Supongamos que queremos calcular cuánto cuesta calentar una casa en un día particular del año. El costo para calentar una casa dependerá de la temperatura diaria promedio y, a su vez, la temperatura diaria promedio depende del día particular del año. Observe cómo acabamos de definir dos relaciones: el costo depende de la temperatura y la temperatura depende del día.
Usando variables descriptivas, podemos anotar estas dos funciones. La función (C (T) ) da el costo (C ) de calentar una casa para una temperatura diaria promedio dada en (T ) grados Celsius. La función (T (d) ) da la temperatura diaria promedio en el día d del año. Para cualquier día dado, (Costo = C (T (d)) ) significa que el costo depende de la temperatura, que a su vez depende del día del año. Por lo tanto, podemos evaluar la función de costo a la temperatura (T (d) ). Por ejemplo, podríamos evaluar (T (5) ) para determinar la temperatura promedio diaria en el quinto día del año. Entonces, podríamos evaluar la función de costo a esa temperatura. Escribiríamos (C (T (5)) ).
Al combinar estas dos relaciones en una sola función, hemos realizado la composición de funciones, que es el enfoque de esta sección.
Combinación de funciones mediante operaciones algebraicas
La composición de funciones es solo una forma de combinar funciones existentes. Otra forma es llevar a cabo las operaciones algebraicas habituales en funciones, como sumar, restar, multiplicar y dividir. Hacemos esto realizando las operaciones con las salidas de la función, definiendo el resultado como la salida de nuestra nueva función.
Supongamos que necesitamos agregar dos columnas de números que representan los ingresos anuales separados de un esposo y una esposa durante un período de años, con el resultado de ser el ingreso total de su hogar. Queremos hacer esto para cada año, agregando solo los ingresos de ese año y luego recopilando todos los datos en una nueva columna. Si (w (y) ) es el ingreso de la esposa y (h (y) ) es el ingreso del esposo en el año (y ), y queremos que (T ) represente el ingreso total, entonces Puede definir una nueva función.
[T (y) = h (y) + w (y) ]
Si esto es cierto para cada año, entonces podemos enfocarnos en la relación entre las funciones sin referencia a un año y escribir
[T = h + w ]
Al igual que para esta suma de dos funciones, podemos definir funciones de diferencia, producto y relación para cualquier par de funciones que tengan los mismos tipos de entradas (no necesariamente números) y también los mismos tipos de salidas (que sí tienen ser números para que las operaciones habituales de álgebra puedan aplicarse a ellos, y que también deben tener las mismas unidades o ninguna unidad cuando sumamos y restamos). De esta manera, podemos pensar en sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.
Para dos funciones (f (x) ) y (g (x) ) con salidas de números reales, definimos nuevas funciones (f + g ), (f − g ), ( fg ) y ( frac {f} {g} ) por las relaciones.
[ begin {align *} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) \ [4pt] (f − g) (x) & = f (x) – g (x) \ [4pt] (fg) (x) & = f (x) g (x) \ [4pt] left ( dfrac {f} {g} right) (x) & = dfrac {f (x)} {g (x)} end {align *} ]
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Realización de operaciones algebraicas en funciones
Encuentra y simplifica las funciones ((g − f) (x) ) y ( left ( dfrac {g} {f} right) (x) ), dado (f (x) = x − 1 ) y (g (x) = x ^ 2−1 ). ¿Son la misma función?
Solución
Comience escribiendo la forma general y luego sustituya las funciones dadas.
[ begin {align *} (g − f) (x) & = g (x) −f (x) \ [4pt] (g − f) (x) & = x ^ 2−1 – (x − 1) \ [4pt] & = x ^ 2 − x \ [4pt] & = x (x − 1) end {align *} ]
[ begin {align *} left ( dfrac {g} {f} right) (x) & = g (x) f (x) \ [4pt] left ( dfrac {g } {f} right) (x) & = dfrac {x ^ 2−1} {x − 1} \ [4pt] & = dfrac {(x + 1) (x − 1)} {x− 1} \ [4pt] & = x + 1 end {align *} ]
No, las funciones no son las mismas.
