3.4: La forma punto-pendiente de una línea

3.4: La forma punto-pendiente de una línea

                 

En la última sección, desarrollamos la forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b). La forma pendiente-intersección de una línea es aplicable cuando se le da la pendiente y la intersección con el eje y de la línea. Sin embargo, habrá momentos en que la intersección en y sea desconocida.

 

Supongamos, por ejemplo, que se le pide que encuentre la ecuación de una línea que pasa por un punto particular (P left (x_ {0}, y_ {0} right) ) con pendiente = m. Esta situación se ilustra en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
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Figura ( PageIndex {1} ). Una línea a través de ( left (x_ {0}, y_ {0} right) ) con pendiente m.
 

Sea el punto Q (x, y) un punto arbitrario en la línea. Podemos determinar la ecuación de la línea usando la fórmula de la pendiente con los puntos P y Q. Por lo tanto,

 

[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}} ]

 

Debido a que la pendiente es igual a m, podemos establecer Pendiente = m en este último resultado para obtener

 

[m = frac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}} ]

 

Si multiplicamos ambos lados de esta última ecuación por (x-x_ {0} ), obtenemos

 

[m left (x-x_ {0} right) = y-y_ {0} ]

 

o intercambiando lados de esta última ecuación,

 

[y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ]

 

Este último resultado es la ecuación de la línea.

 
 

La forma punto-pendiente de una línea

 

Si la línea L pasa por el punto ( left (x_ {0}, y_ {0} right) ) y tiene pendiente m, entonces la ecuación de la línea es [y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ] Esta forma de la ecuación de una línea se llama forma punto-pendiente.

 
 

Para usar la forma punto-pendiente de una línea, sigue estos pasos.

 
 

Procedimiento para usar la forma punto-pendiente de una línea

 

Cuando se le da la pendiente de una línea y un punto en la línea, use la forma punto-pendiente de la siguiente manera:

 
         
  1. Sustituya la pendiente dada por m en la fórmula (y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ).
  2.      
  3. Sustituye las coordenadas del punto dado para x0 e y0 en la fórmula (y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ).
  4.  
 

Por ejemplo, si la línea tiene pendiente −2 y pasa por el punto (3, 4), entonces sustituya (m = -2, x_ {0} = 3, ) y (y_ {0} = 4 ) en la fórmula (y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ) para obtener [y-4 = -2 (x-3) ].

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Dibuje la línea que pasa por el punto P (−3, −2) y tiene pendiente m = 1/2. Usa la forma punto-pendiente para determinar la ecuación de la recta.

 

Solución

 

Primero, trace el punto P (−3, −2), como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (a). Comenzando desde el punto P (−3, −2), mueva 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hasta el punto Q (−1, −1). La línea a través de los puntos P y Q en la Figura ( PageIndex {2} ) (a) ahora tiene una pendiente m = 1/2.

 
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Figura ( PageIndex {2} )
 

Para determinar la ecuación de la línea en la Figura ( PageIndex {2} ) (a), usaremos la forma punto-pendiente de la línea

 

[y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ]

 

La pendiente de la línea es m = 1/2 y el punto dado es P (−3, −2), entonces ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (- 3 , −2) ). En la ecuación (3), establezca (m = 1/2, x_ {0} = – 3, ) y (y_ {0} = – 2 ), obteniendo

 

[y – (- 2) = frac {1} {2} (x – (- 3)) ]

 

o equivalente,

 

[y + 2 = frac {1} {2} (x + 3) ]

 

Esta es la ecuación de la línea en la Figura ( PageIndex {2} ) (a).

 

Como verificación, hemos estimado la intersección en y de la línea en la Figura ( PageIndex {2} ) (b) como R (0, −0.5). Coloquemos la ecuación (4) en forma de pendiente-intersección para determinar el valor exacto de la intersección en y. Primero, distribuya 1/2 para obtener

 

[y + 2 = frac {1} {2} x + frac {3} {2} ]

 

Resta 2 de ambos lados de esta última ecuación.

