Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfico
Ahora, veremos cómo las soluciones de una desigualdad se relacionan con su gráfica.
Pensemos en la recta numérica mostrada anteriormente nuevamente. El punto (x = 3 ) separó esa recta numérica en dos partes. En un lado de 3 están todos los números menores que 3. En el otro lado de 3 todos los números son mayores que 3. Ver Figura .
Del mismo modo, la línea (y = x + 4 ) separa el plano en dos regiones. En un lado de la línea hay puntos con (y
LÍNEA LÍMITE
La línea con la ecuación (Ax + By = C ) es la línea límite que separa la región donde (Ax + By> C ) de la región donde (Hacha + Por
Para una desigualdad en una variable, el punto final se muestra con un paréntesis o un corchete dependiendo de si a está incluido en la solución:
Del mismo modo, para una desigualdad en dos variables, la línea de límite se muestra con una línea continua o discontinua para mostrar si la línea está o no incluida en la solución.
[ begin {array} {ll} {Ax + By
Ahora, echemos un vistazo a lo que encontramos en Ejemplo . Comenzaremos graficando la línea (y = x + 4 ), y luego trazaremos los cinco puntos que probamos, como se muestra en el gráfico. Ver Figura .
En Ejemplo encontramos que algunos de los puntos eran soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ) y otros no.
¿Cuál de los puntos que trazamos son soluciones a la desigualdad (y> x + 4 )?
Los puntos ((1,6) ) y ((- 8,12) ) son soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ). Observe que ambos están en el mismo lado de la línea de límite (y = x + 4 ).
Los dos puntos ((0,0) ) y ((- 5, −15) ) están en el otro lado de la línea límite (y = x + 4 ), y no están soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ). Para esos dos puntos, (y ¿Qué pasa con el punto ((2,6) )? Porque (6 = 2 + 4 ), el punto es una solución a la ecuación (y = x + 4 ), pero no una solución a la desigualdad (y> x + 4 ). Entonces el punto ((2,6) ) está en la línea de límite. Tomemos otro punto por encima de la línea límite y comprobemos si es o no una solución a la desigualdad (y> x + 4 ). El punto ((0,10) ) se ve claramente por encima de la línea de límite, ¿no? ¿Es una solución a la desigualdad? [ begin {array} {lll} {y} & {>} & {x + 4} \ {10} & { overset {?} {>}} Y {0 + 4} \ {10} y {>} y {4} \ nonumber end {array} ] Entonces, ((0,10) ) es una solución para (y> x + 4 ). Cualquier punto que elija sobre la línea de límite es una solución a la desigualdad (y> x + 4 ). Todos los puntos por encima de la línea límite son soluciones. Del mismo modo, todos los puntos debajo de la línea límite, el lado con ((0,0) ) y ((- 5, −15) ), no son soluciones para (y> x + 4 ) , como se muestra en Figura . La gráfica de la desigualdad (y> x + 4 ) se muestra a continuación. La línea (y = x + 4 ) divide el plano en dos regiones. El lado sombreado muestra las soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ). Los puntos en la línea de límite, aquellos donde (y = x + 4 ), no son soluciones a la desigualdad (y> x + 4 ), por lo que la línea en sí no es parte de la solución. Demostramos eso haciendo que la línea sea discontinua, no sólida. Ejemplo ( PageIndex {4} ) La línea de límite que se muestra en este gráfico es (y = 2x − 1 ). Escribe la desigualdad que muestra la gráfica. La línea (y = 2x − 1 ) es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos con (y> 2x − 1 ) y en el otro lado de la línea están los puntos con (y <2x − 1 ). Probemos el punto ((0,0) ) y veamos qué desigualdad describe su posición con respecto a la línea de límite. En ((0,0) ), ¿qué desigualdad es verdadera: (y> 2x − 1 ) o (y <2x − 1 )? [ begin {array} {ll} {y> 2x − 1} & {y <2x − 1} \ {0 overset {?} {>} 2 · 0−1} y {0 overset {?} {<} 2 · 0−1} \ {0> −1 text {True}} & {0 <−1 text {False}} \ nonumber end {array} ] [ 19459005]
Dado que (y> 2x − 1 ) es verdadero, el lado de la línea con ((0,0) ) es la solución. La región sombreada muestra la solución de la desigualdad (y> 2x − 1 ). Dado que la línea límite se representa con una línea continua, la desigualdad incluye el signo igual. El gráfico muestra la desigualdad (y geq 2x − 1 ). Podríamos usar cualquier punto como punto de prueba, siempre que no esté en la línea. ¿Por qué elegimos ((0,0) )? Porque es el más fácil de evaluar. Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificar que (y <2x − 1 ). Ejemplo ( PageIndex {5} ) Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica con la línea de límite (y = −2x + 3 ). (y geq −2x + 3 ) Ejemplo ( PageIndex {6} ) Escribe la desigualdad que muestra la gráfica con la línea de límite (y = frac {1} {2} x − 4 ). (y leq frac {1} {2} x − 4 ) Ejemplo ( PageIndex {7} ) La línea de límite que se muestra en este gráfico es (2x + 3y = 6 ). Escribe la desigualdad que muestra la gráfica. La línea (2x + 3y = 6 ) es la línea límite. En un lado de la línea están los puntos con (2x + 3y> 6 ) y en el otro lado de la línea están los puntos con (2x + 3y <6 ). Probemos el punto ((0,0) ) y veamos qué desigualdad describe su lado de la línea de límite. En ((0,0) ), ¿qué desigualdad es verdadera: (2x + 3y> 6 ) o (2x + 3y <6 )? [ begin {array} {ll} {2x + 3y> 6} y {2x + 3y <6} \ {2 (0) +3 (0) overset {?} {>} 6} & {2 (0) +3 (0) overset {?} {<} 6} \ {0> 6 text {False}} & {0 <6 text {True}} \ nonumber end {array} ] Entonces el lado con ((0,0) ) es el lado donde (2x + 3y <6 ). (Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y verificar que (2x + 3y> 6 ).) Dado que la línea de límite se representa gráficamente como una línea discontinua, la desigualdad no incluye un signo igual. La región sombreada muestra la solución a la desigualdad (2x + 3y <6 ). Ejemplo ( PageIndex {8} ) Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en el gráfico con la línea de límite (x − 4y = 8 ). (x − 4y leq 8 ) Ejemplo ( PageIndex {9} ) Escribe la desigualdad que muestra la región sombreada en el gráfico con la línea de límite (3x − y = 6 ). (3x − y geq 6 ) 