Nota: Para ( left ( dfrac {g} {f} right) (x) ), la condición (x neq1 ) es necesaria porque cuando (x = 1 ), el el denominador es igual a 0, lo que hace que la función sea indefinida.
( PageIndex {1} )
Encuentra y simplifica las funciones ((fg) (x) ) y ((f − g) (x) ).
[f (x) = x − 1 nonumber ]
y
[g (x) = x ^ 2−1 nonumber ]
¿Son la misma función?
- Respuesta
-
((fg) (x) = f (x) g (x) = (x − 1) (x2−1) = x ^ 3 − x ^ 2 − x + 1 \ [4pt] (f −g) (x) = f (x) −g (x) = (x − 1) – (x ^ 2−1) = x − x ^ 2 )
No, las funciones no son las mismas.
Crear una función por composición de funciones
La realización de operaciones algebraicas en funciones las combina en una nueva función, pero también podemos crear funciones componiendo funciones. Cuando queríamos calcular un costo de calefacción a partir de un día del año, creamos una nueva función que toma un día como entrada y produce un costo como salida. El proceso de combinando funciones para que la salida de una función se convierta en la entrada de otra se conoce como composición de funciones . La función resultante se conoce como una función compuesta . Representamos esta combinación mediante la siguiente notación:
[f { circ} g (x) = f (g (x)) ]
Leemos el lado izquierdo como ” (f ) compuesto con (g ) en (x )”, y el lado derecho como ” (f ) de (g ) de (x ). ”Los dos lados de la ecuación tienen el mismo significado matemático y son iguales. El símbolo de círculo abierto ( circ ) se llama operador de composición. Utilizamos este operador principalmente cuando deseamos enfatizar la relación entre las funciones mismas sin hacer referencia a ningún valor de entrada en particular. La composición es una operación binaria que toma dos funciones y forma una nueva función, al igual que la suma o la multiplicación toma dos números y da un nuevo número. Sin embargo, es importante no confundir la composición de funciones con la multiplicación porque, como aprendimos anteriormente, en la mayoría de los casos (f (g (x)) { neq} f (x) g (x) ).
También es importante comprender el orden de las operaciones al evaluar una función compuesta. Seguimos la convención habitual con paréntesis comenzando primero con los paréntesis más internos y luego trabajando hacia afuera. En la ecuación anterior, la función (g ) toma primero la entrada (x ) y produce una salida (g (x) ). Entonces la función (f ) toma (g (x) ) como entrada y produce una salida (f (g (x)) ).
En general, (f { circ} g ) y (g { circ} f ) son funciones diferentes. En otras palabras, en muchos casos (f (g (x)) { neq} g (f (x)) ) para todos (x ). También veremos que a veces dos funciones se pueden componer solo en un orden específico.
Por ejemplo, si (f (x) = x ^ 2 ) y (g (x) = x + 2 ), entonces
[ begin {align *} f (g (x)) & = f (x + 2) \ [4pt] & = (x + 2) ^ 2 \ [4pt] & = x ^ 2 + 4x + 4 end {align *} ]
pero
[ begin {align *} g (f (x)) & = g (x ^ 2) \ [4pt] & = x ^ 2 + 2 end {align *} ]
Estas expresiones no son iguales para todos los valores de x, por lo que las dos funciones no son iguales. Es irrelevante que las expresiones sean iguales para el valor de entrada único (x = – frac {1} {2} ).
Tenga en cuenta que el rango de la función interna (la primera función que se evaluará) debe estar dentro del dominio de la función externa. Menos formalmente, la composición tiene que tener sentido en términos de entradas y salidas.
Composición de funciones
Cuando la salida de una función se usa como entrada de otra, llamamos a toda la operación una composición de funciones. Para cualquier entrada (x ) y funciones (f ) y (g ), esta acción define una función compuesta , que escribimos como (f { circ} g ) que
[(f { circ} g) (x) = f (g (x)) ]
El dominio de la función compuesta (f { circ} g ) es todo (x ) tal que (x ) está en el dominio de (g ) y (g (x) ) está en el dominio de (f ).
Es importante darse cuenta de que el producto de las funciones (fg ) no es lo mismo que la composición de la función (f (g (x)) ), porque, en general, (f (x) g (x) { neq} f (g (x)) ).
