Recuerde que un sistema lineal de ecuaciones consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas variables. Un sistema lineal que consta de tres ecuaciones en forma estándar dispuestas para que la variable (x ) no aparezca en ninguna ecuación después de la primera y la variable (y ) no aparezca en ninguna ecuación después de que se dice que la segunda es en triangular superior forma 22 . Por ejemplo,
Figura 3.5.1
Observe que el sistema forma un triángulo donde cada ecuación sucesiva contiene una variable menos. En general,
( color {Cerulean} {Lineal : Systems : in : Upper : Triangular : Form} )
( left { begin {array} {rl} {a _ {1} x + b _ {1} y = c _ {1}} \ {b _ {2} y = c _ {2}} end {array} right. Quad quad left { begin {array} {rl} {a _ {1} x + b _ {1} y + c_ {1} z = d _ {1}} \ {b _ {2} y + c_ {2} z = d _ {2} \ \ quad quad : : : c_ {3} z = d_ {3} } end {array} right. )
Si un sistema lineal tiene esta forma, podemos resolver fácilmente una de las variables y luego sustituirla de nuevo para resolver las variables restantes.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Resuelve: ( left { begin {alineado} 3 x – y & = 7 \ 2 y & = – 2 end {alineado} right. )
Solución
Recuerde que las soluciones a sistemas lineales con dos variables, si existen, son pares ordenados ((x, y) ). Podemos determinar el valor (y ) fácilmente usando la segunda ecuación.
( begin {alineado} 2 y & = – 2 \ y & = – 1 end {alineado} )
Luego, usa la primera ecuación (3x – y = 7 ) y el hecho de que (y = −1 ) para encontrar (x ).
( begin {alineado} 3 x – y & = 7 \ 3 x – ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} & = 7 \ 3 x + 1 & = 7 \ 3 x & = 6 \ x & = 2 end {alineado} )
Respuesta :
((2, -1) )
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Resuelva: ( left { begin {alineado} x – 6 y + 2 z & = 16 \ 3 y – 9 z & = 5 \ z & = – 1 end {alineado} right . ).
Solución
Recuerde que las soluciones a sistemas lineales con tres variables, si existen, se ordenan triples ((x, y, z) ). Use la segunda ecuación (3y – 9z = 5 ) y el hecho de que (z = −1 ) para encontrar (y ).
( begin {alineado} 3 y – 9 z & = 5 \ 3 y – 9 ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} & = 5 \ 3 y + 9 & = 5 \ 3 y & = – 4 \ y & = – frac {4} {3} end {alineado} )
Luego, sustituye (y ) y (z ) en la primera ecuación.
( begin {alineado} x – 6 y + 2 z & = 16 \ x – 6 left ( color {Cerulean} {- frac {4} {3}} right) + 2 ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} & = 16 \ x + 8 – 2 & = 16 \ x + 6 & = 16 \ x & = 10 end {alineado} )
Respuesta :
((10, – frac {4} {3}, -1) )
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve: ( left { begin {alineado} 4 x – y + 3 z & = 1 \ 2 y – 9 z & = – 2 \ 3 z & = 2 end {alineado} derecha. )
Respuesta
( left ( frac {1} {4}, 2, frac {2} {3} right) )
Matrices y eliminación gaussiana
En esta sección, el objetivo es desarrollar una técnica que agilice el proceso de resolución de sistemas lineales. Comenzamos definiendo una matriz 23 , que es una matriz rectangular de números que consiste en filas y columnas. Dado un sistema lineal en forma estándar, creamos un coeficiente matriz 24 escribiendo los coeficientes tal como aparecen alineados sin las variables u operaciones de la siguiente manera.
