En la sección anterior aprendimos que si se nos proporciona la pendiente de una línea y su intercepción (y ), entonces la ecuación de la línea es (y = mx + b ), donde ( m ) es la pendiente de la línea y (b ) es la coordenada (y ) de la intersección (y ) de la línea.
Sin embargo, supongamos que la intercepción (y ) – es desconocida? En su lugar, suponga que se nos da un punto ((x_0, y_0) ) en la línea y también se nos dice que la pendiente de la línea es m (ver Figura ( PageIndex {1} )).
Sea ((x, y) ) un punto arbitrario en la línea, luego use los puntos ((x_0, y_0) ) y ((x, y) ) para calcular la pendiente de la línea.
[ begin {alineado} text {Slope} & = dfrac { Delta y} { Delta x} quad color {Red} text {La fórmula de la pendiente. } \ m & = dfrac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}} quad color {Rojo} text {Sustituir} m text {para la pendiente. Use} (x, y) text {y} left (x_ {0}, y_ {0} right) text {para calcular la diferencia en} y text {y la diferencia en} x end {alineado } nonumber ]
Despeja las fracciones de la ecuación multiplicando ambos lados por el común denominador.
[ begin {alineado} m left (x-x_ {0} right) & = left [ dfrac {y-y_ {0}} {x-x_ {0}} right] x -x_ {0} quad color {Rojo} text {Multiplica ambos lados por} x-x_ {0} \ m left (x-x_ {0} right) & = y-y_ {0} qquad qquad color {Rojo} text {Cancelar. } end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la ecuación de la línea es (y − y_0 = m (x − x-0) ).
La forma punto-pendiente de una línea
La ecuación de la línea con pendiente m que pasa por el punto ( left (x_ {0}, y_ {0} right) ) es: [y-y_ {0} = m left ( x-x_ {0} right) nonumber ]
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Dibuja la línea que pasa por el punto ((- 3, −1) ) que tiene pendiente (3/5 ), luego etiquétala con su ecuación.
Solución
Trace el punto ((- 3, −1) ), luego mueva (3 ) unidades hacia arriba y (5 ) unidades hacia la derecha (vea la Figura ( PageIndex {2} )) . Para encontrar la ecuación, sustituya ((- 3, −1) ) por ((x_0, y_0) ) y (3/5 ) por m en la forma punto-pendiente de la línea.
[ begin {alineado} {y-y_ {0}} & = m left (x-x_ {0} right) quad color {Red} text {Forma punto-pendiente. } \ y – (- 1) & = dfrac {3} {5} (x – (- 3)) quad color {Red} text {Sustituir:} 3/5 text {para} m, -3 text {para} x_ {0}, text {y} -1 text {para} y_ {0} end {alineado} nonumber ]
Simplificando, la ecuación de la línea es (y + 1 = dfrac {3} {5} (x + 3) ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Dibuja la línea que pasa por el punto ((1, −2) ) que tiene pendiente (3/2 ), luego etiquétala con su ecuación.
- Respuesta
-
En este punto, es posible que te estés haciendo la pregunta “¿Cuándo debo usar la forma de intercepción de pendiente y cuándo debo usar la forma de pendiente de punto?” Aquí hay un buen consejo.
Consejo: ¿Qué formulario debo usar
El formulario que debe seleccionar depende de la información proporcionada.
- Si se le da la intersección (y ) – y la pendiente, use (y = mx + b ).
- Si se le da un punto y la pendiente, use (y − y_0 = m (x − x_0) ).
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Encuentre la ecuación de la línea que pasa por los puntos (P (−1,2) ) y (Q (3, −4) ).
Solución
Primero, trace los puntos (P (−1,2) ) y (Q (3, −4) ) y dibuje una línea a través de ellos (vea la Figura ( PageIndex {3} )) .
A continuación, calculemos la pendiente de la línea restando las coordenadas del punto (P (−1,2) ) de las coordenadas del punto (Q (3, −4) ).
[ begin {alineado} text {Slope} & = dfrac { Delta y} { Delta x} \ & = dfrac {-4-2} {3 – (- 1)} & = dfrac {-6} {4} \ & = – dfrac {3} {2} end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la pendiente es (- 3/2 ).