 

[y = frac {1} {2} x + frac {3} {2} -2 ]

 

Haz fracciones equivalentes con un denominador común y simplifica.

 

[ begin {array} {l} {y = frac {1} {2} x + frac {3} {2} – frac {4} {2}} \ {y = frac {1} {2} x- frac {1} {2}} end {array} ]

 

La comparación de la ecuación (5) con y = mx + b nos da b = −1/2. Este es el valor y exacto de la intersección y. Tenga en cuenta que este resultado se compara exactamente con el valor y del punto R en la Figura ( PageIndex {2} ) (b). Esto es un poco afortunado. No espere obtener una comparación exacta cada vez. Sin embargo, si la comparación no es cercana, busque un error en su trabajo, ya sea en sus cálculos o en su gráfico.

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Encuentre la ecuación de la línea que pasa por los puntos P (−3, 2) y Q (2, −1). Coloque su respuesta final en forma estándar.

 

Solución

 

Nuevamente, para ayudar a mantener nuestro enfoque, dibujamos la línea que pasa por los puntos P (−3, 2) y Q (2, −1) en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
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Figura ( PageIndex {3} ). La línea que pasa por los puntos P (−3, 2) y Q (2, −1).
 

Use la fórmula de la pendiente para determinar la pendiente de la línea a través de los puntos P (−3, 2) y Q (2, −1).

 

[m = frac { Delta y} { Delta x} = frac {-1-2} {2 – (- 3)} = – frac {3} {5} ] [19459002 ]  

Utilizaremos la forma punto-pendiente de la línea

 

[y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ]

 

Usemos el punto P (−3, 2) como el punto dado ( left (x_ {0}, y_ {0} right) ). Es decir, ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (- 3,2) ). Sustituya (m = -3 / 5, x_ {0} = – 3, ) y (y_ {0} = 2 ) en la ecuación (7), obteniendo

 

[y-2 = – frac {3} {5} (x – (- 3)) ]

 

Esta es la ecuación de la línea que pasa por los puntos P y Q.

 

Alternativamente, también podríamos usar el punto Q (2, −1) como el punto dado ( left (x_ {0}, y_ {0} right) ). Es decir, ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (2, -1) ). Sustituya (m = -3 / 5, x_ {0} = 2, ) y (y_ {0} = – 1 ) en la forma punto-pendiente (7), obteniendo

 

[y – (- 1) = – frac {3} {5} (x-2) ]

 

Esto también es la ecuación de la línea que pasa por los puntos P y Q.

 

¿Cómo pueden las ecuaciones (8) y (9) ser la ecuación de la línea a través de P y Q, y al mismo tiempo verse tan claramente diferentes? Coloquemos cada ecuación en forma estándar (Ax + By = C ) y comparemos los resultados.

 

Si comenzamos con la ecuación (8) y distribuimos la pendiente,

 

[ begin {array} {l} {y-2 = – frac {3} {5} (x – (- 3))} \ {y-2 = – frac {3} { 5} x- frac {9} {5}} end {array} ]

 

Multiplica ambos lados por el común denominador 5 para borrar las fracciones.

 

[ begin {alineado} 5 (y-2) & = 5 left (- frac {3} {5} x- frac {9} {5} right) \ 5 y-10 & = – 3 x-9 end {alineado} ]

 

Agregue 3x a ambos lados de la ecuación, luego agregue 10 a ambos lados de la ecuación para obtener

 

[3 x + 5 y = 1 ]

 

Coloque la ecuación (9) en forma estándar de manera similar. Primero, comience con la ecuación (9) y distribuya la pendiente,

 

[ begin {alineado} y – (- 1) & = – frac {3} {5} (x-2) \ y + 1 & = – frac {3} {5} x + frac {6} {5} end {alineado} ]

 

Luego, multiplique ambos lados de este último resultado por 5 para borrar las fracciones de la ecuación.

