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las matematicas

3.5: Graficar desigualdades lineales en dos variables

Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfico

 

Ahora, veremos cómo las soluciones de una desigualdad se relacionan con su gráfica.

 

Pensemos en la recta numérica mostrada anteriormente nuevamente. El punto (x = 3 ) separó esa recta numérica en dos partes. En un lado de 3 están todos los números menores que 3. En el otro lado de 3 todos los números son mayores que 3. Ver Figura .

 
Image of the number line with the integers from negative 5 to 5. The part of the number line to the right of 3 is marked with a blue line. The number 3 is marked with a blue open parenthesis. The part of the number line to the right of 3 is labeled “numbers greater than 3”. The part of the number line to the left of 3 is labeled “numbers less than 3”.  
Figura ( PageIndex {2} ) : La solución a (x> 3 ) es la parte sombreada de la recta numérica a la derecha de ( x = 3 ).
 
 

Del mismo modo, la línea (y = x + 4 ) separa el plano en dos regiones. En un lado de la línea hay puntos con (y x + 4 ). Llamamos a la línea (y = x + 4 ) una línea límite .

 
 

LÍNEA LÍMITE

 

La línea con la ecuación (Ax + By = C ) es la línea límite que separa la región donde (Ax + By> C ) de la región donde (Hacha + Por  

 

Para una desigualdad en una variable, el punto final se muestra con un paréntesis o un corchete dependiendo de si a está incluido en la solución:

 

Two number lines are shown with the middle labeled with the number “a”. In both number lines, the part to the left of the number a is marked with red. The first number line is labeled “x is less than a” and the number a is marked with an open parenthesis. The second number line is labeled “x is less than or equal to a” and the number a is marked with an open bracket.

 

Del mismo modo, para una desigualdad en dos variables, la línea de límite se muestra con una línea continua o discontinua para mostrar si la línea está o no incluida en la solución.

 

[ begin {array} {ll} {Ax + By C} y {Ax + By geq C} \ { text {La línea de límite es} Ax + By = C.} & { text {La línea de límite es} Ax + By = C.} \ { text {La línea de límite no está incluida en la solución.}} & { text {La línea de límite no está incluida en la solución.}} \ { textbf {La línea de límite está discontinua.}} & { Textbf {La línea de límite es sólida.}} \ nonumber end {array} ]

 

Ahora, echemos un vistazo a lo que encontramos en Ejemplo . Comenzaremos graficando la línea (y = x + 4 ), y luego trazaremos los cinco puntos que probamos, como se muestra en el gráfico. Ver Figura .

 
 
This figure has the graph of some points and a straight line on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 16 to 16. The points (negative 8, 12), (negative 5, negative 15), (0, 0), (1, 6), and (2, 6) are plotted and labeled with their coordinates. A straight line is drawn through the points (negative 4, 0), (0, 4), and (2, 6).  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 

En Ejemplo encontramos que algunos de los puntos eran soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ) y otros no.

 

¿Cuál de los puntos que trazamos son soluciones a la desigualdad (y> x + 4 )?

 

Los puntos ((1,6) ) y ((- 8,12) ) son soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ). Observe que ambos están en el mismo lado de la línea de límite (y = x + 4 ).

 

Los dos puntos ((0,0) ) y ((- 5, −15) ) están en el otro lado de la línea límite (y = x + 4 ), y no están soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ). Para esos dos puntos, (y  

¿Qué pasa con el punto ((2,6) )? Porque (6 = 2 + 4 ), el punto es una solución a la ecuación (y = x + 4 ), pero no una solución a la desigualdad (y> x + 4 ). Entonces el punto ((2,6) ) está en la línea de límite.

 

Tomemos otro punto por encima de la línea límite y comprobemos si es o no una solución a la desigualdad (y> x + 4 ). El punto ((0,10) ) se ve claramente por encima de la línea de límite, ¿no? ¿Es una solución a la desigualdad?

 

[ begin {array} {lll} {y} & {>} & {x + 4} \ {10} & { overset {?} {>}} Y {0 + 4} \ {10} y {>} y {4} \ nonumber end {array} ]

 

Entonces, ((0,10) ) es una solución para (y> x + 4 ).

 

Cualquier punto que elija sobre la línea de límite es una solución a la desigualdad (y> x + 4 ). Todos los puntos por encima de la línea límite son soluciones.

 

Del mismo modo, todos los puntos debajo de la línea límite, el lado con ((0,0) ) y ((- 5, −15) ), no son soluciones para (y> x + 4 ) , como se muestra en Figura .

 
 
This figure has the graph of some points and a straight line on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 16 to 16. The points (negative 8, 12), (negative 5, negative 15), (0, 0), (1, 6), and (2, 6) are plotted and labeled with their coordinates. A straight line is drawn through the points (negative 4, 0), (0, 4), and (2, 6). The line divides the x y-coordinate plane into two halves. The top left half is labeled y is greater than x plus 4. The bottom right half is labeled y is less than x plus 4.  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 
 

La gráfica de la desigualdad (y> x + 4 ) se muestra a continuación.

 

La línea (y = x + 4 ) divide el plano en dos regiones. El lado sombreado muestra las soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ).

 

Los puntos en la línea de límite, aquellos donde (y = x + 4 ), no son soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ), por lo que la línea en sí no es parte de la solución. Demostramos eso haciendo que la línea sea discontinua, no sólida.

