3.4: Forma pendiente-intersección de una línea

3.4: Forma pendiente-intersección de una línea

                 

Comenzamos con la definición de la intersección (y ) de una línea.

 
 

La (y ) – intercepción

 

El punto ((0, b) ) donde la gráfica de una línea cruza el eje (y ) se llama intercepción (y ) de la línea.

 
 

Ahora generaremos la fórmula de pendiente-intersección para una línea que tiene (y ) – interceptar ((0, b) ) y ( text {Slope} = m ) (ver Figura ( Índice de página {1} )). Sea ((x, y) ) un punto arbitrario en la línea.

 
fig 3.4.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Línea con (y ) – interceptar en ((0, b) ) y ( text {Pendiente} = m ).
 

Comience con el hecho de que la pendiente de la línea es la velocidad a la que la variable dependiente está cambiando con respecto a la variable independiente.

 

[ text {Slope} = dfrac { Delta y} { Delta x} qquad color {Red} text {Slope formula.} Nonumber ]

 

Sustituye (m ) por la pendiente. Para determinar tanto el cambio en (y ) como el cambio en (x ), reste las coordenadas del punto ((0, b) ) del punto ((x, y) ).

 

[ begin {alineado} m & = frac {y-b} {x-0} quad color {Rojo} text {Sustituir} m text {para la Pendiente. } Delta y = y-b quad color {Rojo} text {y} Delta x = x-0. \ m & = frac {y-b} {x} quad color {Rojo} text {Simplifique. } end {alineado} nonumber ]

 

Borrar fracciones de la ecuación multiplicando ambos lados por el común denominador.

 

[ begin {alineado} mx & = left [ dfrac {yb} {x} right] x quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} x \ mx & = yb quad color {Rojo} text {Cancelar. } end {alineado} nonumber ]

 

Resuelve para (y ).

 

[ begin {alineado} mx + b & = y-b + b quad color {Red} text {Add} b text {a ambos lados. } \ mx + b & = y quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, la ecuación de la línea es (y = mx + b ).

 
 

La forma pendiente-intersección de una línea

 

La ecuación de la línea que tiene (y ) intercepta ((0, b) ) y pendiente (m ) es: [y = mx + b nonumber ] Porque esta forma de línea depende de conocer la pendiente (m ) y la intersección ((0, b) ), esta forma se denomina forma pendiente-intersección de una línea.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Dibuje la gráfica de la línea que tiene la ecuación (y = dfrac {3} {5} x + 1 ).

 

Solución

 

Compare la ecuación (y = dfrac {3} {5} x + 1 ) con la forma pendiente-intersección (y = mx + b ), y observe que (m = 3/5 ) y (b = 1 ). Esto significa que la pendiente es (3/5 ) y la intersección (y ) es ((0,1) ). Comience por graficar (y ) – interceptar ((0,1) ), luego mueva hacia adelante (3 ) unidades y hacia la derecha (5 ) unidades, llegando al punto ((5,4) ). Dibuje la línea a través de los puntos ((0,1) ) y ((5,4) ), luego márquela con su ecuación (y = dfrac {3} {5} x + 1 ).

 
fig 3.4.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Gráfico dibujado a mano de (y = dfrac {3} {5} x + 1 ) .
 
fig 3.4.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Seleccione 5: ZSquare del menú ZOOM para dibujar el gráfico de (y = dfrac {3} {5 } x + 1 ) .
 

Cuando comparamos la imagen de la calculadora en la Figura ( PageIndex {3} ) con el gráfico dibujado a mano en la Figura ( PageIndex {2} ), obtenemos una mejor coincidencia.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Dibuje la gráfica de la línea que tiene la ecuación (y = – dfrac {4} {3} x-2 ).

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 3.4.1.png

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Dibuje la línea con (y ) – intercepción ((0,2) ) y pendiente (- 7/3 ). Rotula la línea con la forma pendiente-intersección de su ecuación.

 

Solución

 

Grafica la (y ) – intercepción ((0,2) ). Ahora usa la pendiente (- 7/3 ). Comience en ((0,2) ), luego baje siete unidades, seguido de un movimiento de tres unidades hacia la derecha hasta el punto ((3, −5) ). Dibuje la línea a través de los puntos ((0,2) ) y ((3, −5) ). (Ver Figura ( PageIndex {4} )).

 

Luego, la intercepción (y ) – es ((0,2) ), entonces (b = 2 ). Además, la pendiente es (- 7/3 ), entonces (m = −7/3 ). Sustituya estos números en la forma pendiente-intersección de la línea.

