3.6: Determinantes y regla de Cramer

3.6: Determinantes y regla de Cramer

Sistemas lineales de dos variables y regla de Cramer

 

Recuerde que una matriz es una matriz rectangular de números que consiste en filas y columnas. Clasificamos las matrices por el número de filas (n ) y el número de columnas (m ). Por ejemplo, una matriz (3 times 4 ), leída «matriz 3 por 4», es una que consiste en (3 ) filas y (4 ) columnas. Una matriz cuadrada 29 es una matriz donde el número de filas es el mismo que el número de columnas. En esta sección, describimos otro método para resolver sistemas lineales usando propiedades especiales de matrices cuadradas. Comenzamos considerando la siguiente matriz de coeficientes (2 times 2 ) (A ),

 

(A = left [ begin {array} {cc} {a _ {1}} & {b _ {1}} \ {a _ {2}} & {b _ {2}} end {array} right] )

 

El determinante 30 de una matriz (2 times 2 ), denotada con líneas verticales (| A | ), o más compacto como det (A), se define como sigue:

 
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Figura 3.6.1
 

El determinante es un número real que se obtiene restando los productos de los valores en la diagonal.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Calcular: ( left | begin {array} {l} {3 – 5} \ {2 – 2} end {array} right | )

 

Solución

 

La línea vertical a cada lado de la matriz indica que necesitamos calcular el determinante

 

( begin {alineado} left | begin {array} {cc} {3} & {- 5} \ {2} & {- 2} end {array} right | & = 3 (- 2) – 2 (- 5) \ & = – 6 + 10 \ & = 4 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(4 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Calcular: ( left | begin {array} {c c} {- 6} & {4} \ {0} & {3} end {array} right] )

 

Solución

 

Observe que la matriz se da en forma triangular superior.

 

( begin {alineado} left | begin {array} {cc} {- 6} y {4} \ {0} y {3} end {array} right | & = – 6 (3) – 4 (0) \ & = – 18 – 0 \ & = – 18 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(- 18 )

 
 

Podemos resolver sistemas lineales con dos variables usando determinantes. Comenzamos con un sistema lineal general (2 times 2 ) y resolvemos (y ). Para eliminar la variable (x ), multiplique la primera ecuación por (- a_ {2} ) y la segunda ecuación por (a_ {1} ).

 

( left { begin {array} {ll} {a _ {1} x + b _ {1} y = c _ {1}} & { stackrel { times left (- a _ {2} right)} { Longrightarrow}} \ {a _ {2} x + b _ {2} y = c _ {2}} & { underset { times a _ {1}} { Longrightarrow}} end {array} right. Left { begin {array} {c} {- a _ {1} a _ {2} x – a _ {2} b _ {1} y = – a _ {2} c _ {1}} \ {a _ {1} a _ {2} x + a _ {1} b _ {2} y = a _ {1} c _ {2}} end {array} right. )

 

Esto da como resultado un sistema lineal equivalente donde la variable (x ) se alinea para eliminar. Ahora sumando las ecuaciones que tenemos

 
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Figura 3.6.2
 

Tanto el numerador como el denominador se parecen mucho a un determinante de una matriz (2 times 2 ). De hecho, este es el caso. El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Y el numerador es el determinante de la matriz formada al reemplazar la columna que representa los coeficientes de (y ) con la columna de constantes correspondiente. Esta matriz especial se denota (D_ {y} ).

 

(y = frac {D_ {y}} {D} = frac { left | begin {array} {cc} {a _ {1}} & { color {Cerulean} {c _ {1}}} \ { color {black} {a _ {2}}} y { color {Cerulean} {c _ {2}}} end {array} right |} { left | comenzar {array} {cc} {a _ {1}} y {b _ {1}} \ {a _ {2}} y {b _ {2}} end {array} right |} = frac {a _ {1} c _ {2} – a _ {2} c _ {1}} {a _ {1} b _ {2} – a _ {2} b _ {1}} ) [ 19459011]  

El valor de (x ) se puede derivar de manera similar.