( quad quad quad quad quad color {Cerulean} {Linear : System} quad quad quad quad quad color {Cerulean} {Coefficient : Matrix} \ izquierda { begin {array} {l} {a _ {1} x + b _ {1} y + c _ {1} z = d _ {1}} \ {a _ {2} x + b _ {2} y + c _ {2} z = d _ {2}} \ {a _ {3} x + b _ {3} y + c _ {3} z = d _ {3}} end {array} right. quad quad Rightarrow quad quad left [ begin {array} {l} {a _ {1} b _ {1} c _ {1}} \ {a _ {2} b _ {2} c _ {2}} \ {a _ {3} b _ {3} c _ {3}} end {array} right] )
Las filas representan los coeficientes en las ecuaciones y las columnas representan los coeficientes de cada variable. Además, si incluimos una columna que representa las constantes, obtenemos lo que se llama una matriz 25 . Para un sistema lineal con dos variables,
( quad quad quad quad color {Cerulean} {Linear : System} quad color {Cerulean} quad quad {Augmented : Matrix} \ left { begin { matriz} {ll} {a _ {1} x + b _ {1} y = c _ {1}} \ {a _ {2} x + b _ {2} y = c _ {2}} end {array} right. quad quad Leftrightarrow quad quad left [ begin {array} {l} {a _ {1} b _ {1} left | c _ {1} right. } \ {a _ {2} b _ {2} left | c _ {2} right.} end {array} right] )
Y para un sistema lineal con tres variables tenemos
( quad quad quad quad color {Cerulean} {Linear : System} quad color {Cerulean} quad quad {Augmented : Matrix} \ left { begin { matriz} {l} {a _ {1} x + b _ {1} y + c _ {1} z = d _ {1}} \ {a _ {2} x + b _ {2} y + c _ {2} z = d _ {2}} \ {a _ {3} x + b _ {3} y + c _ {3} z = d _ {3}} end {array} right . quad quad Leftrightarrow quad left [ begin {array} {l} {a _ {1} b _ {1} c _ {1} left | d _ {1} right.} \ {a _ {2} b _ {2} c _ {2} left | d _ {2} right.} \ {a _ {3} b _ {3} c _ {3} left | d _ {3} right.} End {array} right] )
Nota
La línea vertical discontinua proporciona una separación visual entre la matriz de coeficientes y la columna de constantes. En otros recursos de álgebra que puede encontrar, esto a veces se omite.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Construya la matriz aumentada que corresponde a: ( left { begin {array} {l} {9 x – 6 y = 0} \ {- x + 2 y = 1} end {array} Correcto.).
Solución
Este sistema consta de dos ecuaciones lineales en forma estándar; por lo tanto, los coeficientes en la matriz aparecen como lo hacen en el sistema.
( left { begin {array} {l} {9 x – 6 y = 0} \ {- x + 2 y = 1} end {array} right. Leftrightarrow left [ begin {array} {cc | c} {9} y {- 6} y {0} \ {- 1} y {2} y {1} end {array} right] )
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Construya la matriz aumentada que corresponde a: ( left { begin {alineado} x + 2 y – 4 z & = 5 \ 2 x + y – 6 z & = 8 \ 4 x – y – 12 z & = 13 end {alineado} right. )
Solución
Dado que las ecuaciones se dan en forma estándar, los coeficientes aparecen en la matriz como lo hacen en el sistema.