Luego, usa la forma punto-pendiente (y − y_0 = m (x − x_0) ) para determinar la ecuación de la recta. Está claro que debemos sustituir la forma (- 3/2 ). Pero, ¿cuál de los dos puntos deberíamos usar? Si usamos el punto (P (−1,2) ) para ((x_0, y_0) ), obtenemos la respuesta a la izquierda, pero si usamos el punto (Q (3, −4) ) para ((x_0, y_0) ), obtenemos la respuesta a la derecha.
(y-2 = – dfrac {3} {2} (x – (- 1)) qquad ) o ( qquad y – (- 4) = – dfrac {3} {2 } (x-3) )
A primera vista, estas respuestas no se ven iguales, pero examinémoslas un poco más de cerca, resolviendo (y ) para poner cada una en forma de pendiente-intersección. Comencemos con la ecuación de la izquierda.
[ begin {alineado}
y-2 & = – dfrac {3} {2} (x – (- 1)) quad color {Rojo} text {Usando} m = – 3/2 text {y} left (x_ {0}, y_ {0} right) = (- 1,2) \
y-2 & = – dfrac {3} {2} ( x + 1) quad color {Rojo} text {Simplificar. } \
y-2 & = – dfrac {3} {2} x- dfrac {3} {2} quad color {Red} text {Distribuir} -3 / 2 \ [19459034 ] y-2 + 2 & = – dfrac {3} {2} x- dfrac {3} {2} +2 quad color {Rojo} text {Agregar} 2 text {a ambos lados. } \
y & = – dfrac {3} {2} x- dfrac {3} {2} + dfrac {4} {2} quad color {Rojo} text {A la izquierda simplificar A la derecha, haz fracciones equivalentes con un denominador común. } \
y & = – dfrac {3} {2} x + dfrac {1} {2} quad color {Rojo} text {Simplificar. }
end {alineado} nonumber ]
Pongamos la segunda ecuación en forma de pendiente-intersección.
Nota
Tenga en cuenta que la forma (y = – dfrac {3} {2} x + dfrac {1} {2} ), cuando se compara con la forma general de pendiente-intersección (y = mx + b ) , indica que la intersección con (y ) es ((0,1 / 2) ). Examine la Figura ( PageIndex {3} ). ¿Parece que la intercepción (y ) – es ((0,1 / 2) )?
[ begin {alineado}
y – (- 4) & = – dfrac {3} {2} (x-3) quad color {Rojo} text {Usando} m = – 3/2 text {y} left (x_ {0}, y_ {0} right) = (3, -4) \
y + 4 & = – dfrac {3} {2} ( x-3) quad color {Rojo} text {Simplificar. } \
y + 4 & = – dfrac {3} {2} x + dfrac {9} {2} quad color {Red} text {Distribuir} -3 / 2 \
y + 4-4 & = – dfrac {3} {2} x + dfrac {9} {2} -4 quad color {Rojo} text {Restar} 4 text {de ambos lados. } \
y & = – dfrac {3} {2} x + dfrac {9} {2} – dfrac {8} {2} quad color {Rojo} text {A la izquierda simplificar A la derecha, haz fracciones equivalentes con un denominador común. } \
y & = – dfrac {3} {2} x + dfrac {1} {2}
end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, ambas ecuaciones se simplifican a la misma respuesta, (y = – dfrac {3} {2} x + dfrac {1} {2} ). Esto significa que las ecuaciones (y-2 = – dfrac {3} {2} (x – (- 1)) ) y (y – (- 4) = – dfrac {3} {2} ( x-3) ), aunque se ven diferentes, son lo mismo.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Encuentre la ecuación de la línea que pasa por los puntos (P (−2,1) ) y (Q (4, −1) ).
- Respuesta
-
(y = – dfrac {1} {3} x + dfrac {1} {3} )
El ejemplo ( PageIndex {2} ) da lugar al siguiente consejo.
punta
Al encontrar la ecuación de una línea a través de dos puntos (P ) y (Q ), puede sustituir el punto (P ) o (Q ) por ((x_0, y_0) ) en la forma punto-pendiente (y − y_0 = m (x − x_0) ). Los resultados parecen diferentes, pero ambas son ecuaciones de la misma línea.
Líneas paralelas
Recuerde que la pendiente es un número que mide la inclinación de la línea. Si dos líneas son paralelas (nunca se cruzan), tienen la misma inclinación.
