3.3: Tasas y pendiente

3.3: Tasas y pendiente

                 

Abramos esta sección con una aplicación del concepto de tasa .

 
 

Independiente versus dependiente

 

Es tradicional colocar la variable independiente en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Se deja caer un objeto desde el reposo, luego comienza a aumentar la velocidad a una velocidad constante de (10 ​​) metros por segundo cada segundo ( (10 ​​( mathrm {m} / mathrm {s}) / mathrm {s} ) o (10 ​​ mathrm {m} / mathrm {s} ^ {2} )). Dibuja la gráfica de la velocidad del objeto versus el tiempo.

 

Solución

 

En este ejemplo, la velocidad del objeto depende del tiempo. Esto hace que la velocidad sea la variable dependiente y el tiempo la variable independiente .

 

Siguiendo esta guía, colocamos el tiempo en el eje horizontal y la velocidad en el eje vertical. En la Figura ( PageIndex {1} ), tenga en cuenta que hemos etiquetado cada eje con las variables dependientes e independientes ( (v ) y (t )), y hemos incluido las unidades ( ( mathrm {m} / mathrm {s} ) y ( mathrm {s} )) en nuestras etiquetas. Luego, necesitamos escalar cada eje. Al determinar una escala para cada eje, tenga en cuenta dos pensamientos:

 
         
  1. Elija una escala que haga conveniente trazar los datos dados.
  2.      
  3. Elija una escala que permita que todos los datos dados quepan en el gráfico.
  4.  
 

En este ejemplo, queremos una escala que permita mostrar que la velocidad aumenta a una velocidad de (10 ​​) metros por segundo ( (10 ​​ mathrm {m} / mathrm {s} )) cada segundo ( ( mathrm {m} / mathrm {s} )). Un enfoque posible es hacer que cada marca en el eje horizontal sea igual a (1 mathrm {s} ) y cada marca en el eje vertical sea igual a (10 ​​ mathrm {m} / mathrm {s} )

 
fig 3.3.1.png
Figura ( PageIndex {1} ) : Etiquete y escale cada eje. Incluye unidades con etiquetas.
 

Luego, en el tiempo (t = 0 mathrm {s} ), la velocidad es (v = 0 mathrm {m} / mathrm {s} ). Este es el punto ((t, v) = (0,0) ) trazado en la Figura ( PageIndex {2} ). En segundo lugar, la velocidad a la que aumenta la velocidad es ( (10 ​​ mathrm {m} / mathrm {s} )) por segundo. Esto significa que cada vez que te mueves (1 ) segundo a la derecha, la velocidad aumenta en ( (10 ​​ mathrm {m} / mathrm {s} )).

 
fig 3.3.2.png
Figura ( PageIndex {2} ) : Comience en ((0,0) ), luego mueva continuamente (1 ) derecha y (10 ​​) arriba.
 

En la Figura ( PageIndex {2} ), comience en ((0,0) ), luego mueva (1 mathrm {s} ) a la derecha y ( (10 ​​ mathrm { m} / mathrm {s} )) arriba. Esto lo ubica en el punto ((1,10) ), que dice que después de (1 ) segundo, la velocidad de la partícula es ( (10 ​​ mathrm {m} / mathrm {s} ) ) Continúe de esta manera, moviendo continuamente (1 mathrm {s} ) hacia la derecha y ( (10 ​​ mathrm {m} / mathrm {s} )) hacia arriba. Esto produce la secuencia de puntos que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ). Tenga en cuenta que esta tasa constante de (10 ​​( mathrm {m} / mathrm {s}) / mathrm {s} ) obliga a la gráfica de la velocidad frente al tiempo a ser una línea, como se muestra en la Figura ( Índice de página {3} ).

 
fig 3.3.3.png
Figura ( PageIndex {3} ) : La tasa constante obliga al gráfico a ser una línea.
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Comenzando desde el reposo, un automóvil aumenta la velocidad a una velocidad constante de (5 ) millas por hora cada segundo ( 5 (( [19459019) ] mathrm {mi} / mathrm {hr}) / mathrm {s} ) ). Dibuja la gráfica de la velocidad del objeto versus el tiempo.

