3.4: Triángulos, rectángulos y el teorema de Pitágoras

3.4: Triángulos, rectángulos y el teorema de Pitágoras

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Resolver aplicaciones usando propiedades de triángulos
  •      
  • Usa el teorema de Pitágoras
  •      
  • Resolver aplicaciones usando propiedades de rectángulo
  •  
 
 
 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplificar: (12 (6h) ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.10.1 .
  2.      
  3. La longitud de un rectángulo es tres menos que el ancho. Deje w representar el ancho. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.3.43 .
  4.      
  5. Resuelve: (A = frac {1} {2} bh ) para b cuando A = 260 y h = 52.
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 2.6.10 .
  6.      
  7. Simplifique: ( sqrt {144} ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.9.10 .
  8.  
 
 

Resolver aplicaciones usando propiedades de triángulos

 

En esta sección utilizaremos algunas fórmulas de geometría comunes. Adaptaremos nuestra estrategia de resolución de problemas para que podamos resolver aplicaciones de geometría. La fórmula de geometría nombrará las variables y nos dará la ecuación para resolver. Además, dado que todas estas aplicaciones involucrarán formas de algún tipo, a la mayoría de las personas les resulta útil dibujar una figura y etiquetarla con la información dada. Incluiremos esto en el primer paso de la estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

 
 
 

SOLUCIONAR APLICACIONES DE GEOMETRÍA

 
 
         
  1. Lea el problema y asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
  2.      
  3. Identifique lo que estamos buscando.
  4.      
  5. Etiqueta lo que estamos buscando al elegir una variable para representarlo.
  6.      
  7. Traduzca en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
  8.      
  9. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
  10.      
  11. Verifique la respuesta sustituyéndola nuevamente en la ecuación resuelta en el paso 5 y asegurándose de que tenga sentido en el contexto del problema.
  12.      
  13. Responda la pregunta con una oración completa.
  14.  
 
 
 

Comenzaremos las aplicaciones de geometría observando las propiedades de los triángulos. Repasemos algunos datos básicos sobre triángulos. Los triángulos tienen tres lados y tres ángulos interiores. Por lo general, cada lado está etiquetado con una letra minúscula para que coincida con la letra mayúscula del vértice opuesto.

 
 
 
     
 
 

El plural de la palabra vértice es vértices . Todos los triángulos tienen tres vértices . Los triángulos se nombran por sus vértices: el triángulo en la Figura ( PageIndex {1} ) se llama ( triangle {ABC} ).

 
A triangle with vertices A, B, and C. The sides opposite these vertices are marked a, b, and c, respectively.  
Figura ( PageIndex {1} ): El triángulo ABC tiene vértices (A ), (B ) y (C ). Las longitudes de los lados son (a ), (b ) y (c ).
 
 

Los tres ángulos de un triángulo están relacionados de una manera especial. La suma de sus medidas es (180 ^ { circ} ). Tenga en cuenta que leemos (m angle {A} ) como «la medida del ángulo A». Así que en ( triangle {ABC} ) en la Figura ( PageIndex {1} ).

 

[m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ^ { circ} nonumber ]

 

Debido a que el perímetro de una figura es la longitud de su límite, el perímetro de ( triangle {ABC} ) es la suma de las longitudes de sus tres lados.

 

[P = a + b + c nonumber ]

 

Para encontrar el área de un triángulo, necesitamos conocer su base y altura. La altura es una línea que conecta la base con el vértice opuesto y forma un ángulo (90 ^ circ ) con la base. Dibujaremos ( triangle {ABC} ) nuevamente, y ahora mostraremos la altura, (h ). Ver Figura ( PageIndex {2} ).

 
A triangle with vertices A, B, and C. The sides opposite these vertices are marked a, b, and c, respectively. The side b is parallel to the bottom of the page, and it has a dashed line drawn from vertex B to it. This line is marked h and makes a right angle with side b.  
Figura ( PageIndex {2} ): La fórmula para el área de ( triangle {ABC} ) es (A = frac {1} {2} bh ) donde b es la base y h es la altura.
 
