En esta sección investigaremos la forma estándar de una línea. Comencemos con un ejemplo simple.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resuelve la ecuación (2x + 3y = 6 ) para (y ) y traza el resultado.
Solución
Primero resolvemos la ecuación (2x + 3y = 6 ) para (y ). Comience aislando todos los términos que contengan y en un lado de la ecuación, moviendo o manteniendo todos los términos restantes en el otro lado de la ecuación.
[ begin {alineado} 2x + 3y & = 6 quad color {Rojo} text {Ecuación original. } \ 2x + 3y-2x & = 6-2x quad color {Rojo} text {Restar} 2x text {de ambos lados. } \ 3y & = 6-2x quad color {Red} text {Simplificar. } \ dfrac {3y} {3} & = dfrac {6-2x} {3} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} 3 end {alineado} nonumber ] [19459002 ]
Nota
Así como la multiplicación es distributiva con respecto a la suma [a (b + c) = ab + ac nonumber ] también lo es la división distributiva con respecto a la suma. [ Dfrac {a + b} {c} = dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} nonumber ]
Al dividir una suma o una diferencia por un número, usamos la propiedad distributiva y dividimos ambos términos por ese número.
[ begin {alineado} y & = dfrac {6} {3} – dfrac {2x} {3} quad color {Red} text {A la izquierda, simplifica. A la derecha, divida ambos términos entre} 3 \ y & = 2- dfrac {2 x} {3} quad color {Red} text {Simplify. } end {alineado} nonumber ]
Finalmente, use la propiedad conmutativa para cambiar el orden de los términos en el lado derecho del último resultado.
[ begin {alineado} y & = 2+ left (- dfrac {2 x} {3} right) quad color {Red} text {Agregue el opuesto. } \ y & = – dfrac {2} {3} x + 2 quad color {Red} text {Use la propiedad conmutativa para cambiar el orden. } end {alineado} nonumber ]
Debido a que la ecuación (2x + 3y = 6 ) es equivalente a la ecuación (y = – dfrac {2} {3} x + 2 ), la gráfica de (2x +3 y = 6 ) es una línea, que tiene pendiente (m = −2/3 ) e (y ) – intercepción ((0, 2) ). Por lo tanto, para dibujar la gráfica de (2x + 3y = 6 ), trace la intersección entre ellos ((0,2) ), mueva hacia abajo (2 ) y (3 ) hacia la derecha, luego dibuje la línea (ver Figura ( PageIndex {1} )).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Agregue texto de ejercicios aquí.
- Respuesta
-
En general, a menos que (B = 0 ), siempre podamos resolver la ecuación (Ax + By = C ) para y:
[ begin {alineado}
Ax + By & = C quad color {Red} text {Ecuación original. } \
Ax + By-Ax & = C-Ax quad color {Rojo} text {Restar} Ax text {de ambos lados. } \
Por & = C-Ax quad color {Red} text {Simplify. } \
dfrac {Por} {B} & = dfrac {C-Ax} {B} quad color {Rojo} text {Divide ambos lados entre} B \
y & = dfrac {C} {B} – dfrac {Ax} {B} quad color {Red} text {distribuir} B \
y & = – dfrac {A} {B} x + dfrac {C} {B} quad color {Rojo} text {Propiedad conmutativa}
end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que el último resultado está en forma de pendiente-intersección (y = mx + b ), cuya gráfica es una línea. Hemos establecido el siguiente resultado.
Hecho
La gráfica de la ecuación (Ax + By = C ), es una línea.
Puntos importantes: Un par de comentarios importantes están en orden.
- La forma (Ax + By = C ) requiere que los coeficientes (cients (A ), (B ) y (C ) sean enteros. Entonces, por ejemplo, borraríamos las fracciones de la forma [ dfrac {1} {2} x + dfrac {2} {3} y = dfrac {1} {4} nonumber ] multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador. [ begin {alineado} 12 left ( dfrac {1} {2} x + dfrac {2} {3} y right) & = left ( dfrac {1} {4} right) 12 6 x + 8 y & = 3 end {alineado} nonumber ] Tenga en cuenta que los coeficientes ahora son enteros.
- La forma (Ax + By = C ) también requiere que el primer coeficiente ffi cient (A ) no sea negativo; es decir, (A ≥0 ). Por lo tanto, si tenemos [- 5 x + 2 y = 6 nonumber ] entonces multiplicaríamos ambos lados por (- 1 ), llegando a: [ begin {alineado} -1 (-5 x + 2 y) & = (6) (- 1) \ 5 x-2 y & = – 6 end {alineado} nonumber ] Tenga en cuenta que (A = 5 ) ahora es mayor o igual que cero.