Líneas paralelas
Si dos líneas son paralelas, tienen la misma pendiente.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Dibuja la línea (y = dfrac {3} {4} x-2 ), luego dibuja la línea que pasa a través del punto ((- 1,1) ) que es paralelo al línea (y = dfrac {3} {4} x-2 ) . Encuentra la ecuación de esta línea paralela.
Solución
Tenga en cuenta que (y = dfrac {3} {4} x-2 ) está en forma de pendiente-intersección (y = mx + b ). Por lo tanto, su pendiente es (3/4 ) y su (y ) – la intersección es ((0, −2) ). Graficar (y ) – interceptar ((0, −2) ), mover hacia arriba (3 ) unidades, hacia la derecha (4 ) unidades, luego dibujar la línea (ver Figura ( PageIndex {4 } )).
La segunda línea debe ser paralela a la primera, por lo que debe tener la misma pendiente (3/4 ). Trace el punto ((- 1,1) ), mueva hacia arriba (3 ) unidades, hacia la derecha (4 ) unidades, luego dibuje la línea (vea la línea roja en la Figura ( PageIndex {5} )).
Para encontrar la ecuación de la línea roja paralela en la Figura ( PageIndex {5} ), use la forma de pendiente del punto, sustituya (3/4 ) por (m ), luego ((- 1,1) ) para ((x_0, y_0) ). Es decir, sustituya (- 1 ) por (x_0 ) y (1 ) por (y_0 ).
[ begin {alineado} y-y_ {0} & = m left (x-x_ {0} right) quad color {Red} text {Forma punto-pendiente. } \ y-1 & = dfrac {3} {4} (x – (- 1)) quad color {Red} text {Sustituir:} 3/4 text {para} m, -1 text {para} x_ {0} text {y} 1 text {para} y_ {0} \ y-1 & = dfrac {3} {4} (x + 1) quad color {Rojo} text {Simplifica. } end {alineado} nonumber ]
Verificación: En este ejemplo, no se nos pidió que resolviéramos (y ), por lo que podemos ahorrarnos algo de trabajo de verificación escribiendo la ecuación
(y-1 = dfrac {3} {4} (x + 1) qquad ) en la forma ( qquad y = dfrac {3} {4} (x + 1) +1 )
agregando (1 ) a ambos lados de la primera ecuación.
Luego, ingrese cada ecuación como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ), luego cambie la configuración de VENTANA como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).
Luego, presione el botón GRÁFICO, seleccione 5: ZSquare para producir la imagen en la Figura ( PageIndex {9} ).
Observe la estrecha correlación de las líneas de la calculadora en la Figura ( PageIndex {9} ) con las líneas dibujadas a mano en la Figura ( PageIndex {8} ). Esto nos da la confianza de que hemos capturado la respuesta correcta.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Encuentre la ecuación de la línea que pasa por el punto ((2, −3) ) y es paralela a la línea (y = dfrac {3} {4} x + 2 ).
- Respuesta
-
(y = dfrac {3} {2} x-6 )
Líneas perpendiculares
Dos líneas son perpendiculares si se encuentran y forman un ángulo recto ( (90 ) grados). Por ejemplo, las líneas ( mathcal {L} _ {1} ) y ( mathcal {L} _ {2} ) en la Figura ( PageIndex {10} ) son perpendiculares, pero las líneas ( mathcal {L} _ {1} ) y ( mathcal {L} _ {2} ) en la Figura ( PageIndex {11} ) no son perpendiculares.
Antes de continuar, necesitamos establecer una relación entre las pendientes de dos líneas perpendiculares. Por lo tanto, considere las líneas perpendiculares ( mathcal {L} _ {1} ) y ( mathcal {L} _ {2} ) en la Figura ( PageIndex {12} ).
Nota
- Si tuviéramos que rotar la línea ( mathcal {L} _ {1} ) noventa grados en sentido antihorario, entonces ( mathcal {L} _ {1} ) se alinearía con la línea ( matemática {L} _ {2} ), como lo harían los triángulos rectángulos que revelan sus pendientes.
- ( mathcal {L} _ {1} ) tiene pendiente ( dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {m_ {1}} {1} = m_ {1} )
- ( mathcal {L} _ {2} ) tiene pendiente ( dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {1} {- m_ {1}} = – dfrac { 1} {m_ {1}} )
Pendientes de líneas perpendiculares
Si ( mathcal {L} _ {1} ) y ( mathcal {L} _ {2} ) son líneas perpendiculares y ( mathcal {L} _ {1} ) tiene pendiente (m_1 ), el ( mathcal {L} _ {2} ) tiene pendiente (- 1 / m_1 ). Es decir, la pendiente de ( mathcal {L} _ {2} ) es el recíproco negativo de la pendiente de ( mathcal {L} _ {1} ).
