3.3: Resolver aplicaciones de mezclas

3.3: Resolver aplicaciones de mezclas

Resolver problemas de monedas de palabras

 

En problemas de mezcla , tendremos dos o más elementos con diferentes valores para combinar. El modelo de mezcla es utilizado por tiendas de comestibles y cantineros para asegurarse de establecer precios justos para los productos que venden. Muchos otros profesionales, como químicos, banqueros de inversión y paisajistas, también usan el modelo mixto.

 
 

Nota

 

Realizar la actividad Matemática manipulativa Coin Lab te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de los problemas de palabras mixtas.

 
 

Comenzaremos mirando una aplicación con la que todos estén familiarizados: ¡dinero!

 

Imagine que sacamos un puñado de monedas de un bolsillo o cartera y las colocamos en un escritorio. ¿Cómo determinaríamos el valor de ese montón de monedas? Si podemos formar un plan paso a paso para encontrar el valor total de las monedas, nos ayudará a medida que comencemos a resolver problemas de palabras de monedas.

 

Entonces, ¿qué haríamos? Para ordenar el desorden de las monedas, podríamos separar las monedas en pilas de acuerdo con su valor. Los cuartos irían con cuartos, monedas de diez centavos, monedas de cinco centavos con monedas de cinco centavos, etc. Para obtener el valor total de todas las monedas, sumaríamos el valor total de cada pila.

 
Piles of pennies, nickels, dimes, and quarters  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 

¿Cómo determinaríamos el valor de cada pila? Piense en la pila de monedas de diez centavos: ¿cuánto vale? Si contamos el número de monedas de diez centavos, sabremos cuántos tenemos: el número de monedas de diez centavos.

 

Pero esto no nos dice el valor de todas las monedas de diez centavos. Digamos que contamos 17 dimes, ¿cuánto valen? Cada moneda de diez centavos vale $ 0.10, ese es el valor de una moneda de diez centavos. Para encontrar el valor total de la pila de 17 monedas de diez centavos, multiplique 17 por $ 0.10 para obtener $ 1.70. Este es el valor total de los 17 dimes. Este método lleva al siguiente modelo.

 
 

VALOR TOTAL DE MONEDAS

 

Para el mismo tipo de moneda, el valor total de varias monedas se encuentra utilizando el modelo

 

[número cdot value = total space value ]

 

donde
número es el número de monedas

 

valor es el valor de cada moneda

 

el valor total es el valor total de todas las monedas

 
 

El número de monedas de diez centavos multiplicado por el valor de cada moneda de diez centavos es igual al valor total de las monedas de diez centavos.

 

[ begin {alineado} text {número.} Cdot text {valor} & = text {valor total} \ 17 cdot $ 0.10 & = $ 1.70 end {alineado} ]

 

Podríamos continuar este proceso para cada tipo de moneda, y luego sabríamos el valor total de cada tipo de moneda. Para obtener el valor total de todas las monedas, agregue el valor total de cada tipo de moneda.

 

Veamos un caso específico. Supongamos que hay 14 cuartos, 17 monedas de diez centavos, 21 monedas de cinco centavos y 39 centavos.

 

This table has five rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Quarters, 14, 0.25, and 3.50. The third row reads Dimes, 17, 0.10, and 1.70. The fourth row reads Nickels, 21, 0.05, and 1.05. The fifth row reads Pennies, 39, 0.01, and 0.39. The extra cell reads 6.64.

 

Tabla ( PageIndex {1} )

 

El valor total de todas las monedas es $ 6.64.

 

¡Observe cómo la tabla ayuda a organizar toda la información! Veamos cómo usamos este método para resolver un problema de monedas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Adalberto tiene $ 2.25 en monedas de diez centavos y cinco centavos en su bolsillo. Tiene nueve centavos más que monedas de diez centavos. ¿Cuántos de cada tipo de moneda tiene?

 

Solución:

 

Paso 1. Lea el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.

Determine los tipos de monedas involucradas.
Piensa en la estrategia que usamos para encontrar el valor del puñado de monedas. Lo primero que necesitamos es notar qué tipos de monedas están involucradas. Adalberto tiene monedas de diez centavos y cinco centavos. Cree una tabla para organizar la información. Ver cuadro a continuación.  
         