 
 

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO

 

A triangle with vertices A, B, and C. The sides opposite these vertices are marked a, b, and c, respectively. The side b is parallel to the bottom of the page, and it has a dashed line drawn from vertex B to it. This line is marked h and makes a right angle with side b.

 

Para ( triangle {ABC} )

 

Medidas de ángulo:

 

[m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ^ { circ} ]

 
         
  • La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180 °.
  •  
 

Perímetro:

 

[P = a + b + c ]

 
         
  • El perímetro es la suma de las longitudes de los lados del triángulo.
  •  
 

Área:

 

(A = frac {1} {2} bh, b = text {base}, h = text {height} )

 
         
  • El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 55 y 82 grados. Encuentra la medida del tercer ángulo.

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. .
Paso 2. Identifique lo que está buscando. la medida del tercer ángulo en un triángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Sea (x = ) la medida del ángulo.
Paso 4. Traducir.
Escriba la fórmula adecuada y sustitúyala. (m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ^ { circ} )
Paso 5. Resuelve la ecuación. ( begin {array} {rll} {55 + 82 + x} & {=} & {180} \ {137 + x} & {=} & {180} \ {x} & { =} & {43} end {array} )
Paso 6. Verificar.

( begin {array} {rll} {55 + 82 + 43} y { stackrel {?} {=}} & {180} \ {180} & {=} & {180 marca de verificación} end {array} )

Paso 7. Responda la pregunta. La medida del tercer ángulo es de 43 grados.
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {1} )

 

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 31 y 128 grados. Encuentra la medida del tercer ángulo.

 
     
Respuesta
     
     

21 grados

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {2} )

 

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 49 y 75 grados. Encuentra la medida del tercer ángulo.

 
     
Respuesta
     
     

56 grados

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

El perímetro de un jardín triangular es de 24 pies. Las longitudes de dos lados son cuatro pies y nueve pies. ¿Cuánto dura el tercer lado?

 

Solución:

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {3} )

 

El perímetro de un jardín triangular es de 48 pies. Las longitudes de dos lados son 18 pies y 22 pies. ¿Cuánto dura el tercer lado?

 
     
Respuesta
     
     

8 pies

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {4} )

 

Las longitudes de dos lados de una ventana triangular son siete pies y cinco pies. El perímetro es de 18 pies. ¿Cuánto dura el tercer lado?

 
     
Respuesta
     
     

6 pies

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

El área de una ventana triangular de la iglesia es de 90 metros cuadrados. La base de la ventana es de 15 metros. ¿Cuál es la altura de la ventana?

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. .
( text {Area} = 90m ^ {2} )
Paso 2. Identifique lo que está buscando. altura de un triángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Sea (h = ) la altura.
Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula apropiada. .
Sustituir en la información dada. .
Paso 5. Resuelve la ecuación. (90 = dfrac {15} {2} h )
(12 = h )
Paso 6. Verificar.

( begin {array} {rll} {A} & {=} & { frac {1} {2} bh} \ {90} & { stackrel {?} {=}} & { frac {1} {2} cdot 15 cdot 12} \ {90} & {=} y {90 checkmark} end {array} )

Paso 7. Responda la pregunta. La altura del triángulo es de 12 metros.
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {5} )

 

El área de una pintura triangular es de 126 pulgadas cuadradas. La base es de 18 pulgadas. ¿Cuál es la altura?

 
     
Respuesta
     
     

14 pulgadas

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {6} )

 

Una puerta de tienda triangular tiene un área de 15 pies cuadrados. La altura es de cinco pies. ¿Cuál es la base?

 
     
Respuesta
     
     

6 pies

     
 
 
 

Las propiedades de triángulo que utilizamos hasta ahora se aplican a todos los triángulos. Ahora veremos un tipo específico de triángulo: un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 °, que generalmente marcamos con un pequeño cuadrado en la esquina.