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 3.3.1.png

     
 
 
 

Medición del cambio en una variable

 

Para calcular el cambio en alguna cantidad, tomamos una diferencia. Por ejemplo, suponga que la temperatura en la mañana es (40 ^ { circ} mathrm {F} ), luego en la tarde la temperatura mide (60 ^ { circ} mathrm {F} ) ( F significa temperatura Fahrenheit). Luego, el cambio de temperatura se encuentra tomando una diferencia.

 

[ begin {alineado} text {Cambio de temperatura} & = text {Temperatura de la tarde – Temperatura de la mañana} \ & = 60 ^ { circ} mathrm {F} -40 ^ { circ} mathrm {F} \ & = 20 ^ { circ} mathrm {F} end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, hubo un aumento de veinte grados en la temperatura de la mañana a la tarde.

 

Ahora, supongamos que la temperatura de la tarde mide (50 ^ { circ} mathrm {F} ). Para calcular el cambio de temperatura de la tarde a la noche, nuevamente restamos.

 

[ begin {alineado} text {Cambio de temperatura} & = text {Temperatura de tarde – Temperatura de tarde} \ & = 50 ^ { circ} mathrm {F} -60 ^ { circ} mathrm {F} \ & = – 10 ^ { circ} mathrm {F} end {alineado} nonumber ]

 

Hubo una disminución de diez grados en la temperatura de la tarde a la noche.

 
 

Cálculo del cambio en una cantidad

 

Para calcular el cambio en una cantidad, reste la medición anterior de la medición posterior.

 
 

Sea (T ) la temperatura representada. A los matemáticos les gusta usar el simbolismo ( Delta T ) para representar el cambio de temperatura. Para el cambio de temperatura de la mañana a la tarde, escribiríamos ( Delta T = 20 ^ { circ} mathrm {F} ). Para el cambio de tarde a noche, escribiríamos ( Delta T = -10 ^ { circ} mathrm {F} ).

 

Los matemáticos y científicos hacen un uso frecuente del alfabeto griego, cuyas primeras letras son:

 

( begin {array} {ll} { alpha, beta, gamma, delta, ldots} & { text {(alfabeto griego, minúscula)}} \ {A, B, Gamma, Delta, ldots} & { text {(alfabeto griego, mayúscula)}} \ {a, b, c, d, ldots} & { text {(alfabeto inglés)}} end {array} )

 

Así, la letra griega ( Delta T ), la forma mayúscula de ( delta ), se correlaciona con la letra «d» en el alfabeto inglés. ¿Por qué los matemáticos hicieron esta elección de letra para representar el cambio en una cantidad? Porque para encontrar el cambio en una cantidad, tomamos una diferencia, y la palabra «diferencia» comienza con la letra «d». Por lo tanto, ( Delta T ) también se pronuncia «la diferencia en T.»

 
 

Pronunciaciones importantes

 

Dos formas de pronunciar el simbolismo ΔT.

 
         
  1. ( Delta T ) se pronuncia «el cambio en T.»
  2.      
  3. ( Delta T ) también se pronuncia «la diferencia en T.»
  4.  
 
 

Pendiente como velocidad

 

Aquí está la definición de la pendiente de una línea.

 
 

Pendiente

 

La pendiente de una línea es la velocidad a la que la variable dependiente está cambiando con respecto a la variable independiente. Por ejemplo, si la variable dependiente es (y ) y la variable independiente es (x ), entonces la pendiente de la línea es:

 

Pendiente (= dfrac { Delta y} { Delta x} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

En el ejemplo ( PageIndex {1} ), un objeto liberado del reposo vio que su velocidad aumentaba a una velocidad constante de (10 ​​) metros por segundo por segundo ( (10 ​​( mathrm {m} / mathrm {s}) / mathrm {s} ) o (10 ​​ mathrm {m} / mathrm {s} ^ {2} )). Esta tasa constante obligó al gráfico de la velocidad frente al tiempo a ser una línea, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). Calcule la pendiente de esta línea.