 

This figure has the graph of a straight dashed line on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 8 to 8. A straight dashed line is drawn through the points (negative 4, 0), (0, 4), and (2, 6). The line divides the x y-coordinate plane into two halves. The top left half is colored red to indicate that this is where the solutions of the inequality are.

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

La línea de límite que se muestra en este gráfico es (y = 2x − 1 ). Escribe la desigualdad que muestra la gráfica.

 

This figure has the graph of a straight dashed line on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 8 to 8. A straight dashed line is drawn through the points (0, negative 1), (1, 1), and (2, 3). The line divides the x y-coordinate plane into two halves. The top left half is colored red to indicate that this is where the solutions of the inequality are.

 
     
Respuesta
     
     

La línea (y = 2x − 1 ) es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos con (y> 2x − 1 ) y en el otro lado de la línea están los puntos con (y <2x − 1 ).

     

Probemos el punto ((0,0) ) y veamos qué desigualdad describe su posición con respecto a la línea de límite.

     

En ((0,0) ), ¿qué desigualdad es verdadera: (y> 2x − 1 ) o (y <2x − 1 )?

     

[ begin {array} {ll} {y> 2x − 1} & {y <2x − 1} \ {0 overset {?} {>} 2 · 0−1} y {0 overset {?} {<} 2 · 0−1} \ {0> −1 text {True}} & {0 <−1 text {False}} \ nonumber end {array} ] [ 19459005]      

Dado que (y> 2x − 1 ) es verdadero, el lado de la línea con ((0,0) ) es la solución. La región sombreada muestra la solución de la desigualdad (y> 2x − 1 ).

     

Dado que la línea límite se representa con una línea continua, la desigualdad incluye el signo igual.

     

El gráfico muestra la desigualdad (y geq 2x − 1 ).

     

Podríamos usar cualquier punto como punto de prueba, siempre que no esté en la línea. ¿Por qué elegimos ((0,0) )? Porque es el más fácil de evaluar. Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificar que (y <2x − 1 ).

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica con la línea de límite (y = −2x + 3 ).

 

This figure has the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 8 to 8. A straight line is drawn through the points (0, 3), (1, 1), and (3, negative 3). The line divides the x y-coordinate plane into two halves. The line itself and the top right half are colored red to indicate that this is where the solutions of the inequality are.

 
     
Respuesta
     
     

(y geq −2x + 3 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Escribe la desigualdad que muestra la gráfica con la línea de límite (y = frac {1} {2} x − 4 ).

 

This figure has the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 8 to 8. A straight line is drawn through the points (0, negative 4), (2, negative 3), and (4, negative 2). The line divides the x y-coordinate plane into two halves. The line itself and the bottom right half are colored red to indicate that this is where the solutions of the inequality are.

 
     
Respuesta
     
     

(y leq frac {1} {2} x − 4 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

La línea de límite que se muestra en este gráfico es (2x + 3y = 6 ). Escribe la desigualdad que muestra la gráfica.

 

This figure has the graph of a straight dashed line on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 8 to 8. A straight dashed line is drawn through the points (0, 2), (3, 0), and (6, negative 2). The line divides the x y-coordinate plane into two halves. The bottom left half is colored red to indicate that this is where the solutions of the inequality are.

 
     
Respuesta
     
     

La línea (2x + 3y = 6 ) es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos con (2x + 3y> 6 ) y en el otro lado de la línea están los puntos con (2x + 3y <6 ).

     

Probemos el punto ((0,0) ) y veamos qué desigualdad describe su lado de la línea de límite.

     

En ((0,0) ), ¿qué desigualdad es verdadera: (2x + 3y> 6 ) o (2x + 3y <6 )?

     

[ begin {array} {ll} {2x + 3y> 6} y {2x + 3y <6} \ {2 (0) +3 (0) overset {?} {>} 6} & {2 (0) +3 (0) overset {?} {<} 6} \ {0> 6 text {False}} & {0 <6 text {True}} \ nonumber end {array} ]

     

Entonces el lado con ((0,0) ) es el lado donde (2x + 3y <6 ).

     

(Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificar que (2x + 3y> 6 ).)

     

Dado que la línea de límite se representa gráficamente como una línea discontinua, la desigualdad no incluye un signo igual.

     

La región sombreada muestra la solución a la desigualdad (2x + 3y <6 ).

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en el gráfico con la línea de límite (x − 4y = 8 ).

 

This figure has the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 8 to 8. A straight line is drawn through the points (0, negative 2), (4, negative 1), and (8, 0). The line divides the x y-coordinate plane into two halves. The line itself and the top left half are colored red to indicate that this is where the solutions of the inequality are.

 
     
Respuesta
     
     

(x − 4y leq 8 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en el gráfico con la línea de límite (3x − y = 6 ).

 

This figure has the graph of a straight line on the x y-coordinate plane. The x and y axes run from negative 8 to 8. A straight line is drawn through the points (0, negative 6), (1, negative 3), and (2, 0). The line divides the x y-coordinate plane into two halves. The line itself and the bottom right half are colored red to indicate that this is where the solutions of the inequality are.

 
     
Respuesta
     
     

(3x − y geq 6 )

     
 
 
 
 
 
 
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