3.3: Pendiente de una línea

3.3: Pendiente de una línea

Encuentra la pendiente de una línea

 

Cuando grafica ecuaciones lineales, puedes notar que algunas líneas se inclinan hacia arriba a medida que van de izquierda a derecha y algunas líneas se inclinan hacia abajo. Algunas líneas son muy empinadas y otras más planas.

 

En matemáticas, la medida de la inclinación de una línea se llama pendiente de la línea.

 

El concepto de pendiente tiene muchas aplicaciones en el mundo real. En la construcción, la inclinación de un techo, la inclinación de las tuberías y la inclinación de las escaleras son todas aplicaciones de pendiente. y mientras esquías o trotas cuesta abajo, definitivamente experimentas una pendiente.

 

Podemos asignar un valor numérico a la pendiente de una línea al encontrar la relación entre el aumento y la carrera. El aumento es la cantidad que cambia la distancia vertical mientras que la carrera mide el cambio horizontal, como se muestra en esta ilustración. La pendiente es una tasa de cambio. Ver Figura .

 
 
This figure has a diagram of two arrows. The first arrow is vertical and pointed up and labeled “rise”. The second arrow starts at the end of the first. The second arrow is horizontal and pointed right and labeled “run”.  
Figura ( PageIndex {1} ).
 
 
 
 
 

PENDIENTE DE UNA LÍNEA

 

La pendiente de una línea es (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).

 

El aumento mide el cambio vertical y la carrera mide el cambio horizontal.

 
 
 

Para encontrar la pendiente de una línea, ubicamos dos puntos en la línea cuyas coordenadas son enteros. Luego dibujamos un triángulo rectángulo donde los dos puntos son vértices y un lado es horizontal y un lado es vertical.

 

Para encontrar la pendiente de la línea, medimos la distancia a lo largo de los lados vertical y horizontal del triángulo. La distancia vertical se llama elevación y la distancia horizontal se llama carrera ,

 
 
 

ENCUENTRE LA PENDIENTE DE UNA LÍNEA DE SU GRÁFICO UTILIZANDO (m = frac { text {rise}} { text {run}} )

 
         
  1. Localice dos puntos en la línea cuyas coordenadas son enteros.
  2.      
  3. Comenzando con un punto, dibuja un triángulo rectángulo, yendo desde el primer punto hasta el segundo punto.
  4.      
  5. Cuente el ascenso y la carrera en las patas del triángulo.
  6.      
  7. Toma la razón de subida para correr para encontrar la pendiente: (m = frac { text {rise}} { text {run}} ).
  8.  
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

 

This figure shows the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 1 to 9. The y-axis runs from negative 1 to 7. The line goes through the points (0, 5), (3, 3), and (6, 1).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Localice dos puntos en el gráfico cuyas coordenadas
son ​​enteros.
((0,5) ) y ((3,3) )
Comenzando en ((0,5) ), dibuje un triángulo rectángulo a
((3,3) ) como se muestra en este gráfico.
.
Cuente el aumento, ya que baja, es negativo. El aumento es (- 2 ).
Cuenta la carrera. La carrera es 3.
Usa la fórmula de la pendiente. (m = frac { text {rise}} { text {run}} )
Sustituye los valores de la subida y la carrera. (m = −23 )
Simplifica. (m = −23 )
La pendiente de la línea es (- 23 ).
Entonces y disminuye en 2 unidades a medida que x aumenta en 3 unidades.
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

 

This figure shows the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 1 to 5. The y-axis runs from negative 6 to 1. The line goes through the points (0, negative 2) and (3, negative 6).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {4} {3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentra la pendiente de la línea que se muestra.

 

This figure shows the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 3 to 6. The y-axis runs from negative 3 to 2. The line goes through the points (0, 1) and (5, negative 2).

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {3} {5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

¿Cómo encontramos la pendiente de las líneas horizontales y verticales? Para encontrar la pendiente de la línea horizontal, (y = 4 ), podríamos graficar la línea, encontrar dos puntos en ella y contar el aumento y la carrera. Veamos qué sucede cuando hacemos esto, como se muestra en el gráfico a continuación.

 

The figure then shows the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 1 to 6. The y-axis runs from negative 1 to 8. The line goes through the points (0, 4) and (3, 4). What is the rise? The rise is 0. What is the run? The run is 3. What is the slope? m equals rise divided by run. m equals 0 divided by 3. m equals 0. The slope of the horizontal line y equals 4 is 0.