 
A right triangle with the largest angle marked 90 degrees.  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 

Definición: TRIÁNGULO DERECHO

 

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 °, que a menudo se marca con un cuadrado en el vértice.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 28 °. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada. .
Paso 2. Identifique lo que está buscando. la medida de un ángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Sea (x = ) la medida de un ángulo.
Paso 4. Traducir. (m angle {A} + m angle {B} + m angle {C} = 180 )
Escriba la fórmula adecuada y sustitúyala. (x + 90 + 28 = 180 )
Paso 5. Resuelve la ecuación. (x = 62 )
Paso 6. Verificar.

( begin {array} {rll} {180} y { stackrel {?} {=}} & {90 + 28 + 62} \ {180} & {=} & {180 marca de verificación} end {array} )

Paso 7. Responda la pregunta. La medida del tercer ángulo es 62 ° .
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {7} )

 

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 56 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo pequeño?

 
     
Respuesta
     
     

34 °

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {8} )

 

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 45 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo pequeño?

 
     
Respuesta
     
     

45 °

     
 
 
 

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, podríamos dibujar una figura y etiquetarla directamente después de leer el problema. En el siguiente ejemplo, tendremos que definir un ángulo en términos de otro. Esperaremos a dibujar la figura hasta que escribamos expresiones para todos los ángulos que estamos buscando.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 20 grados más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifique lo que está buscando. las medidas de los tres ángulos
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Sea (a = 1 ^ {st} ) ángulo.
(a + 20 = 2 ^ {nd} ) ángulo
(90 = 3 ^ {rd} ) ángulo (el ángulo recto)
Dibuja la figura y etiquétala con la información dada .
Paso 4. Traducir .
Escribe la fórmula apropiada.
Sustituir en la fórmula.
(a + (a + 20) + 90 = 180 )
Paso 5. Resuelve la ecuación.              

( begin {align *} 2a + 110 & = 180 \ [3pt]
2a & = 70 \ [3pt]
a & = 35 text {primer ángulo} \ [ 3pt]
a & + 20 text {segundo ángulo} \ [3pt]
{ color {red} {35}} & + 20 = 55 end {align *} )
Y el tercer ángulo es 90.

             
Paso 6. Verificar.

( begin {array} {rll} {35 + 55 + 90} y { stackrel {?} {=}} & {180} \ {180} & {=} & {180 marca de verificación} end {array} )

Paso 7. Responda la pregunta. Los tres ángulos miden 35 ° , 55 ° y 90 ° .
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {9} )

 

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 50 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

 
     
Respuesta
     
     

20 °, 70 °, 90 °

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {10} )

 

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 30 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

 
     
Respuesta
     
     

30 °, 60 °, 90 °

     
 
 
 

Usa el teorema de Pitágoras

 

Hemos aprendido cómo las medidas de los ángulos de un triángulo se relacionan entre sí. Ahora, aprenderemos cómo las longitudes de los lados se relacionan entre sí. Una propiedad importante que describe la relación entre las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo se llama Teorema de Pitágoras . Este teorema se ha utilizado en todo el mundo desde la antigüedad. Lleva el nombre del filósofo y matemático griego, Pitágoras, que vivió alrededor del año 500 antes de Cristo.

 

Antes de establecer el teorema de Pitágoras, necesitamos introducir algunos términos para los lados de un triángulo. Recuerde que un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 °, marcado con un pequeño cuadrado en la esquina. El lado del triángulo opuesto al ángulo de 90 ° 90 ° se llama hipotenusa y cada uno de los otros lados se llaman patas .

 
Three right triangles with different orientations. The right angles are marked with two small lines that make a small square with the angle. Opposite these angles, hypotenuse is written. The other sides are marked “leg.”  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 

El teorema de Pitágoras dice cómo las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo se relacionan entre sí. Establece que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. En los símbolos decimos: en cualquier triángulo rectángulo, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ), donde a y b son las longitudes de las patas y cc es la longitud de la hipotenusa .