 

Solución

 

Comience seleccionando dos puntos (P (2,20) ) y (Q (8,80) ) en la línea, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ). Para encontrar la pendiente de esta línea, la definición requiere que encontremos la velocidad a la que la variable dependiente (v ) cambia con respecto a la variable independiente (t ). Es decir, la pendiente es el cambio en (v ) dividido por el cambio en (t ). En símbolos:

 

Pendiente (= dfrac { Delta v} { Delta t} )

 
fig 3.3.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Elija dos puntos para calcular la pendiente.
 

Ahora, a medida que nos movemos del punto (P (2,20) ) al punto (Q (8,80) ), la velocidad cambia de (20 mathrm {m} / mathrm {s } ) a (80 mathrm {m} / mathrm {s} ). Por lo tanto, el cambio en la velocidad es:

 

( begin {alineado} Delta v & = 80 mathrm {m} / mathrm {s} -20 mathrm {m} / mathrm {s} \ & = 60 mathrm {m} / mathrm {s} end {alineado} )

 

Del mismo modo, a medida que avanzamos del punto P (2,20) al punto Q (8,80), el tiempo cambia de 2 segundos a 8 segundos. Por lo tanto, el cambio en el tiempo es:

 

( begin {alineado} Delta t & = 8 mathrm {s} -2 mathrm {s} \ & = 6 mathrm {s} end {alineado} )

 

Ahora que tenemos el cambio en las variables dependientes e independientes, podemos calcular la pendiente.

 

( begin {alineado} text {Slope} & = frac { Delta v} { Delta t} \ & = frac {60 mathrm {m} / mathrm {s}} { 6 mathrm {s}} \ & = 10 frac { mathrm {m} / mathrm {s}} { mathrm {s}} end {alineado} )

 

Por lo tanto, la pendiente de la línea es (10 ​​) metros por segundo por segundo ( (10 ​​( mathrm {m} / mathrm {s}) / mathrm {s} ) o (10 mathrm {m} / mathrm {s} ^ {2} )).

 

La pendiente de una línea no depende de los puntos que seleccione. Intentemos nuevamente el cálculo de la pendiente, utilizando dos puntos diferentes y una presentación más compacta de los cálculos requeridos. Elija los puntos (P (3,30) ) y (Q (7,70) ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ). Usando estos dos nuevos puntos, la pendiente es la velocidad a la que la variable dependiente (v ) cambia con respecto a la variable independiente (t ).

 
fig 3.3.5.png
Figura ( PageIndex {5} ) : La pendiente no depende de los puntos que seleccionamos en la línea.
 

( begin {alineado} text {Slope} & = frac { Delta v} { Delta t} \ & = frac {70 mathrm {m} / mathrm {s} -30 mathrm {m} / mathrm {s}} {7 mathrm {s} -3 mathrm {s}} \ & = frac {40 mathrm {m} / mathrm {s}} {4 mathrm {s}} \ & = 10 frac { mathrm {m} / mathrm {s}} { mathrm {s}} end {alineado} )

 

Nuevamente, la pendiente de la línea es (10 ​​( mathrm {m} / mathrm {s}) / mathrm {s} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Comenzando desde reposo, un automóvil aumenta la velocidad a una velocidad constante de 5 millas por hora cada segundo (5 (mi / hr) / s). La tasa constante obliga al gráfico de la velocidad del objeto frente al tiempo a ser una línea. Calcule la pendiente de esta línea.

 
     
Respuesta
     
     

(5 ( mathrm {mi} / mathrm {hr}) / mathrm {s} )

     
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2 } ) señala el siguiente hecho.