 

(x = frac {D_ {x}} {D} = frac { left | begin {array} {cc} { color {Cerulean} {c _ {1}}} & { color {black} {b _ {1}}} \ { color {Cerulean} {c _ {2}}} & { color {black} {b _ {2}}} end {array} right |} { left | begin {array} {cc} {a _ {1}} y {b _ {1}} \ {a _ {2}} y {b _ {2}} end {array } right |} = frac {c _ {1} b _ {2} – c _ {2} b _ {1}} {a _ {1} b _ {2} – a _ {2} b _ {1}} )

 

En general, podemos formar la matriz aumentada de la siguiente manera:

 

( left { begin {array} {ll} {a _ {1} x + b _ {1} y = c _ {1}} \ {a _ {2} x + b _ {2} y = c _ {2}} end {array} right. Leftrightarrow left [ begin {array} {cc | c} {a _ {1}} & {b _ {1}} & { color {Cerulean} {c _ {1}}} \ {a _ {2}} & {b _ {2}} y { color {Cerulean} {c _ {2}}} end {array } right] )

 

y luego determine (D, D_ {x} ) y (D_ {y} ) calculando los siguientes determinantes.

 

(D = left | begin {array} {cc} {a _ {1}} y {b _ {1}} \ {a _ {2}} & {b _ {2}} end {array} right | quad D _ {x} = left | begin {array} {cc} { color {Cerulean} {c _ {1}}} & { color {black} {b _ {1}}} \ { color {Cerulean} {c _ {2}}} & { color {black} {b _ {2}}} end {array} right | quad D _ { y} = left | begin {array} {cc} {a _ {1}} y { color {Cerulean} {c _ {1}}} \ {a _ {2}} y { color { Cerulean} {c _ {2}}} end {array} right | )

 

La solución a un sistema en términos de determinantes descritos anteriormente, cuando D ≠ 0, se llama Cramer’s regla 31 .

 

( begin {array} {c} { color {Cerulean} {Cramer’s : Rule}} \ {(x, y) = left ( frac {D _ {x}} {D} , frac {D _ {y}} {D} right)} end {array} )

 

Este teorema lleva el nombre en honor de Gabriel Cramer (1704 – 1752).

 
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Figura 3.6.3: Gabriel Cramer
 

Los pasos para resolver un sistema lineal con dos variables usando determinantes (regla de Cramer) se describen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resolver usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {c} {2 x + y = 7} \ {3 x – 2 y = – 7} end {array} right. ).

 

Solución

 

Asegúrese de que el sistema lineal esté en forma estándar antes de comenzar este proceso.

 

Paso 1 : Construye la matriz aumentada y forma las matrices utilizadas en la regla de Cramer.

 

( left { begin {array} {cc} {2 x + y = 7} \ {3 x – 2 y = – 7} end {array} right. Rightarrow left [ begin {array} {cc | c} {2} & {1} & { color {Cerulean} {7}} \ {3} & {- 2} y { color {Cerulean} {- 7}} end {array} right] )

 

En la matriz cuadrada utilizada para determinar (D_ {x} ), reemplace la primera columna de la matriz de coeficientes con las constantes. En la matriz cuadrada utilizada para determinar (D_ {y} ), reemplace la segunda columna con las constantes.

 

(D = left | begin {array} {cc} {2} & {1} \ {3} & {- 2} end {array} right | quad D _ {x} = left | begin {array} {cc} { color {Cerulean} {7}} & { color {black} {1}} \ { color {Cerulean} {- 7}} & { color {black} {- 2}} end {array} right | quad D _ {y} = left | begin {array} {cc} {2} & { color {Cerulean} {7}} {3} y { color {Cerulean} {- 7}} end {array} right | )

 

Paso 2 : Calcular los determinantes.

 

(D _ {x} = left | begin {array} {rr} {7} & {1} \ {- 7} & {- 2} end {array} right | = 7 (- 2) – (- 7) (1) = – 14 + 7 = – 7 )

 

(D _ {y} = left | begin {array} {rr} {2} & {7} \ {3} & {- 7} end {array} right | = 2 ( – 7) – 3 (7) = – 14 – 21 = – 35 )

 

(D = left | begin {array} {rr} {2} & {1} \ {3} & {- 2} end {array} right | = 2 (- 2) – 3 (1) = – 4 – 3 = – 7 )

 

Paso 3 : Usa la regla de Cramer para calcular (x ) y (y ).

 

(x = frac {D _ {x}} {D} = frac {- 7} {- 7} = 1 quad text {y} quad y = frac {D _ {y }} {D} = frac {- 35} {- 7} = 5 )

 

Por lo tanto, la solución simultánea ((x, y) = (1,5) ).