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Determinar si la composición de funciones es conmutativa
Utilizando las funciones proporcionadas, encuentre (f (g (x)) ) y (g (f (x)) ). Determine si la composición de las funciones es conmutativa .
[f (x) = 2x + 1 ; ; ; ; g (x) = 3 − x nonumber ]
Solución
Comencemos sustituyendo (g (x) ) en (f (x) ).
[ begin {align *} f (g (x)) & = 2 (3 − x) +1 \ [4pt] & = 6−2x + 1 \ [4pt] & = 7−2x end {align *} ]
Ahora podemos sustituir (f (x) ) en (g (x) ).
[ begin {align *} g (f (x)) & = 3− (2x + 1) \ [4pt] & = 3−2x − 1 \ [4pt] & = 2-2x end {align *} ]
Encontramos que (g (f (x)) { neq} f (g (x)) ), por lo que el funcionamiento de la composición de funciones no es conmutativo.
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Interpretación de funciones compuestas
La función (c (s) ) da el número de calorías quemadas al completar (s ) abdominales, y (s (t) ) da el número de abdominales que una persona puede completar en (t ) minutos. Interpretar (c (s (3)) ).
Solución
La expresión interna en la composición es (s (3) ). Debido a que la entrada a la función (s ) – es tiempo, (t = 3 ) representa 3 minutos y (s (3) ) es el número de sentadillas completadas en 3 minutos.
El uso de (s (3) ) como entrada para la función (c (s) ) nos da la cantidad de calorías quemadas durante la cantidad de abdominales que se pueden completar en 3 minutos, o simplemente La cantidad de calorías quemadas en 3 minutos (haciendo abdominales).
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Investigación del orden de composición de funciones
Suponga que (f (x) ) da millas que se pueden conducir en (x ) horas y (g (y) ) da los galones de gasolina utilizados para conducir (y ) millas. ¿Cuál de estas expresiones es significativa: (f (g (y)) ) o (g (f (x)) )?
Solución
La función (y = f (x) ) es una función cuya salida es el número de millas recorridas correspondiente al número de horas conducidas.
[ text {número de millas} = f ( text {número de horas}) nonumber ]
La función (g (y) ) es una función cuya salida es el número de galones utilizados correspondiente al número de millas conducidas. Esto significa:
[ text {número de galones} = g ( text {número de millas}) nonumber ]
La expresión (g (y) ) toma millas como entrada y varios galones como salida. La función (f (x) ) requiere una cantidad de horas como entrada. Intentar ingresar una cantidad de galones no tiene sentido. La expresión (f (g (y)) ) no tiene sentido.
La expresión (f (x) ) toma horas como entrada y varias millas conducidas como salida. La función (g (y) ) requiere una cantidad de millas como entrada. Usar (f (x) ) (millas conducidas) como un valor de entrada para (g (y) ), donde los galones de gasolina dependen de las millas conducidas, tiene sentido. La expresión (g (f (x)) ) tiene sentido y producirá la cantidad de galones de gasolina utilizados, (g ), conduciendo un cierto número de millas, (f (x) ), en (x ) horas.
Pregunta / respuesta
¿Hay alguna situación en la que (f (g (y)) ) y (g (f (x)) ) sean expresiones significativas o útiles?
Sí. Para muchas funciones matemáticas puras, ambas composiciones tienen sentido, aunque generalmente producen diferentes funciones nuevas. En problemas del mundo real, las funciones cuyas entradas y salidas tienen las mismas unidades también pueden dar composiciones que son significativas en cualquier orden
( PageIndex {2} )
La fuerza gravitacional en un planeta a una distancia (r ) del sol viene dada por la función (G (r) ). La aceleración de un planeta sometido a cualquier fuerza (F ) viene dada por la función (a (F) ). Forme una composición significativa de estas dos funciones y explique lo que significa.
- Respuesta
-
Una fuerza gravitacional sigue siendo una fuerza, por lo que (a (G (r)) ) tiene sentido como la aceleración de un planeta a una distancia (r ) del Sol (debido a la gravedad), pero (G (a (F)) ) no tiene sentido.
