3.5: Restar enteros (Parte 1)

3.5: Restar enteros (Parte 1)

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Modelo de resta de enteros
  •      
  • Simplificar expresiones con enteros
  •      
  • Evaluar expresiones variables con enteros
  •      
  • Traduce frases de palabras a expresiones algebraicas
  •      
  • Restar enteros en aplicaciones
  •  
 
 
 
 

prepárate!

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifica: (12 – (8−1) ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 2.1.8 .
  2.      
  3. Traduce la diferencia de ( 20 ) y (- 15 ) en una expresión algebraica. Si perdió este problema, revise Ejemplo 1.3.11 .
  4.      
  5. Agregar: (- 18 + 7 ). Si perdió este problema, revise Ejemplo 3.2.6 .
  6.  
 
 
 

Modelo de resta de enteros

 

¿Recuerdas la historia en la última sección sobre el niño y las cookies? Los niños aprenden a restar números a través de sus experiencias cotidianas. Las experiencias de la vida real sirven como modelos para restar números positivos y, en algunos casos, como la temperatura, para sumar números negativos y positivos. Pero es difícil relacionar restar números negativos a experiencias de vida comunes. La mayoría de las personas no tienen una comprensión intuitiva de la resta cuando están involucrados números negativos. Los maestros de matemáticas usan varios modelos diferentes para explicar la resta de números negativos.

 

Continuaremos usando contadores para modelar la resta. Recuerde, los contadores azules representan números positivos y los contadores rojos representan números negativos.

 

Quizás cuando eras más joven, leías (5 – 3 ) como cinco quita tres . Cuando usamos contadores, podemos pensar en la resta de la misma manera.

 

Modelaremos cuatro operaciones de resta usando los números (5 ) y (3 ).

 

[5 – 3 qquad −5 – (−3) qquad −5 – 3 qquad 5 – (−3) nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): modelo

 

Modelo: (5 – 3 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Interpreta la expresión. 5 – 3 significa 5 para llevar 3.
Modela el primer número. Comience con 5 positivos.
Quita el segundo número. Así que quita 3 aspectos positivos.
Encuentra los contadores que quedan.
 

La diferencia entre (5 ) y (3 ) es (2 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Modele la expresión: (6 – 4 )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_003_img.jpg

     

(2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Modele la expresión: (7 – 4 )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_004_img.jpg

     

(3 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): modelo

 

Modelo: (- 5 – (−3) ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Interpreta la expresión. −5 – (−3) significa −5 quitar −3.
Modela el primer número. Comience con 5 negativos.
Quita el segundo número. Así que quita 3 negativos.
Encuentra el número de contadores que quedan.
 

La diferencia entre (- 5 ) y (- 3 ) es (- 2 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Modele la expresión: (- 6 – (−4) )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_008_img.jpg

     

(- 2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Modele la expresión: (- 7 – (−4) )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_009_img.jpg

     

(- 3 )

     
 
 
 
 

Observe que el Ejemplo ( PageIndex {1} ) y el Ejemplo ( PageIndex {2} ) son muy parecidos.

 
         
  • Primero, restamos (3 ) positivos de (5 ) positivos para obtener (2 ) positivos.
  •      
  • Luego restamos (3 ) negativos de (5 ) negativos para obtener (2 ) negativos.
  •  
 

Cada ejemplo usaba contadores de un solo color, y el modelo de sustracción «quitar» era fácil de aplicar.

 

This figure has a row of 5 blue circles. The first three are circled. Above the row is 5 minus 3 equals 2. Next to this is a row of 5 red circles. The first three are circled. Above the row is negative 5 minus negative 3 equals negative 2.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

Ahora veamos qué sucede cuando restamos un número positivo y uno negativo. Necesitaremos usar contadores positivos y negativos y, a veces, también algunos pares neutrales. Agregar un par neutral no cambia el valor.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): modelo

 

Modelo: (- 5 – 3 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Interpreta la expresión. −5-3 significa −5 quitar 3.
Modela el primer número. Comience con 5 negativos.
Quita el segundo número. Entonces necesitamos quitar 3 aspectos positivos.
Pero no hay aspectos positivos que quitar. Agregue pares neutrales hasta que tenga 3 positivos.
Ahora quita 3 positivos.
Cuenta el número de contadores que quedan.
 

