3.5: La línea de mejor ajuste

3.5: La línea de mejor ajuste

                 

Cuando se recopilan datos en el mundo real, una gráfica de los datos a menudo revela una «tendencia lineal», pero los datos no caen precisamente en una sola línea. En este caso, buscamos encontrar un modelo lineal que se aproxime a los datos. Comencemos mirando un ejemplo extendido.

 

Aditya y Tami son compañeros de laboratorio en la clase de física del Dr. Mills. Están colgando masas de un resorte y midiendo el estiramiento resultante en la primavera. Consulte la Tabla ( PageIndex {1} ) para ver sus datos.

                                                                                                                                                                                                                              
m (masa en gramos) 10 20 30 40 50
x (estiramiento en cm) 6,8 10,2 13,9 21,2 24,2
 

Tabla ( PageIndex {1} ). El conjunto de datos de Aditya y Tami.

 

El objetivo es encontrar un modelo que describa los datos, tanto en forma de gráfico como de ecuación. El primer paso es trazar los datos. Recuerde algunas de las pautas proporcionadas en la primera sección del capítulo actual.

 
 

Directrices

 

Al trazar datos reales, seguimos estas pautas.

 
         
  1. No quieres gráficos pequeños. Es mejor escalar su gráfico para que llene una hoja completa de papel cuadriculado. Esto hará que sea mucho más fácil leer e interpretar el gráfico.
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  3. Puede tener diferentes escalas en cada eje, pero una vez elegido, debe permanecer constante.
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  5. Desea elegir una escala que facilite nuestro primer objetivo, pero que también haga que los datos sean fáciles de trazar.
  6.  
 
 

Aditya y Tami son libres de elegir las masas que cuelgan en la primavera. Por lo tanto, la masa m es la variable independiente. En consecuencia, escalaremos el eje horizontal para acomodar la masa. La distancia que estira el resorte depende de la cantidad de masa que cuelga del resorte, por lo que la distancia estirada x es la variable dependiente. Escalaremos el eje vertical para acomodar la distancia estirada.

 

En el eje horizontal, necesitamos ajustar las masas de 10, 20, 30, 40 y 50 gramos. Para evitar un gráfico pequeño, dejaremos que cada 5 cuadros representen 10 gramos. En el eje vertical, necesitamos ajustar distancias que van desde 6,8 centímetros hasta 24,2 centímetros inclusive. Hacer que cada cuadro represente 1 cm proporciona un gráfico de buen tamaño y permitirá trazar fácilmente nuestros puntos de datos, lo que hemos hecho en la Figura ( PageIndex {1} ) (a).

 

Observe la tendencia lineal que muestran los datos en la Figura ( PageIndex {1} ) (a). No es posible dibujar una sola línea que pase por cada uno de los puntos de datos, por lo que un modelo lineal no «encajará» exactamente en los datos. Sin embargo, los datos son «aproximadamente lineales», así que intentemos dibujar una línea que «casi se ajuste» a los datos.

 

No es nuestro objetivo aquí tratar de dibujar una línea que pase por tantos puntos de datos como sea posible. Si lo hacemos, entonces esencialmente estamos diciendo que los puntos a través de los cuales no pasa la línea no tienen influencia en el modelo general, ni influyen en las predicciones que podamos hacer con nuestro modelo. Esta no es una suposición razonable.

 

De hecho, el objetivo es trazar una línea que se acerque a tantos puntos como sea posible. Algunos puntos se ubicarán por encima de la línea, algunos se ubicarán debajo, y lo que intentaremos hacer es «equilibrar» los sobreestimados y los subestimados en un intento de minimizar el error general. La mejor manera de hacer esto es tomar una regla de plástico transparente, algo que pueda ver a través de ella, y rotar y cambiar la regla hasta que piense que tiene una línea que equilibra las sobreestimaciones y las subestimaciones. Lo hemos hecho por usted en la Figura ( PageIndex {1} ) (b). La línea resultante se llama la «línea de mejor ajuste».

 
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Figura ( PageIndex {1} ).
 

Podemos usar la «línea de mejor ajuste» en la Figura ( PageIndex {1} ) (b) para hacer predicciones. Por ejemplo, si quisiéramos predecir cuánto se estirará el resorte cuando Aditya y Tami fijen una masa de 22 gramos, entonces ubicaríamos 22 gramos en el eje horizontal, dibujamos una línea vertical hacia arriba a la «línea de mejor ajuste», seguido por una línea horizontal al eje vertical, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (a). Tenga en cuenta que el valor de x en el eje vertical parece ser de aproximadamente 11,6 centímetros.

 

Alternativamente, desarrollaremos un modelo de ecuación. Primero, seleccione dos puntos en la «línea de mejor ajuste» usando las siguientes pautas.

 
 

Nota

 
         
  1. Elija dos puntos en la «línea de mejor ajuste» que no sean puntos de datos.
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  3. Intenta elegir puntos que pasen por un punto reticular de la cuadrícula. Hace que la interpretación de las coordenadas del punto sea mucho más fácil.
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  5. Cuanto más separados estén los dos puntos seleccionados, mejor será la precisión. No elija puntos que estén demasiado juntos.
  6.  
 