 

( begin {array} {ll} { text {¿Cuál es el aumento?}} Y { text {El aumento es} 0.} \ { text {¿Cuál es la ejecución?}} & { text {La carrera es} 3.} \ { text {¿Cuál es la pendiente?}} & {m = frac { text {rise}} { text {run}}} \ {} & {m = frac {0} {3}} \ {} & {m = 0} \ {} & { text {La pendiente de la línea horizontal} y = 4 text {es} 0.} end {array} nonumber )

 

Consideremos también una línea vertical, la línea (x = 3 ), como se muestra en el gráfico.

 

The figure then shows the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 2 to 6. The y-axis runs from negative 3 to 3. The line goes through the points (3, 0) and (3, 2). What is the rise? The rise is 2. What is the run? The run is 0. What is the slope? m equals rise divided by run. m equals 2 divided by 0.

 

( begin {array} {ll} { text {¿Cuál es el aumento?}} Y { text {El aumento es} 0.} \ { text {¿Cuál es la ejecución?}} & { text {La carrera es} 3.} \ { text {¿Cuál es la pendiente?}} & {m = frac { text {rise}} { text {run}}} \ {} & {m = frac {2} {0}} \ end {array} nonumber )

 

La pendiente no está definida ya que la división por cero no está definida. Entonces decimos que la pendiente de la línea vertical (x = 3 ) no está definida.

 

Todas las líneas horizontales tienen pendiente 0. Cuando las coordenadas y son ​​iguales, el aumento es 0.

 

La pendiente de cualquier línea vertical no está definida. Cuando las coordenadas x de una línea son todas iguales, la ejecución es 0.

 
 
 

PENDIENTE DE UNA LÍNEA HORIZONTAL Y VERTICAL

 

La pendiente de una línea horizontal, (y = b ), es 0.

 

La pendiente de una línea vertical, (x = a ), no está definida.

 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Encuentre la pendiente de cada línea: ⓐ (x = 8 ) ⓑ (y = −5 ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (x = 8 )
Esta es una línea vertical. Su pendiente es indefinida.
ⓑ (y = −5 )
Esta es una línea horizontal. Tiene pendiente 0.

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentre la pendiente de la línea: (x = −4 ).

 
     
Respuesta
     
     

indefinido

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Encuentre la pendiente de la línea: (y = 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

0

     
 
 
 
 
 
 
 
 

GUÍA RÁPIDA A LAS PENDIENTES DE LÍNEAS

 

The image shows four arrows. The first arrow is slanted and pointing up and to the right and is labeled “positive”. The second arrow is slanted and pointing down and to the right and labeled “negative”. The third arrow is horizontal and labeled “zero”. The fourth arrow is vertical and labeled “undefined”.

 
 
 
 
 
 

A veces tendremos que encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos cuando no tenemos un gráfico para contar el ascenso y la carrera. Podríamos trazar los puntos en papel cuadriculado, luego contar el ascenso y la carrera, pero como veremos, hay una manera de encontrar la pendiente sin graficar. Antes de llegar a él, necesitamos introducir alguna notación algebraica.

 

Hemos visto que un par ordenado (x, y) (x, y) da las coordenadas de un punto. Pero cuando trabajamos con pendientes, usamos dos puntos. ¿Cómo se puede usar el mismo símbolo (x, y) (x, y) para representar dos puntos diferentes? Los matemáticos usan subíndices para distinguir los puntos.

 

( begin {array} {ll} {(x_1, y_1)} & { text {read «} x text {sub} 1, space y text {sub} 1 text {«} } \ {(x_2, y_2)} & { text {read «} x text {sub} 2, space y text {sub} 2 text {«}} \ end {array} nonumber )

 

Usaremos ((x_1, y_1) ) para identificar el primer punto y ((x_2, y_2) ) para identificar el segundo punto.

 

Si tuviéramos más de dos puntos, podríamos usar ((x_3, y_3) ), ((x_4, y_4) ), y así sucesivamente.

 

Veamos cómo el ascenso y la carrera se relacionan con las coordenadas de los dos puntos al volver a mirar la pendiente de la línea entre los puntos ((2,3) ) y ((7,6) ) , como se muestra en este gráfico.