 

Escribir la fórmula en cada ejercicio y decirlo en voz alta mientras lo escribe, puede ayudarlo a recordar el Teorema de Pitágoras.

 
 
 

EL TEOREMA PYTHAGOREAN

 

En cualquier triángulo rectángulo, donde (a ) y (b ) son las longitudes de las patas, (c ) es la longitud de la hipotenusa.

 

A right triangle with sides marked a, b, and c. The side marked c is the hypotenuse.

 

Entonces

 

[a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} label {Ptheorem} ]

 
 

Para resolver los ejercicios que utilizan el teorema de Pitágoras (Ecuación ref {Poreorema}), necesitaremos encontrar raíces cuadradas. Hemos utilizado la notación ( sqrt {m} ) y la definición:

 
 

Si (m = n ^ {2} ), entonces ( sqrt {m} = n ), para (n geq 0 ).

 

Por ejemplo, encontramos que ( sqrt {25} ) es 5 porque (25 = 5 ^ {2} ).

 

Debido a que el teorema de Pitágoras contiene variables que son cuadradas, para resolver la longitud de un lado en un triángulo rectángulo, tendremos que usar raíces cuadradas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa que se muestra a continuación.

 

A right triangle with legs marked 3 and 4.

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifique lo que está buscando. la longitud de la hipotenusa del triángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.
Etiqueta lateral c en la figura.
Sea c = la longitud de la hipotenusa.

.

Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula apropiada. (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} )
Sustituto. (3 ^ {2} + 4 ^ {2} = c ^ {2} )
Paso 5. Resuelve la ecuación. (9 + 16 = c ^ {2} )
Simplificar. (25 = c ^ {2} )
Usa la definición de raíz cuadrada. ( sqrt {25} = c )
Simplificar. (5 = c )
Paso 6. Verificar.

.

Paso 7. Responda la pregunta. La longitud de la hipotenusa es 5.
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {11} )

 

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa en el triángulo que se muestra a continuación.

 

A right triangle with legs marked 6 and 8. The hypotenuse is marked c.

 
     
Respuesta
     
     

c = 10

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {12} )

 

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa en el triángulo que se muestra a continuación.

 

No Alt Text

 
     
Respuesta
     
     

c = 13

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna que se muestra a continuación.

 

A right angle with one leg marked 5. The hypotenuse is labeled 13.

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifique lo que está buscando. la longitud de la pata del triángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Sea (b = ) la pata del triángulo.
Etiqueta lateral (b ). .
Paso 4. Traducir
Escribe la fórmula apropiada. (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} )
Suplente. (5 ^ {2} + b ^ {2} = 13 ^ {2} )
Paso 5. Resuelve la ecuación.              

(25 + b ^ {2} = 169 )

             
Aislar el término variable. (b ^ {2} = 144 )
Usa la definición de raíz cuadrada. (b = sqrt {144} )
Simplifica. (b = 12 )
Paso 6. Verificar.

.

Paso 7. Responda la pregunta. La longitud de la pierna es 12.
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {13} )

 

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pata en el triángulo que se muestra a continuación.

 

A right triangle with legs marked b and 15. The hypotenuse is marked 17.

 
     
Respuesta
     
     

8

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {14} )

 

Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pata en el triángulo que se muestra a continuación.

 

A right triangle with legs marked b and 9. The hypotenuse is marked 15.

 
     
Respuesta
     
     

12

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

A gazebo is shown. In one of its corners, a triangle is made with the wood. The hypotenuse is marked 10 inches, and one of the legs is marked x

 

Kelvin está construyendo un mirador y quiere apuntalar cada esquina colocando una pieza de madera de 10 ″ en diagonal como se muestra arriba.