  • Etiquete las columnas «tipo», «número», «valor», «valor total».
  •      
  • Enumere los tipos de monedas.
  •      
  • Escribe el valor de cada tipo de moneda.
  •      
  • Escribe el valor total de todas las monedas.
  •  
Podemos resolver este problema todo en centavos o en dólares. Aquí lo haremos en dólares y colocaremos el signo de dólar ($) en la tabla como recordatorio.
El valor de una moneda de diez centavos es de $ 0.10 y el valor de una moneda de cinco centavos es de $ 0.05. El valor total de todas las monedas es $ 2.25. La siguiente tabla muestra esta información.
 This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Dimes, blank, 0.10, and blank. The third row reads Nickels, blank, 0.05, and blank. The extra cell reads 2.25.  
     
     

Paso 2. Identifique lo que estamos buscando.

     

Se nos pide que encontremos el número de monedas de diez centavos y cinco centavos que tiene Adalberto.

     

Paso 3. Nombre lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.

    Use expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbalas en la tabla.
     
     

Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.

     

Luego contamos el número de cada tipo de moneda. En este problema no podemos contar cada tipo de moneda, eso es lo que está buscando, pero tenemos una pista. Hay nueve centavos más que monedas de diez centavos. La cantidad de monedas de cinco centavos es nueve más que la cantidad de monedas de diez centavos.

     

[ begin {alineado} text {Let} d & = text {número de monedas de diez centavos. } \ d + 9 & = text {número de monedas de cinco centavos} end {alineado} ]

     

Complete la columna «número» en la tabla para ayudar a organizar todo.

     This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Dimes, d, 0.10, and blank. The third row reads Nickels, d plus 9, 0.05, and blank. The extra cell reads 2.25.      

¡Ahora tenemos toda la información que necesitamos del problema!

     

Multiplicamos el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda. Si bien no sabemos el número real, sí tenemos una expresión para representarlo.

     

Y ahora multiplique ( text {número} cdot text {value} = text {valor total} ). Vea cómo se hace esto en la tabla a continuación.

     

This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Dimes, d, 0.10, and 0.10d. The third row reads Nickels, d plus 9, 0.05, and 0.05 times the quantity (d plus 9). The extra cell reads 2.25.

     

Observe que el título de la tabla muestra el modelo.

     

Paso 4. Traduzca en una ecuación. Puede ser útil repetir el problema en una oración. Traduce la oración en inglés a una ecuación algebraica.

     

Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.

     

The sentence, “value of dimes plus value of nickels equals total value of coins,” can be translated to an equation. Translate “value of dimes” to 0.10d, translate “value of nickles” to 0.05d, and translate “total value of coins” to 2.25. The full equation is 0.10d plus 0.05 times the quantity d plus 9 equals 2.25.

     

Paso 5. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.

          

Paso 6. Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.

     

¿Esto verifica?

     

[ begin {array} {llll} {12 text {dimes}} y {12 (0.10)} & {=} y {1.20} \ {21 text {nickels}} y {21 ( 0.05)} & {=} & { underline {1.05}} \ {} & {} & {} & {$ 2.25 checkmark} end {array} ]

     

Paso 7. Responda la pregunta con una oración completa.

    Adalberto tiene doce monedas de diez centavos y veintiún monedas de cinco centavos.
     
 
 

Si este fuera un ejercicio de tarea, nuestro trabajo podría ser similar al siguiente.

 

A homework assignment written on lined loose leaf paper. The assignment reads: “Adalberto has 2 dollars and 25 cents in dimes and nickels in his pocket. He has nine more nickels than dimes. How many of each type does he have?” Below this is a table. The first row of the table is a header row, and each cell names the column or columns below it. The first cell from the left is named “Type.” The second cell contains the equation “Number” times “Value” equals “Total Value,” with one column corresponding to “Number,” one column corresponding to “Value,” and one column corresponding to total value. Hence the content of the “Number” column times the content of the “Value” column equals the content of the “Total Value” column. In the second row of the table, the “Type” column contains “Dimes,” the “Number” column contains d, the “Value” column contains 0.10, and the “Total Value” column contains 0.10d. In the third row of the table, the “Type” column contains “Nickels,” the “Number” column contains d plus 9, the “Value column contains 0.05, and the “Total Value” column contains 0.05 times the quantity d plus 9. One row down, the “Total Value” column contains one more cell, which contains 2.25. Below the table is the equation 0.10d plus 0.05d plus 0.45 equals 2.25. Below this is 0.15d plus 0.45 equals 2.25. Below this is 0.15d equals 1.80. To the right is d plus 9, which translates to 12 plus 9, or 21 nickels. To the right of this is the checking stage, where we see if 12 dimes and 21 nickels amount to 2 dollars and 25 cents. 12 times 0.10 equals 1.20, and 21 times (0.05) equals 1.05. 1.20 plus 1.05 equals 2.25.

