right) ) y (Q left ( x_ {2}, y_ {2} right) ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
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Figura ( PageIndex {1} ). Determinación de la pendiente de una línea a través de dos puntos.
 

Mientras barremos nuestros ojos de izquierda a derecha, tenga en cuenta que el cambio en x es ( Delta x = x_ {2} -x_ {1} ) y el cambio en y es ( Delta y = y_ {2} -y_ {1} ). Por lo tanto, la pendiente de la línea está determinada por la fórmula

 

[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

 

Ahora considere la línea en la Figura ( PageIndex {2} ). Supongamos que se nos dan dos hechos sobre esta línea:

 
         
  1. El punto donde la línea cruza el eje y (la intersección en y) es (0, b).
  2.      
  3. La «pendiente» de la línea es un número m.
  4.  
 

Para encontrar la ecuación de la línea representada en la Figura ( PageIndex {2} ), seleccione un punto arbitrario Q (x, y) en la línea, luego calcule la pendiente de la línea usando ( left ( x_ {1}, y_ {1} right) = P (0, b) ) y ( left (x_ {2}, y_ {2} right) = Q (x, y) ) en el fórmula de pendiente (1).

 

[ text {Slope} = frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} = frac {yb} {x-0} ] [19459002 ]  

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Figura ( PageIndex {2} ). Encuentre la ecuación de la línea en forma pendiente-intersección.
 

Simplificar.

 

[ text {Slope} = frac {y-b} {x} ]

 

Se nos dice que la pendiente es el número m, así que sustituya este número por la palabra «Pendiente» en el último resultado.

 

[m = frac {y-b} {x} ]

 

Multiplica ambos lados de la última ecuación por (x ).

 

[m x = y-b ]

 

Suma b a ambos lados de la última ecuación para obtener

 

[m x + b = y ]

 

o al intercambiar lados de la ecuación,

 

[y = m x + b ]

 

La discusión anterior lleva al siguiente resultado.

 
 

Definición: la forma pendiente-intersección de una línea

 

Si la línea (L ) intercepta el eje y en el punto (0, b) y tiene pendiente m, entonces la ecuación de la línea es

 

[y = m x + b. label {slointercept eq} ]

 

Esta forma de la ecuación de una línea se llama forma de pendiente-intersección. La función definida por la ecuación [f (x) = m x + b ] se denomina función lineal .

 
 

Es importante tener en cuenta dos hechos clave sobre la forma pendiente-intersección y = mx + b.

 
         
  • El coeficiente de x (m en y = mx + b) es la pendiente de la recta.
  •      
  • El término constante (b en y = mx + b) es la coordenada y de la intersección en y (0, b).
  •  
 
 

Procedimiento para usar la forma de pendiente-intersección de una línea

 

Cuando se le da la pendiente de una línea y la intersección con el eje y de la línea, use la forma pendiente-intersección de la siguiente manera:

 
         
  1. Sustituye m por la pendiente dada en la fórmula (y = mx + b ).
  2.      
  3. Sustituye la coordenada y de la intersección y por b en la fórmula (y = mx + b ).
  4.  
 

Por ejemplo, si la línea tiene pendiente −2 y la intersección en y (el punto donde la línea cruza el eje y) es (0, 3), entonces sustituya m = −2 y b = 3 en la ecuación ref {inclinintercept eq} para obtener

 

[y = −2x + 3 ].

 
 

Veamos algunos ejemplos de uso de esta fórmula tan importante.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

¿Cuál es la ecuación de la recta con pendiente −2/3 e intersección en y (0, 3)? Dibuja la línea en papel cuadriculado.