- Si (A ), (B ) y (C ) tienen un divisor común mayor que (1 ), se recomienda dividir ambos lados por el divisor común, “reduciendo ”Los coeficientes. Por ejemplo, si tenemos [3x + 12y = −24 nonumber ], dividir ambos lados entre (3 ) “reduce” el tamaño de los coeficientes. [ Begin {alineado} dfrac {3 x + 12 y} {3} & = dfrac {-24} {3} \ x + 4 y & = – 8 end {alineado} nonumber ]
Forma estándar
La forma (Ax + By = C ), donde (A ), (B ) y (C ) son enteros, y (A ≥ 0 ), se llama estándar forma de una línea
Intercepción de pendiente al formulario estándar
Ya hemos transformado un par de ecuaciones en forma estándar en forma de pendiente intercepto. Vamos a revertir el proceso y colocar una ecuación en forma de intercepción de pendiente en forma estándar.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Dada la gráfica de la línea en la Figura ( PageIndex {2} ), encuentra la ecuación Dada la gráfica de la línea de abajo, encuentra la ecuación de la línea en forma estándar.
Solución
La línea intercepta el eje (y ) en ((0, −3) ). Desde ((0, −3) ), mueva hacia arriba (5 ) unidades, luego hacia la izquierda (2 ) unidades. Por lo tanto, la línea tiene pendiente ( Delta y / Delta x = -5 / 2 ) (vea la Figura ( PageIndex {3} )). Sustituya (- 5/2 ) forma y (- 3 ) por (b ) en la forma pendiente-intersección de la línea.
[ begin {alineado} y & = mx + b quad color {Rojo} text {Forma pendiente-intersección. } \ y & = – dfrac {5} {2} x-3 quad color {Rojo} text {Sustituir:} -5 / 2 text {para} m, -3 text {para} b end {alineado} nonumber ]
Para poner este resultado en forma estándar (Ax + By = C ), primero borre las fracciones multiplicando ambos lados por el común denominador.
[ begin {alineado} 2y & = 2 left [- dfrac {5} {2} x-3 right] quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 2 \ 2y & = 2 left [- dfrac {5} {2} x right] -2 [3] quad color {Red} text {Distribuya el} 2 \ 2y & = -5x-6 quad color {Rojo} text {Multiplicar. } end {alineado} nonumber ]
Eso borra las fracciones. Para poner este último resultado en la forma (Ax + By = C ), necesitamos mover el término (- 5x ) al otro lado de la ecuación.
[ begin {alineado} 5x + 2y & = -5x-6 + 5x quad color {Rojo} text {Agregar} 5x text {a ambos lados. } \ 5x + 2y & = -6 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la forma estándar de la línea es (5x + 2y = −6 ). Tenga en cuenta que todos los coeficientes son enteros y los términos están ordenados en el orden (Ax + By = C ), con (A ≥0 ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Dada la gráfica de la línea a continuación, encuentre la ecuación de la línea en forma estándar.
- Respuesta
-
(3 x − 4y = −2 )
Punto-pendiente a la forma estándar
Hagamos un ejemplo en el que tenemos que poner la forma punto-pendiente de una línea en forma estándar.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Dibuje la línea que pasa por los puntos ((- 3, −4) ) y ((1,2) ), luego encuentre la ecuación de la línea en forma estándar.
Solución
Trace los puntos (−3, −4) y (1,2), luego dibuje una línea a través de ellos (vea la Figura ( PageIndex {4} )).
Use los puntos ((- 3, −4) ) y ((1,2) ) para calcular la pendiente.
[ begin {alineado} text {Slope} & = dfrac { Delta y} { Delta x} quad color {Red} text {Fórmula de pendiente. } \ & = dfrac {2 – (- 4)} {1 – (- 3)} quad color {Red} text {Restar coordenadas de} (- 3, -4) \ & = dfrac {6} {4} quad text {Simplificar. } \ & = dfrac {3} {2} quad text {Reducir. } end {alineado} nonumber ]
Sustituyamos ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (1,2) ) y (m = 3/2 ) en la forma punto-pendiente de la línea. ( Nota: Sustituir ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (- 3, -4) ) y (m = 3/2 ) daría la misma respuesta. )
[ begin {alineado} y-y_ {0} & = m left (x-x_ {0} right) quad color {Red} text {Forma punto-pendiente. } \ y-2 & = dfrac {3} {2} (x-1) quad color {Red} text {Sustituir:} 3/2 text {para} m, 1 text {para} x_ {0} end {alineado} nonumber ]
La pregunta solicita que nuestra respuesta final se presente en forma estándar. Primero limpiamos las fracciones.