 

[ begin {alineado} y & = mx + b quad color {Rojo} text {Forma pendiente-intersección. } \ y & = – dfrac {7} {3} x + 2 quad color {Rojo} text {Sustituir:} -7 / 3 text {para} m, 2 text {para} b. end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, la forma pendiente-intersección de la línea es (y = – dfrac {7} {3} x + 2 ). Rotula la línea con esta ecuación.

 
fig 3.4.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Gráfico dibujado a mano de (y = – dfrac {7} {3} x + 2 )
 

Verifique: Para graficar (y = – dfrac {7} {3} x + 2 ), ingrese (- 7/3 * X + 2 ) en Y1 en el [ 19459017] Y = menú. Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM, seguido de 5: ZSquare del menú ZOOM para producir el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
fig 3.4.5.png
Figura ( PageIndex {5} ): Gráfico dibujado a mano de (y = – dfrac {7} {3} x + 2 )
 
fig 3.4.6.png
Figura ( PageIndex {6} ): Seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM, seguido de 5: ZSquare del menú ZOOM para producir la gráfica de la ecuación (y = – dfrac {7} {3} x + 2 )
 

Esto proporciona una buena coincidencia del gráfico dibujado a mano en la Figura ( PageIndex {5} ) y el resultado de nuestra calculadora gráfica en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Dibuja la línea con (y ) – intercepta ((0, −3) ) y la pendiente (5/2 ). Rotula la línea con la forma pendiente-intersección de su ecuación.

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 3.4.2.png

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Use la gráfica de la línea en la siguiente figura para encontrar la ecuación de la línea.

 

Example 3.4.3.png

 

Solución

 

Tenga en cuenta que la intersección (y ) de la línea es ((0, −1) ) (Ver Figura ( PageIndex {7} )). Luego, tratamos de ubicar un punto en la línea que pasa directamente a través de un punto reticular, un punto donde se cruzan una línea de cuadrícula vertical y horizontal. En la Figura ( PageIndex {7} ), elegimos el punto ((5,6) ). Ahora, comenzando en (y ) – intercepción ((0,1) ), nos movemos hacia arriba (7 ) unidades, luego hacia la derecha (5 ) unidades. Por lo tanto, la pendiente es (m = Delta y / Delta x ), o (m = 7/5 ).

 
 

Nota

 

Podemos también restar las coordenadas del punto ((0, −1) ) de las coordenadas del punto ((5,6) ) para determinar la pendiente. [ dfrac {6 – (- 1)} {5-0} = dfrac {7} {5} nonumber ]

 
 
fig 3.4.7.png
Figura ( PageIndex {7} ): La línea tiene (y ) – intercepción ((0, −1) ) y pendiente (7/5 ).
 

A continuación, indique la forma pendiente-intersección, el sustituto (7/5 ) para (m ) y (- 1 ) para (b ).

 

[ begin {alineado} y & = mx + b quad color {Rojo} text {Forma pendiente-intersección. } \ y & = dfrac {7} {5} x + (- 1) quad color {Red} text {Sustituir:} 7/5 text {para} m, -1 text {para} b end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, la ecuación de la línea es (y = dfrac {7} {5} x-1 ).

 

Verificación: Esta es una excelente situación para realizar una verificación en su calculadora gráfica.

 
fig 3.4.8.png
Figura ( PageIndex {8} ): Ingrese (y = dfrac {7} {5} x-1 ) en el menú Y =.
 
fig 3.4.9.png
Figura ( PageIndex {9} ): Seleccione 6: ZStandard seguido de 5: ZSquare (ambos de el menú ZOOM) para producir este gráfico.
 

Cuando comparamos el resultado en la Figura ( PageIndex {9} ) con el gráfico original dibujado a mano (ver Figura ( PageIndex {7} )), estamos seguros de que tenemos una buena coincidencia.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Usa la gráfica de la línea en la figura debajo de encuentra la ecuación de la línea.

 

Exercise 3.4.3.png

 
     
Respuesta
     
     

(y = – dfrac {3} {5} x + 3 )

     
 
 
 

Aplicaciones

 

Veamos una aplicación lineal.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Jason ve a su hermano Tim hablando con amigos en la biblioteca, ubicada a (300 ) pies de distancia. Comienza a caminar hacia su hermano a una velocidad constante de (2 ) pies por segundo ( (2 ) pies / s).

 
         
  1. Exprese la distancia (d ) entre Jason y su hermano Tim en términos del tiempo (t ).
  2.      
  3. ¿A qué hora después de que Jason comienza a caminar hacia Tim están los hermanos (200 ) pies separados?
  4.  
 