 
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Figura ( PageIndex {2} ).
 

En la Figura ( PageIndex {2} ) (b), hemos seleccionado los puntos P (12, 7) y Q (36, 18). El primer punto indica que una masa de 12 gramos estira la primavera 7 centímetros. La interpretación para el segundo punto es similar. Podemos encontrar la pendiente de la línea a través de los puntos P y Q con la fórmula de la pendiente.

 

[m = frac { Delta x} { Delta m} = frac {18 mathrm {cm} -7 mathrm {cm}} {36 mathrm {g} -12 mathrm {g }} = frac {11} {24} frac { mathrm {cm}} { mathrm {g}} ]

 

La pendiente de la línea es la velocidad a la que cambia la distancia estirada con respecto a cómo está cambiando la masa. En este caso, por cada 24 gramos adicionales de masa que se cuelga, el resorte se estira 11 centímetros adicionales.

 

El siguiente paso es usar la fórmula punto-pendiente para determinar la ecuación de la línea.

 

[y-y_ {0} = m left (x-x_ {0} right) ]

 

Usemos el punto P (12, 7). Es decir, establezca ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (12,7) ). Sustituya (m = 11/24, x_ {0} = 12 ), y (y_ {0} = 7 ) en la ecuación (1) para obtener

 

[y-7 = frac {11} {24} (x-12) ]

 

En la aplicación de masa de resorte, la variable dependiente es x, no y, y la variable independiente es m, no x. Reemplace la y en el lado izquierdo de la ecuación (2) con x, luego reemplace x en el lado derecho de la ecuación (2) con m para obtener

 

[x-7 = frac {11} {24} (m-12) ]

 

Resolver la ecuación (3) para x

 

[ begin {alineado} x-7 & = frac {11} {24} m- frac {132} {24} \ x & = frac {11} {24} m- frac {132} {24} +7 \ x & = frac {11} {24} m- frac {132} {24} + frac {168} {24} \ x & = frac {11} {24} m + frac {36} {24} end {alineado} ]

 

Reduzca 36/24 a 3/2 para obtener

 

[x = frac {11} {24} m + frac {3} {2} ]

 

Recuerde que x representa la distancia estirada ym representa la cantidad de masa colgada del resorte. Es decir, x es una función de m. Podemos usar la notación de función para escribir la última ecuación de la siguiente manera.

 

[x (m) = frac {11} {24} m + frac {3} {2} ]

 

Podemos usar el modelo en la ecuación (4) para determinar la cantidad de estiramiento cuando una masa de 22 gramos está unida al resorte. Sustituya m = 22 en la ecuación (4), luego use una calculadora para aproximar el estiramiento en la primavera.

 

[x (22) = frac {11} {24} (22) + frac {3} {2} aprox 11.6 mathrm {cm} ]

 

Tenga en cuenta el acuerdo con la solución gráfica que se encuentra en la Figura ( PageIndex {2} ) (a). Los lectores deben comprender que este tipo de precisión no es la norma habitual. Hay una serie de factores que pueden introducir errores.

 
         
  • Aditya y Tami podrían no haber tomado medidas precisas en el laboratorio, por lo que los datos podrían ser defectuosos para empezar.
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  • Podría haber errores al escalar los ejes y trazar los datos.
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  • La ​​línea de «globo ocular» de mejor ajuste que dibujamos fue muy subjetiva. Una ligera rotación o traslación de la regla durante el dibujo de la supuesta «línea de mejor ajuste» puede producir resultados diferentes.
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  • Nuestros cálculos pueden contener errores y errores de redondeo.
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Usando la calculadora gráfica para encontrar la línea de mejor ajuste

 

Los estadísticos han desarrollado un método particular, llamado «método de mínimos cuadrados», que se utiliza para encontrar una «línea de mejor ajuste» para un conjunto de datos que muestra una tendencia lineal. El algoritmo busca encontrar la línea que minimiza el error total. Estos algoritmos están programados en la calculadora gráfica y están disponibles para uso de los estudiantes.

 

Para usar la calculadora gráfica para determinar la línea de mejor ajuste, lo primero que debe aprender a hacer es cargar los datos de la Tabla ( PageIndex {1} ) en su calculadora.

 

• Localice y presione el botón STAT en su teclado, que abrirá el menú que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a).

 

• Seleccione 1: Editar en este menú, que abrirá la ventana de edición que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (b).

 

• Ingrese los datos de la Tabla ( PageIndex {1} ) en las listas (L_ {1} ) y (L_ {2} ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (c)

 
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Figura ( PageIndex {3} ). Ingrese los datos de la Tabla ( PageIndex {1} ) en las listas (L_ {1} ) y (L_ {2} ) en su calculadora gráfica.
 

El siguiente paso es trazar los datos que ingresó en las listas (L_ {1} ) y (L_ {2} ).