 

Paso 4 :: El cheque es opcional; Sin embargo, lo hacemos aquí en aras de la integridad.

                                                                                                                                                              
( color {Cerulean} {Check :: :} color {YellowOrange} {(1,5)} )
Ecuación 1 Ecuación 2
( begin {array} {r} {2 x + y = 7} \ {2 ( color {Cerulean} {1} color {black} {)} + ( color {Cerulean} { 5} color {black} {)} = 7} \ {2 + 5 = 7} \ {7 = 7} color {Cerulean} {✓} end {array} ) ( begin {array} {r} {3 x – 2 y = – 7} \ {3 ( color {Cerulean} {1} color {black} {)} – 2 ( color { Cerulean} {5} color {black} {)} = – 7} \ {3 – 10 = – 7} \ {- 7 = – 7} color {Cerulean} {✓} end {array} )
 

Tabla 3.6.1

 

Respuesta :

 

((1,5) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelve usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {c} {3 x – y = – 2} \ {6 x + 4 y = 2} end {array} right. ).

 

Solución

 

Sigue la matriz de coeficientes aumentados correspondiente.

 

( left { begin {array} {c} {3 x – y = – 2} \ {6 x + 4 y = 2} end {array} right. Rightarrow left [ begin {array} {cc | c} {3} y {- 1} y { color {Cerulean} {- 2}} \ {6} y {4} y { color {Cerulean} {2}} end {array} right] )

 

Y tenemos,

 

(D _ {x} = left | begin {array} {rr} { color {Cerulean} {- 2}} & { color {black} {- 1}} \ { color {Cerulean} {2}} & { color {black} {4}} end {array} right | = – 8 – (- 2) = – 8 + 2 = – 6 )

 

(D _ {y} = left | begin {array} {rr} {3} & { color {Cerulean} {- 2}} \ {6} & { color {Cerulean} { 2}} end {array} right | = 6 – (- 12) = 6 + 12 = 18 )

 

(D = left | begin {array} {rr} {3} & {- 1} \ {6} & {4} end {array} right | = 12 – (- 6) = 12 + 6 = 18 )

 

Usa la regla de Cramer para encontrar la solución.

 

(x = frac {D _ {x}} {D} = frac {- 6} {18} = – frac {1} {3} quad text {y} quad y = frac {D _ {y}} {D} = frac {18} {18} = 1 )

 

Respuesta :

 

((- frac {1} {3}, 1) )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resolver usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {c} {5 x – 3 y = – 7} \ {- 7 x + 6 y = 11} end {array} Correcto.).

 
     
Respuesta
     
     

((- 1, frac {2} {3}) )

     

     
 
 
 
 

Cuando el determinante de la matriz de coeficientes (D ) es cero, las fórmulas de la regla de Cramer no están definidas. En este caso, el sistema es dependiente o inconsistente dependiendo de los valores de (D_ {x} ) y (D_ {y} ). Cuando (D = 0 ) y ambos (D_ {x} = 0 ) y (D_ {y} = 0 ) el sistema depende. Cuando (D = 0 ) y (D_ {x} ) o (D_ {y} ) no es cero, el sistema es inconsistente.

 

( begin {array} {l} { text {When} D = 0} \ {D _ {x} = 0 text {y} D _ {y} = 0 Rightarrow} : : color {Cerulean} {Dependiente : Sistema} \ {D _ {x} neq 0 text {o} D _ {y} neq 0 : : : Rightarrow} : : color {Cerulean} {Inconsistent : System} end {array} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resolver usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} {x + frac {1} {5} y = 3} \ {5 x + y = 15} end { matriz} right. ).

 

Solución

 

Sigue la matriz aumentada correspondiente.

 

( left { begin {array} {l} {x + frac {1} {5} y = 3} \ {5 x + y = 15} end {array} right. Rightarrow left [ begin {array} {cc | c} {1} & { frac {1} {5}} & { color {Cerulean} {3}} \ {5} & {1} & { color {Cerulean} {15}} end {array} right] )

 

Y tenemos lo siguiente.