 
 

La pendiente es independiente de los puntos seleccionados

 

No importa qué dos puntos elijas en la línea para calcular su pendiente.

 
 

El siguiente ejemplo demuestra que la pendiente también es independiente del orden de sustracción.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Calcule la pendiente de la línea que pasa por los puntos (P (−1, −2) ) y (Q (3,3) ).

 

Solución

 

Primero, dibuje la línea que pasa por los puntos P (−1, −2) y Q (3,3) (consulte la Figura ( PageIndex {6} ) [19459019 ]).

 
fig 3.3.6.png
Figura ( PageIndex {6} ) : Calculando la pendiente de la línea que pasa por los puntos (P (−1, – 2) ) y (Q (3,3) ).
 

Para calcular la pendiente de la línea a través de los puntos (P (−1, −2) ) y (Q (3,3) ), debemos calcular el cambio en las variables independientes y dependientes. Haremos esto de dos maneras diferentes.

 
 

¡Advertencia!

 

Si no es consistente en la dirección que resta, no obtendrá la respuesta correcta para la pendiente.

 

Por ejemplo: [ dfrac {3 – (- 2)} {- 1-3} = – dfrac {5} {4} nonumber ]

 

En este caso, restamos la coordenada (y ) del punto (P (−1, −2) ) de la coordenada (y ) del punto (Q (3,3) ), pero luego cambiamos los caballos a mitad de camino, restando la coordenada (x ) del punto (Q (3,3) ) de la coordenada (x ) del punto (P (−1, −2) ). Tenga en cuenta que obtenemos el negativo de la respuesta correcta.

 
 

Método 1

 

Reste las coordenadas del punto (P (−1, −2) ) de las coordenadas del punto (Q (3,3) ).

 

[ begin {alineado} text {Slope} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {3 – (- 2)} {3 – (- 1) } \ & = dfrac {5} {4} end {alineado} nonumber ]

 

Método 2

 

Reste las coordenadas del punto (Q (3,3) ) de las coordenadas del punto (P (−1, −2) ).

 

[ begin {alineado} text {Slope} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {-2-3} {- 1-3} \ & = dfrac {-5} {- 4} \ & = dfrac {5} {4} end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que, independientemente de la dirección de la resta, la pendiente es (5/4 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Calcule la pendiente de la línea que pasa por los puntos P (−3,1) y Q (2,4).

 
     
Respuesta
     
     

(3/5 )

     
 
 
 

El ejemplo ( PageIndex {3} ) demuestra el siguiente hecho.

 
 

La dirección de la resta no importa

 

Al calcular la pendiente de una línea a través de dos puntos (P ) y (Q ), no importa en qué dirección reste, siempre que permanezca constante en su elección de dirección.

 
 

La inclinación de una línea

 

Necesitamos examinar si nuestra definición de pendiente coincide con ciertas expectativas.

 
 

Pendiente y pendiente de una línea

 

La pendiente de una línea es un número que nos dice cuán empinada es la línea.

 
 

Si la pendiente es un número que mide la inclinación de una línea, entonces uno esperaría que una línea más empinada tuviera una pendiente mayor.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Grafica dos líneas, la primera pasando por los puntos (P (−3, −2) ) y (Q (3,2) ) y la segunda por los puntos ( R (−1, −3) ) y (S (1,3) ). Calcule la pendiente de cada línea y compare los resultados.

 

Solución

 

Se muestran las gráficas de las dos líneas a través de los puntos dados, la primera en la Figura ( PageIndex {7} ) y la segunda en la Figura ( PageIndex {8} ). Tenga en cuenta que la línea en la Figura ( PageIndex {7} ) es menos empinada que la línea en la Figura ( PageIndex {8} ).

 
fig 3.3.7.png fig 3.3.8.png
Figura ( PageIndex {7} ): Esta línea es menos empinada que la línea de la derecha. Figura ( PageIndex {8} ): Esta línea es más pronunciada que la línea de la izquierda.
 