Ejemplos:
Para encontrar la pendiente de una línea perpendicular, invierta la pendiente de la primera línea y niegue.
- Si la pendiente de ( mathcal {L} _ {1} ) es (2 ), entonces la pendiente de la línea perpendicular ( mathcal {L} _ {2} ) es ( −1/2 ).
- Si la pendiente de ( mathcal {L} _ {1} ) es (- 3/4 ), entonces la pendiente de la línea perpendicular ( mathcal {L} _ {2} ) es (4/3 ).
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Dibuja la línea (y = – dfrac {2} {3} x-3 ), luego dibuja la línea a través de ((2,1) ) que es perpendicular a la línea (y = – dfrac {2} {3} x-3 ). Encuentra la ecuación de esta línea perpendicular.
Solución
Tenga en cuenta que (y = – dfrac {2} {3} x-3 ) está en forma de pendiente-intersección (y = mx + b ). Por lo tanto, su pendiente es (- 2/3 ) y su (y ) – la intersección es ((0, −3) ). Grafique (y ) – intercepte ((0, −3) ), mueva hacia la derecha (3 ) unidades, hacia abajo dos unidades, luego dibuje la línea (vea la Figura ( PageIndex {13} )) .
Debido a que la línea (y = – dfrac {2} {3} x-3 ) tiene pendiente (- 2/3 ), la pendiente de la línea perpendicular a esta línea será el recíproco negativo de (- 2/3 ), a saber, (3/2 ). Por lo tanto, para dibujar la línea perpendicular, comience en el punto dado ((2, 1) ), mueva hacia arriba (3 ) unidades, hacia la derecha (2 ) unidades, luego dibuje la línea (vea la Figura ( Índice de página {14} )).
Para encontrar la ecuación de la línea perpendicular en la Figura ( PageIndex {14} ), use la forma de pendiente del punto, sustituya (3/2 ) por (m ), luego ((2, 1) ) para ((x_0, y_0) ). Es decir, sustituya (2 ) por (x_0 ), luego (1 ) por (y_0 ).
[ begin {alineado} y-y_ {0} & = m left (x-x_ {0} right) quad color {Red} text {Forma punto-pendiente. } \ y-1 & = dfrac {3} {2} (x-2) quad color {Red} text {Sustituir:} 3/2 text {para} m, 2 text {para} x_ {0} text {y} 1 text {para} y_ {0} end {alineado} nonumber ]
Verificación: En este ejemplo, no se nos pidió que resolviéramos (y ), por lo que podemos ahorrarnos algo de trabajo de verificación escribiendo la ecuación
(y-1 = dfrac {3} {2} (x-2) qquad ) en la forma ( quad y = dfrac {3} {2} (x-2) +1 )
agregando (1 ) a ambos lados de la primera ecuación. Luego, ingrese cada ecuación como se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ), luego seleccione 6: ZStandard para producir la imagen en la Figura ( PageIndex {16} ).
Tenga en cuenta que las líneas en la Figura ( PageIndex {16} ) no parecen ser perpendiculares. ¿Hemos hecho algo mal? ¡La respuesta es no! El hecho de que la pantalla de visualización de la calculadora sea más ancha que alta está distorsionando el ángulo en el que se encuentran las líneas.
Para que el resultado de la calculadora coincida con el resultado en la Figura ( PageIndex {14} ), cambie la configuración de la ventana como se muestra en la Figura ( PageIndex {17} ), luego seleccione 5: ZSquare [ 19459015] desde el menú ZOOM para producir la imagen en la Figura ( PageIndex {18} ). Observe la estrecha correlación de las líneas de la calculadora en la Figura ( PageIndex {18} ) con las líneas dibujadas a mano en la Figura ( PageIndex {14} ). Esto nos da la confianza de que hemos capturado la respuesta correcta.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Encuentre la ecuación de la línea que pasa por el punto ((- 3,1) ) y es perpendicular a la línea (y = – dfrac {1} {2} x +1 ) .