La diferencia de (- 5 ) y (3 ) es (- 8 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Modele la expresión: (- 6 – 4 )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_012_img.jpg

     

(- 10 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Modele la expresión: (- 7 – 4 )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_013_img.jpg

     

(- 11 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): modelo

 

Modelo: (5 – (−3) ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Interpreta la expresión. 5 – (−3) significa 5 quitar −3.
Modela el primer número. Comience con 5 positivos.
Quita el segundo número, así que quita 3 negativos.
Pero no hay aspectos negativos que quitar. Agrega pares neutrales hasta que tengas 3 negativos.
Luego quita 3 negativos.
Cuenta el número de contadores que quedan.
 

La diferencia de (5 ) y (- 3 ) es (8 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Modele la expresión: (6 – (−4) )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_016_img.jpg

     

(10 ​​)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Modele la expresión: (7 – (−4) )

 
     
Respuesta
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_017_img.jpg

     

(11 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Modela cada resta.

 
         
  1. (7 – (-8) )
  2.      
  3. (- 7 – (-2) )
  4.      
  5. (4 – 1 )
  6.      
  7. (- 6 – 8 )
  8.  
 
     
Responde a
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_045_img.jpg

     
     
Respuesta b
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_046_img.jpg

     
     
Respuesta c
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_047_img.jpg

     
     
Respuesta d
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_048_img.jpg

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Modela cada resta.

 
         
  1. (4 – (-6) )
  2.      
  3. (- 8 – (-1) )
  4.      
  5. (7 – 3 )
  6.      
  7. (- 4 – 2 )
  8.  
 
     
Responde a
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_049_img.jpg

     
     
Respuesta b
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_050_img.jpg

     
     
Respuesta c
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_051_img.jpg

     
     
Respuesta d
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_052_img.jpg

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Modele cada expresión de resta.

 
         
  1. (7 – 9 )
  2.      
  3. (- 5 – (−9) )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_020_img.jpg

     

(- 2 )

     
     
Respuesta b
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_021_img.jpg

     

(4 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Modele cada expresión de resta.

 
         
  1. (4 – 7 )
  2.      
  3. (- 7 – (−10) )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_022_img.jpg

     

(- 3 )

     
     
Respuesta b
     
     

CNX_BMath_Figure_03_03_023_img.jpg

     

(3 )

     
 
 
 
 

Simplificar expresiones con enteros

 

¿Ves un patrón? ¿Estás listo para restar enteros sin contadores? Hagamos dos restas más. Pensaremos cómo los modelaríamos con contadores, pero en realidad no utilizaremos los contadores.

 
         
  • Restar (- 23 – 7 ). Piensa: comenzamos con (23 ) contadores negativos. Tenemos que restar (7 ) positivos, pero no hay positivos que eliminar. Entonces agregamos (7 ) pares neutrales para obtener los positivos (7 ). Ahora quitamos los (7 ) positivos. Entonces, ¿qué queda? Tenemos los (23 ) negativos originales más (7 ) más negativos del par neutral. El resultado es (30 ) negativos. (- 23 – 7 = −30 ) Observe que para restar (7 ), agregamos (7 ) negativos.
  •      
  • Restar (30 – (−12) ). Piensa: comenzamos con (30 ) positivos. Tenemos que restar (12 ) negativos, pero no hay negativos que quitar. Entonces agregamos (12 ) pares neutrales a los positivos (30 ). Ahora quitamos los (12 ) negativos. ¿Lo que queda? Tenemos los positivos originales (30 ) más (12 ) más positivos de los pares neutrales. El resultado es (42 ) positivos. (30 – (−12) = 42 ) Observe que para restar (- 12 ), agregamos (12 ).
  •  
 

Si bien es posible que no siempre usemos los contadores, especialmente cuando trabajamos con grandes números, practicar con ellos primero nos dio una forma concreta de aplicar el concepto, para que podamos visualizar y recordar cómo hacer la resta sin los contadores.

 

¿Has notado que la sustracción de números con signo se puede hacer agregando lo opuesto? A menudo verá la idea, la propiedad de resta, escrita de la siguiente manera:

 
 

Definición: Propiedad de resta

 

[a – b = a + (−b) ]

 
 

Mira estos dos ejemplos.

 

This figure has two columns. The first column has 6 minus 4. Underneath, there is a row of 6 blue circles, with the first 4 separated from the last 2. The first 4 are circled. Under this row there is 2. The second column has 6 plus negative 4. Underneath there is a row of 6 blue circles with the first 4 separated from the last 2. The first 4 are circled. Under the first four is a row of 4 red circles. Under this there is 2.