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {1} )

 

Michaela tiene $ 2.05 en monedas de diez centavos y cinco centavos en su bolsa de cambio. Ella tiene siete monedas de diez centavos más que cinco centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene ella?

 
     
Respuesta
     
     

9 nickels, 16 dimes

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {2} )

 

Liliana tiene $ 2.10 en monedas de cinco centavos y monedas en su mochila. Ella tiene 12 centavos más que cuartos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene ella?

 
     
Respuesta
     
     

17 monedas de cinco centavos, 5 cuartos

     
 
 
 
 

RESOLVER PROBLEMAS DE PALABRAS DE MONEDA.

 
         
  1. Lea el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.      
               
    • Determine los tipos de monedas involucradas.
    •          
    • Cree una tabla para organizar la información.
    •          
    • Etiquete las columnas «tipo», «número», «valor», «valor total».
    •          
    • Enumere los tipos de monedas.
    •          
    • Escribe el valor de cada tipo de moneda.
    •          
    • Escribe el valor total de todas las monedas.
    •      
         This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The rest of the cells are blank.
  2.      
  3. Identifique lo que estamos buscando.
  4.      
  5. Nombre lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.      
               
    • Use expresiones variables para representar el número de cada tipo de moneda y escríbalas en la tabla.
    •          
    • Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
    •      
         
  6.      
  7. Traduzca en una ecuación.
    Puede ser útil reformular el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en una ecuación.
    Escribe la ecuación sumando los valores totales de todos los tipos de monedas.
  8.      
  9. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
  10.      
  11. Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  12.      
  13. Responda la pregunta con una oración completa.
  14.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

María tiene $ 2.43 en cuartos y centavos en su billetera. Ella tiene el doble de centavos que cuartos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene ella?

 

Solución:

 

Paso 1. Lea el problema.

 

Determine los tipos de monedas involucradas.

 

Sabemos que María tiene cuartos y centavos.

 

Cree una tabla para organizar la información.

 
         
  • Etiquete las columnas «tipo», «número», «valor», «valor total».
  •  
 
         
  • Escribe el valor de cada tipo de moneda.
  •  
 
         
  • Escribe el valor total de todas las monedas.
  •  
 

This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Quarters, blank, 0.25, and blank. The third row reads Pennies, blank, 0.01, and blank. The extra cell reads 2.43.

 

Paso 2. Identifique lo que está buscando.

 
         
  • Estamos buscando la cantidad de cuartos y centavos.
  •  
 

Paso 3. Nombre. Representa el número de trimestres y centavos usando variables.

 
         
  • Sabemos que María tiene el doble de centavos que cuartos. El número de centavos se define en términos de trimestres.
  •  
 
         
  • Sea q represente el número de trimestres.
  •  
 
         
  • Entonces el número de centavos es 2 q .
  •  
 

This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Quarters, q, 0.25, and blank. The third row reads Pennies, 2q, 0.01, and blank. The extra cell reads 2.43.

 

Multiplica el «número» y el «valor» para obtener el «valor total» de cada tipo de moneda.

 No Alt Text  

Paso 4. Traducir. Escribe la ecuación sumando el «valor total» de todos los tipos de monedas.

 

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 5. Resolver} text {la ecuación.}} & {0.25q + 0.01 (2q) = 2.43} \ { text {Multiplicar.} } & {0.25q + 0.02q = 2.43} \ { text {Combinar términos similares.}} & {0.27q = 2.43} \ { text {Divide by 0.27}} & {q = 9 text {trimestres }} \ { text {El número de centavos es 2q.}} & {2q} \ {} & {2 cdot 9} \ {} y {18 text {pennies}} \ { textbf {Paso 6. Marque} text {la respuesta en el problema.}} & {} \\ { text {Maria tiene 9 cuartos y 18 centavos. Muere esto}} & {} \ { text {make } $ 2.43?} & {} End {array} )
( begin {array} {llll} \ {9 text {quarters}} & {9 (0.25)} & {=} & { 2.25} \ {18 text {pennies}} y {18 (0.01)} & {=} & { underline {0.18}} & {} \ { text {Total}} & {} & {} & {$ 2.43 marca de verificación} end {array} )
( begin {array} {ll} \ { textbf {Paso 7. Responde} text {la pregunta.}} & { Text {Maria tiene nueve cuartos y dieciocho centavos.}} end {array} )

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {3} )

 

Sumanta tiene $ 4.20 en monedas de cinco centavos y diez centavos en su alcancía. Ella tiene el doble de monedas de cinco centavos que monedas de diez centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene ella?