Recuerde, la pendiente de la línea es la velocidad a la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. Tanto en la Figura ( PageIndex {7} ) como en la Figura ( PageIndex {8} ), la variable dependiente es (y ) y la variable independiente es (x ).

 

Reste las coordenadas del punto (P (−3, −2) ) de las coordenadas del punto (Q (3,2) ).

 

[ begin {alineado} text {Pendiente de la primera línea} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {2 – (- 2)} {3- ( -3)} \ & = dfrac {4} {6} \ & = dfrac {2} {3} end {alineado} nonumber ]

 

Reste las coordenadas del punto (R (−1, −3) ) del punto (S (1,3) ).

 

[ begin {alineado} text {Pendiente de la segunda línea} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {3 – (- 3)} {1- ( -1)} \ & = dfrac {6} {2} \ & = 3 end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que ambas líneas van cuesta arriba y ambas tienen pendientes positivas. Además, tenga en cuenta que la pendiente de la segunda línea es mayor que la pendiente de la primera línea. Esto es consistente con el hecho de que la segunda línea es más pronunciada que la primera.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Calcule la pendiente de la línea que pasa por los puntos (P (−2, −3) ) y (Q (2,5) ). Luego calcule la pendiente de la línea que pasa por los puntos (R (−2, −1) ) y (S (5,3) ), y compare las dos pendientes. ¿Qué línea es más empinada?

 
     
Respuesta
     
     

La primera línea tiene pendiente (2 ), y la segunda línea tiene pendiente (4/7 ). La primera línea es más empinada.

     
 
 
 

En el ejemplo ( PageIndex {4} ), ambas líneas estaban inclinadas cuesta arriba y ambas tenían pendientes positivas, siendo la pendiente más pronunciada de las dos líneas. Veamos ahora dos líneas que se inclinan cuesta abajo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Grafica dos líneas, la primera pasando por los puntos (P (−3,1) ) y (Q (3, −1) ) y la segunda por los puntos (R (−2,4 ) ) y (S (2, −4) ). Calcule la pendiente de cada línea y compare los resultados.

 

Solución

 

Se muestran los gráficos de las dos líneas a través de los puntos dados, el primero en la Figura ( PageIndex {9} ) y el segundo en la Figura ( PageIndex {10} ). Tenga en cuenta que la línea en la Figura ( PageIndex {9} ) va cuesta abajo menos rápido que la línea en la Figura ( PageIndex {10} ). Recuerde, la pendiente de la línea es la velocidad a la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. Tanto en la Figura ( PageIndex {9} ) como en la Figura ( PageIndex {10} ), la variable dependiente es (y ) y la variable independiente es (x ).

 
fig 3.3.9.png
Figura ( PageIndex {9} ): Esta línea va cuesta abajo más lentamente que la línea de la derecha.
 
fig3.3.10.png
Figura ( PageIndex {10} ): Esta línea va cuesta abajo más rápidamente que la línea de la izquierda.
 

Reste las coordenadas del punto (P (−3,1) ) de las coordenadas del punto (Q (3, −1) ).

 

[ begin {alineado} text {Pendiente de la primera línea} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {-1-1} {3 – (- 3 )} \ & = dfrac {-2} {6} \ & = – dfrac {1} {3} end {alineado} nonumber ]

 

Reste las coordenadas del punto (R (−2,4) ) de las coordenadas del punto (S (2, −4) ).

 

[ begin {alineado} text {Pendiente de la segunda línea} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {-4-4} {2 – (- 2 )} \ & = dfrac {-8} {4} \ & = – 2 end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que ambas líneas van cuesta abajo y ambas tienen pendientes negativas. Además, tenga en cuenta que la magnitud (valor absoluto) de la pendiente de la segunda línea es mayor que la magnitud de la pendiente de la primera línea. Esto es consistente con el hecho de que la segunda línea se mueve cuesta abajo más rápidamente que la primera.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Calcule la pendiente de la línea que pasa por los puntos (P (−3,3) ) y (Q (3, −5) ). Luego calcule la pendiente de la línea que pasa por los puntos (R (−4,1) ) y (S (4, −3) ), y compare las dos pendientes. ¿Qué línea es más empinada?