- Respuesta
-
(y = 2 x + 7 )
Aplicaciones
Veamos una aplicación de líneas del mundo real.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
El agua se congela a (32 ^ { circ} mathrm {F} ) (Fahrenheit) y a (0 ^ { circ} mathrm {C} ) (Celsius). El agua hierve en (212 ^ { circ} mathrm {F} ) y en (100 ^ { circ} mathrm {C} ). Si la relación es lineal, encuentre una ecuación que exprese la temperatura Celsius en términos de la temperatura Fahrenheit. Use el resultado para encontrar la temperatura Celsius cuando la temperatura Fahrenheit sea (113 ^ { circ} mathrm {F} ).
Solución
En este ejemplo, la temperatura Celsius depende de la temperatura Fahrenheit. Esto hace que la temperatura Celsius sea la variable dependiente y se coloca en el eje vertical. Esta temperatura Fahrenheit es la variable independiente, por lo que se coloca en el eje horizontal (consulte la Figura ( PageIndex {19} )).
Luego, el agua se congela en (32 ^ { circ} mathrm {F} ) y (0 ^ { circ} mathrm {C} ), dándonos el punto ((F, C ) = (32,0) ). En segundo lugar, el agua hierve a (212 ^ { circ} mathrm {F} ) y (100 ^ { circ} mathrm {C} ), dándonos el punto ((F, C) = ( 212,100) ). Observe cómo hemos escalado los ejes para que cada uno de estos puntos se ajuste al sistema de coordenadas. Finalmente, suponiendo una relación lineal entre las temperaturas Celsius y Fahrenheit, dibuje una línea a través de estos dos puntos (vea la Figura ( PageIndex {19} )).
Calcule la pendiente de la línea.
[ begin {alineado} m & = dfrac { Delta C} { Delta F} quad color {Red} text {Fórmula de pendiente. } \ m & = dfrac {100-0} {212-32} quad color {Rojo} text {Use los puntos} (32,0) text {y} (212,100) text {para calcular el diferencia en C y F} \ m & = dfrac {100} {180} quad color {Red} text {Simplify. } \ m & = dfrac {5} {9} quad color {Red} text {Reducir. } end {alineado} nonumber ]
Puede usar ((32,0) ) o ((212,100) ) en la forma de punto y pendiente. El punto ((32,0) ) tiene números más pequeños, por lo que parece más fácil sustituir ((x_0, y_0) = (32, 0) ) y (m = 5/9 ) en el punto- forma de pendiente (y − y_0 = m (x − x_0) ).
[ begin {alineado} y-y_ {0} = & m left (x-x_ {0} right) quad color {Red} text {Forma punto-pendiente. } \ y-0 & = dfrac {5} {9} (x-32) quad color {Red} text {Sustituir:} 5/9 text {para} m, 32 text {para} x_ {0}, text {y} 0 text {for} y_ {0} \ y & = dfrac {5} {9} (x-32) quad color {Red} text {Simplify. } end {alineado} nonumber ]
Sin embargo, nuestros ejes vertical y horizontal están etiquetados como (C ) y (F ) (consulte la Figura ( PageIndex {19 } ) ) respectivamente, por lo que debemos reemplazar (y ) con (C ) y (x ) con (F ) para obtener una ecuación que exprese la temperatura Celsius (C ) en términos de Temperatura Fahrenheit (F ).
[C = dfrac {5} {9} (F-32) label {temperatura} ]
Finalmente, para encontrar la temperatura Celsius cuando la temperatura Fahrenheit es (113 ^ { circ} mathrm {F} ), sustituya (113 ) por (F ) en la ecuación ref {temperatura}
[ begin {alineado} C & = dfrac {5} {9} (F-32) quad color {Red} text {Equation} (3.5.1) \ C & = dfrac {5 } {9} (113-32) quad color {Rojo} text {Sustituir:} 113 text {para} F \ C & = dfrac {5} {9} (81) quad color {Rojo } text {Restar. } \ C & = 45 quad color {Rojo} text {Multiplicar. } end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, si la temperatura Fahrenheit es (113 ^ { circ} mathrm {F} ), entonces la temperatura Celsius es (45 ^ { circ} mathrm {C} ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Encuentra una ecuación que exprese la temperatura Fahrenheit en términos de la temperatura Celsius. Use el resultado para encontrar la temperatura Fahrenheit cuando la temperatura Celsius sea (25 ^ { circ} mathrm {C} ) .
- Respuesta
-
(77 ^ { circ} mathrm {F} )