 
     
Respuesta
     
     

42 nickels, 21 dimes

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {4} )

 

Alison tiene tres veces más monedas de diez centavos que cuartos en su bolso. Ella tiene $ 9.35 en total. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene ella?

 
     
Respuesta
     
     

51 dimes, 17 trimestres

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, mostraremos solo la tabla completa; recuerde los pasos que tomamos para completar la tabla.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Danny tiene $ 2.14 en centavos y centavos en su alcancía. El número de monedas de cinco centavos es dos veces más que diez centavos. ¿Cuántos centavos y cuántos centavos tiene Danny?

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
Paso 1. Lea el problema.
Determine los tipos de monedas involucradas. centavos y cinco centavos
Crea una tabla.
Escribe el valor de cada tipo de moneda. Los centavos valen $ 0.01.
Los níquel valen $ 0.05.
Paso 2. Identifique lo que estamos buscando. el número de centavos y monedas de cinco centavos
Paso 3. Nombre. Representa el número de cada tipo de moneda usando variables.
El número de monedas de cinco centavos se define en términos del número de centavos, así que comience con centavos. Sea (p = ) número de centavos.
El número de monedas de cinco centavos es dos veces más que diez centavos. Y deje (10p + 2 = ) número de monedas de cinco centavos.
Multiplica el número y el valor para obtener el valor total de cada tipo de moneda.
This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads pennies, p, 0.01, and 0.01p. The third row reads nickels, 10p plus 2, 0.05, and 0.05 times the quantity (10p plus 2). The extra cell reads $2.14.
Paso 4. Traducir. Escribe la ecuación sumando el valor total de todos los tipos de monedas. .
Paso 5. Resuelve la ecuación. .
¿Cuántas monedas de cinco centavos? .
Paso 6. Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido
Danny tiene cuatro centavos y 42 monedas de cinco centavos.
¿El valor total es $ 2.14?
( begin {array} {rll} {4 (0.01) +42 (0.05)} & { stackrel {?} {=}} & {2.14} \ {2.14} & {=} & { 2.14 marca de verificación} end {array} )
Paso 7. Responda la pregunta. Danny tiene cuatro centavos y 42 monedas de cinco centavos.
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {5} )

 

Jesse tiene $ 6.55 en monedas y monedas en su bolsillo. El número de monedas de cinco centavos es cinco más que dos veces el número de trimestres. ¿Cuántas monedas de cinco centavos y cuántos cuartos tiene Jesse?

 
     
Respuesta
     
     

41 monedas de cinco centavos, 18 cuartos

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {6} )

 

Elane tiene un total de $ 7.00 en monedas de diez centavos y cinco centavos en su frasco de monedas. La cantidad de monedas de diez centavos que tiene Elane es siete menos de tres veces la cantidad de monedas de cinco centavos. ¿Cuántas de cada moneda tiene Elane?

 
     
Respuesta
     
     

22 monedas de cinco centavos, 59 dimes

     
 
 
 

Resolver problemas verbales de tickets y sellos

 

Los problemas relacionados con boletos o sellos son muy parecidos a los problemas con monedas. Cada tipo de boleto y sello tiene un valor, al igual que cada tipo de moneda. Entonces, para resolver estos problemas, seguiremos los mismos pasos que usamos para resolver problemas de monedas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

En un concierto escolar, el valor total de las entradas vendidas fue de $ 1,506. Los boletos para estudiantes se venden por $ 6 cada uno y los boletos para adultos se venden por $ 9 cada uno. El número de boletos para adultos vendidos fue cinco menos de tres veces el número de boletos para estudiantes vendidos. ¿Cuántas entradas para estudiantes y cuántas entradas para adultos se vendieron?

 

Solución:

 

Paso 1. Lea el problema.

 
         
  • Determine los tipos de boletos involucrados. Hay entradas para estudiantes y entradas para adultos.
  •  
 
         
  • Cree una tabla para organizar la información.
  •  
 This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Student, blank, 6, and blank. The third row reads Adult, blank, 9, and blank. The extra cell reads 1506.  

Paso 2. Identifique lo que estamos buscando.

 
         
  • Estamos buscando la cantidad de entradas para estudiantes y adultos.
  •  
 

Paso 3. Nombre. Representa el número de cada tipo de ticket utilizando variables.