 

Solución

 

La ecuación de la línea es

 

[y = m x + b ]

 

Se nos dice que la pendiente es −2/3. Por lo tanto, m = −2/3. En segundo lugar, se nos da que la línea intercepta el eje y en el punto (0, 3). En la forma pendiente-intersección y = mx + b, recuerde que b representa la coordenada y de la intersección y. Por lo tanto, b = 3. Sustituye m = −2/3 y b = 3 en la ecuación (4), obteniendo

 

[y = – frac {2} {3} x + 3 ]

 

Para dibujar el gráfico de la línea, primero ubique la intersección en y en P (0, 3), como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). Comenzando desde la intersección en y en P (0, 3), mueva 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo hasta el punto Q (3, 1). La línea requerida pasa por los puntos P y Q.

 

Tenga en cuenta que la línea «intercepta» el eje y en 3 y se inclina hacia abajo, de acuerdo con el hecho de que la pendiente es negativa en este ejemplo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Dada la gráfica de la línea en la Figura ( PageIndex {4} ) (a), determine la ecuación de la línea.

 

Solución

 

Primero, ubique la intersección y de la línea, que hemos etiquetado P (0, −1) en la Figura ( PageIndex {4} ) (b). En la fórmula y = mx + b, recuerde que b representa la coordenada y de la intersección y. Por lo tanto, b = −1.

 
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Figura ( PageIndex {3} ). La línea tiene intersección en y en (0, 3) y pendiente −2/3.
 

En segundo lugar, necesitamos determinar la pendiente de la línea. En la Figura ( PageIndex {4} ) (b), comience en el punto P, mueva 2 unidades hacia la derecha, luego 3 unidades hacia arriba hasta el punto Q (2, 2). Esto hace que la pendiente [m = frac { Delta y} { Delta x} = frac {3} {2} ]

 

Sustituya m = 3/2 y b = −1 en la forma pendiente-intersección y = mx + b para obtener

 

[y = frac {3} {2} x-1 ]

 

, que es la ecuación deseada de la línea.

 
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Figura ( PageIndex {4} ). Determinación de la ecuación de una línea a partir de su gráfica.
 
 

Haciendo conexiones

 

Si la conexión entre la velocidad y la pendiente aún no está clara, recordemos un ejemplo que hicimos anteriormente en el capítulo.

 

Sebastian se despide de su hermano, quien está hablando con un grupo de sus amigos a unos 20 pies de distancia. Entonces, Sebastián comienza a alejarse de su hermano a una velocidad constante de 4 pies por segundo.

 

La distancia entre los hermanos depende de la cantidad de tiempo que ha pasado, por lo que establecemos la distancia d en el eje vertical y el tiempo t en el eje horizontal, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ). Tenga en cuenta que d y t están tomando el lugar «habitual» de y y x, respectivamente. La distancia que separa a los hermanos en el tiempo t = 0 es d = 20 pies. Esto se indica con la «intersección d» en P (0, 20) en la Figura ( PageIndex {5} ).

 

Luego, la distancia entre los hermanos aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo. Comenzando en el punto P (0, 20), muévase 1 segundo a la derecha (2 cajas) y 4 unidades hacia arriba (1 caja) al punto Q (1, 24), como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ). La línea a través de los puntos P y Q luego modela la distancia entre los hermanos en función del tiempo.

 
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Figura ( PageIndex {5} ). Distancia entre hermanos en función del tiempo.
 

Si recuerda, entonces determinamos una relación entre la distancia d y el tiempo t examinando la distancia entre los hermanos en los tiempos t = 0, 1, 2 y 3, y resumiendo los resultados en la Tabla ( PageIndex {1 } ).

                                                                                                                                                                                                                                                                           
t d
0 20
1 20 + 4 (1)
2 20 + 4 (2)
3 20 + 4 (3)
 

Tabla ( PageIndex {1} ) Determinación de una ecuación modelo.

 

La intuición luego condujo al siguiente modelo, que proporciona la distancia d entre los hermanos en función del tiempo t.

 

[d = 20 + 4 t ]

 

Nuevamente, los lectores deben verificar que la ecuación (6) produce los resultados en la Tabla ( PageIndex {1} ) en t = 0, 1, 2 y 3.