 

[ begin {alineado} 5 (y + 1) & = 5 left (- frac {3} {5} x + frac {6} {5} right) \ 5 y + 5 & = -3 x + 6 end {alineado} ]

 

Finalmente, suma 3x a ambos lados de la ecuación, luego resta 5 de ambos lados de la ecuación para obtener

 

[3 x + 5 y = 1 ]

 

Tenga en cuenta que la ecuación (11) es idéntica a la ecuación (10). Por lo tanto, no importa qué punto use en la forma de punto-pendiente. Ambos conducen al mismo resultado.

 
 

Líneas paralelas

 

Recuerde que la pendiente controla la «inclinación» de una línea. En consecuencia, si dos líneas son paralelas, deben tener la misma «inclinación» o pendiente. Veamos un ejemplo de líneas paralelas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentre la ecuación de la línea que pasa por el punto P (−2, 2) que es paralela a la línea que pasa por los puntos Q (−3, −1) y R (2, 1).

 

Solución

 

Primero, para ayudarnos a mantener la concentración, dibujamos la línea a través de los puntos Q (−3, −1) y R (2, 1), luego graficamos el punto P (−2, 2), como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (a).

 

Podemos usar la fórmula de la pendiente para calcular la pendiente de la línea que pasa por los puntos Q (−3, −1) y R (2, 1).

 

[m = frac { Delta y} { Delta x} = frac {1 – (- 1)} {2 – (- 3)} = frac {2} {5} ] [ 19459002]  

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Figura ( PageIndex {4} ).
 

Ahora dibujamos una línea a través del punto P (−2, 2) que es paralela a la línea a través de los puntos Q y R. Las líneas paralelas deben tener la misma pendiente, por lo que comenzamos en el punto P (−2, 2), “corra” 5 unidades hacia la derecha, luego “suba” 2 unidades hasta el punto T (3, 4), como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (b).

 

Buscamos la ecuación de la línea a través de los puntos P y T. Utilizaremos la forma de pendiente de puntos de la línea

 

[y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ]

 

Usaremos el punto P (−2, 2) como el punto dado ( left (x_ {0}, y_ {0} right) ). Es decir, ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (−2, 2) ). La línea a través de P tiene pendiente 2/5. Sustituya (m = 2/5, x_ {0} = – 2, ) y (y_ {0} = 2 ) en la ecuación (13) para obtener

 

[y-2 = frac {2} {5} (x – (- 2)) ]

 

Coloquemos la ecuación (14) en forma estándar. Distribuya la pendiente, luego limpie las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación resultante por 5.

 

[ begin {alineado} y-2 & = frac {2} {5} x + frac {4} {5} \ 5 (y-2) & = 5 left ( frac {2 } {5} x + frac {4} {5} right) \ 5 y-10 & = 2 x + 4 end {alineado} ]

 

Finalmente, resta 5y de ambos lados de la última ecuación, luego resta 4 de ambos lados de la ecuación, obteniendo

 

[- 14 = 2 x-5 y ]

 

o equivalente,

 

[2 x-5 y = -14 ]

 

Esta es la forma estándar de la ecuación de la línea que pasa por el punto P y paralela a la línea que pasa por los puntos Q y R.

 
 

Líneas perpendiculares

 

Suponga que dos líneas (L_ {1} ) y (L_ {2} ) tienen pendientes (m_ {1} ) y (m_ {2} ), respectivamente. Recuerde (vea la sección sobre Pendiente) que si (L_ {1} ) y (L_ {2} ) son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es (m_ {1} m_ {2} = – 1 ). Alternativamente, la pendiente de la primera línea es el recíproco negativo de la segunda línea, y viceversa; es decir, (m_ {1} = – 1 / m_ {2} ) y (m_ {2} = – 1 / m_ {1} ). Veamos un ejemplo de líneas perpendiculares.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Encuentre la ecuación de la línea que pasa por el punto P (−4, −4) que es perpendicular a la línea 4x + 3y = 12.