[ begin {alineado} y-2 & = dfrac {3} {2} x- dfrac {3} {2} quad color {Rojo} text {Distribuya el} 3/2 2 [y-2] & = 2 left [ dfrac {3} {2} x- dfrac {3} {2} right] quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 2 \ 2y-2 [2] & = 2 left [ dfrac {3} {2} x right] -2 left [ dfrac {3} {2} right] quad color {Red} texto {Distribuya el} 2 \ 2y-4 & = 3 x-3 quad color {Rojo} text {Multiplicar. } end {alineado} nonumber ]
Ahora que hemos limpiado las fracciones, debemos ordenar los términos en la forma (Ax + By = C ). Necesitamos mover el término (3x ) al otro lado de la ecuación.
[ begin {alineado} 2y-4-3x & = 3x-3-3x quad color {Rojo} text {Restar} 3 x text {de ambos lados. } \ -3x + 2y-4 & = -3 quad color {Red} text {Simplifique, cambiando el orden en el lado izquierdo. } end {alineado} nonumber ]
Para poner esto en la forma (Ax + By = C ), necesitamos mover el término (- 4 ) al otro lado de la ecuación.
[ begin {alineado} -3x + 2y-4 + 4 & = -3 + 4 quad color {Rojo} text {Agregar} 4 text {a ambos lados. } \ -3x + 2y & = 1 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Parece que (- 3x + 2y = 1 ) tiene la forma (Ax + By = C ). Sin embargo, la forma estándar requiere que (A ≥ 0 ). Tenemos (A = −3 ). Para corregir esto, multiplicamos ambos lados por (- 1 ).
[ begin {alineado} -1 [-3x + 2y] & = -1 [1] quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} -1 \ 3x-2y & = – 1 quad color {Rojo} text {Distribuya el} -1 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la ecuación de la línea en forma estándar es (3x − 2y = −1 ).
Nota
Si no logramos reducir la pendiente a los términos más bajos, la ecuación de la línea sería: [y-2 = dfrac {6} {4} (x-1) nonumber ]
Multiplicar ambos lados por (4 ) nos daría el resultado [4y − 8 = 6x − 6 nonumber ] o equivalente: [- 6x + 4y = 2 nonumber ]
Esto no se ve como la misma respuesta, pero si dividimos ambos lados entre (- 2 ), obtenemos el mismo resultado. [3x − 2y = −1 nonumber ]
Esto muestra la importancia de requerir (A ≥ 0 ) y “reducir” los coeficientes (A ), (B ) y (C ). Nos permite comparar nuestra respuesta con nuestros colegas o las respuestas presentadas en este libro de texto.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Encuentre la forma estándar de la ecuación de la línea que pasa por los puntos ((- 2,4) ) y ((3, −3) ).
- Respuesta
-
(7x + 5y = 6 )
Intercepciones
Hemos estudiado la intersección (y ), el punto donde la gráfica cruza el eje (y ), pero igualmente importantes son las intersecciones (x ), los puntos donde la gráfica cruza el eje (x ).
En la Figura ( PageIndex {5} ), el gráfico cruza el eje (x ) tres veces. Cada uno de estos puntos de cruce se denomina intercepción (x ). Tenga en cuenta que cada una de estas (x ) – intersecciones tiene una (y ) – coordenada igual a cero. Esto lleva a la siguiente regla.
- (x ) Intercepciones
-
Para encontrar (x ) – intersecciones de la gráfica de una ecuación, sustituya (y = 0 ) en la ecuación y resuelva (x ).
Del mismo modo, el gráfico de la Figura ( PageIndex {6} ) cruza el eje (y ) tres veces. Cada uno de estos puntos de cruce se denomina intercepción (y ). Tenga en cuenta que cada una de estas intersecciones con (y ) tiene una coordenada (x ) igual a cero. Esto lleva a la siguiente regla.
- (y ) Intercepciones
-
Para encontrar (y ) – intersecciones de la gráfica de una ecuación, sustituya (x = 0 ) en la ecuación y resuelva (y ).
Pongamos en práctica estas reglas para encontrar intercepciones.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Encuentre las intersecciones (x ) – y (y ) – de la línea que tiene la ecuación (2x − 3y = 6 ). Trace las intersecciones y dibuje la línea.