 

(D _ {x} = left | begin {array} {cc} { color {Cerulean} {3}} & { color {black} { frac {1} {5}}} \ { color {Cerulean} {15}} & { color {black} {1}} end {array} right | = 3 – 3 = 0 )

 

(D _ {y} = left | begin {array} {l} {1} & { color {Cerulean} {3}} \ {5} & { color {Cerulean} {15 }} end {array} right | = 15 – 15 = 0 )

 

(D = left | begin {array} {cc} {1} & { frac {1} {5}} \ {5} & {1} end {array} right | = 1 – 1 = 0 )

 

Si intentamos usar la regla de Cramer que tenemos,

 

(x = frac {D _ {x}} {D} = frac {0} {0} quad text {y} quad y = frac {D _ {y}} {D } = frac {0} {0} )

 

ambos son cantidades indeterminadas. Porque (D = 0 ) y ambos (D_ {x} = 0 ) y (D_ {y} = 0 ) sabemos que este es un sistema dependiente. De hecho, podemos ver que ambas ecuaciones representan la misma línea si resolvemos para (y ).

 

( left { begin {array} {l} {x + frac {1} {5} y = 3} \ {5 x + y = 15} end {array} right. Rightarrow left { begin {array} {l} {y = – 5 x + 15} \ {y = – 5 x + 15} end {array} right. )

 

Por lo tanto, podemos representar todas las soluciones ((x, −5x + 15) ) donde (x ) es un número real.

 

Respuesta :

 

((x, – 5 x + 15) )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} {3 x – 2 y = 10} \ {6 x – 4 y = 12} end {array} right. ).

 
     
Respuesta
     
     

( varnothing )

     

     
 
 
 
 

Sistemas lineales de tres variables y regla de Cramer

 

Considere la siguiente matriz de coeficientes (3 times 3 ) (A ),

 

(A = left [ begin {array} {ccc} {a _ {1}} & {b _ {1}} & {c _ {1}} \ {a _ {2}} & {b _ {2}} y {c _ {2}} \ {a _ {3}} y {b _ {3}} y {c _ {3}} end {array} right] )

 

El determinante de esta matriz se define de la siguiente manera:

 

( operatorname {det} (A) = left | begin {array} {lll} {a _ {1}} & {b _ {1}} & {c _ {1}} \ {a _ {2}} y {b _ {2}} y {c _ {2}} \ {a _ {3}} y {b _ {3}} y {c _ {3}} end {array} right | \ = a _ {1} left | begin {array} {cc} {b _ {2}} & {c _ {2}} \ {b _ {3}} & {c _ {3}} end {array} right | – b _ {1} left | begin {array} {cc} {a _ {2}} & {c _ {2}} \ { a _ {3}} y {c _ {3}} end {array} right | + c _ {1} left | begin {array} {ll} {a _ {2}} & {b _ {2}} \ {a _ {3}} y {b _ {3}} end {array} right | \ = a _ {1} left (b _ {2} c _ {3} – b _ {3} c _ {2} derecha) – b _ {1} izquierda (a _ {2} c _ {3} – a _ {3} c _ {2} derecha) + c _ {1} left (a _ {2} b _ {3} – a _ {3} b _ {2} right) )

 

Aquí cada determinante (2 times 2 ) se llama menor 32 del factor anterior. Observe que los factores son los elementos en la primera fila de la matriz y que se alternan en el signo ((+ – +) ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Calcular: ( left | begin {array} {rrr} {1} & {3} & {2} \ {2} & {- 1} & {3} \ {0} & { 5} & {- 1} end {array} right | )

 

Solución

 

Para determinar fácilmente el menor de cada factor en la primera fila, delineamos la primera fila y la columna correspondiente. El determinante de la matriz de elementos que quedan determina el menor correspondiente.

 
2fd3782d2c3fded6baa53b2315c14860.png
Figura 3.6.4
 

Tenga cuidado de alternar el signo de los factores en la primera fila. La expansión de los menores sobre la primera fila sigue:

 

( left | begin {array} {rrr} color {Cerulean} {{1}} & color {Cerulean} {{3}} & color {Cerulean} 2 \ { color { negro} {2}} y {- 1} y {3} \ {0} y {5} y {- 1} end {array} right | = color {Cerulean} {1} color {black } { left | begin {array} {rr} {- 1} & {3} \ {5} & {- 1} end {array} right |} – color {Cerulean} {3} color {black} { left | begin {array} {rr} {2} & {3} \ {0} & {- 1} end {array} right |} + color {Cerulean} {2 } color {black} { left | begin {array} {cc} {2} y {- 1} \ {0} y {5} end {array} right |} \ begin {array } {l} {= 1 (1 – 15) – 3 (- 2 – 0) + 2 (10 – 0)} \ {= 1 (- 14) – 3 (- 2) + 2 (10)} {= – 14 + 6 + 20} \ {= 12} end {array} )

 

Respuesta :

 

(12 )

 
 

La expansión por parte de menores se puede realizar sobre cualquier fila o columna. El signo de los coeficientes, determinado por la fila o columna elegida, se alternará de acuerdo con la siguiente matriz de signos.