 

Alternativamente, con la teoría desarrollada en esta sección, desarrollaríamos la ecuación de la línea usando la forma pendiente-intersección de la línea; es decir,

 

[y = m x + b ]

 

Sin embargo, en este caso, la variable dependiente es d, no y, y la variable independiente es t, no x. Entonces, reemplace y y x en la ecuación (7) con d y t, respectivamente, obteniendo

 

[d = m t + b ]

 

Luego, la línea intercepta el eje d en P (0, 20), entonces b = 20. Además, la pendiente de la línea es de 4 pies por segundo, entonces m = 4. Sustituye m = 4 y b = 20 en la ecuación (8) para obtener

 

[d = 4 t + 20 ]

 

o usando la notación de función, (d (t) = 4t + 20 ). Tenga en cuenta que la ecuación (9) es idéntica al modelo de ecuación (6) generado intuitivamente.

 

Con suerte, este desarrollo debería consolidar para siempre la idea de que la pendiente de la línea es la velocidad a la que la variable dependiente está cambiando con respecto a la variable independiente.

 

La forma estándar de una línea

 

Ahora sabemos que si nuestra ecuación tiene la forma (y = m x + b ) (o puede manipularse en esta forma), el gráfico será una línea. Tomemos un momento para demostrar que la gráfica de la ecuación (A x + B y = C ), donde A, B y C son constantes, es una línea.

 

Si podemos colocar la forma (A x + B y = C ) en la forma de intersección de pendiente (y = m x + b ), entonces eso demostrará que la gráfica de (A x + B y = C ) es una línea. Entonces, comience con (A x + B y = C ) y reste Ax de ambos lados de la ecuación.

 

[B y = -A x + C ]

 

Divida ambos lados de esta última ecuación por B. Tenga en cuenta que aquí se supone que (B neq 0 ). Manejaremos el caso cuando B = 0 por separado, al final de esta sección.

 

[ begin {alineado} frac {B y} {B} & = frac {-A x + C} {B} \ y & = – frac {A} {B} x + frac {C} {B} end {alineado} ]

 

Cuando comparamos (y = – (A / B) x + (C / B) ) con y = mx + b, notamos que la pendiente es m = −A / B y la coordenada y de La intersección en y es b = C / B. Debido a que tuvimos éxito al colocar la ecuación (A x + B y = C ) en forma de pendiente-intersección, ahora sabemos que la gráfica de (A x + B y = C ) es una línea (vamos a necesita este resultado en un trabajo posterior).

 
 

La forma estándar de una línea

 

La gráfica de la ecuación Ax + By = C es una línea. La forma [A x + B y = C ] se llama la forma estándar de una línea.

 
 

Veamos un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

La ecuación 3x + 4y = 12 está en forma estándar. Coloque esta ecuación en forma de pendiente-intersección, determine la pendiente y la intersección y, luego use estos resultados para dibujar la gráfica de la línea.

 

Solución

 

Primero, resuelve la ecuación 3x + 4y = 12 para y.

 

[ begin {alineado} 3 x + 4 y & = 12 \ 4 y & = – 3 x + 12 \ y & = – frac {3} {4} x + 3 end {alineado } ]

 

Observe en el último paso cómo entró en juego la propiedad distributiva. Cuando dividimos −3x + 12 entre 4, dividimos cada término entre 4, obteniendo (−3/4) x + 3.

 

Cuando comparamos y = (−3/4) x + 3 con la forma general de intersección de pendiente y = mx + b, determinamos que la pendiente es m = −3/4 y la coordenada y de la y -intercepción es b = 3. Para dibujar la gráfica de la línea, como lo hemos hecho en la Figura ( PageIndex {6} ), trace la intersección en y en P (0, 3), luego mueva 4 unidades a la derecha y 3 unidades hasta el punto Q (4, 0). La línea que pasa por los puntos P y Q es la línea requerida.

 

Observe nuevamente que la pendiente es m = −3/4 y que la línea se inclina “cuesta abajo”. Además, b = 3 y la línea «intercepta» el eje y en P (0, 3).

