3.4: Tasas de cambio y comportamiento de los gráficos

3.4: Tasas de cambio y comportamiento de los gráficos

Los costos de la gasolina han experimentado algunas fluctuaciones salvajes en las últimas décadas. La Tabla ( PageIndex {1} ) enumera el costo promedio, en dólares, de un galón de gasolina para los años 2005–2012. El costo de la gasolina puede considerarse en función del año.

Si solo estuviéramos interesados ​​en cómo cambiaron los precios de la gasolina entre 2005 y 2012, podríamos calcular que el costo por galón aumentó de $ 2.31 a $ 3.68, un aumento de $ 1.37. Si bien esto es interesante, podría ser más útil observar cuánto cambió el precio por año. En esta sección, investigaremos cambios como estos.

Encontrar la tasa promedio de cambio de una función

 

El cambio de precio por año es una tasa de cambio porque describe cómo cambia la cantidad de salida en relación con el cambio en la cantidad de entrada. Podemos ver que el precio de la gasolina en la Tabla ( PageIndex {1} ) no cambió en la misma cantidad cada año, por lo que la tasa de cambio no fue constante. Si utilizamos solo los datos iniciales y finales, encontraríamos la tasa de cambio promedio durante el período de tiempo especificado. Para encontrar la tasa de cambio promedio, dividimos el cambio en el valor de salida por el cambio en el valor de entrada.

 

[ begin {align *} text {Tasa promedio de cambio} & = dfrac { text {Cambio en la salida}} { text {Cambio en la entrada}} \ [4pt] & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ [4pt] & = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} \ [4pt] & = dfrac {f (x_2) -f (x_1)} { x_2-x_1} end {align *} label {1.3.1} ]

 

La letra griega ( Delta ) (delta) significa el cambio en una cantidad; leemos la relación como «delta – (y ) sobre delta – (x )» o «el cambio en (y ) dividido por el cambio en (x )». Ocasionalmente, escribimos ( Delta f ) en lugar de ( Delta y ), que aún representa el cambio en el valor de salida de la función resultante de un cambio en su valor de entrada. No significa que estamos cambiando la función a otra función.

 

En nuestro ejemplo, el precio de la gasolina aumentó en $ 1.37 de 2005 a 2012. Durante 7 años, la tasa de cambio promedio fue

 

[ dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {$ 1.37} {7 text {años}} aprox text {0.196 dólares por año.} Label {1.3.2} ]

 

En promedio, el precio del gas aumentó en aproximadamente 19.6 ¢ cada año. Otros ejemplos de tasas de cambio incluyen:

 
         
  • Una población de ratas que aumenta en 40 ratas por semana
  •      
  • Un automóvil que viaja 68 millas por hora (la distancia recorrida cambia 68 millas cada hora a medida que pasa el tiempo)
  •      
  • Un automóvil que conduce 27 millas por galón (la distancia recorrida cambia en 27 millas por cada galón)
  •      
  • La corriente a través de un circuito eléctrico aumenta en 0,125 amperios por cada voltio de voltaje aumentado
  •      
  • La cantidad de dinero en una cuenta universitaria disminuye en $ 4,000 por trimestre
  •  
 
 

Definición: tasa de cambio

 

Una tasa de cambio describe cómo cambia la cantidad de salida en relación con el cambio en la cantidad de entrada. Las unidades en una tasa de cambio son «unidades de salida por unidades de entrada».

 

La tasa de cambio promedio entre dos valores de entrada es el cambio total de los valores de función (valores de salida) dividido por el cambio en los valores de entrada.

 

[ dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {f (x_2) -f (x_1)} {x_2-x_1} ]

 
 

Dado el valor de una función en diferentes puntos, calcule la tasa de cambio promedio de una función para t él en terval entre dos valores (x_1 ) y ( x_2 ).

 
         
  1. Calcule la diferencia (y_2 − y_1 = Delta y ).
  2.      
  3. Calcule la diferencia (x_2 − x_1 = Delta x ).
  4.      
  5. Encuentre la razón ( dfrac { Delta y} { Delta x} ).
  6.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Calcular una tasa de cambio promedio

 

Utilizando los datos de la Tabla ( PageIndex {1} ), encuentre la tasa de cambio promedio del precio de la gasolina entre 2007 y 2009.

