3.6: Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

Resolver aplicaciones con desigualdades lineales

Muchas situaciones de la vida real nos obligan a resolver desigualdades. De hecho, las aplicaciones de desigualdad son tan comunes que a menudo ni siquiera nos damos cuenta de que estamos haciendo álgebra. Por ejemplo, ¿cuántos galones de gasolina se pueden poner en el automóvil por $ 20? ¿El alquiler de un apartamento es asequible? ¿Hay suficiente tiempo antes de la clase para ir a almorzar, comer y regresar? ¿Cuánto dinero debería costar el regalo de vacaciones de cada miembro de la familia sin exceder el presupuesto?

El método que usaremos para resolver aplicaciones con desigualdades lineales es muy similar al que usamos cuando resolvimos aplicaciones con ecuaciones. Leeremos el problema y nos aseguraremos de que se entiendan todas las palabras. A continuación, identificaremos lo que estamos buscando y asignaremos una variable para representarlo. Replantearemos el problema en una oración para que sea fácil traducirlo en una desigualdad. Entonces, resolveremos la desigualdad.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Emma consiguió un nuevo trabajo y tendrá que mudarse. Su ingreso mensual será de $ 5,265. Para calificar para alquilar un apartamento, el ingreso mensual de Emma debe ser al menos tres veces mayor que el alquiler. ¿Cuál es el alquiler más alto para el que calificará Emma?

Respuesta: ( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Leer} text {el problema.}} & {} \ { textbf {Paso 2. Identificar} text {qué somos buscando.}} & { text {el alquiler más alto para el que Emma calificará}} \ { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} \ {} & { text {Let r = rent}} \ { text {Elija una variable para representar esa cantidad.}} & {} \ { textbf {Paso 4. Traducir} text {a una desigualdad.}} & { } \ {} & { text {El ingreso mensual de Emma debe ser al menos}} \ { text {Primero escriba una oración que proporcione la información}} & { text {tres veces la renta.}} \ { text {para encontrarlo.}} & {} \\ { textbf {Paso 5. Resuelva} text {la desigualdad.}} y {5265 geq 3r} \ { text {Recuerde,} a > x text {tiene el mismo significado}} y {1755 geq r} \ { text {as} x

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Alan está cargando una paleta con cajas que pesan 45 libras cada una. La paleta puede soportar de manera segura no más de 900 libras. ¿Cuántas cajas puede cargar de forma segura en el palet?

Respuesta: No puede haber más de 20 cajas.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

El ascensor en el edificio de apartamentos de Yehire tiene un letrero que dice que el peso máximo es de 2,100 libras. Si el peso promedio de una persona es de 150 libras, ¿cuántas personas pueden viajar con seguridad en el elevador?

Respuesta: Un máximo de 14 personas pueden viajar con seguridad en el elevador.

A veces una aplicación requiere que la solución sea un número entero, pero la solución algebraica a la desigualdad no es un número entero. En ese caso, debemos redondear la solución algebraica a un número entero. El contexto de la aplicación determinará si redondeamos hacia arriba o hacia abajo. Para verificar aplicaciones como esta, redondearemos nuestra respuesta a un número que sea fácil de calcular y nos aseguraremos de que ese número haga que la desigualdad sea verdadera.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Dawn ganó un mini subsidio de $ 4,000 para comprar tabletas para su salón de clases. Las tabletas que le gustaría comprar cuestan $ 254.12 cada una, incluidos los impuestos y la entrega. ¿Cuál es la cantidad máxima de tabletas que Dawn puede comprar?