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

En el ejemplo ( PageIndex {1} ), determinamos que la línea dada tenía la ecuación

 

[y = frac {3} {2} x-1 ]

 

Coloque esta ecuación en estándar desde (Ax + By = C ), donde A, B y C son enteros y (A> 0 ).

 
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Figura ( PageIndex {6} ). La gráfica de (3x + 4y = 12 ).
 

Solución

 

Se nos pide que coloquemos la ecuación (y = (3/2) x – 1 ) en la forma (Ax + By = C ), donde A, B y C son enteros, así que vamos Comience por eliminar las fracciones de la ecuación. Multiplica ambos lados de la ecuación por el común denominador 2.

 

[ begin {alineado} y & = frac {3} {2} x-1 \ 2 y & = 2 left ( frac {3} {2} x-1 right) \ 2 y & = 3 x-2 end {alineado} ]

 

Ahora, resta 2y de ambos lados de la ecuación, luego suma 2 a ambos lados de la ecuación para obtener

 

[2 = 3 x-2 y ]

 

o equivalente,

 

[3 x-2 y = 2 ]

 

Tenga en cuenta que este último resultado está en forma estándar (Ax + By = C ), donde A, B y C son enteros y A> 0.

 
 

Intercepciones

 

Ahora sabemos que la gráfica de la ecuación (Ax + By = C ), donde A, B y C son constantes, es una línea. Debido a que la gráfica de (Ax + By = C ) es una línea, para dibujar la gráfica de la línea, solo necesitamos encontrar dos puntos que satisfagan la ecuación, trazarlos y luego dibujar una línea a través de ellos. Nuestros dos puntos favoritos para trabajar son las intersecciones x e y, porque cada una involucra el número cero, un número fácil de trabajar.

 

Considere el gráfico en la Figura ( PageIndex {7} ) (a). Tenga en cuenta que el gráfico pasa por el eje x tres veces. Los puntos donde la gráfica intercepta el eje x se llaman intersecciones x. Tenga en cuenta que cada uno de estos puntos tiene un valor definitorio en común: el valor y de cada una de estas intersecciones x es igual a cero.

 
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Figura ( PageIndex {7} ).
   
 

Cómo encontrar una intersección x

 

Para encontrar una intersección x, deje y = 0 en la ecuación y resuelva para x.

 
 

Por otro lado, considere el gráfico en la Figura ( PageIndex {7} ) (b). Tenga en cuenta que esta no es una función (falla la prueba de línea vertical) pero el gráfico intercepta el eje y tres veces por separado. Los puntos donde la gráfica intercepta el eje y se denominan intersecciones y. Tenga en cuenta que cada una de las intersecciones en y en la Figura ( PageIndex {7} ) (b) tiene un valor definitorio en común: el valor de x de cada una de las intersecciones en y es igual a cero.

 
 

Cómo encontrar una intersección en y

 

Para encontrar una intersección en y, deje x = 0 en la ecuación y resuelva para y.

 
 

Pongamos en práctica lo que hemos aprendido.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Dibuja el gráfico de 3x + 4y = 12.

 

Solución

 

Dibujamos la gráfica de la ecuación 3x + 4y = 12 en la Figura ( PageIndex {6} ). Allí resolvimos la ecuación para y para determinar la pendiente y la intersección con el eje y. Estos, a su vez, se usaron para dibujar la gráfica de 3x + 4y = 12 en la Figura ( PageIndex {6} ).

 

Aquí, nuestro enfoque será diferente. Primero determinaremos las intersecciones x e y, las trazaremos, luego dibujaremos una línea a través de estas intersecciones. Con suerte, obtendremos un resultado que coincida con el de la Figura ( PageIndex {6} ).

 

Para encontrar la intersección x, deje (y = 0 ) en (3x + 4y = 12 ) y resuelva para x.

 

[ begin {alineado} 3 x + 4 y & = 12 \ 3 x + 4 (0) & = 12 \ 3 x & = 12 \ x & = 4 end {alineado} ]

 

Por lo tanto, la intersección con el eje x es el punto Q (4, 0). Para encontrar la intersección con el eje y, deje x = 0 en (3x + 4y = 12 ) y resuelva para y.