( left { begin {array} {cc} {x + 2 y – 4 z = 5} \ {2 x + y – 6 z = 8} \ {4 x – y – 12 z = 13} end {array} right. Leftrightarrow left [ begin {array} {ccc | c} {1} & {2} & {- 4} & {5} \ {2} & { 1} y {- 6} y {8} \ {4} y {- 1} y {- 12} y {13} end {array} right] )
Una matriz está en forma triangular superior si todos los elementos debajo del elemento principal distinto de cero en cada fila sucesiva son cero. Por ejemplo,
Figura 3.5.2
Observe que los elementos debajo de la diagonal principal son cero y los coeficientes de arriba forman una forma triangular. En general,
( color {Cerulean} {Upper : Triangular : Form} \ left [ begin {array} {cc} {a _ {1}} & {b _ {1}} \ { 0} & {b _ {2}} end {array} right] quad left [ begin {array} {ccc} {a _ {1}} & {b _ {1}} & {c _ {1}} \ {0} y {b _ {2}} y {c _ {2}} \ {0} y {0} y {c _ {3}} end {array} right] )
Esto es importante porque en esta sección describimos un proceso mediante el cual se pueden realizar ciertas operaciones para producir un sistema lineal equivalente en forma triangular superior para que se pueda resolver mediante el uso de sustitución inversa. A continuación se detalla un resumen del proceso:
Figura 3.5.3
Una vez que el sistema está en forma triangular superior, podemos usar la sustitución hacia atrás para resolverlo fácilmente. Es importante tener en cuenta que las matrices aumentadas presentadas aquí representan sistemas lineales de ecuaciones en forma estándar.
Las siguientes filas elementales operaciones 26 dan como resultado matrices aumentadas que representan sistemas lineales equivalentes:
Cualquiera de las dos filas pueden intercambiarse.
Cada elemento de una fila se puede multiplicar por una constante distinta de cero.
Cualquier fila puede ser reemplazada por la suma de esa fila y un múltiplo de otra.
Nota
Estas operaciones son consistentes con las propiedades utilizadas en el método de eliminación.
Para resolver eficientemente un sistema de ecuaciones lineales, primero construya una matriz aumentada. Luego aplique las operaciones de fila elemental apropiadas para obtener una matriz aumentada en forma triangular superior. De esta forma, el sistema lineal equivalente se puede resolver fácilmente mediante sustitución inversa. Este proceso se llama Gaussiano eliminación 27 , nombrado en honor de Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Figura 3.5.4 : Carl Friedrich Gauss
Los pasos para resolver una ecuación lineal con dos variables usando la eliminación gaussiana se enumeran en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Resolver usando matrices y eliminación gaussiana: ( left { begin {array} {l} {9 x – 6 y = 0} \ {- x + 2 y = 1} end {array} Correcto.).
Solución
Asegúrese de que las ecuaciones en el sistema estén en forma estándar antes de comenzar este proceso.
Paso 1 : Construya la matriz aumentada correspondiente.
( left { begin {array} {l} {9 x – 6 y = 0} \ {- x + 2 y = 1} end {array} right. Leftrightarrow left [ begin {array} {cc | c} {9} y {- 6} y {0} \ {- 1} y {2} y {1} end {array} right] )
Paso 2 :: Aplicar las operaciones de fila elemental para obtener la forma triangular superior. En este caso, solo necesitamos eliminar el primer elemento de la segunda fila, (- 1 ). Para hacer esto, multiplique la segunda fila por (9 ) y agréguela a la primera fila.
Figura 3.5.5
Ahora use esto para reemplazar la segunda fila.
( left [ begin {array} {cc | c} {9} & {- 6} & {0} \ { color {Cerulean} {0}} & { color {black} { 12}} y {19} end {array} right] )
Esto da como resultado una matriz aumentada en forma triangular superior.
Paso 3 : Convierte de nuevo a un sistema lineal y resuelve usando la sustitución de regreso. En este ejemplo, tenemos
( left [ begin {array} {cc | c} {9} & {- 6} & {0} \ { color {Cerulean} {0}} & { color {black} { 12}} & {9} end {array} right] Rightarrow left { begin {array} {r} {9 x – 6 y = 0} \ {12 y = 9} end {array } right. )
Resuelve la segunda ecuación para (y ),
( begin {array} {l} {12 y = 9} \ {y = frac {9} {12}} \ {y = frac {3} {4}} end { matriz} )
Sustituye este valor por (y ) en la primera ecuación para encontrar (x ),
( begin {alineado} 9 x – 6 y & = 0 \ 9 x – 6 left ( color {OliveGreen} { frac {3} {4}} right) & = 0 \ 9 x – frac {9} {2} & = 0 \ 9 x & = frac {9} {2} \ x & = frac {1} {2} end {alineado} ) [19459011 ]
Respuesta :
( left ( frac {1} {2}, frac {3} {4} right) )
Los pasos para usar la eliminación gaussiana para resolver una ecuación lineal con tres variables se enumeran en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
Resolver usando matrices y eliminación gaussiana: ( left { begin {array} {c} {x + 2 y – 4 z = 5} \ {2 x + y – 6 z = 8} \ {4 x – y – 12 z = 13} end {array} right. )
Solución
Asegúrese de que las ecuaciones en el sistema estén en forma estándar antes de comenzar este proceso.
