las matematicas

3.4: Encuentra la ecuación de una línea

3.4: Encuentra la ecuación de una línea

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular a una línea dada

 

Ahora, consideremos las líneas perpendiculares. Supongamos que necesitamos encontrar una línea que pase por un punto específico y que sea perpendicular a una línea dada. Podemos usar el hecho de que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas. Nuevamente usaremos la ecuación punto-pendiente, como hicimos con líneas paralelas.

 

Este gráfico muestra (y = 2x − 3 ). Ahora, queremos graficar una línea perpendicular a esta línea y pasar a través de ((- 2,1) ).

 

This figure has a graph of a straight line and a point on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 8 to 8. The line goes through the points (0, negative 3), (1, negative 1), and (2, 1). The point (negative 2, 1) is plotted. The line does not go through the point (negative 2, 1).

 

Sabemos que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas.

 

Usaremos la notación (m_⊥ ) para representar la pendiente de una línea perpendicular a una línea con pendiente m . (Observe que el subíndice (⊥ ) se parece a los ángulos rectos formados por dos líneas perpendiculares).

 

[y = 2x − 3 línea perpendicular nonumber ]

 

[m = 2 m⊥ = −12 nonumber ]

 

Ahora sabemos que la línea perpendicular pasará por ((- 2,1) ) con (m⊥ = −12 ).

 

Para graficar la línea, comenzaremos en ((- 2,1) ) y contaremos el aumento (- 1 ) y la ejecución (2 ). Luego dibujamos la línea.

 

This figure has a graph of two perpendicular straight lines on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 8 to 8. The first line goes through the points (0, negative 3), (1, negative 1), and (2, 1). The points (negative 2, 1) and (0, 0) are plotted. A right triangle is drawn connecting the points (negative 2, 1), (negative 2, 0), and (0, 0). The second line goes through the points (negative 2, 1) and (0, 0).

 

¿Las líneas aparecen perpendiculares? ¿La segunda línea pasa por ((- 2,1) )?

 

Se nos pidió graficar la línea, ahora, veamos cómo hacer esto algebraicamente.

 

Podemos usar la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para encontrar una ecuación de una línea. En este ejemplo, conocemos un punto y podemos encontrar la pendiente, por lo que usaremos la forma punto-pendiente.

 

Cómo encontrar la ecuación de una línea perpendicular a una línea y un punto dados

 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {23} )

 

Encuentra una ecuación de una línea perpendicular a la línea (y = 3x + 1 ) que contiene el punto ((4,2) ). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {1} {3} x + frac {10} {3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {24} )

 

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular a la línea (y = 12x − 3 ) que contiene el punto ((6,4) ). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

(y = −2x + 16 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ENCUENTRE UNA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA PERPENDICULAR A UNA LÍNEA DADA.

 
         
  1. Encuentra la pendiente de la línea dada.
    2.      
  2. Halla la pendiente de la línea perpendicular.
    3.      
  3. Identifica el punto.
    4.      
  4. Sustituya los valores en la forma punto-pendiente, (y − y_1 = m (x − x_1) ).
    5.      
  5. Escribe la ecuación en forma de pendiente-intersección.
    6.  
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {24} )

 

Encuentre una ecuación de una línea perpendicular a (x = 5 ) que contenga el punto ((3, −2) ). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

Una vez más, dado que conocemos un punto, la opción punto-pendiente parece más prometedora que la opción pendiente-intercepción. Necesitamos la pendiente para usar esta forma, y ​​sabemos que la nueva línea será perpendicular a x = 5.x = 5. Esta línea es vertical, por lo que su perpendicular será horizontal. Esto nos dice que m⊥ = 0.m⊥ = 0.

     

Identifica el punto. Identifica la pendiente de la línea perpendicular. Sustituye los valores en −y1 = m (x − x1). Simplifica. (3, −2) m⊥y − y1y – (- 2) y + 2y ===== 0m (x − x1) 0 (x − 3) 0−2 Identificar el punto. (3, −2) Identificar la pendiente de la línea perpendicular. Sustituir los valores en −y1 = m (x − x1) .Simplify.m⊥ = 0y − y1 = m (x − x1) y – (- 2) = 0 (x − 3) y + 2 = 0y = −2

     

Dibuja el gráfico de ambas líneas. En tu gráfica, ¿las líneas parecen ser perpendiculares?

     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {25} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea (x = 4 ) que contiene el punto ((4, −5) ). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

(y = −5 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {26} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea (x = 2 ) que contiene el punto ((2, −1) ). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

(y = −1 )

     
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 

En Ejemplo , utilizamos la forma de punto y pendiente para encontrar la ecuación. Podríamos haber visto esto de una manera diferente.

 

Queremos encontrar una línea que sea perpendicular a (x = 5 ) que contenga el punto ((3, −2) ). Este gráfico nos muestra la línea (x = 5 ) y el punto ((3, −2) ).

 

This figure has a graph of a straight vertical line and a point on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 8 to 8. The line goes through the points (5, 0), (5, 1), and (5, 2). The point (3, negative 2) is plotted. The line does not go through the point (3, negative 2).

 

Sabemos que cada línea perpendicular a una línea vertical es horizontal, por lo que dibujaremos la línea horizontal a través de ((3, −2) ).

 

This figure has a graph of a straight vertical line and a straight horizontal line on the x y-coordinate plane. The x and y-axes run from negative 8 to 8. The vertical line goes through the points (5, 0), (5, 1), and (5, 2). The horizontal line goes through the points (negative 2, negative 2), (0, negative 2), (3, negative 2), and (6, negative 2).

 

¿Las líneas aparecen perpendiculares?

 

Si observamos algunos puntos en esta línea horizontal, notamos que todos tienen y -coordenadas de (- 2 ). Entonces, la ecuación de la línea perpendicular a la línea vertical (x = 5 ) es (y = −2 ).

 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {27} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a (y = −3 ) que contenga el punto ((- 3,5) ). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

La línea (y = −3 ) es una línea horizontal. Cualquier línea perpendicular a ella debe ser vertical, en la forma (x = a ). Como la línea perpendicular es vertical y pasa a través de ((- 3,5) ), cada punto tiene una x -coordinada de (- 3 ). La ecuación de la línea perpendicular es (x = −3 ).

     

Es posible que desee dibujar las líneas. ¿Aparecen perpendiculares?

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {28} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea (y = 1 ) que contiene el punto ((- 5,1) ). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

(x = −5 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {29} )

 

Encuentre una ecuación de una línea que sea perpendicular a la línea (y = −5 ) que contiene el punto ((- 4, −5) ). Escribe la ecuación en forma pendiente-intersección.

 
     
Respuesta
     
     

(x = −4 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica para encontrar la ecuación de una línea.

 
 
 
 
 
 
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antonio1095

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