 

Sabemos que el número de boletos para adultos vendidos fue cinco menos de tres veces el número de boletos para estudiantes vendidos.

 
         
  • Sea (s ) el número de entradas de estudiantes.
  •  
 
         
  • Entonces (3s − 5 ) es el número de boletos para adultos
  •  
 

Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de boleto.

 This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Student, s, 6, and 6s. The third row reads Adult, 3s minus 5, 9, and 9 times the quantity (3s minus 5). The extra cell reads 1506.  

Paso 4. Traducir. Escribe la ecuación sumando los valores totales de cada tipo de boleto.

 

[6 s + 9 (3 s-5) = 1506 nonumber ]

 

Paso 5. Resuelve la ecuación.

 

[ begin {array} {rcl} {6 s + 27 s-45} & {=} & {1506} \ {33 s-45} & {=} & {1506} \ {33 s} & {=} & {1551} \ {s} & {=} & {47 text {entradas para estudiantes}} \ { text {Número de entradas para adultos}} & {=} & {3s-5 } \ {} & {=} & {3 (47) -5} \ { text {Así que hubo}} & {136} y { text {entradas para adultos}} end {array} nonumber ]

 

Paso 6. Marque la respuesta.

 

Hubo 47 boletos para estudiantes a $ 6 cada uno y 136 boletos para adultos a $ 9 cada uno. ¿El valor total es $ 1,506? Encontramos el valor total de cada tipo de boleto multiplicando el número de boletos por su valor y luego sumamos para obtener el valor total de todos los boletos vendidos.

 

[ begin {array} {lll} {47 cdot 6} & {=} & {282} \ {136 cdot 9} & {=} & { underline {1224}} \ { } & {} Y {1506 marca de verificación} \ end {array} nonumber ]

 

Paso 7. Responda la pregunta. Vendieron 47 boletos para estudiantes y 136 boletos para adultos.

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {7} )

 

El primer día de un torneo de waterpolo, el valor total de las entradas vendidas fue de $ 17,610. Los pases de un día se venden por $ 20 y los pases de torneo se venden por $ 30. El número de pases de torneo vendidos fue 37 más que el número de pases de día vendidos. ¿Cuántos pases diarios y cuántos pases de torneo se vendieron?

 
     
Respuesta
     
     

Pases de 330 días, 367 pases de torneo

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {8} )

 

En el cine, el valor total de las entradas vendidas fue de $ 2,612.50. Los boletos para adultos se venden por $ 10 cada uno y los boletos para adultos mayores / niños se venden por $ 7.50 cada uno. El número de boletos para adultos mayores / niños vendidos fue 25 menos del doble del número de boletos para adultos vendidos. ¿Cuántas entradas para senior / child y cuántas entradas para adultos se vendieron?

 
     
Respuesta
     
     

112 entradas para adultos, 199 entradas para adultos / niños

     
 
 
 

Hemos aprendido cómo encontrar el número total de tickets cuando el número de un tipo de ticket se basa en el número del otro tipo. A continuación, veremos un ejemplo en el que conocemos el número total de tickets y tenemos que averiguar cómo se relacionan los dos tipos de tickets.

 

Supongamos que Bianca vendió un total de 100 boletos. Cada boleto era un boleto de adulto o un boleto de niño. Si vendió 20 boletos para niños, ¿cuántos boletos para adultos vendió?

 
         
  • ¿Dijiste ’80’? ¿Cómo te diste cuenta de eso? ¿Restaste 20 de 100?
  •  
 

Si vendió 45 boletos para niños, ¿cuántos boletos para adultos vendió?

 
         
  • ¿Dijiste ’55’? ¿Cómo lo encontraste? ¿Restando 45 de 100?
  •  
 

¿Qué pasa si vendió 75 boletos para niños? ¿Cuántos boletos para adultos vendió?

 
         
  • El número de boletos para adultos debe ser 100−75. Ella vendió 25 boletos para adultos.
  •  
 

Ahora, supongamos que Bianca vendió x boletos para niños. Entonces, ¿cuántos boletos para adultos vendió? Para averiguarlo, seguiríamos la misma lógica que utilizamos anteriormente. En cada caso, restamos el número de boletos para niños de 100 para obtener el número de boletos para adultos. Ahora hacemos lo mismo con x .

 

Hemos resumido esto a continuación.