 

Si sujeta la madera de modo que los extremos del refuerzo estén a la misma distancia de la esquina, ¿cuál es la longitud de las patas del triángulo rectángulo formado? Aproximadamente a la décima de pulgada más cercana.

 

Solución:

 

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1.} text {Lea el problema.}} & {} \\ { textbf {Paso 2.} text {Identifique qué estamos buscando.}} & { text {la distancia desde la esquina que se debe adjuntar el}} \ {} & { text {corchete}} \ \ { textbf {Paso 3.} text {Nombre. Elija una variable para representarla.}} & { Text {Sea x = distancia desde la esquina.}} \ { textbf {Paso 4.} text {Translate}} & {} \ { texto {Escriba la fórmula adecuada y sustitúyala}} & {a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} \ {} & {x ^ {2} + x ^ {2} = 10 ^ {2}} \ \ { textbf {Paso 5. Resolver la ecuación.}} & {} \ {} & {2x ^ {2} = 100} \ { text {Aislar la variable.} } & {x ^ {2} = 50} \ { text {Simplificar. Aproximado a la décima más cercana.}} & {x aprox 7.1} \\ { textbf {Paso 6.} text {Verificar .}} y {} \ {a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} y {} \ {(7.1) ^ {2} + (7.1) ^ {2} aprox. 10 ^ {2} text {Sí.}} & {} \\ { textbf {Paso 7. Responda la pregunta.}} & { Text {Kelven debe sujetar cada pieza de}} \ {} & { text {wood aproximadamente 7.1 » desde la esquina.}} end {array} ) [19459 003]  

 
 

Pruébelo ( PageIndex {15} )

 

John coloca la base de una escalera de 13 pies a cinco pies de la pared de su casa como se muestra a continuación. ¿Qué tan lejos alcanza la escalera la pared?

 

A house is shown with a ladder leaning against it. The ladder is marked 13’, and the distance from the house to the base of the ladder is marked 5’.

 
     
Respuesta
     
     

12 pies

     
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {16} )

 

Randy quiere conectar una cadena de luces de 17 pies a la parte superior del mástil de 15 pies de su velero, como se muestra a continuación. ¿A qué distancia de la base del mástil debe unir el extremo de la cuerda ligera?

 

A sailboat is shown with a 15’ mast (the straight tall part). From the top of the mast, a series of colored dots stretches down to the back of the boat and is marked 17’.

 
     
Respuesta
     
     

8 pies

     
 
 
 

Resolver aplicaciones usando propiedades de rectángulo

 

Es posible que ya esté familiarizado con las propiedades de los rectángulos. Los rectángulos tienen cuatro lados y cuatro ángulos rectos (90 °). Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud. Nos referimos a un lado del rectángulo como la longitud, (L ), y su lado adyacente como el ancho, (W ).

 

A rectangle with sides marked W and L.

 

La distancia alrededor de este rectángulo es (L + W + L + W ), o (2L + 2W ). Este es el perímetro , (P ), del rectángulo.

 

[P = 2L + 2W ]

 

¿Qué pasa con el área de un rectángulo? Imagine una alfombra rectangular que mide 2 pies de largo por 3 pies de ancho. Su área es de 6 pies cuadrados. Hay seis cuadrados en la figura.

 

A rectangles composed of 6 squares that is three high and two wide. The height is marked 3 and the width is marked 2.

 

[ begin {array} {l} {A = 6} \ {A = 2 cdot3} \ {A = L cdot W} end {array} ]

 

El área es la longitud por el ancho. La fórmula para el área de un rectángulo es

 

[A = LW. ]

 
 

PROPIEDADES DE RECTÁNGULOS

 

Los rectángulos tienen cuatro lados y cuatro ángulos rectos (90 °).

 

Las longitudes de los lados opuestos son iguales.

 

El perímetro de un rectángulo es la suma de dos veces el largo y el doble del ancho.

 

[P = 2L + 2W ]

 

El área de un rectángulo es el producto de la longitud y el ancho.