 

Figura ( PageIndex {2} )

 

Vemos que (6 – 4 ) da la misma respuesta que (6 + (−4) ).

 

Por supuesto, cuando tenemos un problema de resta que solo tiene números positivos, como el primer ejemplo, solo hacemos la resta. Ya sabíamos cómo restar (6 – 4 ) hace mucho tiempo. Pero saber que (6 – 4 ) da la misma respuesta que (6 + (−4) ) ayuda cuando restamos números negativos.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): simplificar

 

Simplificar:

 
         
  1. (13 – 8 ) y (13 + (−8) )
  2.      
  3. (- 17 – 9 ) y (- 17 + (−9) )
  4.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
Restar para simplificar. 13 – 8 = 5
Agregar para simplificar. 13 + (−8) = 5
Restar 8 de 13 es lo mismo que sumar −8 a 13.
 
         
  1.  
                                                                                                                                                              
Restar para simplificar. −17 – 9 = −26
Agregar para simplificar. −17 + (−9) = −26
Restar 9 de −17 es lo mismo que sumar −9 a −17.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplifica cada expresión:

 
         
  1. (21 – 13 ) y (21 + (−13) )
  2.      
  3. (- 11 – 7 ) y (- 11 + (−7) )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

(8 ), (8 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 18 ), (- 18 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplifica cada expresión:

 
         
  1. (15 – 7 ) y (15 + (−7) )
  2.      
  3. (- 14 – 8 ) y (- 14 + (−8) )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

(8 ), (8 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 22 ), (- 22 )

     
 
 
 
 

Ahora mira lo que sucede cuando restamos un negativo.

 

This figure has two columns. The first column has 8 minus negative 5. Underneath, there is a row of 13 blue  circles. The first 8 are separated from the next 5. Under the last 5 blue circles there is a row of 5 red circles. They are circled. Under this there is 13. The second column has 8 plus 5. Underneath there is a row of 13 blue circles. The first 8 are separated from the last 5. Under this there is 13.

 

Figura ( PageIndex {3} )

 

Vemos que (8 – (−5) ) da el mismo resultado que (8 + 5 ). Restar un número negativo es como sumar un positivo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): simplificar

 

Simplificar:

 
         
  1. (9 – (−15) ) y (9 + 15 )
  2.      
  3. (- 7 – (−4) ) y (- 7 + 4 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. (9 – (−15) ) y (9 + 15 )
  2.  
                                                                                                              
Restar para simplificar. 9 – (−15) = 24
Agregar para simplificar. 9 + 15 = 24
 

Restar (- 15 ) de (9 ) es lo mismo que agregar (15 ) a (9 ).

 
         
  1. (- 7 – (−4) ) y (- 7 + 4 )
  2.  
                                                                                                              
Restar para simplificar. −7 – (−4) = −3
Agregar para simplificar. −7 + 4 = −3
 

Restar (- 4 ) de (- 7 ) es lo mismo que agregar (4 ) a (- 7 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Simplifica cada expresión:

 
         
  1. (6 – (−13) ) y (6 + 13 )
  2.      
  3. (- 5 – (−1) ) y (- 5 + 1 )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

(19 ), (19 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 4 ), (- 4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Simplifica cada expresión:

 
         
  1. (4 – (−19) ) y (4 + 19 )
  2.      
  3. (- 4 – (−7) ) y (- 4 + 7 )
  4.  
 
     
Responde a
     
     

(23 ), (23 )

     
     
Respuesta b
     
     

(3 ), (3 )

     
 
 
 

Observe nuevamente los resultados del Ejemplo ( PageIndex {1} ) – Ejemplo ( PageIndex {4} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {1} ): Resta de enteros
5 – 3 –5 – (–3)
2 –2
2 positivos 2 negativos
Cuando haya suficientes contadores del color para quitar, resta.
–5 – 3 5 – (–3)
–8 8
5 negativos, desea restar 3 positivos 5 positivos, desea restar 3 negativos
necesita pares neutros necesita pares neutros
Cuando no haya suficientes contadores para eliminar, agrega pares neutrales.
 
 

Colaboradores

 
         
  • Lynn Marecek (Santa Ana College) y MaryAnne Anthony-Smith (antes de Santa Ana College). Este contenido producido por OpenStax y está licenciado bajo una licencia Creative Commons Attribution License 4.0 .  
  •  
 
                                  
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