 

Solución

 

En 2007, el precio de la gasolina era de $ 2.84. En 2009, el costo fue de $ 2.41. La tasa de cambio promedio es

 

[ begin {align *} dfrac { Delta y} { Delta x} & = dfrac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} \ [4pt] & = dfrac {$ 2.41− $ 2.84 } {2009−2007} \ [4pt] & = dfrac {- $ 0.43} {2 text {años}} \ [4pt] & = – $ 0.22 text {por año} end {align *} ]

 

Análisis

 

Tenga en cuenta que una disminución se expresa por un cambio negativo o «aumento negativo». Una tasa de cambio es negativa cuando la salida disminuye a medida que aumenta la entrada o cuando la salida aumenta a medida que disminuye la entrada.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Utilizando los datos de la Tabla ( PageIndex {1} ), encuentre la tasa de cambio promedio entre 2005 y 2010.

 
     
Solución
     
     

( dfrac {$ 2.84− $ 2.315} {5 text {años}} = dfrac {$ 0.535} {5 text {años}} = $ 0.106 text {por año.} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Calcular la tasa de cambio promedio de un gráfico

 

Dada la función (g (t) ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ), encuentre la tasa de cambio promedio en el intervalo ([- 1,2] ).

 
Graph of a parabola.  
Figura ( PageIndex {1} ): Gráfico de una parábola.
 
 

Solución

 

En (t = −1 ), la Figura ( PageIndex {2} ) muestra (g (−1) = 4 ). En (t = 2 ), el gráfico muestra (g (2) = 1 ).

 
Graph of a parabola with a line from points (-1, 4) and (2, 1) to show the changes for g(t) and t.  
Figura ( PageIndex {2} ): Gráfico de una parábola con una línea desde los puntos (-1, 4) y (2, 1) para mostrar los cambios para g (t) y t.
 
 

La flecha roja muestra el cambio horizontal ( Delta t = 3 ), y la flecha turquesa muestra el cambio vertical ( Delta g (t) = – 3 ). La salida cambia en –3 mientras que la entrada cambia en 3, dando una tasa de cambio promedio de

 

[ dfrac {1−4} {2 – (- 1)} = dfrac {−3} {3} = – 1 ]

 

Análisis

 

Tenga en cuenta que el orden que elegimos es muy importante. Si, por ejemplo, usamos ( dfrac {y_2 − y_1} {x_1 − x_2} ), no obtendremos la respuesta correcta. Decida qué punto será 1 y qué punto será 2, y mantenga las coordenadas fijas como ((x_1, y_1) ) y ((x_2, y_2) ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Calcular la tasa de cambio promedio de una tabla

 

Después de recoger a un amigo que vive a 10 millas de distancia, Anna registra su distancia de su casa con el tiempo. Los valores se muestran en la Tabla ( PageIndex {2} ). Encuentre su velocidad promedio durante las primeras 6 horas.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {2} )
             

t (horas)

             
0 1 2 3 4 5 6 7
D (t) (millas) 10 55 90 153 214 240 282 300
 

Solución

 

Aquí, la velocidad promedio es la tasa de cambio promedio. Viajó 282 millas en 6 horas, para una velocidad promedio de

 

[ begin {align *} dfrac {292−10} {6−0} & = dfrac {282} {6} \ [4pt] & = 47 end {align *} ] [ 19459001]  

La velocidad promedio es de 47 millas por hora.

 

Análisis

 

Debido a que la velocidad no es constante, la velocidad promedio depende del intervalo elegido. Para el intervalo ([2,3] ), la velocidad promedio es de 63 millas por hora.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Calcular la tasa de cambio promedio para una función expresada como fórmula

 

Calcule la tasa de cambio promedio de (f (x) = x ^ 2− frac {1} {x} ) en el intervalo ([2, 4] ).

 

Solución

 

Podemos comenzar calculando los valores de la función en cada punto final del intervalo.

 

[ begin {align *} f (2) & = 2 ^ 2− frac {1} {2} f (4) & = 4 ^ 2− frac {1} {4} \ [ 4pt] & = 4− frac {1} {2} & = 16− frac {1} {4} \ [4pt] & = 72 & = frac {63} {4} end {align *} ]

 

Ahora calculamos la tasa de cambio promedio.

 

[ begin {align *} text {Tasa de cambio promedio} & = dfrac {f (4) −f (2)} {4−2} \ [4pt] & = dfrac { frac {63} {4} – frac {7} {2}} {4-2} \ [4pt] & = dfrac { frac {49} {4}} {2} \ [4pt] & = dfrac {49} {8} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentre la tasa de cambio promedio de (f (x) = x − 2 sqrt {x} ) en el intervalo ([1, 9] ).