 

Solución

 

Ayudará a nuestro enfoque si dibujamos la línea dada 4x + 3y = 12. La forma más fácil de trazar una línea en forma estándar Ax + By = C es encontrar las intersecciones x e y.

 

[ begin {array} {rlrrll} {4 x + 3 y} & {=} & {12} y {4 x + 3 y} & {=} & {12} \ {4 x + 3 (0)} y {=} y {12} y {4 (0) +3 y} y {=} y {12} \ {4 x} y {=} y {12} y {3 y} & {=} & {12} \ {x} & {=} & {3} & {y} & {=} & {4} end {array} ]

 

Trace las intersecciones x e y R (3, 0) y S (0, 4) como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (a). La línea que pasa por los puntos R y S es la gráfica de la ecuación 4x + 3y = 12.

 
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Figura ( PageIndex {5} )
 

Luego, determine la pendiente de la línea 4x + 3y = 12 colocando esta ecuación en forma de pendiente-intersección (es decir, resuelva la ecuación 4x + 3y = 12 para y)

 

[ begin {alineado} 4 x + 3 y & = 12 \ 3 y & = – 4 x + 12 \ y & = – frac {4} {3} x + 4 end {alineado } ]

 

Si dos líneas son perpendiculares, entonces sus pendientes son recíprocas negativas entre sí. Por lo tanto, la pendiente de la línea que es perpendicular a la línea 4x + 3y = 12 (que tiene una pendiente −4/3) es m = 3/4. Nuestra segunda línea debe pasar por el punto P (−4, −4). Para dibujar esta segunda línea, primero trace el punto P (−4, −4), luego mueva 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba hasta el punto Q (0, −1), como se muestra en la Figura ( PageIndex { 5} ) (b). La línea que pasa por los puntos P y Q es perpendicular a la línea 4x + 3y = 12.

 

Para determinar la ecuación de la línea a través de los puntos P y Q, usaremos la forma punto-pendiente de la línea, a saber

 

[y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ]

 

La pendiente de la línea a través de los puntos P y Q es m = 3/4. Si usamos el punto P (−4, −4), entonces ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (- 4, -4) ). Establezca (m = 3/4, x_ {0} = – 4, ) y (y_ {0} = – 4 ) en la ecuación (16), obteniendo

 

[y – (- 4) = frac {3} {4} (x – (- 4)) ]

 

o equivalente,

 

[y + 4 = frac {3} {4} (x + 4) ]

 

Alternativamente, podríamos usar la forma pendiente-intersección de la línea. Sabemos que la línea que pasa por los puntos P y Q en la Figura ( PageIndex {5} ) (b) cruza el eje y en Q (0, −1). Entonces, con pendiente m = 3/4 y coordenada y de la intersección y b = −1, la forma de intersección de pendiente y = mx + b se convierte en

 

[y = frac {3} {4} x-1 ]

 

Por otro lado, si resolvemos la ecuación (17) para y,

 

[ begin {alineado} y + 4 & = frac {3} {4} (x + 4) \ y + 4 & = frac {3} {4} x + 3 \ y & = frac {3} {4} x-1 end {alineado} ]

 

Tenga en cuenta que esto es idéntico al resultado encontrado usando la forma de pendiente-intersección anterior.

 
 

Es reconfortante notar que las dos formas (punto-pendiente y pendiente-intersección) dan el mismo resultado, pero ¿cómo determinamos la forma más eficiente para usar en un problema en particular? Aquí hay una buena pista.

 
 

Determinación de la forma de la línea a usar

 

Aquí hay algunos consejos acertados cuando intentas determinar si usar la forma de intercepción de pendiente o la forma de pendiente de puntos de una línea.