Solución

 

Debido a que la distancia entre Jason y su hermano está disminuyendo a un ritmo constante, el gráfico de la distancia frente al tiempo es una línea. Comencemos haciendo un bosquejo aproximado de la línea. En la Figura ( PageIndex {10} ), tenga en cuenta que hemos etiquetado lo que normalmente son los ejes (x ) – y (y ) con el tiempo (t ) y la distancia (d ), y hemos incluido las unidades con nuestras etiquetas.

 
fig 3.4.10.png
Figura ( PageIndex {10} ) : Una gráfica de la distancia (d ) que separa a los hermanos versus el tiempo (t ).
 

Sea (t = 0 ) segundos el momento en que Jason comienza a caminar hacia su hermano Tim. En el tiempo (t = 0 ), la distancia inicial entre los hermanos es (300 ) pies. Esto coloca la intercepción (d ) – (normalmente la intercepción (y ) – en el punto ((0,300) ) (ver Figura ( PageIndex {10} )).

 

Debido a que Jason camina hacia su hermano, la distancia entre los hermanos disminuye a una velocidad constante de (2 ) pies por segundo. Esto significa que la línea debe inclinarse cuesta abajo, haciendo que la pendiente sea negativa, por lo que (m = −2 ) pies / s. Podemos construir una gráfica precisa de distancia versus tiempo comenzando en el punto ((0,300) ), luego descendiendo ( Delta d = -300 ), luego moviéndonos hacia la derecha ( Delta t = 150 ) . Esto hace que la pendiente ( Delta d / Delta t = -300 / 150 = -2 ) (Ver Figura ( PageIndex {10} )). Tenga en cuenta que la pendiente es la velocidad a la que la distancia (d ) entre los hermanos está cambiando con respecto al tiempo (t ).

 

Finalmente, la ecuación de la línea es (y = mx + b ), donde (m ) es la pendiente de la línea y (b ) es la coordenada (y ) (en en este caso, la (d ) – coordenada) del punto donde el gráfico cruza el eje vertical. Por lo tanto, sustituya (- 2 ) por (m ) y (300 ) por (b ) en la forma pendiente-intersección de la línea.

 

[ begin {alineado} y & = mx + b quad color {Rojo} text {Forma pendiente-intersección. } \ y & = -2x + 300 quad color {Rojo} text {Sustituir:} -2 text {para} m, 300 text {para} b end {alineado} nonumber ]

 

Queda un problema. La ecuación (y = −2x + 300 ) nos da (y ) en términos de (x ).

 
         
  1. La pregunta requería que expresáramos la distancia (d ) en términos del tiempo (t ). Entonces, para terminar la solución, reemplace (y ) con (d ) y (x ) con (t ) (verifique las etiquetas de los ejes en la Figura ( PageIndex {10} )) para obtener una solución: [d = -2t + 300 nonumber ]
  2.      
  3. Ahora que nuestra ecuación expresa la distancia entre los hermanos en términos de tiempo, respondamos la parte (b), «¿A qué hora después de que Jason comienza a caminar hacia Tim están los hermanos (200 ) pies separados?» Para encontrar este tiempo, sustituya (200 ) por (d ) en la ecuación (d = −2t + 300 ), luego resuelva (t ). [ Begin {alineado} d & = -2t + 300 quad color {Rojo} text {Ecuación de distancia} \ 200 & = -2t + 300 quad color {Rojo} text {Sustituir} 200 text {para} d end {alineado} nonumber ] Resuelve esta última ecuación para el tiempo (t ). [ begin {alineado} 200-300 & = -2t + 300-300 quad color {Rojo} text {Restar} 300 text { de ambos lados. } \ -100 & = -2t quad color {Red} text {Simplifique ambos lados. } \ dfrac {-100} {- 2} & = dfrac {-2 t} {- 2} quad color {Red} text {Divide ambos lados entre} -2 \ 50 & = t quad color {Rojo} text {Simplifica ambos lados. } end {alineado} nonumber ] Por lo tanto, Jason (50 ) segundos tarda en cerrar la distancia entre los hermanos a (200 ) pies.
  4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Un nadador está a (50 ) pies de la playa, y luego comienza a nadar lejos de la playa a una velocidad constante de (1.5 ) pies por segundo ( (1.5 ) ft / s). Exprese la distancia (d ) entre el nadador y la playa en términos del tiempo (t ).

 
     
Respuesta
     
     

(d = 1,5 t + 50 )

     
 
 
 
                                  
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