Paso 1 : Construya la matriz aumentada correspondiente.
( left { begin {array} {ccc} {x + 2 y – 4 z} & {= 5} \ {2 x + y – 6 z} & {= 8} \ { 4 x – y – 12 z} & {= 13} end {array} right. Quad color {Cerulean} { Rightarrow} color {black} { quad left [ begin {array} {ccc | c} {1} y {2} y {- 4} y {5} \ {2} y {1} y {- 6} y {8} \ {4} y {- 1} y {- 12} y {13} end {array} right]} )
Paso 2 : Aplicar las operaciones de fila elemental para obtener la forma triangular superior. Comenzamos eliminando el primer elemento de la segunda fila, (2 ) en este caso. Para hacer esto, multiplique la primera fila por (- 2 ) y luego agréguela a la segunda fila.
( left [ begin {array} {rrr | r} {1} & {2} & {- 4} & {5} \ { color {red} {2}} & {1} & {- 6} y {8} \ {4} y {- 1} y {- 12} y {13} end {array} right] stackrel { stackrel { times (- 2)} { Longrightarrow}} {} begin {array} {cccc} : ; : : : : {- 2} & {- 4} & : : {8} & {- 10} \ + : : : : : : { color {rojo} {2}} y { color {negro} {1}} y {- 6} y {8} \ hline : : : : : : : : { color {Cerulean} {0}} & {- 3} & {2} & {- 2} end {array} )
Use esto para reemplazar la segunda fila.
( left [ begin {array} {rrr | r} {1} & {2} & {- 4} & {5} \ { color {Cerulean} {0}} & { color {negro} {- 3}} y {2} y {- 2} \ {4} y {- 1} y {- 12} y {13} end {array} right] )
Luego, elimine el primer elemento de la tercera fila, (4 ) en este caso, multiplicando la primera fila por (- 4 ) y agregándolo a la tercera fila.
( left [ begin {array} {rrr | r} {1} & {2} & {- 4} & {5} \ {0} & {-3} & {2} & { -2} \ { color {rojo} {4}} y { color {negro} {- 1}} y {- 12} y {13} end {array} right] stackrel { stackrel { times (- 4)} { Longrightarrow}} {} begin {array} {cccc} : ; : : : : {- 4} & {- 8} & {16} & {- 20} \ + : : : : : : { color {rojo} {4}} y { color {negro} {- 1}} y {- 12} y {13} \ hline : : : : : : : : { color {Cerulean} {0}} & {- 9} & {4} y {- 7} end {array} ) [ 19459011]
Use esto para reemplazar la tercera fila.
( left [ begin {array} {rrr | r} {1} & {2} & {- 4} & {5} \ { color {Cerulean} {0}} & { color {negro} {- 3}} y {2} y {- 2} \ { color {Cerulean} {0}} y { color {black} {- 9}} y {4} y {- 7} end {array} right] )
Esto da como resultado una matriz aumentada donde los elementos debajo del primer elemento de la primera fila son cero. Luego elimine el segundo elemento en la tercera fila, en este caso (- 9 ). Multiplique la segunda fila por (- 3 ) y agréguela a la tercera fila.
Figura 3.5.6
Use esto para reemplazar la tercera fila y podemos ver que hemos obtenido una matriz en forma triangular superior.