 
     
Respuesta
     
     

La primera línea tiene pendiente (- 4/3 ), y la segunda línea tiene pendiente (- 1/2 ). La primera línea es más empinada.

     
 
 
 

¿Qué pasa con las pendientes de las líneas verticales y horizontales?

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Calcule las pendientes de las líneas verticales y horizontales que pasan por el punto ((2,3) ).

 

Solución

 

Primero dibuja un boceto de las líneas verticales y horizontales que pasan por el punto (2,3). Luego, seleccione un segundo punto en cada línea como se muestra en las Figuras ( PageIndex {11} ) y ( PageIndex {12} ).

 
fig 3.3.11.png
Figura ( PageIndex {11} ): Una línea horizontal a través de ((2,3) ).
 
fig 3.3.12.png
Figura ( PageIndex {12} ): Una línea vertical a través de ((2,3) ).
 

Las pendientes de las líneas horizontales y verticales se calculan de la siguiente manera.

 

Reste las coordenadas del punto (P (−2,3) ) de las coordenadas del punto (Q (2,3) ).

 

[ begin {alineado} text {Pendiente de línea horizontal} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {3-3} {2 – (- 2) } \ & = dfrac {0} {4} \ & = 0 end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, la pendiente de la línea horizontal es cero, lo que tiene sentido porque una línea horizontal no va cuesta arriba ni cuesta abajo.

 

Reste las coordenadas del punto ((2, −3) ) de las coordenadas del punto (S (2,3) ).

 

[ begin {alineado} text {Pendiente de línea vertical} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {3 – (- 3)} {2-2 } \ & = dfrac {6} {0} \ & = text {undefined} end {alineado} nonumber ]

 

La división por cero no está definida. Por lo tanto, la pendiente de una línea vertical es indefinida. Nuevamente, esto tiene sentido porque a medida que las líneas cuesta arriba se vuelven más y más pronunciadas, sus pendientes aumentan sin límite.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Calcule las pendientes de las líneas verticales y horizontales que pasan a través de h el punto ((- 4,1) ).

 
     
Respuesta
     
     

La pendiente de la línea vertical no está definida. La pendiente de la segunda línea es (0 ).

     
 
 
 

La geometría de la pendiente de una línea

 

Comenzamos nuestra discusión geométrica de la pendiente de una línea con un ejemplo, calculando la pendiente de una línea que pasa por los puntos (P (2,3) ) y (Q (8,8) ). Antes de comenzar, calcularemos primero el cambio en (y ) y el cambio en (x ) restando las coordenadas del punto (P (2,3) ) de las coordenadas del punto (Q ( 8,8) ).

 

[ begin {alineado} mathrm {Slope} & = dfrac { Delta y} { dfrac { Delta x} { Delta x}} \ & = dfrac {8-3} { 8-2} \ & = dfrac {5} {6} end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, la pendiente de la línea a través de los puntos (P (2,3) ) y (Q (8,8) ) es (5/6 ).

 

Para usar un enfoque geométrico para encontrar la pendiente de la línea, primero dibuje la línea a través de los puntos (P (2,3) ) y (Q (8,8) ) (vea la Figura ( Índice de página {13} )). Luego, dibuja un triángulo rectángulo con lados paralelos a los ejes horizontal y vertical, usando los puntos (P (2,3) ) y (Q (8,8) ) como vértices. A medida que se mueve del punto (P ) al punto (R ) en la Figura ( PageIndex {13} ), tenga en cuenta que el cambio en (x ) es ( Delta x = 6 ) ( cuente las marcas de verificación 1 ).

 
fig 3.3.13.png
Figura ( PageIndex {13} ): Determinación de la pendiente de la línea a partir del gráfico.
 