Solución
Sabemos que la gráfica de (2x − 3y = 6 ) es una línea. Además, dos puntos determinan completamente una línea. Esto significa que solo necesitamos trazar las intersecciones (x ) – y (y ) -, luego dibujar una línea a través de ellas.
Para encontrar (x ) – intersección de (2x − 3y = 6 ), sustituya (0 ) por (y ) y resuelva (x ).
[ begin {alineado} 2 x-3 y & = 6 \ 2 x-3 (0) & = 6 \ 2 x & = 6 \ dfrac {2 x} {2} & = dfrac {6} {2} \ x & = 3 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la intersección (x ) – de la línea es ((3,0) ).
Para encontrar (y ) – intercepción de (2x − 3y = 6 ), sustituya (0 ) por (x ) y resuelva (y ).
[ begin {alineado} 2 x-3 y & = 6 \ 2 (0) -3 y & = 6 \ – 3 y & = 6 \ frac {-3 y} {- 3 } & = frac {6} {- 3} \ y & = – 2 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la intersección (y ) – de la línea es ((0, −2) ).
Trace el (x ) – intercepción ((3,0) ) y el (y ) – intercepción ((0, −2) ) y dibuje una línea a través de ellos (ver Figura ( PageIndex {7} )).
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Encuentre el (x ) – y (y ) – intercepta de la línea que tiene la ecuación (3x + 4y = −12 ). Trace las intersecciones y dibuje la línea.
- Respuesta
-
(x ) – intercepción: ((- 4,0) )
(y ) – intercepción: ((0, −3) )
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Dibuja la línea (4x +3 y = 12 ), luego dibuja la línea a través del punto ((- 2, −2) ) que es perpendicular a la línea (4x +3 y = 12 ) Encuentra la ecuación de esta línea perpendicular.
Solución
Primero encontremos las intersecciones (x ) – y (y ) – de la línea (4x + 3y = 12 ).
Para encontrar (x ) – intersección de la línea (4x + 3y = 12 ), sustituya (0 ) por (y ) y resuelva (x ).
[ begin {alineado} 4 x + 3 y & = 12 \ 4 x + 3 (0) & = 12 \ 4 x & = 12 \ dfrac {4 x} {4} & = dfrac {12} {4} \ x & = 3 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la intersección (x ) – de la línea es ((3,0) ).
Para encontrar (y ) – intersección de la línea (4x + 3y = 12 ), sustituya (0 ) por (x ) y resuelva (y ).
[ begin {alineado} 4 x + 3 y & = 12 \ 4 (0) +3 y & = 12 \ 3 y & = 12 \ dfrac {3 y} {3} & = dfrac {12} {3} \ y & = 4 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la intersección (y ) – de la línea es ((0,4) ).
Trace las intersecciones y dibuje una línea a través de ellas. Tenga en cuenta que del gráfico resulta claro que la pendiente de la línea (3x + 4y = 12 ) es (- 4/3 ) (consulte la Figura ( PageIndex {8} )).
Usted también podría resolver (y ) para poner (3x +4 y = 12 ) en intercepción de pendiente para determinar la pendiente .
Debido a que la pendiente de (3x + 4y = 12 ) es (- 4/3 ), la pendiente de una línea perpendicular a (3x + 4y = 12 ) será el recíproco negativo de ( −4/3 ), a saber, (3/4 ). Nuestra línea perpendicular tiene que pasar por el punto ((- 2, −2) ). Comience en ((- 2, −2) ), mueva (3 ) unidades hacia arriba, luego (4 ) unidades a la derecha, luego dibuje la línea. Debería parecer perpendicular a la línea (3x + 4y = 12 ) (ver Figura ( PageIndex {9} )).
Finalmente, use la forma punto-pendiente, (m = 3/4 ), y ( left (x_ {0}, y_ {0} right) = (- 2, -2) ) para determinar la ecuación de la línea perpendicular.
[ begin {alineado} y-y_ {0} & = m left (x-x_ {0} right) quad color {Red} text {Forma punto-pendiente. } \ y – (- 2) & = dfrac {3} {4} (x – (- 2)) quad color {Red} text {Sustituir:} 3/4 text {para} m, -2 text {para} x_ {0} text {y} -2 text {para} y_ {0} \ y + 2 & = dfrac {3} {4} (x + 2) quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Coloquemos nuestra respuesta en forma estándar. Limpia las fracciones.