 

The figure shows the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 1 to 7. The y-axis runs from negative 1 to 7. The line goes through the points (2, 3) and (7, 6). A right triangle is drawn by connecting the three points (2, 3), (2, 6), and (7, 6). The point (2, 3) is labeled (x 1, y 1). The point (7, 6) is labeled (x 2, y 2). The vertical side of the triangle has labels y 2 minus y 1, 6 minus 3, and 3. The horizontal side of the triangle has labels x 2 minus x 1, 7 minus 2, and 5.

 

( begin {array} {ll} { text {Dado que tenemos dos puntos, utilizaremos la notación de subíndice.}} & { Begin {pmatrix} x_1, y y_1 \ 2 & 3 end { pmatrix} begin {pmatrix} x_2, & y_2 \ 6 & 6 end {pmatrix}} \ {} & {m = frac { text {rise}} { text {run}}} \ { text {En el gráfico, contamos el aumento de 3 y la ejecución de 5.}} & {m = frac {3} {5}} \ { text {Observe que el aumento de 3 se puede encontrar por restando}} y {} \ {y text {-coordinates, 6 y 3, y la ejecución de 5 se puede encontrar por}} & {} \ { text {restando las coordenadas x 7 y 2. }} & {} \ { text {Reescribimos el aumento y corremos poniendo las coordenadas.}} & {m = frac {6-3} {7-2}} \ {} & {} { text {Pero 6 es} y_2 text {, la coordenada y del segundo punto y 3 es} y_1 text {, la coordenada y}} & {} \ { text {del primer punto . Entonces podemos reescribir la pendiente usando la notación de subíndice.}} & {M = frac {y_2-y_1} {7-2}} \ { text {También 7 es la coordenada x del segundo punto y 2 es la coordenada x}} y {} \ { text {del primer punto. Así que de nuevo reescribimos la pendiente usando notación de subíndice.}} & {m = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1}} \ end {array} nonumber )

 

Hemos demostrado que (m = frac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} ) es realmente otra versión de (m = frac { text {rise}} { text {run} } ). Podemos usar esta fórmula para encontrar la pendiente de una línea cuando tenemos dos puntos en la línea.

 
 

PENDIENTE DE UNA LÍNEA ENTRE DOS PUNTOS

 

La pendiente de la línea entre dos puntos ((x_1, y_1) ) y ((x_2, y_2) ) es:

 

(m = frac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} ).

 
 

La pendiente es:

 

[y text {del segundo punto menos} y text {del primer punto} nonumber ] [ text {over} nonumber ] [x text {del segundo punto menos } x text {del primer punto} nonumber ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través de los puntos ((- 2, −3) ) y ((- 7,4) ) .

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} { text {Llamaremos (−2, −3) punto # 1 y (−7,4) punto # 2.}} & { Begin {pmatrix} x_1, & y_1 \ -2 & -3 end {pmatrix} begin {pmatrix} x_2, & y_2 \ -7 & 4 end {pmatrix}} \ { text {Use la fórmula de la pendiente.}} & {m = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1}} \ { text {Sustituir los valores.}} & {} \ { text {y del segundo punto menos y del primer punto} } & {} \ { text {x del segundo punto menos x del primer punto}} & {m = frac {4 – (- 3)} {- 7 – (- 2)}} \ { text {Simplify}} & {m = frac {7} {- 5}} \ {} & {m = frac {-7} {5}} \ end {array} nonumber ) [ 19459005]      

Verifiquemos esta pendiente en el gráfico que se muestra.

     The figure shows the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x-axis runs from negative 8 to 2. The y-axis runs from negative 6 to 6. The line goes through the points (negative 7, 4) and (negative 2, negative 3). A right triangle is drawn by connecting the three points (negative 7, 4), (negative 7, negative 3), and (negative 2, negative 3). The vertical side of the triangle is labeled “rise”. The horizontal side of the triangle is labeled “run”.      

[m = frac { text {rise}} { text {run}} nonumber ] [m = frac {7} {- 5} nonumber ] [m = frac {−7} {5} nonumber ]

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ) por ejemplo

 

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través del par de puntos: ((- 3,4) ) y ((2, −1) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 1 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Usa la fórmula de la pendiente para encontrar la pendiente de la línea a través del par de puntos: ((- 2,6) ) y ((- 3, −4) ).

 
     
Respuesta
     
     

10

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
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