 
     
Solución
     
     

( frac {1} {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar la tasa promedio de cambio de una fuerza

 

La fuerza electrostática (F ), medida en newtons, entre dos partículas cargadas puede relacionarse con la distancia entre las partículas (d ), en centímetros, mediante la fórmula (F (d) = frac {2} {d ^ 2} ). Encuentre la tasa promedio de cambio de fuerza si la distancia entre las partículas aumenta de 2 cm a 6 cm.

 

Solución

 

Estamos calculando la tasa de cambio promedio de (F (d) = dfrac {2} {d ^ 2} ) en el intervalo ([2,6] ).

 

[ begin {align *} text {Tasa de cambio promedio} & = dfrac {F (6) −F (2)} {6−2} \ [4pt] & = dfrac { frac {2} {6 ^ 2} – frac {2} {2 ^ 2}} {6-2} & text {Simplify} \ [4pt] & = dfrac { frac {2} {36} – frac {2} {4}} {4} \ [4pt] & = dfrac {- frac {16} {36}} {4} & text {Combinar términos de numerador.} \ [4pt] & = – dfrac {1} {9} & text {Simplify} end {align *} ]

 

La tasa de cambio promedio es (- frac {1} {9} ) newton por centímetro.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar una tasa de cambio promedio como expresión

 

Encuentre la tasa de cambio promedio de (g (t) = t ^ 2 + 3t + 1 ) en el intervalo ([0, a] ). La respuesta será una expresión que involucre (a ).

 

Solución

 

Utilizamos la fórmula de la tasa de cambio promedio.

 

( begin {align *} text {Tasa de cambio promedio} & = dfrac {g (a) −g (0)} {a − 0} & text {Evaluate.} \ [4pt ] & = dfrac {(a ^ 2 + 3a + 1) – (0 ^ 2 + 3 (0) +1)} {a − 0} & text {Simplify.} \ [4pt] & = dfrac {a ^ 2 + 3a + 1−1} {a} & text {Simplificar y factorizar.} \ [4pt] & = dfrac {a (a + 3)} {a} & text {Dividir por factor común a.} \ [4pt] & = a + 3 end {align *} )

Este resultado nos dice la tasa de cambio promedio en términos de a entre (t = 0 ) y cualquier otro punto (t = a ). Por ejemplo, en el intervalo ([0,5] ), la tasa de cambio promedio sería (5 + 3 = 8 ).
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentre la tasa de cambio promedio de (f (x) = x ^ 2 + 2x − 8 ) en el intervalo ([5, a] ).

 
     
Solución
     
     

(a + 7 )

     
 
 
 

Usando un gráfico para determinar dónde una función está aumentando, disminuyendo o constante

 

Como parte de la exploración de cómo cambian las funciones, podemos identificar los intervalos durante los cuales la función cambia de maneras específicas. Decimos que una función aumenta en un intervalo si los valores de la función aumentan a medida que los valores de entrada aumentan dentro de ese intervalo. Del mismo modo, una función disminuye en un intervalo si los valores de la función disminuyen a medida que los valores de entrada aumentan durante ese intervalo. La tasa de cambio promedio de una función creciente es positiva, y la tasa de cambio promedio de una función decreciente es negativa. La Figura ( PageIndex {3} ) muestra ejemplos de intervalos crecientes y decrecientes en una función.

 
Graph of a polynomial that shows the increasing and decreasing intervals and local maximum and minimum.  
Figura ( PageIndex {3} ): La función (f (x) = x ^ 3−12x ) aumenta en ((- infty, −2) cup (2, infty ) ) y está disminuyendo en ((- 2, 2) ).
 
 

Si bien algunas funciones aumentan (o disminuyen) en todo su dominio, muchas otras no. Un valor de la entrada donde una función cambia de aumento a disminución (a medida que avanzamos de izquierda a derecha, es decir, a medida que aumenta la variable de entrada) se denomina máximo local . Si una función tiene más de una, decimos que tiene máximos locales. De manera similar, un valor de la entrada donde una función cambia de decreciente a creciente a medida que aumenta la variable de entrada se llama mínimo local . La forma plural es «mínimos locales». Juntos, los máximos y mínimos locales se denominan extremos locales , o valores extremos locales, de la función. (La forma singular es «extremum».) A menudo, el término local se reemplaza por el término relativo. En este texto, usaremos el término local.