 

( left [ begin {array} {c} {+ – +} \ {- + -} \ {+ – +} end {array} right] )

 

Por lo tanto, para expandir alrededor de la segunda fila alternaremos los signos comenzando con el opuesto del primer elemento. Podemos ampliar el ejemplo anterior sobre la segunda fila para mostrar que se obtiene la misma respuesta para el determinante.

 
0e27759057f247dd42ee96a759267e45.png
Figura 3.6.5
 

Y podemos escribir,

 

( left | begin {array} {ccc} {1} & {3} & {2} \ { color {Cerulean} {2}} & { color {Cerulean} {- 1} } & { color {Cerulean} {3}} \ { color {black} {0}} & {5} & {- 1} end {array} right | = – ( color {Cerulean} { 2} color {black} {)} left | begin {array} {cc} {3} & {2} \ {5} & {- 1} end {array} right | + ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} left | begin {array} {cc} {1} & {2} \ {0} y {- 1} end {array} right | – ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} left | begin {array} {c} {13} \ {05} end {array} right | \ begin {matriz} {l} {= – 2 (- 3 – 10) – 1 (- 1 – 0) – 3 (5 – 0)} \ {= – 2 (- 13) – 1 (- 1) – 3 (5)} \ {= 26 + 1 – 15} \ {= 12} end {array} )

 

Tenga en cuenta que obtenemos la misma respuesta (12 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Calcular: ( left | begin {array} {ccc} {4} & {3} & {0} \ {6} & { frac {1} {2}} & {2} {4} y {1} y {0} end {array} right | )

 

Solución

 

Los cálculos se simplifican si ampliamos la tercera columna porque contiene dos ceros.

 
af8c929a5fa324bb3fc9abfadbdcd7d9.png
Figura 3.6.6
 

La expansión de menores sobre la tercera columna sigue:

 

( left | begin {array} {ccc} {4} & {3} & { color {Cerulean} {0}} \ {6} & { frac {1} {2}} & { color {Cerulean} {2}} \ {4} & {1} & { color {Cerulean} {0}} end {array} right | = color {Cerulean} {0} color {black} { left | begin {array} {cc} {6} & { frac {1} {2}} \ {4} y {1} end {array} right |} – color {Cerulean} {2} color {black} { left | begin {array} {cc} {4} y {3} \ {4} y {1} end {array} right |} + color {Cerulean} {0} color {black} { left | begin {array} {cc} {4} & {3} \ {6} & { frac {1} {2}} end { array} right |} \ begin {array} {l} {= 0 – 2 (4 – 12) + 0} \ {= – 2 (- 8)} \ {= 16} end {array } )

 

Respuesta :

 

(16 )

 
 

Cabe señalar que existen otras técnicas utilizadas para recordar cómo calcular el determinante de una matriz (3 times 3 ). Además, muchas calculadoras modernas y sistemas de álgebra computacional pueden encontrar el determinante de las matrices. Te animamos a investigar este rico tema.

 

Podemos resolver sistemas lineales con tres variables usando determinantes. Para hacer esto, comenzamos con la matriz de coeficientes aumentados,

 

( left { begin {array} {l} {a _ {1} x + b _ {1} y + c _ {1} z = d _ {1}} \ {a _ {2} x + b _ {2} y + c _ {2} z = d _ {2}} \ {a _ {3} x + b _ {3} y + c _ {3} z = d _ {3}} end {array} right. Leftrightarrow left [ begin {array} {ccc | c} {a _ {1}} y {b _ {1}} y {c _ {1} } & { color {Cerulean} {d _ {1}}} \ {a _ {2}} & {b _ {2}} y {c _ {2}} & { color {Cerulean} {d _ {2}}} \ {a _ {3}} y {b _ {3}} y {c _ {3}} y { color {Cerulean} {d _ {3}}} end {array } right] )

 

Sea (D ) el determinante de la matriz de coeficientes,

 

(D = left | begin {array} {ccc} {a _ {1}} & {b _ {1}} & {c _ {1}} \ {a _ {2}} & {b _ {2}} y {c _ {2}} \ {a _ {3}} y {b _ {3}} y {c _ {3}} end {array} right | )

 

Luego determine (D_ {x}, D_ {y} ) y (D_ {z} ) calculando los siguientes determinantes.