A medida que se mueve del punto (R ) al punto (Q ), el cambio en (y ) es ( Delta y = 5 ) (cuente las marcas de verificación). Por lo tanto, la pendiente es ( Delta y / Delta x = 5/6 ), precisamente lo que obtuvimos en el cálculo anterior.

 
fig 3.3.14.png
Figura ( PageIndex {14} ): Determinación de la pendiente de la línea a partir del gráfico.
 

Por contraste, en la Figura ( PageIndex {14} ), comenzamos en el punto (P (2,3) ), luego nos movimos hacia arriba (5 ) unidades y hacia la derecha (6 ) unidades. Sin embargo, el cambio en (y ) sigue siendo ( Delta y = 5 ) y el cambio en (x ) sigue siendo ( Delta x = 6 ) a medida que avanzamos desde el punto (P ( 2,3) ) al punto (Q (8,8) ). Por lo tanto, la pendiente sigue siendo ( Delta y / Delta x = 5/6 ).

 
 

Rise over run

 

En Figur e ( PageIndex {14} ), comenzamos en el punto (P (2,3) ), luego «subimos» (5 ) unidades, luego «Ejecutar» (6 ) unidades a la derecha. Por esta razón, a algunos les gusta pensar en la pendiente como «subida sobre carrera».

 
 

Considere un segundo ejemplo que se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ). Tenga en cuenta que la línea se inclina cuesta abajo, por lo que esperamos que la pendiente sea un número negativo.

 
fig 3.3.15.png
Figura ( PageIndex {15} ): Determinación de la pendiente de la línea a partir del gráfico.
 

En la Figura ( PageIndex {15} ), hemos dibujado un triángulo rectángulo con lados paralelos a los ejes horizontal y vertical, utilizando los puntos (P (2,7) ) y (Q ( 8,3) ) como vértices. A medida que se mueve desde el punto (P ) al punto (R ) en la Figura ( PageIndex {15} ), el cambio en (y ) es ( Delta y = -4 ) (cuenta las marcas de verificación y tenga en cuenta que sus valores de y disminuyen a medida que se mueve de (P ) a (R )). A medida que se mueve del punto (R ) al punto (Q ), el cambio es (x ) es ( Delta x = 6 ) (cuente las marcas de verificación y observe que sus valores de (x ) están aumentando a medida que se mueve de (R ) a (Q )). En este caso, el «aumento» es negativo, mientras que la «carrera» es positiva .

 

Por lo tanto, la pendiente es ( Delta y / Delta x = -4 / 6 ), o (- 2/3 ). Tenga en cuenta que la pendiente es negativa, como se anticipó.

 
fig 3.3.16.png
Figura ( PageIndex {16} ): Determinación de la pendiente de la línea a partir del gráfico.
 

En la Figura ( PageIndex {16} ), hemos dibujado nuestro triángulo en el lado opuesto de la línea. En este caso, a medida que se mueve del punto (P ) al punto (R ) en la Figura ( PageIndex {16} ), el cambio en (x ) es ( Delta x = 6 ) (cuente las marcas de verificación y observe que sus valores de (x ) aumentan a medida que se mueve de (P ) a (R )). A medida que se mueve del punto (R ) al punto (Q ), el cambio es (y ) es ( Delta y = -4 ) (cuente las marcas de verificación y observe que sus valores de ( y ) están disminuyendo a medida que se mueve de (R ) a (Q )). Por lo tanto, la pendiente sigue siendo ( Delta y / Delta x = -4 / 6 ), o (- 2/3 ).