Evaluación de funciones compuestas
Una vez que compongamos una nueva función a partir de dos funciones existentes, necesitamos poder evaluarla para cualquier entrada en su dominio. Haremos esto con entradas numéricas específicas para funciones expresadas como tablas, gráficos y fórmulas y con variables como entradas para funciones expresadas como fórmulas. En cada caso, evaluamos la función interna usando la entrada inicial y luego usamos la salida de la función interna como entrada para la función externa.
Evaluación de funciones compuestas usando tablas
Cuando trabajamos con funciones dadas como tablas, leemos los valores de entrada y salida de las entradas de la tabla y siempre trabajamos desde adentro hacia afuera. Primero evaluamos la función interna y luego usamos la salida de la función interna como la entrada a la función externa.
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de una tabla para evaluar una función compuesta
Utilizando la Tabla ( PageIndex {1} ), evalúe (f (g (3)) ) y (g (f (3)) ).
| (x ) | (f (g (3)) ) | (g (f (3)) ) |
|---|---|---|
| 1 | 6 | 3 |
| 2 | 8 | 5 |
| 3 | 3 | 2 |
| 4 | 1 | 7 |
Solución
Para evaluar (f (g (3)) ), comenzamos desde adentro con el valor de entrada 3. Luego evaluamos la expresión interna (g (3) ) usando la tabla que define la función (g: g (3) = 2 ). Entonces podemos usar ese resultado como la entrada a la función (f ), entonces (g (3) ) se reemplaza por 2 y obtenemos (f (2) ). Luego, usando la tabla que define la función (f ), encontramos que (f (2) = 8 ).
[g (3) = 2 ]
[f (g (3)) = f (2) = 8 ]
Para evaluar (g (f (3)) ), primero evaluamos la expresión interna (f (3) ) usando la primera tabla: (f (3) = 3 ). Luego, usando la tabla para (g ), podemos evaluar
[g (f (3)) = g (3) = 2 ]
La tabla ( PageIndex {2} ) muestra las funciones compuestas (f { circ} g ) y (g { circ} f ) como tablas.
| (x ) | (g (x) ) | (f (g (x)) ) | (f (x) ) | (g (f (x)) ) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 8 | 3 | 2 |
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Usando la Tabla ( PageIndex {1} ), evalúe (f (g (1)) ) y (g (f (4)) ).
- Respuesta
-
(f (g (1)) = f (3) = 3 ) y (g (f (4)) = g (1) = 3 )
Evaluación de funciones compuestas usando gráficos
Cuando se nos dan funciones individuales como gráficos, el procedimiento para evaluar funciones compuestas es similar al proceso que usamos para evaluar tablas. Leemos los valores de entrada y salida, pero esta vez, de los ejes x e y de los gráficos.
HowTO: Dada una función compuesta y gráficos de sus funciones individuales, evalúelo usando la información provista por los gráficos
- Localice la entrada dada a la función interna en el eje x de su gráfico.
- Lea la salida de la función interna del eje y de su gráfico.
- Localice la salida de la función interna en el eje x del gráfico de la función externa.
- Lea la salida de la función externa del eje y de su gráfico. Esta es la salida de la función compuesta.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de un gráfico para evaluar una función compuesta
Utilizando la figura ( PageIndex {3} ), evalúe (f (g (1)) ).
Solución
Para evaluar (f (g (1)) ), comenzamos con la evaluación interna. Ver Figura ( PageIndex {4} ).
Evaluamos (g (1) ) usando la gráfica de (g (x) ), encontrando la entrada de 1 en el eje x y encontrando el valor de salida de la gráfica en esa entrada. Aquí, (g (1) = 3 ). Usamos este valor como entrada a la función (f ).
[f (g (1)) = f (3) ]
Luego podemos evaluar la función compuesta mirando la gráfica de (f (x) ), encontrando la entrada de 3 en el eje x y leyendo el valor de salida de la gráfica en esta entrada. Aquí, (f (3) = 6 ), entonces (f (g (1)) = 6 ).