[ begin {alineado} y + 2 & = dfrac {3} {4} x + dfrac {6} {4} quad color {Rojo} text {Distribuir} 3/4 \ 4 [y + 2] & = 4 left [ dfrac {3} {4} x + dfrac {6} {4} right] quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 4 \ 4y +4 [2] & = 4 left [ dfrac {3} {4} x right] +4 left [ dfrac {6} {4} right] quad color {Red} text {Distribuir the} 4 \ 4y + 8 & = 3x + 6 quad color {Red} text {Multiplicar. } end {alineado} nonumber ]
Reorganizar los términos para ponerlos en el orden (Ax + By = C ).
[ begin {alineado} 4y + 8-3x & = 3x + 6-3x quad color {Rojo} text {Restar} 3x text {de ambos lados. } \ -3x + 4y + 8 & = 6 quad color {Rojo} text {Simplificar. Reorganizar a la izquierda. } \ -3x + 4y + 8-8 & = 6-8 quad color {Rojo} text {Restar} 8 text {de ambos lados. } \ -3x + 4y & = -2 quad color {Rojo} text {Simplificar. } \ -1 (-3x + 4y) & = -1 (-2) quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} -1 \ 3x-4y & = 2 quad color {Red { } text {Distribuya el} -1 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, la ecuación de la línea perpendicular es (3x − 4y = 2 ).
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Encuentre la ecuación de la línea que pasa por el punto ((3,2) ) y es perpendicular a la línea (6x − 5y = 15 ).
- Respuesta
-
(5x + 6y = 27 )
Líneas horizontales y verticales
Aquí mantenemos una promesa anterior de abordar lo que sucede con la forma estándar (Ax + By = C ) cuando (A = 0 ) o (B = 0 ). Por ejemplo, la forma (3x = 6 ), cuando se compara con la forma estándar (Ax + By = C ), tiene (B = 0 ). Del mismo modo, la forma (2y = −12 ), cuando se compara con la forma estándar (Ax + By = C ), tiene (A = 0 ). Por supuesto, (3 x = 6 ) puede simplificarse a (x = 2 ) y (2 y = −12 ) puede simplificarse a (y = −6 ). Por lo tanto, si (A = 0 ) o (B = 0 ), la forma estándar () Ax + By = C toma la forma (x = a ) y (y = b ) , respectivamente.
Como veremos en el siguiente ejemplo, la forma (x = a ) produce una línea vertical, mientras que la forma (y = b ) produce una línea horizontal.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Dibuja los gráficos de (x = 3 ) y (y = −3 ).
Solución
Para dibujar la gráfica de (x = 3 ), recuerda que la gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación. Por lo tanto, para dibujar la gráfica de (x = 3 ), debemos trazar todos los puntos que satisfacen la ecuación (x = 3 ); es decir, debemos trazar todos los puntos que tienen una (x ) – coordenada igual a (3 ). El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).
En segundo lugar, para dibujar la gráfica de (y = −3 ), graficamos todos los puntos que tienen una (y ) – coordenada igual a (- 3 ). El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ).
Cosas a tener en cuenta:
Hay un par de comentarios en orden con respecto a las líneas en las Figuras ( PageIndex {10} ) y ( PageIndex {11} ).
- La gráfica de (x = 3 ) en la Figura ( PageIndex {10} ), que es una línea vertical, tiene una pendiente indefinida. Por lo tanto, no podemos usar ninguna de las fórmulas (y = mx + b ) o (y − y_0 = m (x − x_0) ) para obtener la ecuación de la línea. La única forma en que podemos obtener la ecuación es notar que la línea es el conjunto de todos los puntos ((x, y) ) cuya (x ) – coordenada es igual a (3 ).
- Sin embargo, la gráfica de (y = −3 ), al ser una línea horizontal, tiene pendiente cero, por lo que podemos usar la forma pendiente-intersección para encontrar la ecuación de la línea. Tenga en cuenta que la intersección (y ) de este gráfico es ((0, −3) ). Si sustituimos estos números en (y = mx + b ), obtenemos: [ begin {alineado} y & = mx + b quad color {Rojo} text {Forma pendiente-intersección. } \ y & = 0x + (- 3) quad color {Rojo} text {Sustituir:} 0 text {para} m, -3 text {para} b \ y & = -3 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]
Sin embargo, es mucho más fácil simplemente mirar la línea en las Figuras ( PageIndex {11} ) y observar que es la colección de todos los puntos ((x, y) ) con (y = 3 ).
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Dibuja los gráficos de (x = −2 ) y (y = 2 ).
- Respuesta
-