 

Podemos verificar nuestros cálculos geométricos de la pendiente restando las coordenadas del punto (P (2,7) ) del punto (Q (8,3) ).
[ begin {alineado} text {Slope} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {3-7} {8-2} \ & = dfrac {-4} {6} \ & = – dfrac {2} {3} end {alineado} nonumber ]

 

Esto concuerda con los cálculos realizados en las Figuras ( PageIndex {15} ) y ( PageIndex {16} ).

 

Veamos un ejemplo final.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Dibuje la línea que pasa por el punto ((- 2,3) ) con pendiente (- 2/3 ).

 

Solución

 

La pendiente es (- 2/3 ), por lo que la línea debe ir cuesta abajo. En la Figura ( PageIndex {17} ), comenzamos en el punto (P (−2,3) ), nos movemos a la derecha (3 ) unidades al punto (R (1,3) ) , luego mueva hacia abajo (2 ) unidades al punto (Q (1,1) ). Dibuja la línea a través de los puntos (P ) y (Q ) y listo.

 
fig 3.3.17.png
Figura ( PageIndex {17} ): Comience en (P (−2,3) ), luego muévase a la derecha (3 ) y hacia abajo (2 ). La línea resultante tiene pendiente (- 2/3 ).
 

En la Figura ( PageIndex {18} ), adoptamos un enfoque diferente que da como resultado la misma línea. Comience en el punto (P (−2,3) ), mueva hacia abajo (4 ) unidades hacia el punto (R (−2, −1) ), luego hacia la derecha (6 ) unidades hacia punto (Q (4, −1) ). Dibuja una línea a través de los puntos (P ) y (Q ) y listo.

 
fig 3.3.18.png
Figura ( PageIndex {18} ): Comenzando en (P (−2,3) ) y bajando (4 ) y derecha (6 ) también produce una pendiente de (- 2/3 ).
 

El triángulo (PQR ) en la Figura ( PageIndex {17} ) es similar al triángulo (PQR ) en la Figura ( PageIndex {18} ), por lo que sus lados son proporcionales. En consecuencia, la pendiente de la línea a través de los puntos (P (−2,3) ) y (Q (4, −1) ),

 

[ begin {alineado} text {Slope} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {-4} {6} \ & = – dfrac { 2} {3} end {alineado} nonumber ]

 

se reduce a la pendiente de la línea a través de los puntos (P ) y (Q ) en la Figura ( PageIndex {17} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dibuje la línea que pasa por el punto ((- 4,2) ) con pendiente (- 1/4 ).

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 3.3.7.png

     
 
 
 
 

Un resumen de hechos sobre la pendiente de una línea

 

Presentamos un resumen de los hechos aprendidos en esta sección.

 
         
  1. La pendiente de una línea es la velocidad a la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. Si (y ) es la variable dependiente y (x ) es la variable independiente, entonces la pendiente es [ text {Slope} = dfrac { Delta y} { Delta x} nonumber ] donde ( Delta y ) es el cambio en (y ) (diferencia en (y )) y ( Delta x ) es el cambio en (x ) (diferencia en (x ) )
  2.      
  3. Si una línea tiene pendiente positiva, entonces la línea se inclina cuesta arriba mientras “deslizas tus ojos de izquierda a derecha”. Si dos líneas tienen pendiente positiva, entonces la línea con la pendiente más grande aumenta más rápidamente.
  4.      
  5. Si una línea tiene pendiente negativa, entonces la línea se inclina hacia abajo mientras “deslizas tus ojos de izquierda a derecha”. Si dos líneas tienen pendiente negativa, entonces la línea que tiene la pendiente con la magnitud más grande cae más rápidamente.
  6.      
  7. Las líneas horizontales tienen pendiente cero.
  8.      
  9. Las líneas verticales tienen pendiente indefinida.
  10.  
 
 

Referencias

 

1 Al contar las marcas de verificación, asegúrese de saber la cantidad que representa cada marca de verificación. Por ejemplo, si cada marca representa dos unidades y cuenta seis marcas al evaluar el cambio en (x ), entonces ( Delta x = 12 ).

 
                                  
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