( left [ begin {array} {rrr | r} {1} & {2} & {- 4} & {5} \ { color {Cerulean} {0}} & { color {negro} {- 3}} y {2} y {- 2} \ { color {Cerulean} {0}} y { color {Cerulean} {0}} & { color {black} {- 2 }} & {- 1} end {array} right] )
Paso 3 : Convierte de nuevo a un sistema lineal y resuelve usando la sustitución de regreso. En este ejemplo, tenemos
( left [ begin {array} {ccc | c} {1} & {2} & {- 4} & {5} \ {0} & {- 3} & {2} & { – 2} \ {0} & {0} & {- 2} & {- 1} end {array} right] Rightarrow left { begin {array} {r} {x + 2 y – 4 z = 5} \ {- 3 y + 2 z = – 2} \ {- 2 z = – 1} end {array} right. )
Respuesta :
Se deja al lector verificar que la solución sea ((5, 1, frac {1} {2}) ).
Nota
Por lo general, el trabajo involucrado en reemplazar una fila multiplicando y agregando se realiza de forma lateral con papel de borrador.
Ejemplo ( PageIndex {7} ):
Resolver usando matrices y eliminación gaussiana: ( left { begin {alineado} 2 x – 9 y + 3 z & = – 18 \ x – 2 y – 3 z & = – 8 \ – 4 x + 23 y + 12 z & = 47 end {alineado} right. )
Solución
Comenzamos por convertir el sistema en una matriz de coeficientes aumentados.
( left { begin {alineado} 2 x – 9 y + 3 z & = – 18 \ x – 2 y – 3 z & = – 8 \ – 4 x + 23 y + 12 z & = 47 end {alineado} right. Color {OliveGreen} { Rightarrow} color {black} { left [ begin {array} {ccc | c} {2} & {- 9} & {3} & {- 18} \ {1} y {- 2} y {- 3} y {- 8} \ {- 4} y {23} y {12} y {47} end {array} right ]} )
Las operaciones de fila elemental se simplifican si el elemento principal distinto de cero en una fila es (1 ). Por esta razón, comience intercambiando las filas uno y dos.
Figura 3.5.7
Reemplace la fila dos con la suma de (- 2 ) veces la fila uno y la fila dos.
Figura 3.5.8
Reemplace la fila tres con la suma de (4 ) veces la fila uno y la fila tres.
Figura 3.5.9
Siguiente división fila (3 ) por (15 ).
Figura 3.5.10
Intercambie la fila tres con la fila dos.
Figura 3.5.11
Luego reemplace la fila (3 ) con la suma de (5 ) por la fila dos y la fila tres.
Figura 3.5.12
Esto da como resultado una matriz en forma triangular superior. Una matriz está en fila escalón forma 28 si está en forma triangular superior donde el elemento principal distinto de cero de cada fila es ( 1 ). Podemos obtener este formulario reemplazando la fila tres con los resultados de dividirla por (9 ).
Figura 3.5.13
Convierte a un sistema de ecuaciones lineales y resuelve por sustitución inversa.
( left [ begin {array} {ccc | c} {1} & {- 2} & {- 3} & {- 8} \ {0} & {1} & {0} & {1} \ {0} y {0} y {1} y { frac {1} {3}} end {array} right] Rightarrow left { begin {alineado} x – 2 y – 3 z & = – 8 \ y & = 1 \ z & = frac {1} {3} end {alineado} right. )
Aquí (y = 1 ) y (z = frac {1} {3} ). Sustituye en la primera ecuación para encontrar (x ).
( begin {alineado} x – 2 y – 3 y & = – 8 \ x – 2 ( color {Cerulean} {1} color {black} {)} – 3 left ( color {Cerulean} { frac {1} {3}} right) & = – 8 \ x – 2 – 1 & = – 8 \ x – 3 & = – 8 \ x & = – 5 end { alineado} )
Respuesta :
Por lo tanto, la solución es ( left (- 5,1, frac {1} {3} right) ).