 

[ begin {alineado} 3 x + 4 y & = 12 \ 3 (0) +4 y & = 12 \ 4 y & = 12 \ y & = 3 end {alineado} ]

 

Por lo tanto, la intersección en y es el punto P (0, 3). En la Figura ( PageIndex {8} ), hemos trazado tanto las intersecciones x como y y hemos dibujado una línea a través de ellas. Tenga en cuenta que la línea resultante en la Figura ( PageIndex {8} ) coincide con la misma línea dibujada en la Figura ( PageIndex {6} ) (donde usamos un método diferente).

 

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Figura ( PageIndex {8} ). Trazar las intersecciones x e y.

 

Recomendamos que siempre que la línea se proporcione en la Forma estándar (Ax + By = C ), encuentre las intersecciones x e y, las trace, luego dibuje una línea a través de ellas. Esta técnica es bastante eficiente porque trabajar con el número cero simplifica enormemente los cálculos.

 
 

Líneas horizontales y verticales

 

Hemos introducido la forma estándar de la línea (Ax + By = C ). El caso en el que A y B son simultáneamente iguales a cero no es muy interesante.4 Sin embargo, los siguientes dos casos son de interés.

 
         
  1. Si dejamos A = 0 y B 6 = 0 en la forma estándar (Ax + By = C ), entonces By = C, o equivalentemente y = C / B. Tenga en cuenta que esto tiene la forma y = b, donde b es algo constante.
  2.      
  3. Del mismo modo, si dejamos B = 0 y A 6 = 0 en la forma estándar (Ax + By = C ), entonces Ax = C, o equivalente, x = C / A. Tenga en cuenta que esto tiene la forma x = a, donde a es algo constante.
  4.  
 

Las líneas que tienen la forma x = ay e = b son dos de las líneas más fáciles de trazar. Veamos un ejemplo de cada uno.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Dibuja la gráfica de la ecuación x = 3.

 

Solución

 

La dirección «dibujar la gráfica de la ecuación x = 3» puede ser bastante molesta a menos que uno recuerde que una gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación. Por lo tanto, la dirección se plantea mejor si decimos «dibuja el conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen x = 3» o, de forma equivalente, «dibuja el conjunto de todos los puntos (x, y) que tienen un valor x de 3.» Entonces es fácil dibujar la línea vertical que se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ).

 
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Figura ( PageIndex {9} ). La gráfica de la ecuación x = 3.
 
 

Tenga en cuenta que cada punto de la línea tiene un valor de x igual a 3. Además, tenga en cuenta que la pendiente de esta línea vertical no está definida.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Dibuja la gráfica de la ecuación y = 3.

 

Solución

 

Esta dirección se plantea mejor si decimos «dibuja el conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen y = 3» o, de forma equivalente, «dibuja el conjunto de todos los puntos (x, y) que tienen un y- valor de 3. » Entonces es fácil dibujar la línea horizontal que se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

 

Tenga en cuenta que cada punto de la línea tiene un valor y igual a 3. Además, tenga en cuenta que esta línea horizontal tiene pendiente cero.

 

Dos comentarios finales están en orden. Debido a que la línea en la Figura 10 tiene pendiente cero e intersección en y (0, 3), podemos insertar m = 0 yb = 3 en la forma de intersección de pendiente y = mx + b y obtener

 

[y = 0 x + 3 ]

 
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Figura ( PageIndex {10} ). La gráfica de la ecuación y = 3.
 

que, por supuesto, es equivalente a y = 3. Sin embargo, la línea vertical que se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ) tiene una pendiente «indefinida», por lo que este enfoque no está disponible. Simplemente debemos reconocer que la línea vertical en la Figura ( PageIndex {9} ) consiste en todos los puntos que tienen un valor de x igual a 3, y luego intuir que su ecuación es x = 3.

 
         
                                  
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