Respuesta: ( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Leer} text {el problema.}} & {} \ { textbf {Paso 2. Identificar} text {qué somos buscando.}} & { text {la cantidad máxima de tabletas que Dawn puede comprar}} \ { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} \ {} & { text {Sea n = el número de tabletas.}} \ { text {Elija una variable para representar esa cantidad.}} & {} \ { textbf {Paso 4. Traducir.} text {escriba un la oración que}} y {} \ { text {proporciona la información para encontrarla.}} y {$ 254.12 text {veces el número de tabletas no es}} \ {} y { text {más de $ 4000 .}} \ { text {Traducir a una desigualdad.}} & {254.12n leq 4000} \ { textbf {Paso 5. Resuelva} text {la desigualdad.}} & {n leq 15.74} \ { text {Pero n debe ser un número entero de tabletas,}} & {} \ { text {así que redondee a 15.}} & {n leq 15} \ \ { textbf {Paso 6. Marque} text {la respuesta en el problema}} & {} \ { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} \ { text {Redondeando el precio a $ 250,} } & {} \ { text {15 tabletas costarían $ 3750, mientras que}} y {} \ { text {16 tabletas serían $ 4000. Entonces,}} y {} \ { text {máximo de 15 tabletas a $ 254.12}} y {} \ { text {parece razonable.}} Y {} \ { textbf {Paso 7. Respuesta} text {la respuesta en el problema}} y { text {la pregunta con un}} \ { text {oración completa.}} y { text {Dawn puede comprar un máximo de 15 tabletas.}} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Angie tiene $ 20 para gastar en cajas de jugo para el picnic preescolar de su hijo. Cada paquete de cajas de jugo cuesta $ 2.63. ¿Cuál es el número máximo de paquetes que puede comprar?

Respuesta: siete paquetes

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Daniel quiere sorprender a su novia con una fiesta de cumpleaños en su restaurante favorito. Costará $ 42.75 por persona para la cena, incluyendo propina e impuestos. Su presupuesto para la fiesta es de $ 500. ¿Cuál es el número máximo de personas que Daniel puede tener en la fiesta?

Respuesta: 11 personas

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Pete trabaja en una tienda de informática. Su pago semanal será un monto fijo, $ 925 o $ 500 más el 12% de sus ventas totales. ¿Cuánto deberían ser sus ventas totales para que su opción de pago variable exceda la cantidad fija de $ 925?

Respuesta: ( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Leer} text {el problema.}} & {} \ { textbf {Paso 2. Identificar} text {qué somos buscando.}} & { text {las ventas totales necesarias para su pago variable}} \ {} y { text {opción para exceder la cantidad fija de $ 925}} \ { textbf {Paso 3. Nombre } text {lo que estamos buscando.}} & {} \ {} & { text {Let s = the total sales.}} \ { text {Elija una variable para representar esa cantidad.}} & {} \ { textbf {Paso 4. Traducir.} text {escribe una oración que}} & {} \ { text {proporciona la información para encontrarla.}} y {$ 500 text {más 12% del total de ventas es más de $ 925.}} \ { text {Traducir a una desigualdad. Recuerde}} y {500 + 0.12s> 925} \ { text {convierta el porcentaje a un decimal.}} & {} \\ { textbf {Paso 5. Resolver} text {la desigualdad.}} & {0.12s> 425} \ {} & {s> 3541. overline {66}} \ \ { textbf {Paso 6. Marque} text {la respuesta en el problema}} & {} \ { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} \ { text {Redondeo baje el precio a $ 250,}} y {} \ { text {15 las tabletas costarían $ 3750, mientras que}} y {} \ { text {Si redondeamos las ventas totales hasta}} y {} \ { text { $ 4000, vemos que}} y {} \ { text {500 + 0.12 (4000) = 980, que es más}} & {} \ { text {than $ 925.}} & {} \ { textbf {Paso 7. Respuesta} text { la pregunta con una oración completa.}} & { text {Las ventas totales deben ser superiores a $ 3541.67}} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Tiffany acaba de graduarse de la universidad y su nuevo trabajo le pagará $ 20000 por año más el 2% de todas las ventas. Ella quiere ganar al menos $ 100000 por año. ¿Para qué ventas totales podrá lograr su objetivo?