 

[A = L · W ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

La longitud de un rectángulo es de 32 metros y el ancho es de 20 metros. ¿Qué es el perímetro?

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Dibuje la figura y etiquétela con la información dada.
.
Paso 2. Identifique lo que está buscando. el perímetro de un rectángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Sea (P = ) el perímetro.
Paso 4. Traducir .
Escribe la fórmula apropiada. .
Suplente. .
Paso 5. Resuelve la ecuación. (P = 64 + 40 )
(P = 104 )
Paso 6. Verificar.

( begin {array} {rcl} {P} & { stackrel {?} {=}} & {104} \ {20 + 32 + 20 + 32} & { stackrel {?} {=}} y {104} \ {104} & {=} y {104 marca de verificación} end {array} )

Paso 7. Responda la pregunta. El perímetro del rectángulo es de 104 metros.
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {17} )

 

La longitud de un rectángulo es de 120 yardas y el ancho es de 50 yardas. ¿Qué es el perímetro?

 
     
Respuesta
     
     

340 yardas

     
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {18} )

 

La longitud de un rectángulo es de 62 pies y el ancho es de 48 pies. ¿Qué es el perímetro?

 
     
Respuesta
     
     

220 pies

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

El área de una habitación rectangular es de 168 pies cuadrados. La longitud es de 14 pies. ¿Cuál es el ancho?

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Dibuje la figura y etiquétela con la información dada.
.
Paso 2. Identifique lo que está buscando. el ancho de una habitación rectangular
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla. Sea (W = ) el ancho.
Paso 4. Traducir .
Escribe la fórmula apropiada. (A = LW )
Sustituto. (168 = 14W )
Paso 5. Resuelve la ecuación.              

( frac {168} {14} = frac {14W} {14} )

             

(12 = W )

             
Paso 6. Verificar.

.
( begin {array} {rcl} {A} & {=} & {LW} \ {168} & { stackrel {?} {= }} & {14 cdot 12} \ {168} & {=} & {168 marca de verificación} end {array} )

Paso 7. Responda la pregunta. El ancho de la habitación es de 12 pies.
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {19} )

 

El área de un rectángulo es 598 pies cuadrados. La longitud es de 23 pies. ¿Cuál es el ancho?

 
     
Respuesta
     
     

26 pies

     
 
 
 
 

Pruébalo ( PageIndex {20} )

 

El ancho de un rectángulo es de 21 metros. El área es de 609 metros cuadrados. ¿Cuál es la longitud?

 
     
Respuesta
     
     

29 metros

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Halla la longitud de un rectángulo con un perímetro de 50 pulgadas y un ancho de 10 pulgadas.

 

Solución:

 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {21} )

 

Halla la longitud de un rectángulo con: perímetro 80 y ancho 25.

 
     
Respuesta
     
     

15

     
 
 
 
 

Pruébelo ( PageIndex {22} )

 

Halla la longitud de un rectángulo con: perímetro 30 y ancho 6.

 
     
Respuesta
     
     

9

     
 
 
 

Hemos resuelto problemas en los que se daba la longitud o el ancho, junto con el perímetro o el área; ahora aprenderemos cómo resolver problemas en los que el ancho se define en términos de longitud. Esperaremos a dibujar la figura hasta que escribamos una expresión para el ancho para poder etiquetar un lado con esa expresión.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

El ancho de un rectángulo es dos pies menos que la longitud. El perímetro es de 52 pies. Encuentra el largo y el ancho.