 

Claramente, una función no aumenta ni disminuye en un intervalo donde es constante. Una función tampoco aumenta ni disminuye en los extremos. Tenga en cuenta que tenemos que hablar de extremos locales, porque cualquier extremo local dado como se define aquí no es necesariamente el máximo más alto o el mínimo más bajo en todo el dominio de la función.

 

Para la función cuyo gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ), el máximo local es 16, y ocurre en (x = −2 ). El mínimo local es −16 y ocurre en (x = 2 ).

 
Graph of a polynomial that shows the increasing and decreasing intervals and local maximum.] Definition of a local maximum  
Figura ( PageIndex {4} ): Gráfico de un polinomio que muestra los intervalos crecientes y decrecientes y el máximo local. Máximo
 
 

Para ubicar los máximos y mínimos locales de un gráfico, necesitamos observar el gráfico para determinar dónde alcanza los puntos más altos y más bajos, respectivamente, dentro de un intervalo abierto. Al igual que la cumbre de una montaña rusa, el gráfico de una función es más alto en un máximo local que en puntos cercanos en ambos lados. El gráfico también será más bajo en un mínimo local que en los puntos vecinos. La Figura ( PageIndex {5} ) ilustra estas ideas para un máximo local.

 
Graph of a polynomial that shows the increasing and decreasing intervals and local maximum.  
Figura ( PageIndex {5} ): Definición de un máximo local
 
 

Estas observaciones nos llevan a una definición formal de extremos locales.

 
 

Mínimos locales y máximos locales

 
         
  • Una función (f ) es una función creciente en un intervalo abierto si (f (b)> f (a) ) para cada (a ), (b ) intervalo donde (b> a ).
  •      
  • Una función (f ) es una función decreciente en un intervalo abierto si (f (b) a ).
  •  
 

Una función (f ) tiene un máximo local en un punto (b ) en un intervalo abierto ((a, c) ) si (f (b) ) es mayor o igual que (f (x) ) para cada punto (x ) ( (x ) no es igual a (b )) en el intervalo. Del mismo modo, (f ) tiene un mínimo local en un punto (b ) en ((a, c) ) si (f (b) ) es menor o igual que (f (x) ) para cada (x ) ( (x ) no es igual a (b )) en el intervalo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ) Encontrar intervalos crecientes y decrecientes en un gráfico

 

Dada la función (p (t) ) en la Figura ( PageIndex {6} ), identifique los intervalos en los que la función parece estar aumentando.

 
[Graph of a polynomial.]  
Figura ( PageIndex {6} ): Gráfico de un polinomio.
 
 

Solución

 

Vemos que la función no es constante en ningún intervalo. La función aumenta donde se inclina hacia arriba a medida que nos movemos hacia la derecha y disminuye donde se inclina hacia abajo cuando nos movemos hacia la derecha. La función parece estar aumentando de (t = 1 ) a (t = 3 ) y de (t = 4 ) en adelante.

 

En notación de intervalo, diríamos que la función parece estar aumentando en el intervalo ((1,3) ) y el intervalo ((4, infty) ).

 

Análisis

 

Observe en este ejemplo que usamos intervalos abiertos (intervalos que no incluyen los puntos finales), porque la función no aumenta ni disminuye en (t = 1 ), (t = 3 ) y ( t = 4 ). Estos puntos son los extremos locales (dos mínimos y un máximo).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Encontrar Extrema Local a partir de un Gráfico

 

Representa gráficamente la función (f (x) = frac {2} {x} + frac {x} {3} ). Luego use la gráfica para estimar los extremos locales de la función y para determinar los intervalos en los que la función está aumentando.

 

Solución

 

Usando tecnología, encontramos que el gráfico de la función se ve así en la Figura ( PageIndex {7} ). Parece que hay un punto bajo, o mínimo local, entre (x = 2 ) y (x = 3 ), y un punto alto de imagen espejo, o máximo local, en algún lugar entre (x = −3 ) y (x = −2 )

 
Graph of a reciprocal function..  
Figura ( PageIndex {7} ): Gráfico de una función recíproca.
 