Nota
Muchas calculadoras modernas y sistemas de álgebra computacional pueden realizar la eliminación gaussiana. Primero necesitará averiguar cómo ingresar una matriz. Luego use las funciones de la calculadora para encontrar la forma escalonada de la fila. Le recomendamos que realice una investigación web sobre este tema para su modelo de calculadora en particular.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resolver usando la eliminación gaussiana: ( left { begin {array} {c} {x – 3 y + 2 z = 16} \ {4 x – 11 y – z = 69} \ {2 x – 5 y – 4 z = 36} end {array} right. ).
Respuesta
((6, – 4, – 1) )
Ejemplo ( PageIndex {8} ):
Resolver usando matrices y eliminación gaussiana: ( left { begin {array} {c} {x – 2 y + z = 4} \ {2 x – 3 y + 4 z = 7} \ {4 x – 7 y + 6 z = 15} end {array} right. ).
Solución
Comenzamos por convertir el sistema en una matriz de coeficientes aumentados.
( left { begin {array} {cc} {x – 2 y + z = 4} \ {2 x – 3 y + 4 z = 7} \ {4 x – 7 y + 6 z = 15} end {array} right. Color {OliveGreen} { Rightarrow} color {black} { left [ begin {array} {cc | c} {1} & {- 21} & {4} \ {2} y {- 34} y {7} \ {4} y {- 76} y {15} end {array} right]} )
Reemplace la fila dos con (- 2 ) (fila (1 )) + (fila (2 )) y reemplace la fila tres con (- 4 ) (fila (1 )) + (fila (3 )).
( left [ begin {array} {cc | c} {1} & {- 21} & {4} \ {0} & {12} & {- 1} \ {0} & {12} y {- 1} end {array} right] )
Reemplace la fila tres con (- 1 ) (fila (2 )) + (fila (3 )).
( left [ begin {array} {cc | c} {1} & {- 21} & {4} \ {0} & {12} & {- 1} \ {0} & {00} y {0} end {array} right] )
La última fila indica que este es un sistema dependiente porque la conversión de la matriz aumentada a las ecuaciones que tenemos,
( left { begin {alineado} x – 2 y + z & = 4 \ y + 2 z & = – 1 \ 0 x + 0 y + 0 z & = 0 end {alineado } right. )
Tenga en cuenta que la fila de ceros corresponde a la siguiente identidad,
( begin {array} {r} {0 x + 0 y + 0 z = 0} \ {0 = 0} end {array} color {Cerulean} {✓} )
En este caso, podemos expresar las infinitas soluciones en términos de (z ). De la segunda fila tenemos lo siguiente:
( begin {alineado} y + 2 z & = – 1 \ y & = – 2 z – 1 end {alineado} )
Y de la primera ecuación,
( begin {alineado} x – 2 y + z & = 4 \ x – 2 ( color {Cerulean} {- 2 z – 1} color {black} {)} + z & = 4 \ x + 5 z + 2 & = 4 \ x & = – 5 z + 2 end {alineado} )
Las soluciones toman la forma ((x, y, z) = (−5z + 2, −2z – 1, z) ) donde (z ) es cualquier número real.
Respuesta :
((- 5 z + 2, – 2 z – 1, z) )
Los sistemas dependientes e inconsistentes se pueden identificar en una matriz de coeficientes aumentados cuando los coeficientes en una fila son todos cero.
Figura 3.5.14
Si una fila de ceros tiene una constante correspondiente de cero, entonces la matriz representa un sistema dependiente. Si la constante no es cero, la matriz representa un sistema inconsistente.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resolver usando matrices y eliminación gaussiana: ( left { begin {alineado} 5 x – 2 y + z & = – 3 \ 10 x – y + 3 z & = 0 \ – 15 x + 9 y – 2 z & = 17 end {alineado} right. ).