Análisis
La figura ( PageIndex {5} ) muestra cómo podemos marcar los gráficos con flechas para trazar la ruta desde el valor de entrada hasta el valor de salida.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Utilizando la Figura ( PageIndex {3} ), evalúe (g (f (2)) ).
- Respuesta
-
(g (f (2)) = g (5) = 3 )
Evaluación de funciones compuestas utilizando fórmulas
Al evaluar una función compuesta donde hemos creado o se nos han dado fórmulas, la regla de trabajar de adentro hacia afuera sigue siendo la misma. El valor de entrada a la función externa será la salida de la función interna, que puede ser un valor numérico, un nombre de variable o una expresión más complicada.
Si bien podemos componer las funciones para cada valor de entrada individual, a veces es útil encontrar una fórmula única que calcule el resultado de una composición (f (g (x)) ). Para hacer esto, ampliaremos nuestra idea de evaluación de funciones. Recuerde que, cuando evaluamos una función como (f (t) = t ^ 2 − t ), sustituimos el valor dentro de los paréntesis en la fórmula donde sea que veamos la variable de entrada.
HowTo: Dada una fórmula para una función compuesta, evalúa la función.
- Evalúe la función interna utilizando el valor de entrada o la variable proporcionada.
- Utilice la salida resultante como entrada a la función externa.
Ejemplo ( PageIndex {7} ): Evaluación de una composición de funciones expresadas como fórmulas con una entrada numérica
Dado (f (t) = t ^ 2 − t ) y (h (x) = 3x + 2 ), evalúa (f (h (1)) ).
Solución
Debido a que la expresión interna es (h (1) ), comenzamos evaluando (h (x) ) en 1.
[ begin {align *} h (1) = 3 (1) +2 \ [4pt] h (1) & = 5 end {align *} ]
Entonces (f (h (1)) = f (5) ), entonces evaluamos (f (t) ) en una entrada de 5.
[ begin {align *} f (h (1)) & = f (5) \ [5pt] f (h (1)) & = 5 ^ 2−5 \ [5pt] f ( h (1)) & = 20 end {align *} ]
Análisis
No importa cómo se llamaran las variables de entrada (t ) y (x ) en este problema porque evaluamos valores numéricos específicos.
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Dado (f (t) = t ^ 2 − t ) y (h (x) = 3x + 2 ), evaluar
a. (h (f (2)) )
b. (h (f (−2)) )
- Responda a
-
8
- Respuesta b
-
20
Encontrar el dominio de una función compuesta
Como discutimos anteriormente, el dominio de una función compuesta como (f { circ} g ) depende del dominio de (g ) y del dominio de (f ). Es importante saber cuándo podemos aplicar una función compuesta y cuándo no podemos, es decir, conocer el dominio de una función como (f { circ} g ). Supongamos que conocemos los dominios de las funciones (f ) y (g ) por separado. Si escribimos la función compuesta para una entrada (x ) como (f (g (x)) ), podemos ver de inmediato que (x ) debe ser un miembro del dominio de g para la expresión tiene sentido, porque de lo contrario no podemos completar la evaluación de la función interna. Sin embargo, también vemos que (g (x) ) debe ser miembro del dominio de (f ), de lo contrario, la segunda evaluación de función en (f (g (x)) ) no puede completarse, y la expresión aún no está definida. Por lo tanto, el dominio de (f { circ} g ) consiste solo en aquellas entradas en el dominio de g que producen salidas de (g ) que pertenecen al dominio de (f ). Tenga en cuenta que el dominio de (f ) compuesto con (g ) es el conjunto de todos (x ) de modo que (x ) está en el dominio de (g y g (x) ) en el dominio de (f ).
Definición: dominio de una función compuesta
El dominio de una función compuesta (f (g (x)) ) es el conjunto de esas entradas (x ) en el dominio de (g ) para el cual ( g (x) ) está en el dominio de (f ).
CÓMO: Dada una composición de función f (g (x)), determinar su dominio.
- Encuentra el dominio de (g ).
- Encuentra el dominio de (f ).
- Encuentra esas entradas x en el dominio de (g ) para las cuales (g (x) ) está en el dominio de (f ). Es decir, excluya esas entradas (x ) del dominio de (g ) para las cuales (g (x) ) no está en el dominio de (f ). El conjunto resultante es el dominio de (f { circ} g ).