 

This table has five rows and two columns. The top row is a header row that reads from left to right Child tickets and Adult tickets. The second row reads 20 and 80. The third row reads 45 and 55. The fourth row reads 75 and 25. The fifth row reads x and 100 plus x.

 

Tabla ( PageIndex {2} )

 

Podemos aplicar estas técnicas a otros ejemplos

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Galen vendió 810 boletos para el carnaval de su iglesia por un total de $ 2,820. Los boletos para niños cuestan $ 3 cada uno y los boletos para adultos cuestan $ 5 cada uno. ¿Cuántas entradas para niños y cuántas entradas para adultos vendió?

 

Solución:

 

Paso 1. Lea el problema.

 
         
  • Determine los tipos de boletos involucrados. Hay entradas para niños y entradas para adultos.
  •  
 
         
  • Cree una tabla para organizar la información.
  •  
 
 This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Children, blank, 3, and blank. The third row reads Adult, blank, 5, and blank. The extra cell reads 2820.  

Paso 2. Identifique lo que estamos buscando.

 
         
  • Estamos buscando la cantidad de boletos para niños y adultos.
  •  
 

Paso 3. Nombre. Representa el número de cada tipo de ticket utilizando variables.

 
         
  • Sabemos que el número total de boletos vendidos fue de 810.
  •  
 
         
  • Esto significa que el número de boletos para niños más el número de boletos para adultos debe sumar 810.
  •  
 
         
  • Sea (c ) el número de entradas para niños.
  •  
 This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads Children, c, 3, and 3c. The third row reads Adult, 810 minus c, 5, and 5 times the quantity (810 minus c). The extra cell reads 2820.  
         
  • Entonces (810 − c ) es el número de boletos para adultos.
  •      
  • Multiplica el número por el valor para obtener el valor total de cada tipo de boleto.
  •  
 

Paso 4. Traducir.

 

Escribe la ecuación sumando los valores totales de cada tipo de boleto.

 

Paso 5. Resuelve la ecuación.

 

[ begin {align *} 3 c + 5 (810-c) & = 2,820 \ 3 c + 4,050-5 c & = 2,820 \ – 2 c & = – 1,230 \ c & = 615 text {tickets para niños} end {align *} ]

 

¿Cuántos adultos?

 

[ begin {array} {c} {810-c} \ {810-615} \ {195 text {entradas para adultos}} end {array} nonumber ]

 

Paso 6. Marque la respuesta. Hubo 615 boletos para niños a $ 3 cada uno y 195 boletos para adultos a $ 5 cada uno. ¿El valor total es de $ 2,820?

 

[ begin {array} {rrl} {615 cdot 3} & {=} & {1845} \ {195 cdot 5} & {=} & { underline {975}} \ { } & {} Y {2.820 marca de verificación} end {array} nonumber ]

 

Paso 7. Responda la pregunta. Galen vendió 615 boletos para niños y 195 boletos para adultos.

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {9} )

 

Durante su turno en la taquilla del museo, Leah vendió 115 boletos por un total de $ 1,163. Las entradas para adultos cuestan $ 12 y las entradas para estudiantes cuestan $ 5. ¿Cuántas entradas para adultos y cuántas entradas para estudiantes vendió Leah?

 
     
Respuesta
     
     

84 entradas para adultos, 31 entradas para estudiantes

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {10} )

 

Un barco de observación de ballenas tenía 40 pasajeros que pagaban a bordo. El total recaudado de los boletos fue de $ 1,196. Los pasajeros de tarifa completa pagaron $ 32 cada uno y los pasajeros de tarifa reducida pagaron $ 26 cada uno. ¿Cuántos pasajeros de tarifa completa y cuántos pasajeros de tarifa reducida estaban en el barco?

 
     
Respuesta
     
     

26 tarifa completa, 14 tarifa reducida

     
 
 
 

Ahora, haremos uno donde completemos la tabla de una vez.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Mónica pagó $ 8,36 por sellos. El número de sellos de 41 centavos era cuatro veces más que el doble de sellos de dos centavos. ¿Cuántos sellos de 41 centavos y cuántos sellos de dos centavos compró Mónica?

 

Solución:

 

Los tipos de sellos son sellos de 41 centavos y sellos de dos centavos. ¡Sus nombres también dan el valor!

 

«El número de sellos de 41 centavos era cuatro veces más que el doble de sellos de dos centavos».