 
         
  • Si le dan la pendiente y la intersección en y, use la forma de intersección en pendiente y = mx + b.
  •      
  • Si se le da un punto (que no sea la intersección con el eje y) y la pendiente, use la forma punto-pendiente (y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) )
  •  
 
 

Aplicaciones de funciones lineales

 

En esta sección veremos algunas aplicaciones de funciones lineales. Comenzamos desarrollando una función que relaciona la temperatura Fahrenheit y Celsius.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

El agua se congela en (32 ^ { circ} F ) y (0 ^ { circ} mathrm {C} ). El agua hierve a (212 ^ { circ} F ) y (100 ^ { circ} mathrm {C} ). F y C son abreviaturas para escalas de temperatura Fahrenheit y Celsius, respectivamente. Asumiendo una relación lineal, desarrolle un modelo que relacione la temperatura Fahrenheit y Celsius.

 

Solución

 

Primero, para ayudar a mantener nuestro enfoque, configuramos un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. En la Figura ( PageIndex {6} ), hemos decidido hacer que la temperatura Celsius sea la variable dependiente y hemos asignado la temperatura Celsius al eje vertical. Del mismo modo, hemos declarado la temperatura Fahrenheit como la variable independiente y la hemos asignado al eje horizontal.

 

Interpreta los datos dados:

 
         
  • El agua se congela en (32 ^ { circ} F ) y (0 ^ { circ} C ). Esto nos da el punto (F, C) = (32, 0), que graficamos en la Figura ( PageIndex {6} ).
  •      
  • El agua hierve a (212 ^ { circ} F ) y (100 ^ { circ} C ). Esto nos da el punto (F, C) = (212, 100), que graficamos en la Figura ( PageIndex {6} ).
  •  
 

Ahora estamos en terreno familiar. Queremos encontrar la ecuación de la línea a través de estos dos puntos, que es el mismo tipo de problema que abordamos en el Ejemplo 6. Primero, use los puntos (32, 0) y (212, 100) para determinar la pendiente de la línea .

 

[m = frac { Delta C} { Delta F} = frac {100-0} {212-32} = frac {100} {180} = frac {5} {9} ]

 

Ahora usaremos la forma punto-pendiente de la línea, (y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ) con m = 5/9 y ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (32,0) ). Sustituya (m = 5/9, x_ {0} = 32, ) y (y_ {0} = 0 ) en (y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} derecho) ) para obtener

 
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Figura ( PageIndex {6} ). Graficando la temperatura Celsius versus la temperatura Fahrenheit
 

[y-0 = frac {5} {9} (x-32) ]

 

Sin embargo, nuestro eje dependiente está etiquetado como C, no y, y nuestro eje independiente está etiquetado como F, no x. Entonces, debemos reemplazar y y x en la ecuación (20) con C y F, respectivamente, obteniendo

 

[C = frac {5} {9} (F-32) ]

 

Este resultado en la ecuación (21) expresa la temperatura Celsius en función de la temperatura Fahrenheit. Alternativamente, también podríamos usar la notación de función y escribir

 

[C (F) = frac {5} {9} (F-32) ]

 

Supongamos que sabemos que la temperatura exterior de Fahrenheit es (80 ^ { circ} mathrm {F} ) y deseamos expresar esto usando la escala Celsius. Para hacerlo, simplemente evaluamos C (80), como en

 

[C (80) = frac {5} {9} (80-32) aprox 26.6 ]

 

Por lo tanto, la temperatura Celsius es aproximadamente (26.6 ^ { circ} mathrm {C} ).

 

Por otro lado, supongamos que sabemos que la temperatura Celsius en un techo de metal es (80 ^ { circ} mathrm {C} ) y deseamos encontrar la temperatura Fahrenheit. Para hacerlo, tenemos que resolver

 

[C (F) = 80 ]

 

para F, o equivalente,

 

[ frac {5} {9} (F-32) = 80 ]

 

Multiplica ambos lados por 9 para obtener

 

[5 (F-32) = 720 ]

 

luego divida ambos lados del resultado entre 5 para obtener

 

[F-32 = 144 ]

 

Agregar 32 a ambos lados de este último resultado produce la temperatura Fahrenheit (F = 176 ^ { circ} mathrm {F} ). Wow, eso está de moda!

 
     
                                  
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