Respuesta: al menos $ 4000000

Ejercicio ( PageIndex {9} )

A Christian se le ha ofrecido un nuevo trabajo que paga $ 24000 al año más el 3% de las ventas. ¿Para qué ventas totales pagaría este nuevo trabajo más que su trabajo actual que paga $ 60000?

Respuesta: al menos $ 1200000

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Sergio y Lizeth tienen un presupuesto de vacaciones muy ajustado. Planean alquilar un automóvil de una compañía que cobra $ 75 por semana más $ 0.25 por milla. ¿Cuántas millas pueden viajar y aún mantenerse dentro de su presupuesto de $ 200?

Respuesta: ( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Leer} text {el problema.}} & {} \ { textbf {Paso 2. Identificar} text {qué somos buscando.}} & { text {la cantidad de millas que Sergio y Lizeth pueden viajar}} \ { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} \ {} & { text {Let m = el número de millas.}} \ { text {Elija una variable para representar esa cantidad.}} & {} \ { textbf {Paso 4. Traducir.} text {escribir una oración que}} & { text { $ 75 más 0.25 veces el número de millas es}} \ { text {da la información para encontrarla.}} & { text {menor o igual que $ 200. }} \ { text {Traducir a una desigualdad.}} & {75 + 25m leq 200} \\ { textbf {Paso 5. Resolver} text {la desigualdad.}} & {0.25m leq 125} \ {} & {m leq 500 text {millas}} \ \ \ { textbf {Paso 6. Marque} text {la respuesta en el problema}} & {} \ { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} \ { text {Sí, 75 + 0.25 (500) = 200.}} & {} \ { textbf {Paso 7. Respuesta} text {la pregunta con una oración completa.}} & { text {Sergio y Lizeth puede viajar 500 millas}} \ {} & { text {y aún así mantenerse dentro del presupuesto.}} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {11} )

El plan telefónico de Taleisha le cuesta $ 28.80 al mes más $ 0.20 por mensaje de texto. ¿Cuántos mensajes de texto puede usar y mantener su factura mensual de teléfono no más de $ 50?

Respuesta: no más de 106 mensajes de texto

Ejercicio ( PageIndex {12} )

La factura de calefacción de Rameen es de $ 5,42 por mes más $ 1,08 por termia. ¿Cuántos termómetros puede usar Rameen si quiere que su factura de calefacción sea de un máximo de $ 87.50?

Respuesta: no más de 76 termias

Un objetivo común de la mayoría de las empresas es obtener ganancias. Beneficio es el dinero que queda cuando los gastos se han restado del dinero ganado. En el siguiente ejemplo, encontraremos la cantidad de trabajos que un pequeño empresario necesita hacer cada mes para obtener una cierta cantidad de beneficio .

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Elliot tiene un negocio de mantenimiento de jardines. Sus gastos mensuales son de $ 1,100. Si cobra $ 60 por trabajo, ¿cuántos trabajos debe hacer para obtener una ganancia de al menos $ 4,000 por mes?

Respuesta: ( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Leer} text {el problema.}} & {} \ { textbf {Paso 2. Identificar} text {qué somos buscando.}} & { text {la cantidad de trabajos que necesita Elliot}} \ { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} \ { text {Elija una variable para representarlo}} & { text {Let j = el número de trabajos.}} \ { textbf {Paso 4. Traducir.} text {escriba una oración que}} & { text { $ 60 veces el número de trabajos menos $ 1,100 es al menos $ 4,000.}} \ { text {da la información para encontrarlo.}} & { text {menor o igual que $ 200.}} \ { texto {Traducir a una desigualdad.}} y {60j – 1100 geq 4000} \\ { textbf {Paso 5. Resolver} text {la desigualdad.}} y {60j geq 5100} \ {} & {j geq 85 text {jobs}} \ \ { textbf {Paso 6. Marque} text {la respuesta en el problema}} & {} \ { text {y asegúrese de que tenga sentido .}} & {} \ { text {Si Elliot hiciera 90 trabajos, su ganancia sería}} & {} \ { text {60 (90) −1,100, o $ 4,300. Esto es}} & { } \ { text {más de $ 4,000.}} & {} \ { textbf {Paso 7 . Respuesta} text {la pregunta con una oración completa.}} & { Text {Elliot debe trabajar al menos 85 trabajos.}} End {array} )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Caleb tiene un negocio de cuidado de mascotas. Cobra $ 32 por hora. Sus gastos mensuales son de $ 2272. ¿Cuántas horas debe trabajar para obtener una ganancia de al menos $ 800 por mes?