 

[ begin {array} {l} { text {Let} x = text {número de} 2 text {-cent sellos. }} \ {2 x + 4 = text {número de} 41- text {sellos de centavo}} end {array} nonumber ]

 

This table has three rows and four columns with an extra cell at the bottom of the fourth column. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number, Value ($), and Total Value ($). The second row reads 41 cent stamps, 2x plus 4, 0.41, and 0.41 times the quantity (2x plus 4). The third row reads 2 cent stamps, x, 0.02, and 0.02x. The extra cell reads 8.36.

 

[ begin {array} {lr} { text {Escriba la ecuación a partir de los valores totales.}} & {0.41 (2x + 4) + 0.02x = 8.36} \ {} y {0.82x + 1.64 + 0.02x = 8.36} \ {} & {0.84x + 1.64 = 8.36} \ { text {Resuelva la ecuación.}} & {0.84x = 6.72} \ {} & {x = 8} \ { text {Mónica compró ocho sellos de dos centavos.}} y {} \ { text {Encuentre el número de sellos de 41 centavos que compró}} y {2x + 4 text {para} x = 8} \ { text {evaluando}} y {2x + 4} \ {} y {2 (8) + 4} \ {} y {20} end {array} nonumber ] [19459007 ]  

Verificar.

 

[ begin {array} {rll} {8 (0.02) + 20 (0.41)} & { stackrel {?} {=}} & {8.36} \ {0.16 + 8.20} & { stackrel {?} {=}} Y {8.36} \ {8.36} & {=} y {8.46 marca de verificación} end {array} ]
[ begin {array} {ll} \ {} & { text {Monica compró ocho sellos de dos centavos y 20}} \ {} & { text {sellos de 41 centavos}} end {array} nonumber ]

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {11} )

 

Eric pagó $ 13.36 por sellos. El número de sellos de 41 centavos era ocho veces más que el doble de sellos de dos centavos. ¿Cuántos sellos de 41 centavos y cuántos sellos de dos centavos compró Eric?

 
     
Respuesta
     
     

32 a $ 0,41, 12 a $ 0,02

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {12} )

 

Kailee pagó $ 12.66 por sellos. El número de sellos de 41 centavos era cuatro menos de tres veces el número de sellos de 20 centavos. ¿Cuántos sellos de 41 centavos y cuántos sellos de 20 centavos compró Kailee?

 
     
Respuesta
     
     

26 a $ 0,41, 10 a $ 0,20

     
 
 
 

Resolver problemas verbales de mezcla

 

Ahora resolveremos algunas aplicaciones más generales del modelo de mezcla. Los supermercados y los camareros usan el modelo de mezcla para establecer un precio justo para un producto hecho de mezclar dos o más ingredientes. Los planificadores financieros usan el modelo mixto cuando invierten dinero en una variedad de cuentas y desean encontrar la tasa de interés general. Los diseñadores de paisajes usan el modelo de mezcla cuando tienen una variedad de plantas y un presupuesto fijo, y los coordinadores de eventos hacen lo mismo al elegir aperitivos y platos principales para un banquete.

 

Nuestro primer problema verbal de mezcla será hacer una mezcla de pasas y nueces.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Henning está mezclando pasas y nueces para hacer 10 libras de mezcla de frutos secos. Las pasas cuestan $ 2 por libra y las nueces cuestan $ 6 por libra. Si Henning quiere que el costo de la mezcla del sendero sea de $ 5.20 por libra, ¿cuántas libras de pasas y cuántas libras de nueces debería usar?

 

Solución:

 

Como antes, completamos un cuadro para organizar nuestra información.

 

Las 10 libras de mezcla de trail vendrán de mezclar pasas y nueces.

 

[ begin {array} {l} { text {Let} x = text {número de libras de pasas. }} \ {10-x = text {número de libras de nueces}} end {array} nonumber ]

 

Ingresamos el precio por libra para cada artículo.

 

Multiplicamos el número por el valor para obtener el valor total.

 This table has four rows and four columns. The top row is a header row that reads from left to right Type, Number of pounds, Price per pound ($), and Total Value ($). The second row reads raisins, x, 2, and 2x. The third row reads nuts, 10 minus x, 6, and 6 times the quantity (10 minus x). The fourth row reads trail mix, 10, 5.20, and 10 times 5.20.  

Observe que la última línea de la tabla proporciona la información para la cantidad total de la mezcla.

 

Sabemos que el valor de las pasas más el valor de las nueces será el valor de la mezcla de frutos secos.