 

(D _ {x} = left | begin {array} {ccc} { color {Cerulean} {d _ {1}}} & { color {black} {b _ {1}} } & {c _ {1}} \ { color {Cerulean} {d _ {2}}} & { color {Cerulean} {b _ {2}}} & {c _ {2}} \ { color {Cerulean} {d _ {3}}} y { color {black} {b _ {3}}} y {c _ {3}} end {array} right | D _ {y} = left | begin {array} {ccc} {a _ {1}} & { color {Cerulean} {d _ {1}}} & { color {black} {c _ {1}}} {a _ {2}} y { color {Cerulean} {d _ {2}}} y { color {black} {c _ {2}}} \ {a _ {3}} y { color {Cerulean} {d _ {3}}} y { color {black} {c _ {3}}} end {array} right | D _ {z} = left | begin {array} { ccc} {a _ {1}} y {b _ {1}} y { color {Cerulean} {d _ {1}}} \ {a _ {2}} y {b _ {2}} & { color {Cerulean} {d _ {2}}} \ {a _ {3}} & {b _ {3}} y { color {Cerulean} {d _ {3}}} end {array } right | )

 

Cuando (D ≠ 0 ), la solución del sistema en términos de los determinantes descritos anteriormente se puede calcular utilizando la regla de Cramer:

 

( begin {array} {c} { color {Cerulean} {Cramer’s : Rule}} \ {(x, y, z) = left ( frac {D _ {x}} { D}, frac {D _ {y}} {D}, frac {D _ {z}} {D} right)} end {array} )

 

Use esto para resolver eficientemente sistemas con tres variables.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Resolver usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} {3 x + 7 y – 4 z = 0} \ {2 x + 5 y – 3 z = 1} \ {- 5 x + 2 y + 4 z = 8} end {array} right. ).

 

Solución

 

Comience por determinar la matriz aumentada correspondiente.

 

( left { begin {array} {cc} {3 x + 7 y – 4 z = 0} \ {2 x + 5 y – 3 z = 1} \ {- 5 x + 2 y + 4 z = 8} end {array} right. Leftrightarrow left [ begin {array} {cc | c} {37} & {- 4} & { color {Cerulean} {0}} \ {25} y {- 3} y { color {Cerulean} {1}} \ {- 52} & {4} y { color {Cerulean} {8}} end {array} right] )

 

Luego, calcule el determinante de la matriz de coeficientes.

 

(D = left | begin {array} {rrr} { color {Cerulean} {3}} y { color {Cerulean} {7}} & { color {Cerulean} {- 4} } \ {2} y {5} y {- 3} \ {- 5} y {2} y {4} end {array} right | \ = color {Cerulean} {3} color {black} { left | begin {array} {rr} {5} & {- 3} \ {2} & {4} end {array} right |} – color {Cerulean} {7} color {black} { left | begin {array} {cc} {2} & {- 3} \ {- 5} & {4} end {array} right |} + ( color {Cerulean } {- 4} color {black} {)} left | begin {array} {cc} {2} y {5} \ {- 5} y {2} end {array} right | begin {array} {l} {= 3 (20 – (- 6)) – 7 (8 – 15) – 4 (4 – (- 25))} \ {= 3 (26) – 7 (- 7) – 4 (29)} \ {= 78 + 49 – 116} \ {= 11} end {array} )

 

De manera similar, podemos calcular (D_ {x}, D_ {y} ) y (D_ {z} ). Esto se deja como un ejercicio.