 

Solución:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifique lo que está buscando. la longitud y el ancho de un rectángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.
Dado que el ancho se define en términos de la longitud, dejamos que (L = ) longitud. El ancho es dos pies menos que el largo, por lo que dejamos (L-2 ) ancho.
.
(P = 52 ) pies
Paso 4. Traducir .
Escribe la fórmula apropiada. La fórmula para el perímetro de un rectángulo relaciona toda la información. (P = 2L + 2W )
Sustituir en la información dada. (52 = 2L + 2 (L − 2) )
Paso 5. Resuelve la ecuación. (52 = 2L + 2L − 4 )
Combina términos similares. (52 = 4L − 4 )
Agrega 4 a cada lado. (56 = 4L )
Dividir entre 4. ( frac {56} {4} = frac {4L} {4} )
(14 = L )
La longitud es de 14 pies.
Ahora necesitamos encontrar el ancho. El ancho es (L − 2 ).
.
El ancho es de 12 pies.
Paso 6. Verificar.
Desde (14 + 12 + 14 + 12 = 52 ), ¡esto funciona!
.
Paso 7. Responda la pregunta. The length is 14 feet and the width is 12 feet.
 
 
 

Try It (PageIndex{23})

 

The width of a rectangle is seven meters less than the length. El perímetro es de 58 metros. Encuentra el largo y el ancho.

 
     
Answer
     
     

18 meters, 11 meters

     
 
 
 
 

Try It (PageIndex{24})

 

The length of a rectangle is eight feet more than the width. El perímetro es de 60 pies. Encuentra el largo y el ancho.

 
     
Answer
     
     

19 feet, 11 feet

     
 
 
 
 

Example (PageIndex{13})

 

The length of a rectangle is four centimeters more than twice the width. El perímetro es de 32 centímetros. Encuentra el largo y el ancho.

 

Solution:

 
 
 

Try It (PageIndex{25})

 

The length of a rectangle is eight more than twice the width. The perimeter is 64. Find the length and width.

 
     
Answer
     
     

24, 8

     
 
 
 
 

Try It (PageIndex{26})

 

The width of a rectangle is six less than twice the length. The perimeter is 18. Find the length and width.

 
     
Answer
     
     

5, 4

     
 
 
 
 

Example (PageIndex{14})

 

The perimeter of a rectangular swimming pool is 150 feet. El largo es 15 pies más que el ancho. Encuentra el largo y el ancho.

 

Solution:

 
 
 

Try It (PageIndex{27})

 

The perimeter of a rectangular swimming pool is 200 feet. El largo es 40 pies más que el ancho. Encuentra el largo y el ancho.

 
     
Answer
     
     

70 feet, 30 feet

     
 
 
 
 

Try It (PageIndex{28})

 

The length of a rectangular garden is 30 yards more than the width. El perímetro es de 300 yardas. Encuentra el largo y el ancho.

 
     
Answer
     
     

90 yards, 60 yards

     
 
 
 

Key Concepts

 
         
  • Problem-Solving Strategy for Geometry Applications      
               
    1. Read the problem and make all the words and ideas are understood. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
    2.          
    3. Identify what we are looking for.
    4.          
    5. Name what we are looking for by choosing a variable to represent it.
    6.          
    7. Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Sustituir en la información dada.
    8.          
    9. Solve the equation using good algebra techniques.
    10.          
    11. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
    12.          
    13. Answer the question with a complete sentence.
    14.      
         
  •      
  • Triangle Properties For △ABC
    Angle measures:      
               
    • (mangle{A}+mangle{B}+mangle{C}=180)
    •      
        Perimeter:          Area:      
               
    • (A=frac{1}{2}bh), b=base,h=height
    •      
        A right triangle has one 90° angle.
  •      
  • The Pythagorean Theorem In any right triangle, (a^{2} + b^{2} = c^{2}) where (c) is the length of the hypotenuse and (a) and (b) are the lengths of the legs.
  •      
  • Properties of Rectangles      
               
    • Rectangles have four sides and four right (90°) angles.
    •          
    • The lengths of opposite sides are equal.
    •          
    • The perimeter of a rectangle is the sum of twice the length and twice the width: (P=2L+2W).
    •          
    • The area of a rectangle is the length times the width: (A=LW).
    •      
         
  •  
 
                                  
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