 
         
  • Presione la tecla 2ND, seguido de STAT PLOT (ubicado arriba del menú Y =). Esto abre la ventana que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (a).
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  • Seleccione 1: Plot1 para abrir la ventana de selección de trazado que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (b).
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  • En la ventana de selección de trazado de la Figura ( PageIndex {4} ) (b), hay varias cosas que debe verificar.
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  1. Use las teclas de flecha para colocar el cursor sobre la palabra «On» y presione la tecla ENTER para resaltar esta selección.
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  3. Hay seis «Tipos» de gráficos: diagrama de dispersión, diagrama de línea, histograma, diagrama de caja modificado, diagrama de caja y diagrama de probabilidad normal. Estas opciones están organizadas en dos filas de tres parcelas. Mueva el cursor al primer diagrama de la primera fila, el diagrama de dispersión, luego presione la tecla ENTER para resaltar su selección.
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  5. La ​​siguiente selección es XList. Esta es la lista que va en el eje horizontal. En el caso de la Tabla 1, queremos colocar los datos de masa en el eje horizontal. Ingresamos los datos de masa en la lista L1, así que ingrese 2ND L1 (L1 se encuentra arriba del 1 en el teclado).
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  7. La ​​siguiente selección es Ylist. Ingrese 2ND L2 (L2 está ubicado sobre el 2 en el teclado). Esto enumera la distancia estirada y se colocará en el eje vertical.
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  9. El último elemento es el marcador. Elija el primero con las teclas de flecha (es el más fácil de ver) y presione la tecla ENTER para resaltar esta opción.
  10.  
 
         
  • Presione el botón ZOOM en la primera fila de teclas de su teclado. Use las teclas de flecha para desplazar el menú hacia abajo hasta que pueda seleccionar 9: ZoomStat. Esto producirá la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (c).
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Figura ( PageIndex {4} ). Trazar los puntos de datos de la Tabla ( PageIndex {1} )
 

El paso final es calcular y trazar la línea de mejor ajuste.

 
         
  • Presione nuevamente el botón STAT, pero luego use la flecha hacia la derecha para seleccionar el submenú CALC resaltado en la Figura ( PageIndex {5} ) (a).
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  • Seleccione 4: LinReg (ax + b) del submenú CALC. Esto coloca el comando LinReg (ax + b) en su pantalla de inicio, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ) (b). Luego debe escribir 2ND (L_ {1} ), una coma (ubicada en su propia clave justo arriba de la tecla 7), luego 2ND (L_ {2} ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {5 })(si).
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  • Presione la tecla ENTER para ejecutar el comando LinReg (L_ {1} ), (L_ {2} ), que produce la ecuación de la línea de mejor ajuste que se muestra en la Figura ( PageIndex {5} )(C).
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Figura ( PageIndex {5} ). Encontrar la ecuación de la línea de mejor ajuste.
 

La pantalla en la Figura ( PageIndex {5} ) (c) es bastante informativa. Nos dice dos cosas.

 
         
  1. La ​​ecuación de la línea de mejor ajuste es y = ax + b.
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  3. La ​​pendiente es a = .458 y la intersección en y es b = 1.52.
  4.  
 

Sustituyendo a = 0.458 yb = 1.52 en la ecuación y = ax + b nos da la ecuación de la línea de mejor ajuste.

 

[y = 0.458 x + 1.52 ]

 

Podemos superponer la gráfica de la línea de mejor ajuste en nuestro conjunto de datos en dos sencillos pasos.

 
         
  • Presione la tecla Y = e ingrese la ecuación 0.458 * X + 1.52 en ( boldsymbol {Y} _ {1} ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (a).
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  • Presione el botón GRÁFICO en la fila superior de teclas de su teclado para producir la línea de mejor ajuste en la Figura ( PageIndex {6} ) (b).
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Figura ( PageIndex {6} ). Superponga la línea de mejor ajuste en el diagrama de dispersión de los datos de la Tabla ( PageIndex {1} ).
 

En el lado izquierdo de la ecuación (5), reemplace y con x (la distancia estirada); en el lado derecho, reemplace x con m (cantidad de masa). Esto lleva al resultado [x = 0.458 m + 1.52 ]

 

Quizás recuerde que nuestro cálculo manual produjo la ecuación (4), que repetimos aquí por conveniencia.

 

[x = frac {11} {24} x + frac {3} {2} ]

 

Tenga en cuenta que 11 (/ 24 aprox 0.4583 ) y 3/2 = 1.5, por lo que la ecuación (6) coincide estrechamente con nuestra ecuación calculada a mano de la línea de mejor ajuste.

 

Es bastante inusual que una línea calculada a mano del mejor ajuste coincida tan estrechamente con el resultado sofisticado y muy preciso producido por la calculadora gráfica. Por lo tanto, no se decepcione cuando los resultados de su tarea no coincidan tan bien como en este ejemplo. Si está en el estadio de béisbol con su ecuación calculada a mano para la línea de mejor ajuste, eso generalmente será lo suficientemente bueno. Sin embargo, si su ecuación calculada a mano no está ni cerca de lo que produce su calculadora, es «volver a la mesa de dibujo». Vuelva a verificar su trama y sus cálculos. ¡Se terco! No se conforme con sus resultados hasta que tenga un acuerdo razonable.

 
                                  
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