Ejemplo ( PageIndex {4} )

Jason ve a su hermano Tim hablando con amigos en la biblioteca, ubicada a (300 ) pies de distancia. Comienza a caminar hacia su hermano a una velocidad constante de (2 ) pies por segundo ( (2 ) pies / s).

     
1. Exprese la distancia (d ) entre Jason y su hermano Tim en términos del tiempo (t ).
     
2. ¿A qué hora después de que Jason comienza a caminar hacia Tim están los hermanos (200 ) pies separados?
 

Solución

Debido a que la distancia entre Jason y su hermano está disminuyendo a un ritmo constante, el gráfico de la distancia frente al tiempo es una línea. Comencemos haciendo un bosquejo aproximado de la línea. En la Figura ( PageIndex {10} ), tenga en cuenta que hemos etiquetado lo que normalmente son los ejes (x ) – y (y ) con el tiempo (t ) y la distancia (d ), y hemos incluido las unidades con nuestras etiquetas.

Sea (t = 0 ) segundos el momento en que Jason comienza a caminar hacia su hermano Tim. En el tiempo (t = 0 ), la distancia inicial entre los hermanos es (300 ) pies. Esto coloca la intercepción (d ) – (normalmente la intercepción (y ) – en el punto ((0,300) ) (ver Figura ( PageIndex {10} )).

Debido a que Jason camina hacia su hermano, la distancia entre los hermanos disminuye a una velocidad constante de (2 ) pies por segundo. Esto significa que la línea debe inclinarse cuesta abajo, haciendo que la pendiente sea negativa, por lo que (m = −2 ) pies / s. Podemos construir una gráfica precisa de distancia versus tiempo comenzando en el punto ((0,300) ), luego descendiendo ( Delta d = -300 ), luego moviéndonos hacia la derecha ( Delta t = 150 ) . Esto hace que la pendiente ( Delta d / Delta t = -300 / 150 = -2 ) (Ver Figura ( PageIndex {10} )). Tenga en cuenta que la pendiente es la velocidad a la que la distancia (d ) entre los hermanos está cambiando con respecto al tiempo (t ).

Finalmente, la ecuación de la línea es (y = mx + b ), donde (m ) es la pendiente de la línea y (b ) es la coordenada (y ) (en en este caso, la (d ) – coordenada) del punto donde el gráfico cruza el eje vertical. Por lo tanto, sustituya (- 2 ) por (m ) y (300 ) por (b ) en la forma pendiente-intersección de la línea.

[ begin {alineado} y & = mx + b quad color {Rojo} text {Forma pendiente-intersección. } \ y & = -2x + 300 quad color {Rojo} text {Sustituir:} -2 text {para} m, 300 text {para} b end {alineado} nonumber ]

Queda un problema. La ecuación (y = −2x + 300 ) nos da (y ) en términos de (x ).

     
1. La pregunta requería que expresáramos la distancia (d ) en términos del tiempo (t ). Entonces, para terminar la solución, reemplace (y ) con (d ) y (x ) con (t ) (verifique las etiquetas de los ejes en la Figura ( PageIndex {10} )) para obtener una solución: [d = -2t + 300 nonumber ]
     
2. Ahora que nuestra ecuación expresa la distancia entre los hermanos en términos de tiempo, respondamos la parte (b), “¿A qué hora después de que Jason comienza a caminar hacia Tim están los hermanos (200 ) pies separados?” Para encontrar este tiempo, sustituya (200 ) por (d ) en la ecuación (d = −2t + 300 ), luego resuelva (t ). [ Begin {alineado} d & = -2t + 300 quad color {Rojo} text {Ecuación de distancia} \ 200 & = -2t + 300 quad color {Rojo} text {Sustituir} 200 text {para} d end {alineado} nonumber ] Resuelve esta última ecuación para el tiempo (t ). [ begin {alineado} 200-300 & = -2t + 300-300 quad color {Rojo} text {Restar} 300 text { de ambos lados. } \ -100 & = -2t quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } \ dfrac {-100} {- 2} & = dfrac {-2 t} {- 2} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} -2 \ 50 & = t quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ] Por lo tanto, Jason (50 ) segundos tarda en cerrar la distancia entre los hermanos a (200 ) pies.