Ejemplo ( PageIndex {8A} ): Encontrar el dominio de una función compuesta
Encuentra el dominio de
[(f∘g) (x) text {donde} f (x) = 5x − 1 text {y} g (x) = dfrac {4} {3x − 2} ] [19459001 ]
Solución
El dominio de (g (x) ) consta de todos los números reales excepto (x = frac {2} {3} ), ya que ese valor de entrada nos haría dividir por 0. De la misma manera, el El dominio de f consta de todos los números reales excepto 1. Por lo tanto, debemos excluir del dominio de (g (x) ) ese valor de (x ) para el cual (g (x) = 1 ).
[ begin {align *} dfrac {4} {3x-2} & = 1 \ [4pt] 4 & = 3x-2 \ [4pt] 6 & = 3x \ [4pt] x & = 2 end {align *} ]
Por lo tanto, el dominio de (f { circ} g ) es el conjunto de todos los números reales excepto ( frac {2} {3} ) y (2 ). Esto significa que
[x { neq} dfrac {2} {3} text {o} x neq2 ]
Podemos escribir esto en notación de intervalo como
[(- infty, dfrac {2} {3}) cup ( dfrac {2} {3}, 2) cup (2, infty) ]
Ejemplo ( PageIndex {8B} ): Encontrar el dominio de una función compuesta que involucra radicales
Encuentra el dominio de
[(f { circ} g) (x) text {where} f (x) = sqrt {x + 2} text {y} g (x) = sqrt {3 − x} ]
Como no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, el dominio de g es ( left (- infty, 3 right] ). Ahora verificamos el dominio de la función compuesta
[(f { circ} g) (x) = sqrt { sqrt {3 − x} +2} ]
Para ((f∘g) (x) = sqrt { sqrt {3 − x} +2}, sqrt {3 − x} + 2≥0, ) desde el radicando de una raíz cuadrada debe ser positivo Como las raíces cuadradas son positivas, ( sqrt {3 − x} ≥0 ), o, (3 − x≥0, ) que da un dominio de ((- ∞, 3] ). [19459001 ]
Análisis
Este ejemplo muestra que el conocimiento del rango de funciones (específicamente la función interna) también puede ser útil para encontrar el dominio de una función compuesta. También muestra que el dominio de (f { circ} g ) puede contener valores que no están en el dominio de (f ), aunque deben estar en el dominio de (g ).
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Encuentra el dominio de
[(f { circ} g) (x) text {where} f (x) = dfrac {1} {x − 2} text {y} g (x) = sqrt {x +4} ]
- Respuesta
-
([- 4,0) ∪ (0, ∞) )
Descomponiendo una función compuesta en sus funciones componentes
En algunos casos, es necesario descomponer una función complicada. En otras palabras, podemos escribirlo como una composición de dos funciones más simples. Puede haber más de una forma de descomponer una función compuesta , por lo que podemos elegir la descomposición que parece ser más conveniente.
Ejemplo ( PageIndex {9} ): descomponer una función
Escriba (f (x) = sqrt {5 − x ^ 2} ) como la composición de dos funciones.
Solución
Estamos buscando dos funciones, (g ) y (h ), entonces (f (x) = g (h (x)) ). Para hacer esto, buscamos una función dentro de una función en la fórmula para (f (x) ). Como una posibilidad, podemos notar que la expresión (5 − x ^ 2 ) está dentro de la raíz cuadrada. Entonces podríamos descomponer la función como
[h (x) = 5 − x ^ 2 text {y} g (x) = sqrt {x} ]
Podemos verificar nuestra respuesta recomponiendo las funciones.
[g (h (x)) = g (5 − x ^ 2) = sqrt {5 − x ^ 2} ]
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Escriba (f (x) = dfrac {4} {3− sqrt {4 + x ^ 2}} ) como la composición de dos funciones.
- Respuesta
-
Posibles respuestas:
(g (x) = sqrt {4 + x ^ 2} )
(h (x) = dfrac {4} {3 − x} )
(f = h { circ} g )
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con funciones compuestas.