Respuesta: al menos 96 horas

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Felicity tiene un negocio de caligrafía. Ella cobra $ 2.50 por invitación de boda. Sus gastos mensuales son de $ 650. ¿Cuántas invitaciones debe escribir para obtener una ganancia de al menos $ 2800 por mes?

Respuesta: al menos 1380 invitaciones

¡A veces la vida se complica! Hay muchas situaciones en las que varias cantidades contribuyen al gasto total. Debemos asegurarnos de tener en cuenta todos los gastos individuales cuando resolvemos problemas como este.

Ejercicio ( PageIndex {16} )

El mejor amigo de Brenda está teniendo una boda de destino y el evento durará 3 días. Brenda tiene $ 500 en ahorros y puede ganar $ 15 por hora cuidando niños. Ella espera pagar $ 350 de pasaje aéreo, $ 375 por comida y entretenimiento y $ 60 por noche por su parte de una habitación de hotel. ¿Cuántas horas debe cuidar a los niños para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Respuesta: ( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1. Leer} text {el problema.}} & {} \ { textbf {Paso 2. Identificar} text {qué somos buscando.}} & { text {la cantidad de horas que Brenda debe cuidar a los niños}} \ { textbf {Paso 3. Nombre} text {lo que estamos buscando.}} & {} \ { text { Elija una variable para representar esa cantidad.}} & { Text {Let h = el número de horas.}} \ { textbf {Paso 4. Traducir.} Text {escriba una oración que}} & {} { text {proporciona la información para encontrarlo.}} & {} \ {} & { text {Los gastos deben ser menores o iguales que}} \ {} y { text {el ingreso. costo del pasaje aéreo más}} \ {} & { text {costo de comida y entretenimiento y}} \ {} y { text {la factura del hotel debe ser menor o igual que los ahorros}} \ { } & { text {más la cantidad ganada cuidando niños.}} \ { text {Traducir a una desigualdad.}} & { $ 350 + $ 375 + $ 60 (3) leq $ 500 + $ 15h} \ { textbf {Paso 5. Resolver} text {la desigualdad.}} y {905 leq 500 + 15h} \ {} y {405 leq 15h} \ {} y {27 leq h } \ {} & {h geq 27} \ \ { textbf {Paso 6. Marque} text {la respuesta en el problema}} & {} \ { text {y asegúrese de que tenga sentido.}} & {} \ { text {Sustituimos 27 en la desigualdad. }} Y {} \ {905 leq 500 + 15h} y {} \ {905 leq 500 + 15 (27)} y {} \ {905 leq 905} y {} \ \ { textbf {Paso 7. Contestar} text {la pregunta con una oración completa.}} & { text {Brenda debe cuidar al menos 27 horas.}} end {array} )

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Malik está planeando un viaje de vacaciones de verano de 6 días. Tiene $ 840 en ahorros y gana $ 45 por hora por tutoría. El viaje le costará $ 525 por pasaje aéreo, $ 780 por comida y turismo, y $ 95 por noche por el hotel. ¿Cuántas horas debe ser tutor para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Respuesta: al menos 23 horas

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Josue quiere hacer un viaje por carretera de 10 días la próxima primavera. Le costará $ 180 por gasolina, $ 450 por comida y $ 49 por noche por un motel. Tiene ahorros de $ 520 y puede ganar $ 30 por camino de entrada palear la nieve. ¿Cuántas entradas debe tener la pala para tener suficiente dinero para pagar el viaje?

Respuesta: al menos 20 entradas