 

(D _ {x} = left | begin {array} {ccc} { color {Cerulean} {0}} & { color {black} {7}} & {- 4} \ { color {Cerulean} {1}} y { color {black} {5}} & {- 3} \ { color {Cerulean} {8}} & { color {black} {2}} & {4} end {array} right | = – 44 )

 

(D _ {y} = left | begin {array} {rrr} {3} & { color {Cerulean} {0}} & { color {black} {- 4}} \ {2} y { color {Cerulean} {1}} y { color {black} {- 3}} \ {- 5} y { color {Cerulean} {8}} y { color {black} {4}} end {array} right | = 0 )

 

(D _ {z} = left | begin {array} {ccc} {3} & {7} & { color {Cerulean} {0}} \ {2} & {5} & { color {Cerulean} {1}} \ {- 5} & {2} & { color {Cerulean} {8}} end {array} right | = – 33 )

 

Usando la regla de Cramer tenemos,

 

(x = frac {D _ {x}} {D} = frac {- 44} {11} = – 4 quad y = frac {D _ {y}} {D} = frac {0} {11} = 0 quad z = frac {D _ {z}} {D} = frac {- 33} {11} = – 3 )

 

Respuesta :

 

((- 4, 0, -3) )

 
 

Si el determinante de la matriz de coeficientes (D = 0 ), entonces el sistema es dependiente o inconsistente. Esto dependerá de (D_ {x}, D_ {y} ) y (D_ {z} ). Si todos son cero, entonces el sistema es dependiente. Si al menos uno de estos no es cero, entonces es inconsistente.

 

( begin {array} {l} {When : : D = 0 text {,}} \ {D _ {x} = 0 text {and} D _ {y} = 0 text {and} D _ {z} = 0 Rightarrow color {Cerulean} {Dependiente : Sistema}} \ {D _ {x} neq 0 text {o} D _ {y} neq 0 text {or} D _ {z} neq 0 Rightarrow color {Cerulean} {Inconsistent : System}} end {array} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Resolver usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {c} {4 x – y + 3 z = 5} \ {21 x – 4 y + 18 z = 7} \ { – 9 x + y – 9 z = – 8} end {array} right. ).

 

Solución

 

Comience por determinar la matriz aumentada correspondiente.

 

( left { begin {array} {c} {4 x – y + 3 z = 5} \ {21 x – 4 y + 18 z = 7} \ {- 9 x + y – 9 z = – 8} end {array} right. Leftrightarrow left [ begin {array} {ccc | c} {4} & {-1} & {3} & { color {Cerulean} { 5}} \ {21} y {- 4} y {18} y { color {Cerulean} {7}} \ {- 9} y {1} y {- 9} y { color {Cerulean} {-8}} end {array} right] )

 

Luego, determine el determinante de la matriz de coeficientes.

 

(D = left | begin {array} {rrr} { color {Cerulean} {4}} & { color {Cerulean} {- 1}} & { color {Cerulean} {3} } \ {21} y {- 4} y {18} \ {- 9} y {1} y {- 9} end {array} right | )

 

(= color {Cerulean} {4} color {black} { left | begin {array} {cc} {- 4} y {18} \ {1} & {- 9} end {array} right |} – ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} left | begin {array} {cc} {21} & {18} \ {- 9 } & {- 9} end {array} right | + color {Cerulean} {3} color {black} { left | begin {array} {cc} {21} & {- 4} \ {- 9} y {1} end {array} right |} )

 

( begin {array} {l} {= 4 (36-18) + 1 (- 189 – (- 162)) + 3 (21-36)} \ {= 4 (18) + 1 (- 27) + 3 (- 15)} \ {= 72 – 27 – 45} \ {= 0} end {array} )

 

Desde (D = 0 ), el sistema es dependiente o inconsistente.

 

(D _ {x} = left | begin {array} {ccc} { color {Cerulean} {5}} & { color {black} {- 1}} & {3} \ { color {Cerulean} {7}} y { color {black} {- 4}} y {18} \ { color {Cerulean} {- 8}} y { color {black} {1}} & {- 9} end {array} right | = 96 )

 

Sin embargo, debido a que (D_ {x} ) no es cero, concluimos que el sistema es inconsistente. No hay una solución simultánea.

 

Respuesta :

 

( varnothing )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resolver usando la regla de Cramer: ( left { begin {array} {l} {2 x + 6 y + 7 z = 4} \ {- 3 x – 4 y + 5 z = 12} {5 x + 10 y – 3 z = – 13} end {array} right. ).

 
     
Respuesta
     
     

((- 3, frac {1} {2}, 1) )

     

     
 
 
 
 
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