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {13} )

 

Orlando está mezclando nueces y cuadrados de cereal para hacer una mezcla de fiesta. Las nueces se venden por $ 7 por libra y los cuadrados de cereales se venden por $ 4 por libra. Orlando quiere hacer 30 libras de mezcla para fiestas a un costo de $ 6.50 por libra, ¿cuántas libras de nueces y cuántas libras de cuadrados de cereal debería usar?

 
     
Respuesta
     
     

5 libras de cuadrados de cereal, 25 libras de nueces

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {14} )

 

Becca quiere mezclar jugo de frutas y refrescos para hacer un puñetazo. Puede comprar jugo de fruta por $ 3 por galón y refrescos por $ 4 por galón. Si quiere hacer 28 galones de ponche a un costo de $ 3.25 por galón, ¿cuántos galones de jugo de fruta y cuántos galones de refresco debería comprar?

 
     
Respuesta
     
     

21 galones de ponche de frutas, 7 galones de refresco

     
 
 
 

También podemos usar el modelo de mezcla para resolver problemas de inversión usando interés simple . Hemos utilizado la fórmula de interés simple, (I = Prt ), donde (t ) representa el número de años. Cuando solo necesitamos encontrar el interés por un año, (t = 1 ), entonces (I = Pr ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Stacey tiene $ 20,000 para invertir en dos cuentas bancarias diferentes. Una cuenta paga intereses al 3% anual y la otra cuenta paga intereses al 5% anual. ¿Cuánto debería invertir en cada cuenta si quiere ganar 4.5% de interés por año sobre el monto total?

 

Solución:

 

Completaremos un cuadro para organizar nuestra información. Utilizaremos la fórmula de interés simple para encontrar el interés ganado en las diferentes cuentas.

 

El interés de la inversión mixta vendrá de agregar el interés de la cuenta que gana el 3% y el interés de la cuenta que gana el 5% para obtener el interés total de los $ 20,000.

 

[ begin {alineado} text {Let} x & = text {monto invertido en} 3 % \ 20,000-x & = text {monto invertido en} 5 % end {alineado} ]

 

El monto invertido es el principal para cada cuenta.

 

Ingresamos la tasa de interés para cada cuenta.

 

Multiplicamos la cantidad invertida por la tasa para obtener el interés.

 This table has four rows and four columns. The top row is a header row that reads from left to right Type, Amount invested, Rate, and Interest. The second row reads 3%, x, 0.03, and 0.03x. The third row reads 5%, 20,000 minus x, 0.05, and 0.05 times the quantity (20,000 minus x). The fourth row reads 4.5%, 20,000, 0.045, and 0.045 times 20,000.  

Observe que la cantidad total invertida, 20,000, es la suma de la cantidad invertida al 3% y la cantidad invertida al 5%. Y el interés total, (0.045 (20,000) ), es la suma del interés ganado en la cuenta del 3% y el interés ganado en la cuenta del 5%.

 

Al igual que con las otras aplicaciones de mezclas, la última columna de la tabla nos da la ecuación para resolver.

                                                                                                                                                                                                              
Escribe la ecuación del interés ganado.

Resuelve la ecuación.

             

( begin {array} {rll} {0.03x + 0.05 (20000-x)} & {=} & {0.045 (20000)} \\ {0.03x + 1000 – 0.05x} & { =} & {900} \ {-0.02x} & {=} & {- 100} \ {x} & {=} & {5000} \ { text {cantidad invertida al 3%}} end {array} )

             
Encuentre la cantidad invertida al 5%. .
.
.
             

Verificar.
( begin {array} {rll} {0.03x + 0.05 (15000 + x)} & { stackrel {?} {=}} & {0.045 (20000)} \ {150 + 750} & { stackrel {?} {=}} y {900} \ {900} & {=} y {900 checkmark} end {array} )

             
Stacey debería invertir $ 5,000 en la cuenta que
gana 3% y $ 15,000 en la cuenta que gana 5%.
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {15} )

 

Remy tiene $ 14,000 para invertir en dos fondos mutuos. One fund pays interest at 4% per year and the other fund pays interest at 7% per year. How much should she invest in each fund if she wants to earn 6.1% interest on the total amount?

 
     
Answer
     
     

$4,200 at 4%, $9,800 at 7%

     
 
 
 
 

Try It (PageIndex{16})

 

Marco has $8,000 to save for his daughter’s college education. He wants to divide it between one account that pays 3.2% interest per year and another account that pays 8% interest per year. How much should he invest in each account if he wants the interest on the total investment to be 6.5%?

 
     
Answer
     
     

$2,500 at 3.2%, $5,500 at 8%

     
 
 
 
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