 

Análisis

 

La mayoría de las calculadoras gráficas y las utilidades gráficas pueden estimar la ubicación de máximos y mínimos. La Figura ( PageIndex {8} ) proporciona imágenes de pantalla de dos tecnologías diferentes, mostrando la estimación del máximo y mínimo local.

 
Graph of the reciprocal function on a graphing calculator.  
Figura ( PageIndex {8} ): Gráfico de la función recíproca en una calculadora gráfica.
 
 

Según estas estimaciones, la función aumenta en el intervalo ((- infty, −2.449) ) y ((2.449, infty) ). Tenga en cuenta que, si bien esperamos que los extremos sean simétricos, las dos tecnologías diferentes solo aceptan hasta cuatro decimales debido a los diferentes algoritmos de aproximación utilizados por cada uno. (La ubicación exacta de los extremos está en ( pm sqrt {6} ), pero determinar esto requiere cálculo.)

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Representa gráficamente la función (f (x) = x ^ 3−6x ^ 2−15x + 20 ) para estimar los extremos locales de la función. Úselos para determinar los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

 
     
Solución
     
     

El máximo local parece ocurrir en ((- 1,28) ), y el mínimo local ocurre en ((5, −80) ). La función aumenta en ((- infty, −1) cup (5, infty) ) y disminuye en ((- 1,5) ).

     

Graph of a polynomial with a local maximum at (-1, 28) and local minimum at (5, -80).

     

Gráfico de un polinomio con un máximo local en (-1, 28) y un mínimo local en (5, -80).

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Encontrar máximos y mínimos locales a partir de un gráfico

 

Para la función f cuyo gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ), encuentre todos los máximos y mínimos locales.

 
Graph of a polynomial.  
Figura ( PageIndex {9} ): Gráfico de un polinomio.
 
 

Solución

 

Observe la gráfica de (f ). El gráfico alcanza un máximo local en (x = 1 ) porque es el punto más alto en un intervalo abierto alrededor de (x = 1 ). El máximo local es la coordenada y en (x = 1 ), que es 2.

 

El gráfico alcanza un mínimo local en (x = −1 ) porque es el punto más bajo en un intervalo abierto alrededor de (x = −1 ). El mínimo local es la coordenada y en (x = −1 ), que es −2.

 
 

Use un gráfico para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto

 

Hay una diferencia entre ubicar los puntos más altos y más bajos en un gráfico en una región alrededor de un intervalo abierto (localmente) y ubicar los puntos más altos y más bajos en el gráfico para todo el dominio. Las coordenadas y (salida) en los puntos más altos y más bajos se denominan máximo absoluto y mínimo absoluto , respectivamente. Para localizar máximos y mínimos absolutos de un gráfico, debemos observar el gráfico para determinar dónde alcanza los puntos más altos y más bajos en el dominio de la función (Figura ( PageIndex {13} )).

 
Graph of a segment of a parabola with an absolute minimum at (0, -2) and absolute maximum at (2, 2).  
Figura ( PageIndex {13} ): Gráfico de un segmento de una parábola con un mínimo absoluto en (0, -2) y un máximo absoluto en (2, 2).
 
 

No todas las funciones tienen un valor máximo o mínimo absoluto. La función del kit de herramientas (f (x) = x ^ 3 ) es una de esas funciones.

 
 

Máximos y mínimos absolutos

 
         
  • El máximo absoluto de (f ) en (x = c ) es (f (c) ) donde (f (c) ≥f (x) ) para todos (x ) en el dominio de (f ).
  •      
  • El mínimo absoluto de (f ) en (x = d ) es (f (d) ) donde (f (d) ≤f (x) ) para todos (x ) en el dominio de (f ).
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Encontrar máximos y mínimos absolutos de un gráfico

 

Para la función f que se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ), encuentre todos los máximos y mínimos absolutos.

 
Graph of a polynomial.  
Figura ( PageIndex {14} ): Gráfico de un polinomio.
 
 

Solución

 

Observe la gráfica de (f ). El gráfico alcanza un máximo absoluto en dos ubicaciones, (x = −2 ) y (x = 2 ), porque en estas ubicaciones, el gráfico alcanza su punto más alto en el dominio de la función. El máximo absoluto es la coordenada y en (x = −2 ) y (x = 2 ), que es 16.

 

El gráfico alcanza un mínimo absoluto en x = 3, porque es el punto más bajo en el dominio del gráfico de la función. El mínimo absoluto es la coordenada y en x = 3, que es − 10.

 
 
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